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Étude sur les coniques polaires des cubiques planes

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N

OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

B ARRÉ

Étude sur les coniques polaires des cubiques planes

Nouvelles annales de mathématiques 4e série, tome 8 (1908), p. 241-257

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(2)

[M'5g]

ÉTUDE SUR LES CONIQUES POLAIRES NES CUBIQUES PLANES ; PAR M. BARRÉ,

Capitaine du Génie.

I. Soit

l f(x, y, z)~ ax*-\- 3 b x2y H- 3 c ary*-+- d y*

(1) \ -+- 3z (ex2-+-ig ccy-h h y*) I' -+- 3z2 (kx -f- ly) -f-/?s3 = o

l'équation en coordonnées trilinéaires quelconques d'une cubique plane.

La conique polaire d'un point de coordonnées

^o>JKo> zo a pour équation

àf df àf (2) X

f^

y

*^

Z =

°

ou encore

à2 f d*f 4 H + & 4 à f df

; àx\ J àx.dyo J ày% dzi II. PROBLÈME I. — Étant donnée, dans le plan d'une cubique plane, une droite D, trouver à quelles conditions il existe dans ce plan un point dont la conique polaire, par rapport à la cubique, com- prenne la droite D.

Prenons un triangle de référence dont l'un des côtés soit précisément la droite D, que nous choisirons pour axe z = o. Pour que la polaire d'un point P(#0,y0, z0) comprenne la droite D, il faut et il suffit évidemment

Ann.de Mathémat., 4e série, t. VIII. (Juin 1908.) 16

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qu'on ait

c'est-à-dire que le point P soit un point commun aux trois droites

(5) ax-\- by-+ ez=o, bx-h cy-+- gz = o, cx^- dy-+- /i5 = o.

i° En général, le déterminant A des coefficients de x,y el z dans les équations ( 5 ) n'est pas nul et il n'y a pas de point répondant à la question.

2° Si A est nul sans que tous ses mineurs le soient, il existe un point P et un seul à dislance finie ou infi- nie satisfaisant aux conditions du problème.

Il est à peu près évident que si A ne passe pas par un point double de la courbe, les tangentes à celle-ci aux points où elles rencontrent D passent par P. Si D est une tangente inflexionnelle, son point de contact répond à la question : c'est un cas limite de la dispo- sition dont il vient d'être question.

Supposons que D passe par un point double. Pre- nons un triangle de référence dont ce point soit le sommet y = o , z = o; on doit avoir

a = b = e = o, et A est identiquement nul. Donc :

Si D passe par te point double d'une cubique unicursale, il existe toujours un point, unique en général, à distance finie ou infinie dont la conique polaire comprend la droite D.

3° A est nul ainsi que ses mineurs, mais tous ses éléments ne sont pas nuls ( ' ) . Il existe alors une infi- (l ) Si tous les éléments de A étaient nuls, la cubique se réduirait

(4)

( 243 )

ni té de points, situés sur une droite DM répondant à la question. Prenons D< comme côté y = o du triangle de référence ; les trois équations (5) doivent être véri- fiées dès qu'on y fait y = o. Ceci exige les conditions

L'équation de la cubique se réduit à (6) dy*

C'est une cubique cuspidale dont D est la tan- gente de rebroussement et D, la droite de jonction du rebroussement au point d'inflexion unique de la cubique.

RÉCIPROQUEMENT: La conique polaire d* un point quelconque de la droite, qui joint le point de re- broussement d une cubique cuspidale à son point d'inflexion, se décompose en deux droites dont la tangente de rebroussement.

Ce résultat se démontre sans aucune difficulté en rapportant la cubique à un triangle de référence fourni par sa tangente de rebroussement, sa tangente d'in- flexion et la droite qui joint le point d'inflexion au point de rebroussement.

Ili. PROBLÈME IT. — Trouver dans quels cas la conique polaire d un point du plan d'une cubique plane peut se réduire à un faisceau f orme de -ieux

droites dont celle de Vinfini.

La solution de cette question est un corollaire immé-

à deux droites, dont une double. Nous laissons au lecteur le soin d'iûlerpréter les résultais dans ce cas et d'une façon générale dans les divers cas de dégénérescence. Cette étude ne présente aucune difficulté el souvent aucun intérêt spécial.

(5)

diat de celle de la précédente. Il suffit de prendre pour droite D la droite de l'infini. Il suffira donc d'énoncer Jes résultats :

1. Étant donnée une cubique plane, il n'y a pas, en général, de point dont la conique polaire se réduise à un faisceau de deux droites, dont celle de l'infini.

2. Lorsqu'il existe un point pour lequel ce f ait se présente et que la cubique ne présente ni point double à l'infini, ni point parabolique inflexionnel, les trois asymptotes concourent en ce point. Inver- sement, si les trois asymptotes d'une cubique sont concourantes, leur point de concours répond à la question.

3. Dans le cas d'un point double à Vinfini, à asymptotes distinctes, il existe un point et un seul, d'ailleurs à distance finie, répondant à la question.

4. Lorsque la cubique possède un point parabo- lique simple, injlexionnel, le point de contact de la cubique et de la droite de l'infini est le seul point répondant à la question.

5. Enfin, s'il existe sur la cubique un rebrous- sement parabolique, tous les points de la parallèle à la direction asymptotique unique menée par le point d'inflexion de la cubique répondent à la

question.

l v. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS DES POINTS CEN- TRAUX. — Considérons spécialement les cubiques dont les trois asymptotes ont un point commun au moins à distance finie. (Cas 2° et 5° du numéro précé- dent.)

Nous donnerons à un pareil point le nom de

POINT CENTRAL.

(6)

( 245 )

Cette dénomination est justifiée par les propriétés de ce point, propriétés dont nous allons exposer les principales.

i° Supposons qu'on ait rapporté la cubique à un système de coordonnées cartésiennes dont l'origine soit en un point central. Les équations (5) doivent elre vérifiées pour x = y = o. Les coefficients e, g, h doivent donc être nuls. L'inverse est évidemment vrai.

Donc :

THÉORÈME I. — Si une cubique possédant un point central est rapportée à un système de coordonnées cartésiennes ordinaires dont ce point soit l'origine, Véquation de cette courbe ne contient pas de termes du second degré.

RÉCIPROQUEMENT : Si Véquation cartésienne d'une cubique plane ne possède pas de termes du second degré, Vorigine du système de coordonnées auquel est l'apportée la cubique est un point central de celle-ci.

2° En se fondant sur le théorème précédent, on obtient par une méthode classique le théorème suivant que je me borne à énoncer :

THÉORÈME II. — Le centre des moyennes distances des points d'intersection, d'une cubique plane possé- dant un point central avec toute sécante passant par ce point coïncide avec lui.

RÉCIPROQUEMENT : Si dans le plan d'une cubique plane il existe un point (P) tel que toute sécante qui y passe coupe la cubique en trois points dont le centre des moyennes distances coïncide avec le point P, celui-ci est un point central de la cubique.

3° Si l'on exprime que la cubique passe par un point

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central pris comme origine des coordonnées, outre les conditions déjà obtenues (e = g — h = o), on trouve p = o. L'équalion n'a plus que des termes impairs et

l'on peut énoncer la proposition suivante :

THÉORÈME 111. — Si une cubique plane possède un point central par lequel elle passe, ce point est un centre de la cubique.

RÉCIPROQUEMENT : Le centre d'une cubique à centre est un point central de la cubique.

Considérons, en particulier, le cas d'une cubique à rebroussement parabolique. Nous avons vu qu'une telle courbe possédait une ligne de points centraux, à savoir : la parallèle menée par le point d'inflexion de la cubique à sa direction as\ mptolique. De cette pro- priété et des théorèmes 1 et 11 on déduit immédia- tement le théorème suivant facile à retrouver direc- tement :

THÉORÈME IV. — Si une cubique plane admet un rebroussement parabolique, elle possède à distance finie un point d'inflexion qui est aussi un centre.

Le centre des moyennes distances des points d} inter- section de la cubique avec une sécante quelconque est toujours situé sur la parallèle à la direction asymptotique menée par le centre de la cubique.

Observation. — Dans ce qui précède, on n'a fait aucune supposition sur la réalité des coefficients de la cubique. Désormais, nous limiterons notre étude aux cubiques réelles; nous ferons remarquer que cette restriction n'est pas absolument nécessaire dans tout ce qui suit. Le lecteur fera aisément, lorsqu'il y aura lieu, les modifications à nos énoncés, nécessitées par la sup- pression de cette restriction.

(8)

( M? )

V. PROBLÈME III. — Déterminer les points du plan d'une cubique plane dont la conique polaire par rapport à la cubique soit un cercle.

Soit

(i) f(xiYi s) = ax*-h 3bx*y -+-... -+-pz* = o

l'équation homogène de la cubique rapportée à des axes rectangulaires, et a, [3, y les coordonnées homogènes du point don! nous étudions la conique polaire. Pour que celle-ci soit un cercle, il faut et il suffit évidem- ment que a, jâ et y vérifient les relations

aulrement dit, que le point cherché appartienne à la fois aux deux droites représentées par les équations

(3) (a — c) x -{- (b — d)y -\- (e — h) z — o, bx -+- cy -\- gz = o.

Discussion. — i° Ces droites se coupant en géné- ral en un point à distance finie, il y a en général un point et un seul répondant à la question et situé à distance finie.

2° Si la condition

(4) {a — c)c = (b — d)b ou ac -h bd = b*-±-c'2

est vérifiée, les droites (3) seront en général parallèles et distinctes, et il y aura un seul point à l'infini répon- dant à la question. Soient m{, m^ m3 les cofficients angulaires des directions asjmptotiques de la cubique;

on trouve sans difficulté que la condition (4) équivaut

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à la suivante :

En prenant pour axe des x une parallèle à une di- rection asymptotique réelle de la cubique et désignant par mK celui des trois coeflicients angulaires qui s'an- nule, la condition (5) se réduit à la suivante :

(6) (/nj+ m3)2 -+- m\ m\ = 3m2 m3.

Désignons sous le nom de courbes F les courbes répondant à la définition représentée par la for- mule (6). On voit que les courbes F ont nécessai- rement deux directions asymptotiques imaginaires, à moins que les directions asymptotiques ne soient toutes confondues: l'équation (6) ne peut, en effet, admettre comme seules solutions réelles que m2 = m% = o.

Cas oà il existe une direction asymptotique triple.

— Elle est nécessairement réelle; prenons pour axe Ox une parallèle à cette direction.

Les coefficients a, b, c doivent alors s'annuler, et, d'autre part, d restera différent de zéro, sans quoi la cubique se décomposerait en une conique et la droite de l'infini, hypothèse dont nous avons dit faire ab- straction.

Les équations (3) se réduisent aux suivantes : (7) ~dy^r(e— h)z = o, gz = o.

i° Si l'on suppose g différent de zéro, que e soit nul ou non ( ' ) , seul le point à l'infini de la courbe peut (l) Si e ^ o , point à l'infini simple parabolique et inflexionnel.

Si e — o. point double avec une branche parabolique.

(10)

( 249 )

répondre à la question. Mais dans tous les cas le cercle correspondant dégénère en deux droites, dont celle de l'infini. Il n'y a donc pas en réalité de point dont la conique polaire soit un cercle.

2° Si l'on suppose g nul, tous les poinls de la pre- mière des droites représentées par l'équation (7) ont pour conique polaire un cercle.

Cette droite est d'ailleurs toujours à distance finie, puisqu'on suppose d^£o. Si e n'est pas nul, le point à l'infini est simple, mais parabolique et inflexionnel.

Les polaires circulaires sont de vrais cercles en général.

Il n'en est plus ainsi si e est nul. La courbe présente un rebroussement parabolique, la droite représentée par la première équation (7) se confond avec le lieu des points centraux et les polaires correspondant aux points de cette droite dégénèrent en deux droites, dont celle de l'infini.

3° Si la condition (4) est vérifiée, les droites (3) sont en général distinctes. Elles peuvent être confon- dues et nous venons d'en rencontrer un exemple : il existe alors une droite de points dont la première polaire soit un cercle. En faisant abstraction du cas que nous venons de signaler, on démontre que les cubiques F douées d'un point central possèdent seules une droite de poinls à première polaire circulaire.

Je laisse au lecteur le soin d'établir ce résultat et me borne à énoncer le théorème suivant qui résume cette recherche :

THÉORÈME V. — Les cubiques T douées d'un point central et une classe de cubiques admettant à l'in- fini un point simple parabolique et inflexionnel sont les seules auxquelles correspond une infinité de points en ligne droite dont la conique polaire soit

un cercle.

(11)

plan (Vune cubique plane dont la première polaire soit une hyperbole équilatère.

Adoptons les mêmes axes et les mêmes notations que dans le problème précédent. La condition caractéris- tique du problème actuel est

ou, en développant et remplaçant a et ^ par des coor- données courantes xyy,

(Q) (a-\-C) X-+-(b-{-d)y-+-(e-\-h) Z =: O.

Cette équation représentant une droite, il y a donc en général une infinité de points en ligne droite répon- dant à la question.

Discussion. — i° La droite (2) est en général à distance finie ; elle se réduit à la droite de l'infini si Ton a à la fois

C 3) ( a - + - c ) = o, b -+- d = o, (4) e + / i ^ o .

En spécialisant les axes comme dans le problème pré- codent, on peut supposer le coefficient angulaire mf

nul el les équations (3) deviennent

m* -+- m3 = o, //?2 ' » 3 + ^ = 0 ou m2 = — m^ — dz \j3, résultat qui s'interprète immédiatement : Les direc- tions asymptotiques sont parallèles aux tj*ois côtés d'un triangle équilatéral.

2° Si aux équations (3) on joint la relation

( 5 ) e - i - / i = o ,

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l'équation (2) devient une identité et la polaire de tont point du plan est une hyperbole équilatère. On vérifie sans aucune difficulté que l'ensemble des équations (3) et (4) entraîne l'existence d'un point central (* ). Les trois asymptotes dé la cubique forment donc les dia- mètres d'un hexagone régulier. Je ne m'arrêterai pas non plus à vérifier que cette condition suffit. Les ré- sultats précédents seront résumée par le théorème suivant :

THÉORÈME VI. — Dans le plan d'une cubique plane, il existe en général une infinité de points en ligne droite dont la conique polaire par rapport à la cubique soit une hyperbole équilatère.

Dans le cas ou les directions asymptotiques de la cubique sont parallèles aux côtés d'un triangle équilatéral, la droite qui vient d'être définie coïn- cide avec la droite de rinfini si les trois asymptotes ne sont pas concourantes.

Si les trois asymptotes de la cubique sont dirigées suivant les rayons d'un hexagone régulier, la co- nique polaire, par rapport à la cubique, de tout point du plan est une hyperbole équilatère.

VII. PROBLÈME V. — Une cubique plane étant donnée, déterminer les régions de son plan dont les points aient pour première polaire par rapport à la cubique une ellipse ou une hyperbole et les points

(l ) Ce résultat est (Tailleurs évident en se reportant à ce qui a été établi plus haut : il y a au moins un point dont la première polaire soit un cercle; or, ce point doit également avoir pour polaire une hyperbole équilatère. Ces deux conditions ne sont compatibles que si cette polaire se réduit à deux droites, dont celle de l'infini, c'est- à-dire si le point en question est un point central, puisque dans le cas actuel les directions asyruptotiques sont simples.

(13)

du plan dont la première polaire soit une para- bole.

Choisissons un système de coordonnées cartésiennes quelconques, et soient

( i )

-f- 3 (cx--¥-1gxy -h hy2) -h 3 (kx-+- ly) -hp =o

Péquation de la cubique plane étudiée et a, j3 les coor- données d'un point P. La conique polaire de ce point sera une ellipse si

une hyperbole si

une parabole si

Nous savons qu'il y a dans le plan au moins un point à première polaire circulaire et une infinité de points dont la première polaire soit une hyperbole équilatère.

Si donc la polaire circulaire ne dégénère pas en deux droites, dont celle de l'infini, il y aura nécessairement dans le plan deux régions, une dont les points ont une polaire du genre ellipse et l'autre du genre hyperbole.

Le cas d'exception possible correspond à l'existence d'un point central, ou d'un point inflexionnel parabo- lique, ou d'un point double à l'infini.

Dans ces conditions, le système d'équations à\f _ à* f _ d*f __

(14)

( 253 )

mises sous forme homogène admet une solution autre que x = y = z = o, et les trois formes -r— > --4>

ne sont pas indépendantes. Par suite, la conique lieu des points à polaire parabolique

(a)

œ

se réduit à deux droites. Inversement, si Tune des sin- gularités visées plus haut ne se présente pas, les formes ô*y d ' J » s o n t ""dépendantes et la conique (2) n'est pas dégénérée.

En rapprochant ces considérations des résultats du problème TI, on obtient la proposition suivante :

THÉORÈME Vif. — Le lieu des points du plan dont la conique polaire est une parabole est une conique réelle ou dégénérée. La dégénérescence en deux droites réelles ou imaginaires se produit lorsque la cubique possède soit un point central, soit un point double à l'infini ou un point d1 inflexion parabo- lique.

Cette conique divise le plan en deux régions dans chacune desquelles tous les points ont des coniques polaires appartenant au même genre.

Genre de la séparatrice. — En développant l'é- quation (2), on trouve sans aucune difficulté que la séparalrice sera du genre ellipse si

( ad — bc y- — 4 ( bd — c2 ) ( ac — 62 ) < o, du genre hyperbole si

bcy— b{bd— c») (ac — 62) > o ,

(15)

du genre parahole si

— bcy— lx{bd- c2) (ac — 6») = o.

Si l'on remarque que le premier membre des rela- tions précédentes esl précisément le discriminant de la (orme

on conclut immédiatement que :

La séparatrice est du genre ellipse lorsque la cubique jtossède trois directions asymptotiq ues simples réelles. Elle est du genre hyperbole si la cubique admet trois directions asymptotiq ues sim- ples dont une seule réelle, du genre parabole si la cubi<p(epossède une direction asymptolique double.

C \ S Ol LA SLP Ul YT1UŒ SE RÉDUIT A DEUX DROITES.

Noiib passerons rapidement eu revue les diverses hypo- thèses dan^ lesquelles cette dégénérescence peut se présenter.

i° Cubique à point central. — La séparaIrice se réduit à deux droites se coupant en ce point. G's droites sont réelles si la cubique ne présente qu'une seule direction a&ymptotique réelle; elles sont imagi- naire^ lorsque les trois directions as) mploliques de la cubique sont réelles. Dans ce dernier cas, la conique polaire d'un point quelconque du plan est du genre h\perbole.

{) Cubique possédant «i l'infini un point double.

— En prenant l'axe des x parallèle à la direction asymp- totique double, on arrive, par des calcuK faciles et que je laisse au lecteur le soin de développer, au résultat suivant :

Le lieu des points dont la conique polaire est du

(16)

( 255 )

genre parabole se réduit à une droite double paral- lèle à la direction asymptotique double. Cette droite est rejetée à Vinfini si le point double de la cubique possède une branche parabolique. La polaire de tout

autre point du plan est une hyperbole.

Toutefois, si ce point double à Vinfini est un re- broussement parabolique, la polaire de tout point du plan est du genre parabole.

3° Cubique possédant un point simple parabo- lique et in/lexionnel. — A\ec Je même choix d'axes que dans le paragraphe précédent, on met facilement en évidence le résultat suivant :

La séparatrice se réduit à une droite simple. Mais le lieu des points dont la première polaire est du genre parabole comprend en out/e la droite de l1 infini (dont le rôle comme séparatrice est évidem- ment nul).

VU]. Pour mémoire, je me bornerai à rappeler la propriété classique suivante :

Le lieu des points du plan d'une cubique plane dont la première polaire se réduit à deux droites est la hessienne de la cubique.

IX. Applications. — 1. Les résultat:? >i^nalés dans leb études précédentes donnent immédiatement la holu- tion des questions suivantes :

Examiner s'il existe dans le plan d'une cubique donnée et7 s'il y a lieu, déterminer le nombre et la position des points satisfaisant à Vune des condi-

tions suivantes :

i° Les points de contact des tangentes à la cubique issues du point considéré se trouvent sur deux

(17)

droite de V infini ;

2° Ces points de contact se trouvent sur un cercle;

3° Ces points de contact se trouvent sur une hyper- bo le éq u ilatère ;

4" Ces points de contact se trouvent sur une para- bole.

2. En combinant les divers résultats obtenus, on obtient la proposition suivante:

THÉORÈME VIÜ. — II existe en général dans le plan d'une cubique plane :

i° Trois points en général distincts, dont un au moins réel, dont la première polaire se réduit à deux droites rectangulaires ;

2° Six points réels ou imaginaires distincts en général, dont la première polaire se réduit à deux droites parallèles.

Remarque. — Nous laissons au lecteur le soin de discuter dans quels cas le théorème précédent est en défaut et de modifier convenablement son énoncé.

3. Pour terminer cet exposé, il me paraît intéressant de présenter un exemple de cubique possédant les principales particularités signalées dans le cours de notre étude. J'adopterai la courbe représentée en coor- données rectangulaires par l'équation

Elle jouit des propriétés suivantes que je ne m'arrê- terai pas à établir :

i° Sa liessienne se réduit aux deux bissectrices des axes et à la droite de l'infini.

(18)

2° La conique polaire se réduit à un cercle pour tous les points de l'axe Oyy à une hyperbole équilatère pour ceux de Ox, à deux droites parallèles pour chacun des points des deux bissectrices, ces deux droites formant ainsi la séparatrice. L'origine est un point central ; la polaire correspondante se réduira à une droite double, ladroite de l'infini. Tous ces résultats peuvent s'obtenir par application des propositions générales rencontrées précédemment ou encore se vérifier directement sur Péquation de la polaire d'un point P (x0, y0) •*

La figure ci-dessus résume toute la discussion.

Ann. de Mathémat., 4° série, t. VIII. (Juin 1908.)

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