E450 - Pas de deux sur un damier [*** à la main]
Voici un damier de dimensions 12 x 12 sur lequel des pions blancs et noirs ont été placés avec un pion blanc et un pion noir sur chacune des 12 rangées.
Votre adversaire est l'ordinateur qui est un parfait logicien et vous jouez à tour de rôle.
Vous déplacez les pions blancs et l'ordinateur les noirs, dans une seule rangée à la fois. Les pions vont sur n'importe quelle case libre de la rangée vers la gauche ou vers la droite, mais sans sauter par-dessus le pion adverse.
Le dernier qui bloque tous les pions de l'adversaire est le gagnant.
Vous jouez le premier. Quel est votre premier coup?
Solution proposée par Jean-Marie Breton
Considérons la situation (1), représentée sur la gauche, où dans chaque rangée les pions se retrouvent dans des cases adjacentes.
Dans cette position celui qui va jouer est assuré de perdre. En effet sa seule possibilité est alors de diminuer son espace de mouvement en
"reculant".
Son adversaire aura alors beau jeu "d'avancer" dans la même rangée pour revenir au contact et le remettre dans une situation de type (1).
On voit donc que la bonne stratégie consiste à œuvrer pour être celui qui arrive le premier dans une situation de type (1).
Considérons donc la situation de départ :
Et pour chaque rangée l'écart (le nombre de cases vides) qui sépare les deux pions. Le gagnant est celui qui arrive le premier dans la situation de type (1) soit encore celui qui, après avoir joué, aura pour chaque rangée un écart nul.
Le tableau ci-dessous indique pour chaque rangée la valeur de l'écart au départ, en base 10 et en base 2 :
La solution gagnante est atteinte quand les parités des colonnes sont toutes à paire (P) (les colonnes non écrites correspondant aux
puissances de 2 supérieures sont toutes à somme 0 et donc paires).
Si quand l'adversaire joue il n'y a que des colonnes paires il ne peut que restituer une situation mixte (colonnes impaires et colonnes paires).
Mon premier coup sera donc de diminuer l'écart en rangée 4 en le faisant passer de 1010 à 0100 ce qui ramènera la parité de
l'ensemble de colonnes à (P) soit de 10 à 4.
Rangée Ecart base 10
Ecart base 2
1 3 0 0 1 1
2 7 0 1 1 0
3 1 0 0 0 1
4 10 1 0 1 0
5 7 0 1 1 1
6 1 0 0 0 1
7 2 0 0 1 0
8 7 0 1 1 1
9 3 0 0 1 1
10 3 0 0 1 1
11 6 0 1 1 0
12 5 0 1 0 1
Somme de la colonne
: 1 5 9 8 Parité de la colonne : I I I P
