D 7 UNE DÉMONSTRATION ANTIQUE DE LA RELATION DE PYTHAGORE
Déjà connue des Babyloniens (on a retrouvé une tablette d’argile prouvant que un siècle avant Pythagore, les Babyloniens connaissaient une quinzaine de triangles rectangles à côtés « entiers »), cette relation fut démontrée par Pythagore il y a environ 2 600 ans.
Cette relation devait aussi être connue des Égyptiens, dont les arpenteurs utilisaient une corde à nœuds pour construire des angles droits, et fut étudier en Chine, en Perse et en Inde.
Cette relation a reçu des dénominations très diverses dont « maître des mathématiques » au moyen-âge ou « pont-aux-ânes » au début du vingtième siècle.
Voici un exemple de démonstration antique avec des raisonnements de géométrie pure.
A partir du triangle PYT rectangle en P on construit trois carrés portés par chacun des côtés du triangle :
T
P Y
A
H
E R
O G
J est un point de la droite (AY), K est un point de la droite (TH) et les droites (LK) et (TY) sont parallèles.
T
P Y
A
H
E R
O G
K L
J
1 2
3 4 5
On pave le carré YTHA avec les pièces 1, 2, 3, 4 et 5 des carrés YGOP et TPRE.
Or :
Aire du carré YTHA est égale à YT × YT soit YT2 Aire du carré YGOP est égale à PY × PY soit PY2 Aire du carré TPRE est égale à TP × TP soit TP2 Donc :
YT2 + PY2 = TP2
