G 1914. À l'instar de Dédé **
Zig fait comme Dédé le petit cochon de la Française des Jeux qui joue au jeu de l’oie en grattant des dés.
Au prix de 8 €, il achète un ticket sur lequel figurent 12 dés à gratter et il gratte autant de dés qu’il le souhaite, chaque dé faisant apparaître l’un quelconque des numéros de 1 à 6 avec la même probabilité.
Si le numéro 1 n’apparaît pas, Zig récupère en euros la somme des numéros grattés. À l’inverse, il a perdu.
Existe-t-il un nombre de cases à gratter qui lui permet d’optimiser son espérance de gain (ou de réduire son espérance de perte) ?
Solution proposée par Michel Lafond.
Si Zig utilise la stratégie Sk définie par "Je gratte k dés" indépendamment du score obtenu, alors la probabilité de ne pas obtenir le 1 est auquel cas le gain est en moyenne égal à 4k
[4 est la moyenne de 2, 3, 4, 5, 6].
L’espérance de gain de Sk est dont le tableau de valeurs est :
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3,33 5,56 6,94 7,72 8,04 8,04 7,81 7,44 6,98 6,46 ---
L’espérance est maximale pour k = 5 ou 6 et vaut rentabilisant le prix du billet.
Mais S5 ou S6 n’est pas la stratégie optimale.
En effet, si par exemple au bout de 4 grattages, Zig a obtenu 6 + 6 + 6 + 6 = 24 il a évidemment intérêt à s’arrêter.
Inversement, si au bout de 5 grattages, Zig a obtenu 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 il a intérêt à continuer.
Il est clair que c’est le score obtenu après k grattages qui doit dicter la conduite future.
Supposons qu’après k grattages, le score obtenu (sans avoir gratté le 1) soit - Ou bien on s’arrête et le gain est ;
- Ou bien on gratte encore un dé, et on obtiendra 1 une fois sur 6 et en moyenne 4, cinq fois sur 6.
L’espérance de gain (si on s’en tient là) est
La décision de gratter encore un dé est judicieuse si et seulement si
Je pense que la meilleure stratégie est S définie par
"Tant que mon score est inférieur à 20, je gratte"
(Si le 1 ne sort pas, le score atteindra au moins 20 en au plus 10 grattages).
Je n’ai pas calculé la valeur exacte de l’espérance de gain, mais j’ai fait 5 simulations de 106 jeux avec la stratégie S, et obtenu les gains moyens suivants : 8,136 8,136 8,152 8,146 8,129
Ces moyennes sont significativement supérieures à la moyenne de S5 ou S6 : 8,038.
