Nombres complexes – Aspects géométriques

Nombres complexes – Aspects géométriques

Exercice 1. — Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O ;~u , ~v).

On considère l’application f qui à tout point M d’affixe z non nulle associe le pointM⁰ =f(M) d’affixe z⁰ = z

|z|(2− |z|).

On note C₁ le cercle de centre O et de rayon 1.

Pour tout complexe z non nul, on notez=re^iα, r étant le module dez etα un argument dez.

1. Montrer quez⁰= (2−r)e^iα.

2. Déterminer l’affixea⁰ du point A⁰, image parf du point A d’affixe a= 3.

3. Soit B le point d’affixeb=−√ 3 + i.

a. Écrireb sous forme exponentielle.

b. Déterminer l’affixeb⁰ du point B⁰, image du point B par f.

4. Déterminer l’ensemble E des points M du plan privé du point O dont l’image par f est O.

5. Montrer que le cercleC₁ est l’ensemble des pointsM du plan distincts de O tels quef(M) =M. 6. Pour cette question,M est un point du plan, distinct de O, n’appartenant pas au cercleC₁.

On appelleI le milieu du segment [M M⁰] oùM⁰ est l’image deM par f.

a. Montrer queI appartient àC₁.

b. Montrer queI appartient à la demi-droite [OM).

c. En déduire une méthode de construction du pointM⁰.

Exercice 2. — Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ;~u , ~v).

À tout point M d’affixez du plan, on associe le pointM⁰ d’affixe z⁰ définie parz⁰= (3 + 4i)z+ 5z

6 .

On dira queM⁰ est l’image deM.

1. On considère les points A, B, C d’affixes respectiveszA= 1 + 2i, zB= 1 etzC = 3i.

Déterminer les affixes des points A⁰, B⁰, C⁰ images respectives de A, B, C.

Placer les points A, B, C, A⁰, B⁰, C⁰ sur une figure en prenant 3 cm comme unité graphique.

2. On posez=x+ iy (avec xety réels).

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire dez⁰ en fonction de x ety.

3. On dit qu’un pointM est invariant si M⁰ =M.

Montrer que l’ensemble des pointsM invariants est la droite (D) d’équationy= 1 2x.

Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?

4. Soit M un point quelconque du plan etM⁰ son image. Montrer queM⁰ appartient à (D).

5. a. Montrer que, pour tout nombre complexez : z⁰−z

z_A = z+z

6 + iz−z 3 .

En déduire que le nombre z⁰−z zA

est réel puis que, si M⁰ 6= M, alors les droites (OA) et (M M⁰) sont parallèles.

b. Un point quelconque N étant donné, déduire des questions précédentes un procédé de construction de son imageN⁰. (On étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)).

Effectuer la construction sur la figure pour un pointN quelconque n’appartenant pas à (D).

Exercice 3. — Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ;~u , ~v).

On pose z₀ = 8 et, pour tout n∈N,

z_n+1= 1 + i√ 3 4 z_n. On note, pour tout n∈N,An le point d’affixezn.

1. Déterminer la forme algébrique de z1,z2 etz3. 2. a. Écrire ¹⁺ⁱ

√ 3

4 sous forme exponentielle.

b. En déduire, en raisonnant par récurrence, que, pour toutn∈N,z_n= _2n−3¹ e^inπ3 . 3. Démontrer que la distance OA_n tend vers 0 lorsque ntend vers +∞.

4. a. Existe-t-il des entiers n > 1 tels que A_n appartienne à l’axe des abscisses ? Si oui, les déterminer tous.

b. Existe-t-il des entiers n > 1 tels que A_n appartienne à l’axe des ordonnées ? Si oui, les déterminer tous.

5. Soit n∈N. Démontrer que le triangle OAnAn+1 est rectangle enAn+1. 6. On note, pour toutn∈N,Bn le milieu de [OAn].

a. Déterminer, pour toutn∈N, l’affixetn de Bn. b. On pose, pour toutn∈N,

Z_n= z_n+1 tn

.

Déterminer une forme exponentielle deZn.

c. En déduire que, pour toutn∈N, le triangle OBnAn+1 est équilatéral.

d. Sur une figure, placerA0 puis construire, en utilisant seulement la règle et le compas et sans aucun calcul, les pointsA1,A2 etA3. On laissera apparents les traits de construction.

Exercice 4. — Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ;~u , ~v).

On considère des points A, B, C et D distincts d’affixes respectives z_A,z_B,z_C etz_D tels que :

(zA+zC=zB+zD

z_A+ iz_B =z_C+ iz_D .

Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.

Exercice 5. — Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O ;~u , ~v).

1. Soit Ω un point du plan complexe etθun réel. On noteω l’affixe de Ω. Soit A un point du plan complexe d’affixea. On note A⁰ l’image de A par la rotation de centre Ω et d’angle θ.

Démontrer que l’affixe de A⁰ esta⁰ =ω+ e^iθ(a−ω).

2. Le but de cette question est de montrer que √

3 est irrationnel. Pour cela, on raisonne par l’absurde en supposant qu’il existe deux entiersp etq premiers entre eux tels √

3 = ^p_q. a. Montrer que 3 divisep² puis que 3 divise p.

b. Montrer que 3 diviseq et conclure.

3. Démontrer que les sommets d’un triangle équilatéral ne peuvent pas tous avoir des coordonnées rationnelles.