Limites
Table des matières
I Langage des limites 2
I.1 Limite d’une fonction en un pointa . . . 2
I.2 Limite d’une fonction en l’infini . . . 3
II Limites des fonctions usuelles 5 III Opérations sur les limites 5 III.1 Limite d’une somme . . . 5
III.2 Limite d’un produit . . . 6
III.3 Limite d’un quotient . . . 7
III.4 Comparaisons . . . 7
III.5 Compatibilité avec l’ordre . . . 8
III.6 Compositions . . . 8
IV Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées 9 IV.1 Cas des polynômes . . . 9
IV.2 Cas des fractions de polynômes . . . 9
IV.3 Autres cas . . . 10
I Langage des limites
I.1 Limite d’une fonction en un point a
Définition 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle I etaun réel ou une borne deI. Lorsque le réel x s’approche de a, si les nombresf(x)deviennet de plus en plus
➤ proches d’un réel l, on dit que f à pour limite len aet on note lim
x→af(x) =l .
➤ grands, on dit quef a pour limite+∞ en aet on note lim
x→af(x) = +∞.
➤ grands en valeur absolue et négatifs, on dit quef a pour limite−∞enaet on note lim
x→af(x) =−∞. Dans le cas où la limite en avaut ±∞, on dit que la droite d’équationx=aest une asymptote verticale à la courbe représentative Cf.
Exemple 1
"Visualisation" de limites en un point :
f(x) =√
x+ 3 + 1
1 2 3
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6
−1
b
xlim→−3f(x) = 1
Il n’y a pas d’asymptote.
f(x) = 1 (x−2)2
1 2 3 4 5
−1
−2 1 2 3 4 5 6
−1
xlim→2f(x) = +∞
La courbe admet une asympyote verticale d’équationx= 2.
f(x) = 1 x+ 2
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1
−1
−2
−3
−4
−5
−6 lim
x→−2−
f(x) =−∞
La courbe admet une asympyote verticale d’équationx=−2.
Remarque 1
Certaines fonctions n’admettent pas de limite ena.
Par exemple, la fonction f(x) = |x|
x définie surR∗ n’admet pas de limite en 0 :
• sur R∗−,f(x) =−x
x =−1 donc, lim
x→0−
f(x) =−1,
• sur R∗+,f(x) =x
x = 1 donc, lim
x→0+f(x) = +1.
I.2 Limite d’une fonction en l’infini
Définition 2
Soitf une fonction définie au moins sur[a; +∞[. Lorsque le réelxprend des valeurs de plus en plus grandes vers +∞, si les nombres f(x) deviennent de plus en plus
➤ proches d’un réel l, on dit que f a pour limite len +∞ et on note lim
x→+∞f(x) =l.
➤ grands, on dit quef a pour limite+∞ en +∞ et on note lim
x→+∞f(x) = +∞.
➤ grands en valeur absolue et négatifs, on dit que f a pour limite −∞en +∞ et on note
x→+∞lim f(x) =−∞.
Dans le cas où la limite en +∞ est l, on dit que la droite d’équation y=lest une asymptote horizontale à la courbe représentative Cf.
Exemple 2
"Visualisation" de limites en+∞:
f(x) = 1 x+ 3+ 2
1 2 3
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6
−1
x→+∞lim f(x) = 2
La courbe admet une asympyote horizon- tale d’équationy= 2.
f(x) =x2
1 2 3
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6
−1
x→+∞lim f(x) = +∞ Il n’y a pas d’asymptote.
f(x) = 1−x2
1 2 3
−1
−2
−3
−4
1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
x→+∞lim f(x) =−∞
Il n’y a pas d’asymptote.
Remarque 2
Certaines fonctions n’admettent pas de limite en l’infini : par exemple les fonctions cosinus et sinus.
Définition 3
Soit f une fonction définie au moins sur ]− ∞;a]. Lorsque le réel x prend des valeurs de plus en plus grandes en valeur absolue et négatives vers −∞, si les nombres f(x) deviennent de plus en plus
➤ proches d’un réel l, on dit que f a pour limite len −∞ et on note lim
x→−∞f(x) =l.
➤ grands, on dit quef a pour limite+∞ en −∞et on note lim
x→−∞f(x) = +∞.
➤ grands en valeur absolue et négatifs, on dit que f a pour limite −∞en −∞ et on note
x→−∞lim f(x) =−∞.
Dans le cas où la limite en −∞est l, on dit que la droite d’équation y=lest une asymptote horizontale à la courbe représentative Cf.
Exemple 3
"Visualisation" de limites en−∞:
f(x) = 1 x−3 + 1
1 2 3
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6
−1
x→−∞lim f(x) = 1
La courbe admet une asympyote horizon- tale d’équationy= 1.
f(x) =x2
1 2 3
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6
−1
x→−∞lim f(x) = +∞ Il n’y a pas d’asymptote.
f(x) = 1−x2
1 2 3
−1
−2
−3
−4
1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
x→−∞lim f(x) =−∞
Il n’y a pas d’asymptote.
Définition 4
Soit f une fonction telle que lim
x→±∞[f(x)−(ax+b)] = 0, on dit alors que la droite d’équationy =ax+b est une asymptote oblique à la courbe représentative Cf en ±∞.
Exemple 4
Soitf la fonction définie surR∗ parf(x) = 1 x+1
2x+ 1.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3
−1
−2
−3
−4
x→+∞lim
f(x)− 1
2x+ 1
= lim
x→+∞
1 x
= 0.
La courbe admet une asymptote oblique d’équationy= 1 x+ 1.
II Limites des fonctions usuelles
Voici un tableau qui résume les différentes limites des fonctions de référence :
f(x) limite en
x x2 x3 1
x
1 x2
1 x3
√x 1
√x sin(x) cos(x)
x→−∞lim f(x) −∞ +∞ −∞ 0− 0+ 0− indéfini indéfini aucune aucune
xlim→0−
f(x) 0− 0+ 0− −∞ +∞ −∞ indéfini indéfini 0 1
xlim→0+
f(x) 0+ 0+ 0+ +∞ +∞ +∞ 0+ +∞ 0 1
x→+∞lim f(x) +∞ +∞ +∞ 0+ 0+ 0+ +∞ 0+ aucune aucune
III Opérations sur les limites
Dans tout ce qui suit, la notation "FI" désigne une Forme Indéterminée, c’est à dire qu’on ne sait pas calculer par une opération élémentaire.
La notation "∗" signifie qu’il faut appliquer la "règle des signes".
III.1 Limite d’une somme
lim f l l +∞ −∞ −∞
lim g l′ ±∞ +∞ −∞ +∞
lim (f+g) l+l′ ±∞ +∞ −∞ FI
Exemple 5
Calcul de "sommes" de limites :
➔ lim
x→0 x = 0
xlim→0 x3 = 0
xlim→0 x+x3
= 0.
➔ lim
x→−∞
1
x = 0−
x→−∞lim x2 = +∞
x→−∞lim 1
x+x2
= +∞
➔ lim
x→+∞ x = +∞
x→+∞lim x2 = +∞
x→+∞lim x+x2
= +∞.
➔ lim
x→−∞
x = −∞
x→−∞lim x3 = −∞
x→−∞lim x+x3
=−∞.
➔ lim
x→−∞ x2 = +∞
x→−∞lim x3 = −∞
x→−∞lim x2+x3
est une forme indéterminée .
Remarque 3
Ces résultats englobent le cas de l’addition de constante, puisqu’on peut alors choisir une fonction f constante, dont la limite est partout cette constante.
Exemple 6
Addition d’une constante :
➔ lim
x→0+
1
x = +∞
x→0+lim 3 = 3
xlim→0+
1 x+ 3
= +∞
➔ La courbeCf admet donc une asymptote verticale d’équationx= 0.
III.2 Limite d’un produit
lim f l l6= 0 ±∞ 0
lim g l′ ±∞ ±∞ ±∞
lim (f ×g) l×l′ ∗∞ ∗∞ FI
Exemple 7
Calcul de "produit" de limites :
➔ lim
x→0(x+ 3) = 3
x→0lim (x−1) = −1
x→0lim [(x+ 3)×(x−1)] =−3.
➔ lim
x→0+(x−3) = −3
x→0lim+ 1
x = +∞
xlim→0+
(x−3)×1 x
=−∞
➔ lim
x→−∞(x−1) = −∞
x→−∞lim x3 = −∞
x→−∞lim [(x−1)×x3] = +∞.
➔ lim
x→−∞(x2+ 1) = +∞
x→−∞lim 1
x = 0−
x→−∞lim
(x2+ 1)× 1 x
est une forme indéterminée .
Remarque 4
Ces résultats englobent le cas de la multiplication par une constante, puisqu’on peut alors choisir une fonction f constante, dont la limite est partout cette constante.
Exemple 8
Multiplication par une constante :
➔ lim
x→+∞ −2 = −2
x→+∞lim x2 = +∞
x→+∞lim (−2x2) =−∞.
III.3 Limite d’un quotient
lim f l l l ±∞ ±∞ 0
lim g l′ 6= 0 ±∞ 0 l′ ±∞ 0
lim f
g
l
l′ 0 ∗∞ ∗∞ FI FI
Exemple 9
Calcul de "quotients" de limites :
➔ lim
x→0(x+ 3) = 3
xlim→0(x−2) = −2
xlim→0
x+ 3 x−2
=−3 2.
➔ lim
x→+∞
1 x−3
= −3
x→+∞lim x2 = +∞
x→+∞lim 1
x−3 x2
= 0−.
➔ lim
x→0+ x−4 = −4
xlim→0+ x = 0+
xlim→0+
x−4 x
=−∞.
➔ lim
x→0+
1 x−3
= +∞
xlim→0+(x−1) = −1
x→0lim+ 1
x−3 x−1
=−∞.
➔ lim
x→−∞(x−1) = −∞
x→−∞lim x3 = −∞
x→−∞lim x−1
x3
est une forme indéterminée.
➔ lim
x→0 x2 = 0
x→0lim
√x = 0
x→0lim x2
√x
est une forme indéterminée .
Remarque 5
Ces résultats englobent le cas de la division par une constante, puisqu’on peut alors choisir une fonctionf constante, dont la limite est partout cette constante.
Exemple 10
Division par une constante :
➔ lim
x→+∞(x−2) = +∞
x→+∞lim 5 = 5
x→+∞lim
x−2 5
= +∞.
III.4 Comparaisons
Soient deux fonctionsu etv définies dur I dont on connaît les limites en +∞ etf une fonction.
On a le tableau suivant :
limite connue comparaison, pourxassez grand limf(x)
x→+∞lim u(x) = +∞ f(x)≥u(x) lim
x→+∞f(x) = +∞
x→lim+∞ u(x) =−∞ f(x)≤u(x) lim
x→+∞ f(x) =−∞
x→+∞lim u(x) = 0 f(x)−L≤u(x) lim
x→+∞ f(x) =L
x→lim+∞ u(x) = lim
x→+∞ v(x) =L u(x)≤f(x)≤v(x) lim
x→+∞ f(x) =L Le dernier cas constituent le théorème des gendarmes.
Exemple 11
➔ Pour toutx∈R+∗, −1
x ≤ sinx x ≤ 1
x.
➔ Or, lim
x→+∞
−1 x
= lim
x→+∞
1 x
= 0 donc : lim
x→+∞
sinx x
= 0.
III.5 Compatibilité avec l’ordre
Propriété 1
Soientf etgdeux fonctions telles quef(x)≤g(x) pour toutx∈I, alors pour toute limite finie def et g, on a :
limf(x)≤limg(x).
On dit dans ce cas que l’inégalitéf(x)≤g(x) passe à la limite.
III.6 Compositions
Propriété 2
Soient deux fonctions : f définie deI dans J etg deJ dansR. Si lim
x→af(x) =b
xlim→bg(x) =c
alors lim
x→a(g◦f)(x) = lim
x→ag[f(x)] =c.
Exemple 12
Calcul de "composition" de limites :
➔ lim
x→−∞(x+ 3) = −∞
X→−∞lim
X2 = +∞
x→−∞lim (x+ 3)2= +∞.
➔ lim
x→+∞(2x+ 1) = +∞
x→+∞lim 1
X = 0+
x→+∞lim 1
2x+ 1
= 0+.
➔ lim
x→0(x+ 4) = 4 lim √
X = 2
xlim→0
√x+ 4 = 2.
IV Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées
Dans ces cas, toutes les situations sonta prioripossibles : existence d’une limite finie, nulle ou non ; existence d’une limite infinie ; absence de limite.
Seule une étude particulière permet de lever l’indétermination.
Rappelons pour commencer les cas d’indétermination des limites :
limf(x) limg(x) Limite indéterminée type d’indétermination
+∞ −∞ f(x) +g(x) ∞ − ∞
0 ±∞ f(x)×g(x) 0× ∞
0 0 f(x)
g(x)
0 0
±∞ ±∞ f(x)
g(x)
∞
∞ IV.1 Cas des polynômes
Les indéterminations en ±∞sont levées par une factorisation de la puissance de xmaximale.
Exemple 13
Indétermination du type "∞ − ∞" :
➔ lim
x→+∞ 3x2 = +∞
x→+∞lim x = −∞
x→+∞lim (3x2−x)est une forme indéterminée du type ∞ − ∞.
➔ On metx2 en facteur :f(x) = 3x2−x=x2
3−1 x
.
➔
x→+∞lim x2 = +∞
x→+∞lim
3− 1 x
= 1
d’où lim
x→+∞f(x) = +∞.
Remarque 6
De manière générale, le comportement d’une fonction polynomiale en±∞est dicté par le comportement de son terme de plus haut degré en ±∞.
IV.2 Cas des fractions de polynômes
Exemple 14
Indétermination du type ∞
∞ :
➔ lim
x→+∞(x2+ 2x+ 1) = +∞
x→+∞lim (2x2−3) = +∞
x→+∞lim
x2+ 2x+ 1 2x2−3
est une forme indéterminée du type ∞
∞.
➔ Pourx6= 0, on factorise par la puissance de xmaximale et on simplifie : f(x) =x2+ 2x+ 1
2x2−3 =x2 1 +x2+x12
x2 2−x32
=1 + x2+x12
2−x32
.
➔ lim
x→+∞ 1 + 2x+x12
= 1
x→+∞lim 2−x32
= 2
x→+∞lim f(x) =1 2.
IV.3 Autres cas
Exemple 15
Indétermination du type "0× ∞" :
➔ lim
x→−∞
1
x = 0
x→−∞lim (x2+ 1) = +∞
x→+∞lim 1
x(x2+ 1)
est une forme indéterminée du type0× ∞.
➔ On développe :f(x) = 1
x(x2+ 1) =x+1 x.
➔ lim
x→−∞ x = −∞
x→−∞lim 1
x = 0−
d’où lim
x→+∞f(x) =−∞.
Exemple 16
Indétermination du type "0 0" :
➔ lim
x→1(x2−1) = 0
x→1lim (x−1) = 0
x→1lim
x2−1 x−1
est une forme indéterminée du type 0 0.
➔ On factorise :f(x) =x2−1
x−1 = (x−1)(x+ 1)
x−1 =x+ 1.
➔ lim
x→1(x−1) = 0 donc : lim
x→1 f(x) = 0.
