AMÉNAGEMENT DES CHUTES D'EAU : SUR LA STABILITÉ DES BARRAGES RECTILIGNES

LA HOUILLE BLANCHE

R E V U E G É N É R A L E D E S E M P L O I S C O O R D O N N É S

D E L ' É N E R G I E H Y D R A U L I Q U E E T D E L A H O U I L L E N O I R E

NOUVELLE SÉRIE. — VINGTIÈME ANNÉE c A i i m m p - C'esl la coordination des emplois de nos Forces

„ ... T M I i A - i a (vii - S O M M A I R E N ° 1/1 hydrauliques et de noire Charbon qui rendra'son N» 171. — Juillet-Août 1921 indépendance à l'Industrie française.

S u r la Stabilité des Barrages rectilignes (BELLET, Ingénieur civil). — L a Théorie d u R e n d e m e n t é c o n o m i q u e m a x i m u m d'une conduite forcée e n métal et le calcul rationnel,de ses éléments (Paul P.-E. PAPADOPOULO, Ingénieur E . P. Z.).

Sous-Stations automatiques d e Transformation (V. SYLVESTRE, Ingénieur A . M . et I. E . G . ) . — L ' A l u m i n i u m et son Application aux Lignes électriques ( M . DUSAUGEY, Ingénieur civil des Mines).—Alliages légers d'aluminium (suite) C o m m a n d a n t J. DYBION, mécaniques et métallurgiques d e l'Institut polytechnique de l'Université d e Grenoble) - L e Rachat des Concessions d e ancien élève d e l'Ecole polytechnique. — L e s principaux Aciers de Construction (P. DEJEAN, Directeur d u Laboratoire des Essais Chutes d'Eau (Paul BOUGAULT, Avocat à la C o u r d'Appel de L y o n ) . — Documentation. — R e v u e s étrangères. — Informations.

AMÉNAGEMENT DES CHUTES D'EAU

S U R L A S T A B I L I T É

DES

BARRAGES RECTILIGNES

La « Question d u C h a r b o n » qui s'était anxieusement posée pour n o u s p e n d a n t la dernière guerre, d'abord a u point de v u e d e la quantité, pais ensuite à celui d u prix de revient, a m o n t r é , n o n seulement l'Intérêt m a i s encore la nécessité qu'il y avait, p o u r n o u s autres Français, à pousser le plus rapidement possible l ' a m é n a g e m e n t intensif d e n o s chutes d'eau. L e v o y a g e q u e le C h e f de l'Etat a fait r é c e m - ment dans la vallée d u R h ô n e , de Bellegarde à A v i g n o n , montre l'intérêt q u e les Pouvoirs publics attachent mainte- nant à celle question d e l'utilisation d e n o s ressources e n houille blanche.

Il reste é v i d e m m e n t encore b e a u c o u p à faire d a n s cette voie ; mais c o m m e les premières chutes qui o n t été a m é n a - gées ont été celles qui paraissaient le plus facilement utilisa- bles, et avec le meilleur r e n d e m e n t , il s'en suit q u e celles qui restent sont, et seront d e plus e n plus difficultueuscs à mettre e n valeur. Plusieurs installations m ê m e n ç seront é c o n o m i q u e m e n t possibles q u e si l'on crée d'importants

r~-—

I'ASQUIEH ...

SYLVESTRE. .

I

réservoirs p o u r parer, d a n s u n e certaine m e s u r e , a u x insuf- fisances de débit à certaines époques d e l'année. O r , ces insuffisances ont été particulicreniient mises e n évidence a u cours d u dernier hiver, lequel a été caractérisé d a n s l'en- s e m b l e d u pays par u n e sécheresse d'une exceptionnelle durée, ce qui n'a pas élé sans apporter d e sérieuses pertur- bations dans plusieurs réseaux de distribution d'énergie hydro-électrique.

-Aussi la création d e vastes réservoirs régulateurs s'imposc- t-elle d e plus e n plus. Mais c o m m e le n o m b r e des lacs a m é - nageables est relativement restreint, c'est à la construction de g r a n d s barrages qu'il faudra avoir recours. Cette ques- tion des barrages est d o n c d e plus e n plus d'actualité.

11 pouvait sembler q u e , avec la m é t h o d e Maurice LÉVY, la question d e la stabilité des barrages rectilignes e n m a ç o n - nerie n e pouvait plus être mise e n doute.

Maurice L é v y avait e n effet d é m o n t r é , dans ses c o m m u - nications à l'Académie des'Scienccs des 5 août i8o5 et /» juil- let 1898, q u e , e n appliquant a u x divers joints horizontaux d'un barrage triangulaire la m é t h o d e ordinairement e m - ployée.en Résistance des Matériaux p o u r Je calcul d'une p o u - tre drOilc^ncastréc à u n e d e ses extrémités et libre à l'autre, o n obtenait, p o u r les pressions normales et langcnlielles, des valeurs satisfaisant rigoureusement à la'théorie m a t h é - m a t i q u e d e l'élasticité. ,

D a n s notre série d'articles sur les barrages, parus d a n s

P R I N C I P A U X A R T I C L E S 3 D B S N U M É E O S P R O C H A I N S

. Appareils répartiteurs de charge à c o m m a n d o élec- triquepourleréglage.dos ressorts de locomotives.

. Les Redresseurs à vapeur do mercure et leurs ap- plications-à l'électrification des Chenins de fer.

SYI.VIOSTIUV Los Postes de Transformation en plein air, à 120.000 volts des. Usines de Loudenvcllc et Bordèrcs- Louvron, dans les Pyrénées.

J. WiLiu-xM... L ' A m é n a g e m e n t des forces hydrauliques du bassin du Verdon.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1921031

La Houille Blanche, de 1905 à 1907 n o u s avions insisté sur l'exactitude de la m é t h o d e L é v y , aussi bien pour" le pro- fil triangulaire à p a r e m e n t a m o n t vertical que, p o u r celui à p a r e m e n t a m o n t incliné.

Plus r é c e m m e n t , d a n s les Annales des Ponis-et-Chaussées de mai-juin 1917, M . PIGEAUD, étudiant les barrages à profil triangulaire, avait également vérifié l'exactitude des résul- tats obtenus avec la .méthode L é v y .

C e p e n d a n t , dans u n e étude parue d a n s les Annales des P&its-U-Chaussées, d e mars-avril 1919, feu M . l'inspecteur

•général RÉSAL est v e n u contester la légitimité d e la m é t h o d e L é v y , et préconiser u n e nouvelle m é t h o d e de calcul.

Etant d o n n é l'autorité qui s'attache a u n o m d e M . Résal, o n peut, à première v u e , rester à b o n droit perplexe sur le choix à faire entre d e u x m é t h o d e s patronées p a r d e u x ingé- nieurs aussi éminents. Mais c o m m e , ainsi qu'on le verra plus loin, la m é t h o d e Résal s'appuie sur u n e hypothèse qui n'est qu'imparfaitement vérifiée p a r la théorie m a t h é m a t i q u e de l'élasticité ; c o m m e , d'autre part; l'objection soulevée con- tre la légitimité d e la m é t h o d e L é v y n'est qu'apparente, il en résulte crue' la m é t h o d e L é v y doit être incontestablement préférée à celle d e M . Résal.

Il est, d'ailleurs, possible d'arriver a u x m ê m e s résultats q u e la m é t h o d e L é v y e n calculant directement les pressions développées d a n s u n barrage triangulaire, p a r la seule con- sidération des principes généraux d e la m é c a n i q u e ration- nelle et de la théorie m a t h é m a t i q u e d e l'élasticité.

I

Calcul direct des efforts moléculaires développés dans un barrage rectiligne à profil triangulaire.

Considéré a u point d e v u e le plus général, u n barrage est u n e construction hyperstatique encastrée sur trois d e ses côtés. Mais lorsque ce barrage est rectiligne — o u d u m o i n s établi e n plan avec u n e courbure suffisamment faible p o u x qu'il puisse être assimilé à u n m u r rectiligne -— et de g r a n d e longueur, o n peut, sans g r a n d e erreur, négliger les réactions tangentielles des encastrements latéraux, tout a u m o i n s à partir d'une certaine distance,des extrémités. Sous réserve d e ce qui sera dit plus loin a u sujet des variations de température d a n s le corps d e l'ouvrage, la question se réduit alors à u n simple p r o b l è m e d'élasticité à'deux d i m e n - sions, car toutes les forces qui agissent sur l'ouvrage, tant, à l'intérieur qu'à la surface, restant-les m ê m e s par raison de symétrie lorsqu'on se' déplace le long d e l'axe longitudinal de cet ouvrage, leur variation est nulle suivant cet axe.

Isolons par la pensée, d a n s le corps d u barrage, u n e tran- che verticale ayant l'unité de, l o n g u e u r c o m m e épaisseur et, d a n s le plan m é d i a n d e cette tranche, p r e n o n s d e u x axes de coordonnées rectangulaires Sa; et S y passant par le s o m - met, S d u barrage; l'axe S y étant vertical et l'axe SJ; horizon- tal. D é s i g n o n s par u et v les intensités des actions m o l é - culaires normales, respectivement horizontale et verticale, qui agissent parallèlement a u plan xSy, ainsi q u e par l l'intensité de l'action, moléculaire tangcntielle correspon- dante, horizontale o u verticale. E n prenant le m è t r e c o m m e unité d e longueur, l, u et v seront exprimées e n tonnes par m è t r e carré.

(1) Voit- n o t a m m e n t La Houille Blanche de mai, juillet et août ioo5 •

janvier et mars 1906. ' ' Voir aussi notre ouvrage : Barrages en maçonnerie et murs de Réser-

voirs, Grenoble 1907 (aujourd'hui épuisé).

D a n s le cas considéré, les équations générales d'équilibre d u parallélipipède intérieur se réduisent ici, e h considérant les compressions c o m m e positives, et e h désignant par 3 la

densité de la m a ç o n n e r i e : dv di_ =

dy dx

du dj_ q

dx dy (I)

S u r la surface des p a r e m e n t s , il n e s'exerce a u c u n effort tahgenticl (pour autant d u m o i n s q u e ces p a r e m e n t s n e sup- portent a u c u n remblai terreux\ d e sorte q u e l'un et l'autre de ces p a r e m e n t s constitue l'une des d e u x directions prin- cipales, l'autre lui étant perpendiculaire. Si d o n c l'on dési- g n e p a r p la pression extérieure n o r m a l e à l'un de ces p a r e m e n t s , et p a r q la pression intérieure parallèle à ce p a r e m e n t , p et g seront les d e u x pressions principales sur ces parements.

L a pression n o r m a l e , n et l'effort langentiel tt agissant sur u n élément d e section faisant u n angle w avec l'un des pare- m e n t s , auront d o n c p o u r valeur :

: p cos? w + q s i n2 t. ±,(p —- g) sin « COS 0)

La pression n o r m a l e nx parallèle à cet élément aura pour

valeur : . 9 .,

11, =p sin-2 w + q cos- a.

Il est facile d'avoir sur les p a r e m e n t s les valeurs de t el d e u e n fonction d e v, soit e n les déduisant d e ces trois rela- tions, soit e n écrivant les équations d'équilibre des forces appliquées sur les côtés d'un élément d e p r i s m e à base triangulaire, dont l'un, des' côtés coïncide avec l'un o u l'au- tre p a r e m e n t . Si d o n c l'on désigne par /? l'angle de l'un ou l'autre p a r e m e n t avec la verticale, o n a, e n fonction de v : à l'amont

à l'aval :

t = (p — D')tg&.

t" — v" tg j32

ri=p+(v'-p)W$u

u " = u " t g2i 22 1

L a pression m a x i m a /V" à l'aval a p o u r valeur : N"=q» = v" (i + t g2P3) .

Suivant les d i m e n s i o n s d u profil, la pression m a x i m a A".

sur le p a r e m e n t a m o n t v a u d r a N'=p,

o u bien „„ , , , . , 9 „

N'=q'=v'+(v' — p) l g2r V

Si les dimensions d u profil sont telles q u e l'on ait q=p o h a n='n^l et t^l = o, quel q u e soit w . O n a aussi t)' = «'=p.

S u r u n joint horizontal quelconque,^011 a, e n outre, en désignant par F la résultante des forces extérieures horizon- tales, et par V celle des forces verticales :

ftdx = F J vdx = V (III) E n outre des pressions n o r m a l e s u et v, qui agissent dans le plan a;Sy, il e n existe u n e "troisième, q u e n o u s appelle- rons w, et q u i est dirigée perpendiculairement a u x deux précédentes et parallèlement à l'axe longitudinal z de l'ou- vrage. Celte pression w est produite p a r d e u x causes bien distinctes.

T o u t d'abord, sous l'action des pressions u c t u , l'unité de l o n g u e u r d'un élément q u e l c o n q u e d u barrage tend-à se dilater, parallèlement à l'axe z, d e la quantité (d + v) jl^>

e n désignant par E le coefficient d'élasticité longitudinale, et p a r 7 le coefficient d e dilatation transversale. Mais, c o m m e cette dilatation ne' peut se faire librement, à cause d e la fixité des extrémités de l'ouvrage, il se développe lo»-

L A H O U I L L E B L A N C H E ¹²³ gitudinalement u n effort moléculaire to^x d e compression,

qui est tel q u e le raccourcissement qu'il tend à produire compense iustement cette, t e n d a n c e ' à la dilatation.

O n a d o n c : w^{1 =} (u + v) j.

Pour le béton, la valeur m o y e n n e d u coeffipient j est d'environ 0,20 p o u r les taux d e pressions a d m i s dans les ouvrages en m a ç o n n e r i e n o n a r m é e .

D'autre part, toute variation 9 d e la température de la maçonnerie, par rapport à la température initiale de cons- truction, tend à a u g m e n t e r , o u à d i m i n u e r , la longueur de l'ouvrage. Celle-ci étant supposée invariable, il se développe encore ù n effort intérieur iv² d e compression, o u d e tension, pour la m ê m e raison q u e ci-dessus.

E n désignant par T le coefficient d e dilatation linéaire de la maçonnerie, o n a d o n c : w^a = ± T E.9

T variede o,8 à 1,2 x i o ~⁵, et E de 1 à h x i o⁵ k g s par c m², de sorte q u e l'on a a p p r o x i m a t i v e m e n t u>2 = 2o à 3o tonnes par mètre carré p o u r c h a q u e degré centigrade: de variation de température.

E n hiver, surtout si le réservoir est vide, 10, + iOj peut devenir u n e tension, d'où la. formation de fissures trans- versales.

Par contre, p e n d a n t les fortes chaleurs d e l'été, w peut, dans certains, cas, atteindre u n e valeur, considérable, sur- passant notablement la compression m a x i m a N" d u e à la seule action d e i, a et v. C'est sous l'effet d e portes pres- sions w q u e certains ouvrages reçtilignes d e g r a n d e lon- gueur présentent e n été u n . f l a m b e m e n t très caractérisé^).

E n réalité, 6 varie avec c h a q u e point d e l'ouvrage sous l'effet de diverses causes qui varient elles-mêmes avec le temps, m a i s p o u r n e point c o m p l i q u e r outre m e s u r e la question, n o u s supposerons provisoirement q u e 9 reste constant dans le sens longitudinal, et qu'il varie tout a u plus d'une m a n i è r e linéaire dans le plan xSy, d e m a n i è r e à oc que les équations (I) restent applicables, et q u e w puisse satisfaire à la I V^e condition générale ci-après.

E n outre des trois conditions générales précitées, les fonc- tions représentatives d e u et v doivent satisfaire à u n e qua- trième condition, déduite des conditions générales, dites de L a m é , q u e d o n n e la théorie m a t h é m a t i q u e de l'élasticité, et qui peut s'écrire ici, d'après ce qui précède (²) :

' d

d

\ d

, d2

R e m a r q u o n s , avant d'aller plus loin q u e les équations (I), (II) et (III), sont a b s o l u m e n t générales, ét applicables quel- les que soient les propriétés élastiques des matériaux e m - ployés, car elles dérivent des seules lois d e la m é c a n i q u e rationnelle.

H n'en est plus tout à fait d e m ê m e p o u r l'équation (IV), car elle suppose expressément q u e les matériaux satisfont à la loi de Ilooke et qu'ils sont partout h o m o g è n e s et isotro-

(1) O n trouvera, dans les Annales des Travaux' Publics de Belgique, d'avril I9I2, une étude de M . DENTL, sur les effets thermiques dans les ouvrages en maçonnerie, ainsi qu'une note de M . THONET, sur la propa- gation de la chaleur dans les m u r e .

(?) Celte condition a été énoncée pour la première fois, sous sa forme 1 une, dans la théorie des barrages, par Maurice Lévy dans sa c o m m u - nication i l'Académie dos Sciences d u 2 m a i iStjS ; aussi l'appelle-t-on (juoquefois condition de Maurice Lévy. O n trouvera une démonstration

( C 0 0 1 1 0 condition dans La Houille Blanche, de janvier 1906.

pes.'Or, ces conditions ne: sont pas exactement remplies. E n effet, la m a ç o n n e r i e n'est ni h o m o g è n e ni isotrope, car elle est c o m p o s é e d'éléments différents, pierre, s a b l e^H liant, ayant des propriétés élastiques différentes, et qui soiit irré- gulièrement c o m b i n é s ; d e plus, la loi d e H o o k e n'est pas intégralement satisfaite, l'es déformations n'étant pas rigou- r e u s e m e n t proportionnelles a u x efforts p o u r les pierres et le béton C¹).

Mais, s'il est vrai q u e les déformations n e sont pas rigou- r e u s e m e n t proportionnelles a u x efforts, il s'en faut, n é a n - m o i n s d'assez p e u , et si l'homogénéité n'est point parfaite, o n peut cependant considérer l'ouvrage c o m m e sensible- m e n t h o m o g è n e dans son e n s e m b l e , d e sorte q u e si l'équa- tion (IV) n'est plus aussi rigoureuse q u e les équations (I), (II) et (III), o n peut admettre qu'elle est suffisamment approchée p o u r les besoins de la pratique.;D'ailleurs, a u c u n e théorie n e serait possible sur ce sujet si l'on voulait s'en tenir à l'absolu.

Cette r e m a r q u e et ces réserves étant faites, n o u s avons dès m a i n t e n a n t tous les éléments nécessaires p o u r calculer

directement les efforts n o r m a u x et tangentiels développés dans u n barrage rectiligne à profil triangulaire, d e hauteur indéfinie, p o u r lequel le niveau de l'eau coïncide, avec le s o m m e t d u m u r , sans avoir à faire désormais d'autre h y p o - thèse préalable q u e celle q u e n o u s avons signalée ci-avant à

propos des variations d e la température dans le corps d e l'ouvrage.

11 est d'abord bien évident q u e la condition (IV) est satis- faite si l'on prend p o u r t, u cl v des fonctions h o m o g è n e s d u premier degré en x et y. O n peut d o n c admettre a priori q u e t, u et u sont de la f o r m e ay+ bx, puis vérifier q u e l'on peut aussi satisfaire a u x conditions (I), (II) et (III). C'est précisément ce qu'avait fait M . PICEAUD, c m 1917. Mais o n peut se d e m a n d e r s'il n e serait pas possible de trouver d'au- tres fonctions représentatives de t, a et v. C'est ce qu'il importe de rechercher.

P o u r cela, o n peut e m p l o y e r la m é t h o d e dont n o u s n o u s s o m m e s déjà servi dans L a Houille Blanche d e m a r s 1906 p o u r obtenir, dans le cas d u profil rectangulaire, des expres- sions de J, u et v satisfaisant à la théorie m a t h é m a t i q u e d e l'élasticité (²).

Cette m é t h o d e consiste à développer la fonction repré- sentative de v suivant u n e série a u x puissances croissantes de x :

v=F(x,y)=A + Bx+Çx* + Dx» + Kxⁱ + Jx< + . .. (1)

.dans laquelle A, B, C, etc., sont des fonctions de y indépen- dantes d e x.

Les fonctions représentatives d e t et d e u sont également des séries a u x puissances croissantes d e x, dont les coeffi- cients sont, à cause des relations générales (I), les dérivées

(1) Pour le béton, le coefficient de dilatation transversale varie, non seulement avec l'intensité de la pression, mais encore avec la direction de cette pressiom. Il augmente en m ê m e temps que l'effort, et est plus grand lorsque cet effort est parallèle à la plus grande dimension des graviers o u cailloux que lorsqu'il lui-est perpendiculaire.

(2) Dans son récent traité, « Résistance des Matériaux et Elasticité », M . Pigeaud a indiqué une autre méthode qui conduit, d'ailleurs, a u m ê m e résultat, basée sur l'emploi des coordonnées polaires et sur, la résolution d'une équation différentielle du second ordre. Nous y ren- voyons le lecteur.

premières el secondes, par rapport à y, des fonctions A,~B,'C, etc.

/„ + (5—A')x dt,

^ 2 -V»3

f>' C' •

v,

dJ* ^{+ A} T + * ' t T + ^C" < T 2 +

(2)

u„ et l^a représentant les valeurs d e u et d e i p o u r œ = o . C e sont des fonctions de y q u e V o n détermine o n fonction de A', B'... A", B"en écrivant q u e les conditions généra- les (II) sont satisfaites sur les p a r e m e n t s .

E n écrivant m a i n t e n a n t q u e la condition générale (IV) doit être satisfaite quel q u e soit x et y, o n obienl d e nou- velles équations de, liaison entre les fonctions A, B, C , etc.

2 C + 2 A " + ^ 4 ° = 0

dy* 0 B'^v (3)

2 0 J + 2 / ) " +

6 0

P o s o n s p o u r simplifier : c = tg $^t ç = tg (3² (4) Sur les p a r e m e n t s , o n a : x = — j/ C? et a¹" — + y ç E n écrivant q u e : /" — t' = v" ; + s — s o n élimine /„, et l'on obtient u n e nouvelle relation d e con- dition entre les fonctions A, B, C , etc.

C o m m e cette relation contient les termes 8y (a + s) et y<r qui n e peuvent être nuls tous les d e u x à la fois, o n voit i m m é d i a t e m e n t qu'elle n e pourra être satisfaite, quel q u e soit y, q u e si tous ses autres termes sont également d u pre- m i e r degré e n y. Ceci i m p o s e la condition q u e A soit d u premier degré e n y, sans terme: constant, que. B se réduise à u n e constante, et q u e les fonctions C , D, etc., soient, ou bien nulles, o u bien égales à i/y, i/y², etc.

E n écrivant - m a i n t e n a n t q u e : t' -\- t' — v" ç — v' s -\- y s

et u" + u = v" ç² + v' é + y (1 — s²)

o n voit q u e tⁿ et u⁰ doivent être é g a l e m e n t d u premier ,. . dtç du⁰ degré e n y, ce qui entraîne la condition q u e ^ et

soient des constantes.

O n a alors :!A" = 0 B" = 0 d e sorte q u e : C — 0 D = 0

d X

dy*

K 0 0

d%

dy*

Il reste d o n c s i m p l e m e n t p o u r de la f o r m e :

u cl v des expressions

v = a^ly -f- b^{x u = a^y + b*x t = a^xy + b³x (5) Les conditions générales (1) d o n n e n t i m m é d i a t e m e n t :

o³ = — Zj² 6³ = S — «⁴ (6)

Les quatre équations des conditions générales (II) vont n o u s d o n n e r les quatre relations nécessaires p o u r détermi- ner les quatre coefficients a\, o², b^x, b².

Sur le p a r e m e n t a m o n t , o ù x'= — <ry, n o u s devons avoir, e n s u p p r i m a n t d e part et d'autre le facteur c o m m u n y .

a,) 7 = (.1 — «i + <&! s) s

- 6 0 — ( 5

«0 è² a 1 + («, ^{1),2 )}

S u r le p a r e m e n t aval, o ù x" — + ç t/ :

— è² + (5 — a⁴) ? = («1 + 6i? ) ç o² + 6⁸- ; = (a, + bi) ç²

(7)

(8)

E n c o m b i n a n t entre, elles ces quatre équations, o n en lire :

« 1

bç,

9 ! .'2 •

01 — R ~ > R -T-

2 G² ç2

Î;(C — 0

2 s² C C

(s + = )³ 2 ç³ c

(° + ç )³

+ +

(?

+ ?)

3'ç + a

+

+

«⁸( ç - ° > 2 s e (* + ç )³

^ (9)

Les premiers m e m b r e s d e c h a c u n e d e ces formules corres- p o n d e n t a u poids propre de. l'ouvrage ; les seconds m e m - bres représentent l'action d u poids d e l'eau qui agit sur k p a r e m e n t a m o n t ; enfin les derniers m e m b r e s correspondent à la poussée horizontale d e l'eau.

O n vérifie facilement q u e les coefficients ci-dessus satis- font a u x conditions (III). O n vérifie n o t a m m e n t q u e l'effort tranchant T qui agit sur u n e section horizontale quelconque est nul sous l'action des charges verticales,' qu'il s'agisse du poids propre d u m u r , o u d u poids d e l'eau qui agit sur le p a r e m e n t a m o n t , d e sorte q u e l'effort tranchant total se réduit toujours à F=ih,'y².

Il est à r e m a r q u e r q u e le coefficient 5^X est égal au rap- port. M/I d u m o m e n t fléchissant M agissant sur u n joint horizontal quelconque a u m o m e n t d'inertie 1 correspondant à ce joint, rapport qui reste constant d a n s le cas qui nous occupe, quelle que soit la profondeur y.

Les pressions v' el v" sur les p a r e m e n t s ont p o u r valeur

v = U + 7-7-T01 y

Les valeurs des. coefficients a et b, ainsi q u e celles des pressions v' et v" ainsi trouvées directement sont les m ê m e s , m a ï s exprimées d'une m a n i è r e différente, q u e celles données par Maurice L é v y d a n s sa c o m m u n i c a t i o n à l'Académie des Sciences d u 4 juillet 1898 et q u e celles q u e n o u s avions indiquées jadis, dans La Houille Blanche d e m a i igo5, en c o m m e n t a n t la m é t h o d e d e la courbe des pressions. Il s'en suit q u e les anciennes m é t h o d e s d o n n e n t d o n c bien des résultats exacts p o u r l'ensemble d u corps d u barrage.

Lorsque le p a r e m e n t a m o n t est vertical, <j = o, el l'on retrouve i m m é d i a t e m e n t les formules bien c o n n u e s :

oy — U t g²

y N' y +

REMARQUE I. — D a n s ce qui précède, n o u s avons supposé q u e la variation 0 de lempératurc, par rapport à la tempéra- ture initiale lors.de la construction, restait constante dans le sens longitudinal, o u variait, tout a u plus linéairement d'un p a r e m e n t à l'autre, o u de la base a u s o m m e t . E n réa- lité, il n'en est pas rigoureusement ainsi.

L'inexactitude d e la seconde hypothèse n e permet, plus la simplification d e la condition (IV), et celle d e la première

dw ,

iaJl q u e n est pas réellement n u l et q u e les équations

générales (I) n e sont plus aussi simples, d e sorte que l'a répartition de l, u et v n'est plus tout à fait celle qui a été trouvée. C e p e n d a n t , la perturbation ainsi introduite sera généralement assez faible, m a i s à la condition toutefois que

L A H O U I L L E B L A N C H E 125

— soit également faible. D a n s certains e m p l a c e m e n t s , il dz

pourra n'en être pas toujours ainsi, surtout d a n s le voisi- nage d u s o m m e t lorsque le réservoir sera vide ; les f o r m u - les précédentes n e devront plus alors être considérées q u e c o m m e des approximations.

REMARQUE II. — - S i l'on désigne par -o et par c, les c o m p o - santes suivant S y et Sa; d u d é p l a c e m e n t élastique d'un point quelconque d u barrage, d o n t les coordonnées sont x et y, les raccourcissements partiels A y et àx éprouvés par les côtés d y el dx d'un parallélipipède situé e n ce point seront :

cIy; , v-

E dy a'y + b'x

dx Jb II

(10)

Si l'on n e considère q u e le d é p l a c e m e n t relatif d'une sec- lion plane par rapport à celui d'une autre section plane infiniment voisine, distante d e d y , o u . d e dx,'• p o u r laquelle /, u et v n e diffèrent q u e d'un infiniment petit, o n voit q u e les déformations A y , o u A x , varient linéairement lorsqu'on se déplace sur cette section. Les choses se passent c o m m e si l'une de ces sections planes étant fixe, l'autre s'était, défor- m é e en restant plane. D ' o ù la" conformité des résultats obtenus par la m é t h o d e directe et par les m é t h o d e s basées sur le principe hypothétique d e la conservation des aires planes, p o u r ce qui concerne les efforts moléculaires.

Mais si l'on considère le d é p l a c e m e n t lolal d'une section par rapport à u n élément fixe quelconque d e l'ouvrage, o n trouve q u e les déplacements \ et -q n e varient plus linéaire- ment, m a i s bien suivant u n e fonction d u second degré e n x el en y.

E n intégrant les équations (10), il vient en effet :

V2

E(r,—rl0) = a %- + b'xy + X

E{\- ,, x2

-.0) • dxy + b' -g + Y

X étant u n e fonction d e x indépendante de y et Y u n e fonc- tion de y indépendante d e x. O n les détermine d e m a n i è r e à ce qu'elles satisfassent à la condition suivante, quels q u e soient x et.y :

condition qui est satisfaite avec :

X = (6'3 - a") ±- - CHx Y = (a', — 6') f - + CHy Les constantes C , £0, rl0 se déterminent par la condition qu'un élément particulier d e l'ouvrage reste invariable. N o u s admettrons, avec Maurice" Lévy. q u e , a u centre d e la base, l'élément plan horizontal reste invariable, c'est-à-dire q u e , p o u r : y = U e t x —

9.

o n ait 0 0 £Lr< = 0

ce. qui d o n n e : C=b' -f- {K~ à")

D ' u n e m a n i è r e générale, cl m ê m e e n négligeant l'action d u e à w, qui est d'ailleurs faible lorsque .l'on n e fait pas intervenir la température, la valeur d u d é p l a c e m e n t horizon- tal $m, des divers points de Ja fibre m o y e n n e est plus g r a n d e q u e celle d e la flèche correspondante / calculée par la m é - thode usuelle de la Résistance des Matériaux, c o m p t e tenu de l'effort tranchant, sauf toutefois lorsque le profil est symétrique (<r=ç), o ù il y a alors sensiblement équivalence.

P o u r la flèche d u s o m m e t S, la différence entre ç0 cl. /„

a u g m e n t e avec les dimensions d u profil. Très faible lorsque l'angle a u s o m m e t est petit, elle pourrait atteindre 5o % d e

£0 lorsque cet angle devient très grand. D a n s le cas d u profil usuel, o ù o- = o et c = i environ, la llèche. f0 n'est q u e les 3/4 de Ç0 O ) .

II

Efforts développés à la base.

Les formules q u e n o u s v e n o n s d'établir l'ont été e n sup- posant qu'il s'agissait d'un massif triangulaire indéfini, alors que, e n réalité, le barrage n e peut avoir qu'une hauteur limitée. L a théorie précédente resterait bien encore appli- cable si le massif triangulaire réel A reposait sur u n massif de fondation illimité B , c o m p o s é des m ê m e s matériaux, et f o r m a n t le p r o l o n g e m e n t naturel d u profil A ; m a i s e n pra- tique, il n'en est pas ainsi.

Si le massif de fondation B est bien illimité, il est c o m p o s é d e matériaux différents ; il est, s o u m i s sur ses pare- m e n t s • à des forces extérieures différentes ; et s o n profil présente, par rapport à celui de A , u n e b r u s q u e variation.

U est d o n c i m m é d i a t e m e n t évident q u e ce massif d e fonda- tion n e réagira pas de la m ê m e façon q u e d a n s le cas IhéO' rique susvisé, et q u e la distribution des efforts de réaction qui s'exerceront sur le joint de séparation des massifs A cl, B n e sera plus la m ê m e q u e celle qui avait été p r é c é d e m - m e n t trouvée p o u r les actions moléculaires développées sur u n joint h&rizontal quelconque dans l'hypothèse d'un profil indéfini.

Il s'en suif d o n c q u e les formules précédentes n e sont plus exactes à-la base de l'ouvrage, cl n e doivent, par suite, être considérées q u e c o m m e conduisant à. u n e simple approxi- m a t i o n d a n s le voisinage de celte base. C'est ce q u e les remarquables expériences d e M M . WIJ.SON cl GOBE, faites

(i) Sous l'effet d u m o m e n t fléchissant M, 1« libre m o y e n n e S G se déforme suivant uni arc de cercle qui lui est langent en G contre de In

El

buse, et, dont le rayon a pour valeur p = • — , eu désignant par -f

' M cos y 'angle que fait cette libre m o y e n n e S G a\ec la verticale.

Le déplacement. M M ' = ' - — Icos y M > i l l t q"cJçonq<w M de, S G doit satisfaire à la relation (p /• y2, /ir-f/Y-

cos y,' \ n o H Y /

C o m m e l'on peut négliger /- devant /' , on en tire immédiatement

r-

Sous l'effet de l'effort tranchant, la fibre m o y e n n e subit une nouvelle déformation, dont la composante. hc-monUle /" a pour valeur :

Pour le calcul pratique de la flèche, il faut faire intervenir seulement l'action de l'eau, sans tenir compte d u poids propre de l'ouvrage qui reste invariable une fois la construction terminée.

C o m m e o + c est voisin de l'unité, o n voit, que /" est du mêriie ordre de grandeur que /', et ne peut plus être considérée c o m m e négligeable.

sur des m o d è l e s réduits de barrages e n caoutchouc, ont par- faitement m i s e n évidence C¹) .

La figure i ci-joinlc représente l'un d e ces modèles d e barrage, dont les faces latérales étaient libi'cs, .et sur lcs-

U

I I P * " " " "

Fig. 2

quelles avaient été tracés u n certain n o m b r e d e traits d e repère. S u r cette figure, les lignes pointillées indiquent la f o r m e primitive d u profil, ainsi q u e la position des traits d e

(i) M M . W I L S O N cl. G O U K onl rendu compte de leurs expériences dans un mémoire inséré dans les Procee.di.ngs oj the Institution 0/ Civil Engi- neers, de Londres, volume C L X X I I , 1908. Nous en avons donné u n com- mentaire détaillé dans La Houille Blanche, de janvier 1909, auquel.nous renvoyons le lecteur.

Lo mémoire de. M M . Wilson et G o rc ne donnait, les résultats observés que pour le cas où la pression de l'eau agissait sur le parement amont, mais passait sous silence le cas du barrage ue travailla.iil que sous son propre poids, le réservoir étant vide. Celte lacune a élé comblée depuis dans une noie succinitc, relatant ces expériences, et publiée par leurs auteurs'dans le n u m é r o d'avril 1909 de The Central, organe de l'Asso- ciation des Anciens Elèves d u London Central Technical Collège, d'où sont extraites les figures ci-jointes.

repère avant l'application des forces représentatives du poids d u barrage et d e la poussée d e l'eau, tandis q u e les .lignes pleines se rapportent à la position d u m o d è l e en

charge après déformation.

Les figures a et 3 m o n t r e n t c o m m e n t varient les efforts moléculaires observés sur le joint d e séparation d u barrage p r o p r e m e n t dit et d e son massif d e fondation, la figure a se rapportant a u cas d u réservoir vide et la figure 3 à celui d u réservoir plein.

Les ellipses qui sont représentées à la partie supérieure de ces ligures représentent les ellipses des actions molécu- laires développées en divers points de cette base, et dont les axes représentent les actions principales e n grandeur et direction.

Les courbes supérieures représentent les pressions verti- cales v, et les courbes m é d i a n e s les pressions horizontales u, le cisaillement étant représenté par les courbes inférieures.

N o u s rappellerons q u e , p o u r l'ensemble d u barrage, les courbes' représentatives d e t, u et v sont bien sensiblement des lignes droites, et q u e , s'il n'y avait-pas e u d e modifi- cation dans la répartition des efforts développés à la base, o n eut d ù avoir p o u r la pression v' en charge, a u pied du p a r e m e n t a m o n t , u n e notable compression, égale à o,/|5 //,

soit a u /1/10 d e la 'pression m o y e n n e , a u lieu d'une trac-

tion nettement caractérisée.

La fia'urc 3 m o n t r e que, dans le cas d u bai-rage en charge, il v a augmentation de la pression verticale v à l'intérieur par rapport a u tra- pèze, l'écart m a x i m u m parais- sant coïncider avec , le point d e passasre d e la courbe des pressions, tandis qu'il y a di- m i n u t i o n vers les parements, surtout à l'amont. C'est exac-

tement l'inverse qui se pro- duit p o u r le cas d u barrage travaillant à vide.

P o u r l'effort tangentiel t, qui v a e n croissant d e l'amont vers l'aval, les courbes s'écar- tent p e u d a n s leur ensemble de la ligne droite. E n charge, o n note cependant u n e légère dépression centrale, avec ren- forcement d e l'effort unitaire a u x extrémités, surtout à l'amont, o ù l'on constate u n effort positif très accusé (2). A vide, o n constate u n léger effort- tangentiel positif, presque constant, sauf vers le parement a m o n t ' o ù l'on observe u n effort négatif très accusé.

A v e c la théorie ordinaire, la pression horizontale u aurait d û être sensiblement nulle à vide, et constante e n charge.

Les figures 2 et 3 m o n t r e n t qu'il n'en est pas ainsi dans la réalité. C'est d'ailleurs p o u r la pression horizontale e n charge q u e la perturbation est la plus g r a n d e , surtout à l'amont.

Fig. 3

(2) Il est. probable, c o m m e nous l'avons pioulré en 1909, que i"' sérail sensiblement nul au pied a m o n t du barrage et que la pression u' obser- vée y correspondrait sensiblement à la pression théorique, si cette pas- sion théorique y était égale à celle H de l'eau qui, dans ces expériences, agissait également sur la paroi supérieure horizontale du massif*, fondation, en avant d u parement amont.

F.g I

L A H O U I L L E B L A N C H E ^{127 -} Dans ces expériences, les faces latérales des modèles

étaient libres, et pouvaient, p a r suite, se déformer tout à leur aise. O n avait d o n c w = o. Mais, si la grandeur des déformations se trouve modifiée p a r rapport a u cas d'un barrage réel dont les extrémités sont fixes, cela n e c h a n g e rien au m o d e d e répartition des pressions qui, à ce point de vue, reste le m ê m e dans les cjjeux cas.

III

Cas limite d'une base de largeur infiniment grande.

Lu considération d u cas particulier d'un barrage ayant une largeur infiniment grande, n e peut é v i d e m m e n t pré- senter a u c u n intérêt a u point, de v u e pratique. Il n'en est, toutefois, pas d e m ê m e au- point de v u e théorique.

C'est précisément e n s'appuyant sur l'objection suivante, que M . Résal a été a m e n é à établir sa nouvelle théorie, et à critiquer celle de M . Maurice Lévy.

«.Considérons, dit-il,-im m u r , triangulaire avec p a r e m e n t

" a m o n t vertical ayant 100 mètres d e hauteur et 10 kilo.mè-

« très d'épaisseur à la base. L'angle P,,dont la valeur exacte

« est 8 9⁰ 25'37", diffère très p e u d e A u pied d u pare- il m e n t a m o n l , le travail v' = H cotg² p cst.de 1 g r a m m e par

« centimètre carré (pour l'action d e l'eau seule). A u pied d u

« parement aval, le travail N" — II (1 + cotg² p) s'élèverait à

« 10 kgs par c m². O n décuplerait, o n centuplerait l'épaisseur

« à la base, ainsi portée à 100 k m s , e l à t.000 k m s , q u e ce

« chiffre d e 10 k g s n e subirait a u c u n e atténuation, alors

« que, sur le p a r e m e n t a m o n t , la fatigue diminuerait de

« 99 % , puis d e 9999 ° /^{0 0 0} ».

Et M . Rés,al concluait : « Il paraît superflu d'insister sur

« l'absurdité d e ce résultat ».

Ce résultat peut, e n effet, paraître quelque p e u absurde à première, v u e , surtout lorsqu'une pareille affirmation est faite par M . Résal. C e p e n d a n t , il est permis d e se d e m a n d e r s'il n'y a pas là q u ' u n e simple apparence.

Remarciuons tout d'abord q u e , sur le p a r e m e n t aval, la pression verticale v" a la m ê m e valeur, m a i s changée de signe, q u e la pression v' sur le p a r e m e n t a m o n t . Toutes deux diminuent par suite d e la m ê m e façon lorsque p a u g m e n t e , pour s'annuler e n m ê m e t e m p s à la limite lorsque P = 9o°.

R e m a r q u o n s , e n outre, q u e l'effort d e cisaillement i, nul à l'amont, et égal à II cotg'/? à l'aval, v a c o n s t a m m e n t en diminuant lorsque 8 a u g m e n t e , p o u r devenir également nul à la limite lorsque P = 9o°.

Ceci n o u s a m è n e tout naturellement à r e m a r q u e r q u e la pression m a x i m a N" sur le p a r e m e n t aval tend d e plus en plus à se confondre avec la pression horizontale u". Ceci est, d ailleurs, bien évident, car cette pression m a x i m a N" étant parallèle a u p a r e m e n t aval, tend à devenir horizontale, et à se confondre par suite avec u", lorsque P se rapprochant d p 9°°, ce p a r e m e n t aval tend l u i - m ê m e à devenir horizontal.

Or, dans k, profil triangulaire à. p a r e m e n t a m o n t vertical, la pression horizontale u reste constante et égale à H, sur (ouïe la largeur d'un joint horizontal quelconque, quelle q u e soit la largeur d e ce joint. Il n'y a d o n c rien d'étonnant à ce que N", crui tend à se confondre avec u", n e varie plus sen- siblement lorsque p tend vers sa limite r./?..

Y> autre part, Mi Résal n'a, par m é g a r d e , considéié a u pied du parement a m o n t q u e la pression verticale y'. O r , dans ce

Cfis particulier, oelte pression v' correspond sur ce p a r e m e n t

à la pression m u û m a , alors q u e la pression m a x i m a y est précisément représentée par la pression horizontale u', q u i est égale à II, tout c o m m e la pression maxima N" envisagée, à l'aval.

II se trouve d o n c q u e , contrairement à ce qu'écrivait M . Résal, la fatigue se trouve u n i f o r m é m e n t répartie sur toute la largeur d e la base, et n e varie pas plus à l'amont qu'à l'aval lorsqu'on fait croître la largeur d e la base. Il y a là u n e propriété curieuse, fort p e u . é c o n o m i q u e il est vrai, m a i s n o n absurde, d u profil triangulaire.

P o u r ce qui est de l'action de la pesanteur, les formules (9) d o n n e n t partout : «.=0, t = o, «=83', lorsque P² est voisin de 9 0⁰.

E n r é s u m é , sous l'action c o m b i n é e de la pesanteur et d e la poussée d e l'eau, o n a, sur toute l'étendue d'un m ê m e joint horizontal : ï = o, u = y, v = oy.

D a n s tout ce qui précède, le p a r e m e n t a m o n t était supposé vertical. Mais lorsque <j n'est pas nul, et a u n e valeur finie, les résultats auxquels conduisent les formules (9) sont u n p e u différents, et l'on a : v = cy.

t = _ (5 |)a y u = y + 5 (3 - 1) fy + (8 - 1) a x Lorsque P, devient égal à 9 0⁰, le p a r e m e n t aval vient se confondre avec l'horizontale d u s o m m e t , et tous ses points ont p o u r ordonnée y = o. O n a alors, sur toute l'étendue de ce p a r e m e n t , v"-o, i" = o, ainsi q u e cela doit être. P a r con- tre, "u", nui va e n croissant avec x varierait d e o jusqu'à l'in- fini, m ê m e pour y = o, ce qui paraît p e u vraisemblable.

Enfin, si s devenait l u i - m ê m e infiniment g r a n d , les d e u x parements se confondraient avec l'horizontale d u s o m m e t cl auraient tous d e u x p o u r ordonnées y = o. L a pression p = y agissant sur le p a r e m e n t a m o n t se réduirait, ici, à o. O n devrait d o n c retrouver les valeurs d e (, u et v correspondant à u n massif rectangulaire indéfini, s o u m i s à la seule action de s o n propre poids, c'est-à-dire q u e l'on devrait partout avoir l = o, 11 = 0, v = ly. O r , les formules (9) d o n n e n t , ici, des valeurs bien différentes.

Ces formules n e sont d o n c plus applicables ici, o ù a et s sont tous d e u x infinis, alors qu'elles l'étaient encore lorsque l'on avait d = o.

Ceci n'a, d'ailleurs, rien d'étonnant, car si l'on se reporte a u x relations générales (II), ainsi qu'aux équations (7) et (8) qui e n dérivent, o n voit q u e ces relations n e peuvent d o n - ner d e valeurs finies p o u r / et u qu'autant q u e 5 o u ç ont également des valeurs finies.

Si P²= g o ° , o n a ift — a, et l" = ox oc , u" — ox.oc , d e sorte q u e d e u x des conditions (II) sont indéterminées.

Si d e plus, P, = 90°, o n a r/ = o, l' = o x oc et u' = o x °c , Les conditions (II) n'existent plus alors, puisque leurs quatre relations particulières sont toutes indéterminées, et il serait parfaitement illogique de vouloir e n déduire quelques con- clusion? valables p o u r la suite.

Ainsi qu'on pourra s'en rendre c o m p t e , la m é t h o d e d e M . Résal se confond entièrement avec la m é t h o d e L é v y lors- q u e (7 = ç. Il s'en suit q u e cette m é t h o d e d o n n e , dans ce der- nier cas, exactement les m ê m e s résultats q u e ceux indiqués ci-dessus, c'est-à-dire q u e cette m é t h o d e est, ici, tout,autant e n défaut q u e les autres.

IV

Méthode Résal.

M . Résal ayant cru constater -que la m é t h o d e L é v y t o m - bait e n défaut p o u r les grandes épaisseurs, a i m a g i n é u n e autre m é t h o d e , qu'il a appelée méthode rationnelle, sur laquelle n o u s allons dire quelques m o t s .

E X P O S É D E L A M É T H O D E . — Cette-méthode.consiste essen- tiellement à calculer les pressions développées sur des sections transversales, n o n plus horizontales, m a i s perpen- diculaires à la libre m o y e n n e , c'est-à-dire à la bissectrice de l'angle des d e u x p a r e m e n t s .

M . Résal explique ainsi le choix d e ces sections : « L e prin-

« .cipe d e la conservation des aires planes, dit-il, s'applique

« exclusivement à la section transversale théorique, dont le

« plan a p o u r trajectoire orthogonale le lieu géométrique de

« son centre d e gravité. Q u i c o n q u e s'aviserait d'envisager,

<( dans le calcul d'une poutre, o u d'un arc, des sections u obliques à l'axe longitudinal, n'obliendrait'que des résul-

« lats faux et incohérents. O r , c'est précisément la faute de

« principe qui entache la m é t h o d e usuelle de calcul des

« m u r s de réservoir ».

Considérons d'abord u n massif triangulaire indéfini A S C (fig. 4 ) , dont le p a r e m e n t a m o n t S A est vertical, eL m e n o n s la bissectrice S G, ainsi q u ' u n e d e ses perpendiculaires T U . L e triangle T S U ,cst isocèle et sa base T U a p o u r largeur, en désignant p a r y la profondeur S T, par X la longueur S G , et par P = 2 a l'angle a u s o m m e t S :

e = 2 y

sin

Les pressions n' et n", n o r m a l e s à la section T U , auront p o u r valeur, e n T et e n U :

P ^P M

" P 1 r ^M e e1

P désignant la c o m p o s a n t e n o r m a l e de l'effort total qui agit sur la section T U , et M le m o m e n f fléchissant correspondant.

Lorsque le réservoir est vide, le massif n'est sollicité q u e par son propre poids i\, qui est appliqué en V , a u tiers de S G el c o u p e le joint T U e n \¹ a u tiers d e T G. O n a d o n c :

p⁰ = v^{ c o s a — ly^% c o s² a sin a M⁰ — p⁰ g Il e n résulte: n'⁰ = 2 • £°- = oy c o s² a et < = 0

d'où : — f - = °y

cosz a

et

Lorsque le réservoir est plein jusqu'au s o m m e t S, la résul- tante des pressions exercées par l'eau sur le p a r e m e n t a m o n t est u n e force horizontale F^lt appliquée e n F a u tiers infé- rieur de S T , qui rencontre la, section T U a u point F¹ tel

q u e l'on a : ^;

G F⁴ = TFj — T G

1

3

sin

„ . v- sin a Pi = fiS M A = A - 9 —

M, = /jxGE= p, X GF

Il en résulte

1 —

d'où :

4 sin

a

"1

cos* a

„ cos g

y ni y 4 si n 2 a

# tg

a = — # cotg

p

n y

cos

1 —

cos

*

sin

(3

- / V ' W » « - : #CO S? .

cos» P

tg

O r , si l'on r e m a r q u e q u e l'on a

SK = SU cos

et

„ SK ,

„ SK

•tg

p sin

p

SK

tg²j3 O n voit d o n c q u e , jusqu'ici, il y a identité complète entre les expressions v', v" et N" auxquelles o n arrive, aussi bien par les anciennes m é t h o d e s q u e par celle d e M . Résal (*).

Mais ce qui précède n'est é v i d e m m e n t applicable q u e jus- qu'à la section oblique qui aboutit a u pied A d u parement a m o n t sur le sol d e fondation. P o u r la partie inférieure A B C d u m u r (fig. 5 ) , M . Résal i m a g i n e d e prolonger p a r la pen- sée le profil d u barrage jusqu'au joint incliné fictif B D qui aboutit a u pied B d u p a r e m e n t aval, et il calcule les pres- sions développées sur les joints obliques, c o m p r i s entre A G et B D , e n supposant q u e la partie A D d u p a r e m e n t amont, prolongé dans le sol, n'est s o u m i s e à a u c u n effort, normal o u tangentiel.

(1) M . Résal le reconnaît expressément, mais il a soin de faire remar- quer q«e cette coïncidence est purement accidentelle, et est due à ce que l'ouvrage est soumis à la pression hydrostatique qui varie propor- tionnellement à la profondeur au-dessous de la crête, et qu'il n'en serait plus de m ê m e pour u n m u r à profil triangulaire sollicité par une charge répartie différemment. A titre .d'exemple, M . Résal a calculé les valeurs de v' et de JV" pour le cas où la pression qui agit sur le parement a m o n t reste constante. Il y a désaccord manifeste entre les résultats trouvés par sa méthode et par la- méthode usuelle. Mais la théorie mathé-, matique de l'élasticité conduit encore a d'autres résultats, ainsi que la montré M . TESSIEK, dans le fascicule V (octobre-novembre) des Années des Ponts-et-Chaussêes de 1920.

E n réalité, dans te cas qui nous occupe, les pressions varient linéaire- m e n t sur une section quelconque, horizontale o u inclinée, parce que cela est conforme avec la théorie mathématique de l'élasticité, mais pour cela seulement.

L A H O U I L L E B L A N C H E ! ^{m —} Pour ce qui est d e l'action d e la pesanteur seule, les résul-

tats trouvés ci-dessus restent é v i d e m m e n t encore valables, et jl y a encore concordance entre la nouvelle m é t h o d e et les anciennes, m a i s il n'en est plus d e m ê m e p o u r ce qui con- cerne l'action d e l'eau.

La résultante des pressions exercées par l'eau sur le pare- ment a m o n t reste toujours appliquée e n F^; a u tiers d e S À , quelle q u e soit la position d e la section oblique considérée, et si H représente la hauteur S A d u barrage sur sa fonda- tion, on a toujours 2 F=lP = C^ie.

SX

-,^77777777

Fi

5

Pour u n joint oblique tel q u e T U', c o u p a n t le p a r e m e n t amont e n T', à la profondeur y=H + h, o n a :

Pi =

h

La poussée horizontale f² c o u p e le joint T' U' a u point F², tel que l'on a :

G F2 = T F 2- T G _ j^-r-a

Le m o m e n t fléchissant a, par suite, p o u r valeur : ,, „ 3 y c o s² a — 2 7 /^r„

M ⁹ = p ^t X G F ⁸ = — g H-

Sur le joint oblique* e x t r ê m e B D , o ù if = S D = S B = ~~rrr^

o n a :

G c o s (3 Il e n résulte e n D :

et en B , à la base aval :

n , — n,-

d'où en posant

n: = a H

s i n² g ^{v' = A} H cos g

4 sin² a

\ — 4 sin* a 4 s i n² a

H

t g²g

A = \ — Â s i n⁴ a

Le coefficient A représente le-coefficicnt d e réduction par lequel il faut multiplier la valeur d e la pression A?" à la base déduite de la m é t h o d e usuelle, p o u r retrouver la valeur d e la pression correspondante q u e d o n n e la m é t h o d e Résal.

D a n s la pratique courante, o ù 6 = 2 a est c o m p r i * entre 4.0 et 45°, le coefficient A est c o m p r i s entre 0,940 et o,gi4, m a i s il s'abaisse à 0.76 et m ê m e à o,3?. p o u r B = 6o° o u 8o°. U tend d'ailleurs, vers zéro lorsque 8 tend vers 9 0⁰.

P o u r les divers points U ' compris entre C et B , le coeffi- cient A' correspondant varie d e 1 à A.

L a valeur d u cisaillement horizontal t devrait théorique- m e n t , d'après ce qui précède, être nulle e n À , et être égale à 1/2 N" sin 8 e n B , n é a n m o i n s , à cause de la fixité d e la base A B sur la fondation réelle, M . Résal pensait qu'il doit e n être autrement. « A nôtre sentiment, dit-il, le travail d e glis- s e m e n t l doit être égal à la pression hydrostatique H, a u pied A d u p a r e m e n t a m o n t , et se réduire à zéro a u pied B d u p a r e m e n t aval ». Il reconnaissait, toutefois, q u e cette m a n i è r e d e voir est a b s o l u m e n t contraire à l'opinion généra- lement professée à ce sujet, et avouait qu'elle était malaisée à justifier par des faits d'observation.

A d m e t t a n t d o n c q u e i" est, nul e n B , M . Résal envisageait le retranchement d e la pointe aval B d u massif triangulaire c o m m e n e p o u v a n t porter a u c u n e atteinte à la solidité d u barrage. E n conséquence, il proposait d e terminer le pare- m e n t aval par u n e courbe G R se raccordant avec ce pare- m e n t u n p e u e n dessous d u point C , et venant se terminer

sur la 'fondation, perpendiculairement à A R. Plus simple- m e n t m ê m e , o n pourrait terminer b r u s q u e m e n t le p a r e m e n t aval pa>r u n p a n c o u p é vertical, tangent en R à la courbe G R .

OBSERVATIONS SUR LA MÉTHODE RÉSAL. — N o u s v e n o n s d e

voir q u e la m é t h o d e Résal conduisait a u x m ê m e s résultats q u e les autres m é t h o d e s usuelles p o u r les parties d u barrage situées au-dessus d u joint oblique A C . Si d o n c l'on consi- dère, e n particulier le joint horizontal qui passe par le point C , o n peut dire qu'il paraît bien étrange q u e les anciennes m é t h o d e s , qui d o n n e n t des résultats exacts i m m é d i a t e m e n t au-dessus d u point C , puissent e n d o n n e r subitement d e faux p o u r les points i m m é d i a t e m e n t au-dessous d e ce m ê m e point C , alors qu'il n'y a absolument rien d e c h a n g é , ni dans la f o r m e d u profil, ni dans les forces .appliquées. Si d o n c ces m é t h o d e s sont exactes au-dessus d u point G , elles doivent l'être encore au-dessous.

P o u r la m é t h o d e Résal. a u contraire, il y a u n c h a n g e m e n t radical dans les forces appliquées, lorsque l'on passe d'un côté à l'autre d u joint oblique A G, puisqu'elles t o m b e n t b r u s q u e m e n t d e H à o. Il se pourrait d o n c bien q u e celle m é t h o d e , exacte au-dessus d u joint A C , n e le,soit plus en dessous de ce m ê m e joint. O r , il se trouve, précisément, q u e la m é t h o d e Résal satisfait, bien c o m p l è t e m e n t à la théo- rie m a t h é m a t i q u e d e l'élasticité p o u r les parties d u profil qui sont au-dessus d e A G, m a i s qu'elle n'y satisfait plus cri des- sous de ce joint p o u r ce qui regarde l'action de l'eau, ainsi qu'il est facile d e le démontrer.

P r e n o n s d e u x axes de coordonnées rectangulaires S-/ et SX, l'axe X passant par la bissectrice d e l'angle a u s o m m e t S. O n a alors : X = y cos a et e = 2 X tg a.

S u r u n joint oblique quelconque,, la pression n, n o r m a l e à ce joint, obtenue par la m é t h o d e Résal, aura p o u r valeur :

M

P o u r l'ensemble du'barrage travaillant sous la seule action d e la pesanteur, ainsi q u e p o u r la partie de l'ouvrage travail- lant au-dessus d u joint A C sous l'action de l'eau, la pression