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CI 3 – CIN : É TUDE DU COMPORTEMENT CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES C

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Sciences Industrielles de l'ingénieur

CI 3 – CIN : É TUDE DU COMPORTEMENT CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES C

HAPITRE

5 – C

INÉMATIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE

E XERCICE D ’ APPLICATION

Etude d'une centrifugeuse à 2 degrés de liberté [1]

Centrifugeuse humaine développée par le CNRS/

MEDES Modélisation cinématique

Le paramétrage de la centrifugeuse est donnée ci dessous :

Les paramètres constants du système sont les suivants : – −−−→

O0O1=a−→

i1 ; – −−→

O1G=b−→

i2 +c−→

k2.

Question1

Donner la trajectoire du point G dans le repèreR0.

Correction

La trajectoire du pointG dans le repèreR0est donnée par le vecteur :

−−→O0G(t) =−−−→

O0O1+−−→

O1G=a−→

i1 +b−→

i2+c−→

k2

Il faut alors projeter les vecteurs dansR0:

−−→O0G(t) = a€

cosα(t)−→

i0 +sinα(t)−→

j0Š +b€

cosβ(t)−→

i1−sinβ(t)−→

k1Š +c€

cosβ(t)−→

k1+sinβ(t)−→

i1Š

= a€

cosα(t)−→

i0 +sinα(t)−→

j0Š +b€

cosβ(t)€

cosα(t)−→

i0 +sinα(t)−→

j0Š

−sinβ(t)−→

k0Š +c€

cosβ(t)−→

k0+sinβ(t

cosα(t)−→

i0+sinα(t)−→

j0ŠŠ

=

acosα(t) +bcosβ(t)cosα(t) +csinβ(t)cosα(t) asinα(t) +bcosβ(t)sinα(t) +csinβ(t)sinα(t)

−bsinβ(t) +ccosβ(t)

R0

On a ainsi l’équation paramétrique de la position du pointG.

Question2

Calculer−−−−−−−−−→

V(O0S1/S0).

2013 – 2014

Xavier PESSOLES 1 CI 3 : CIN – Cours

Ch 5 : Cinématique du solide – P

(2)

Sciences Industrielles de l'ingénieur

Question3

Calculer−−−−−−−−−→

V(O1S2/S1).

Question4

Calculer−−−−−−−−−→

V(O1S1/S0).

Correction

Méthode 1 – Par définition,

−−−−−−−−−→

V(O1S1/S0) =

–d−−−→

O0O1(t) d t

™

R0

=

d€

a−→

i1Š d t

R0

=a

–d−→

i1 d t

™

R0

On a :

–d−→

i1 d t

™

R0

=

d€

cosα(t)−→

i0 +sinα(t)−→

j0Š d t

R0

=

–dcosα(t)−→

i0 d t

™

R0

+

–dsinα(t)−→

j0 d t

™

R0

= dcosα(t) d t

−→i0 +cosα(t)

–d−→

i0 d t

™

R0

| {z }

−→0

+dsinα(t) d t

−→i0+sin(t)

–d−→

j0 d t

™

R0

| {z }

−→0

= −α(t˙ )sinα(t)−→

i0 +α(t˙ )cosα(t)−→

j0=α(t˙ )−→

j1 Ainsi,

−−−−−−−−−→

V(O1S1/S0) =

−aα(t˙ )sinα(t) aα(t˙ )cosα(t)

0

R0

=

 0 aα(t˙ )

0

R1

Dans les deux cas,−−−→

O0O1(t)est dérivé par rapportR0mais il s’exprime différemment dansR0etR1: – −−−−−−−−−→

V(O1S1/S0) =−aα(t˙ )sinα(t)−→

i0 +aα(t˙ )cosα(t)−→

j0 : ici la base deprojectionet dedérivationest la baseB0; – −−−−−−−−−→

V(O1S1/S0) =aα(t˙ )−→

j1 : ici la base de dérivation est la baseB0et la base de projection estB1. Méthode 2 – Utilisation de la dérivation vectorielle.

Calcul de−−−−−−−−−→

V(O1∈S1/S0).

On rappelle que :

−−−−−−−−−→

V(O1S1/S0) =a

–d−→

i1 d t

™

R0

Le calcul de

–d−→

i1 d t

™

R0

peut donc être réalisé ainsi :

–d−→

i1 d t

™

R0

=

–d−→

i1 d t

™

R1

| {z }

−→0

+−−−−−→

Ω(S1/S0)∧−→

i1 =α˙−→

k0∧−→

i1 =α˙−→

j1

Ainsi

−−−−−−−−−→

V(O1S1/S0) =˙−→

j1 Méthode 3 – Calcul de−−−−−−−−−→

V(O1S1/S0).

S1etS0sont en liaison pivot de centreO0, on a donc :−−−−−−−−−→

V(O0S1/S0) =−→

0 . En conséquence,

−−−−−−−−−→

V (O1S1/S0) =−−−−−−−−−→

V(O0S1/S0) +−−−→

O1O0∧−−−−−→

Ω(S1/S0) =−→

0 −a−→

i1 ∧€ α˙−→

k0Š

=˙−→

j1

2013 – 2014

Xavier PESSOLES 2 CI 3 : CIN – Cours

Ch 5 : Cinématique du solide – P

(3)

Sciences Industrielles de l'ingénieur

Question5 Calculer−−−−−→

Ω(S1/S0),−−−−−→

Ω(S2/S1)et−−−−−→

Ω(S2/S0).

Question6

Calculer−−−−−−−−−→

V(G∈S2/S0).

Correction

Calcul de−−−−−−−−−→

V(G∈S2/S0).

On a :

−−−−−−−−−→

V(G∈S2/S0) =−−−−−−−−−→

V(G∈S2/S1) +−−−−−−−−−→

V(G∈S1/S0) Calculons−−−−−−−−−→

V(GS1/S0):

−−−−−−−−−→

V(G ∈S1/S0) =−−−−−−−−−→

V(O1∈S1/S0) +−−→

G O1∧−−−−−→

Ω(S1/S0) =˙−→

j1−€ b−→

i2 +c−→

k2Š

∧€ α˙−→

k0Š

−−−−−−−−−→

V(G∈S1/S0) =˙−→

j1+˙sin(β+π/2)−→

j1+˙sinβ−→

j1=α˙ a+bcosβ+csinβ−→

j1 Par ailleurs calculons−−−−−−−−−→

V(G∈S2/S1):

−−−−−−−−−→

V(G ∈S2/S1) =−−−−−−−−−→

V(O1S2/S1) +−−→

G O1∧−−−−−→

Ω(S2/S1) =−€ b−→

i2 +c−→

k2Š

∧€ β˙−→

j1Š

=−β˙€ b−→

k2c−→

i2Š

Au final,

−−−−−−−−−→

V(G∈S2/S0) =α˙ a+bcosβ+csinβ−→

j1β˙€ b−→

k2c−→

i2Š

Il est aussi possible de calculer−−−−−−−−−→

V(G∈S2/S0)ainsi :

−−−−−−−−−→

V(GS2/S0) =

–d−−→

O0G d t

™

R0

Question7

Calculer−−−−−−−−−→

Γ(O1S2/S0).

Correction

Question8

Calculer−−−−−−−−→

Γ(G∈S2/S0).

Correction

Références

[1] Centrifugeuse humaine – CNRS Photothèque/Sébastien Godefroy et MEDES, Avio et Tiger,http://www.medes.fr/

home_fr/fiche-centrifugeuse/mainColumnParagraphs/0/document/Presentation%20centrifugeuse%

2018.12.07.pdf.

2013 – 2014

Xavier PESSOLES 3 CI 3 : CIN – Cours

Ch 5 : Cinématique du solide – P

Références

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