UBER EINE RIEMANN'SCHE FUNKTIONENKLASSE MIT ZERFALLENDER THETAFUNKTION.

UBER EINE RIEMANN'SCHE FUNKTIONENKLASSE MIT ZERFALLENDER THETAFUNKTION.

V O N

9 r 9 )

IIERMANN SCHLSIACHEI,

AUS R U t I I l O R T .

Einleitung.

~. Als ~)binomiseh>> b e z e i e h n e t m a n die a l g e b r a i s e h e n F u n k t i o n e n y o n z, die v e r z w e i g t sind wie die n t e W u r z e l a u s einer r a t i o n a l e n F u n k t i o n ](z) y o n z.

U n b e s e h a d e t d e r A l l g e m e i n h e i t d a r f mall v o r a u s s e t z e n , dass [(z) eine ganze F u n k t i o n y o n z ist. D e n k t m a n d u r c h eine p a s s e n d e S u b s t i t u t i o n ~. O r d n u n g d e r V a r i a b e l n e t w a i g e V e r z w e i g u n g s p u n k t e im U n e n d l i e h e n v o r h e r beseitigt, so ist d e r G r a d dieser g a n z e n F u n k t i o n y o n z ein M u l t i p l u m y o n n, also e t w a n . m ; ihre N u l l p u n k t e sind d a n n die V e r z w e i g u n g s p u n k t e d e r zu s - - l / / ( z ) g e h 5 r i g e n RIEgAZ~-N'schen F1/iehe.

I n U b u n g e n iiber R I ~ a ~ - ~ ' s e h e Fl/iehen (S. S. i9o5) h a t n u n H e r r P r o f e s s o r D r . WELLSTEI~- d u r e h eine g r u p p e n t h e o r e t i s e h n o r m i e r t e k a n o n i s e h e Z e r s e h n e i d u n g d e r RIEMAN~'sehen F1/iche gezeigt, (lass, u. a. w e n n n, eine P r i m z a h l ist, u~zd / genau n . m verschiedene N u l l p u n k t e hat, die Periodizildt~moduln der Integrale 9 . Gallung des dutch s ~ ~//(z) erzeugten Kdrpers von n u r n . m - - 3 m i t den Ver- zweigungspunkten verdnderlichen M o d u l n abhdngen und zwar im Kdrper der n ten Einheitswurzeln; n . m ~ 3 ist b e k a n n t l i c h a u c h die A n z a h l d e r a b s o l u t e n I n v a - r i a n t e n ; d e n G r u n d dieses Z u s a m m e n h a n g e s h a t H e r r W~LLST]~IZ~" in seiner A r b e i t :

>)Zur F u n k t i o n e n - u n d I n v a r i a n t e n t h e o r i e d e r b i n o m i s e h e n Gebilde,> a n g e g e b e n , t E s w a r n u n v o n I n t e r e s s e , die y o n H e r r n WELLSTEiN e n t w i e k e l t e a l l g e m e i n e M e t h o d e a n e i n e m speziellen Falle d u r c h z u f f i h r e n . Nfichst d e m s e h o n oft u n t e r - s u c h t e n h y p e r e l l i p t i s c h e n Falle n , - ~ k a m z u n g c h s t d e r F a l l n - - 3 in B e t r a e h t , d e r y o n a n d e r e r Seite b e a r b e i t e t wird. -" U b e r d e n F a l l n ~ 4, m ~ i h a n d e l t die

9 Nova acta Leopoldina, Band 74, No. 2.

VergL ffbrigens: I. WE'LLSTEIN, Ztlr The-rie der t:unktionenklasso .C= "---r~.~; .+. :--,~.+:L Ma/b. Annalen. Band 52.

Acta mathematica. 32. I m p r i m ~ le 25 j a n v i e r 19)9. 1

2 Hermann Schumaeher.

D i s s e r t a t i o n y o n SCHULZ-BAN~Ena, t die zu d e m schSnen R e s u l t a t e ffihrt, dass die d e m G e s c h l e c h t p = 3 angehSrige T h e t a f u n k t i o n dieses Falles sich d u r c h drei elliptisehe T h e t a f u n k t i o n e n d a r s t e l l e n liisst, y o n d e n e n die eine e i n e n allgemeinen, die b e i d e n a n d e r e n denselben speziel]en Modul besitzen. D e r n/ichste Fall w a r n = 5 , w o fiir m ~ i n a c h d e m a n g e g e b e n e n S a t z e die T h e t a f u n k t i o n y o n n u r zwei a b s o l u t e n M o d u l n abhiingen muss. I h r G e s e h l e e h t ist p ~ 6. I n d e m e r s t e n Teil d e r n a c h f o l g e n d e n D i s s e r t a t i o n soll n u n z u n g c h s t die g r u p p e n t h e o r e t i s c h n o r m i e r t e k a n o n i s c h e Z e r s c h n e i d u n g der RIEMA5"~"schen Fl~iehe n a c h d e n Vor- tr/igen des H e r r n WELLSTEIN fiir d e n Fall, dass n eine P r i m z a h l u n d m ~ i i s t , entwickelt, u n d d a n n der Spezialfall n = 5, m = i vollstiindig d u r c h g e f / i h r t warden. Ffir die T h e t a f u n k t i o n w i r d in d e m speziellen Falle ein fertiger A u s d r u e k b e r e e h n e t , der zu einer w e i t e r e n B e a r b e i t u n g g e r a d e z u h e r a u s f o r d e r t .

2. Zu u n s e r m Beispiele n = 5, m - - i fiihrten a u c h i n v a r i a n t e n t h e o r e t i s c h e Erw/igungen. Falls niimlich die I n v a r i a n t e 18. G r a d e s I~s y o n [ (z) v e r s c h w i n d e t , ohne dass N u l l p u n k t e z u s a m m e n f a l l e n , so lassen sich, wie H e r r WELLSTEIN in einem S e m i n a r v o r t r a g e gezeigt hat, zwei I n t e g r a l e i. G a t t u n g auf I n t e g r a l e eines u n d desselben K S r p e r s v o m Geschlecht p ~ 2 zurfickfiihren. Diese g e d u k t i o n wird im z w e i t e n Teil der n a c h f o l g e n d e n A r b e i t ausgefiibrt.

3. D e r Spezialfall I~s = o g e w i n n t h i e r d u r e h ein ganz b e s o n d e r e s Interesse, zumal d u t c h das B u c h von KRAZE~ ~ die zahlreichen A r b e i t e n fiber die Reduzier- b a r k e i t ABEL'seher I n t e g r a l e alIgemein zug/ing|ich g e w o r d e n sind u n d die F r a g e der R e d u k t i b i ! i t / i t a k t u e l l g e m a c h t h a b e n . N a c h S~tzen v o n PICARD u n d POlX- C~aE ~ m/issen n~imlich a u c h die iibrigen vier I n t e g r a l e i. G a t t u n g r e d u z i e r b a r sein u n d z w a r auf das G e s e h l e c h t p = 4, u n d die zugehSrige Thet.~funktion muss zerfallen in T h e t a f u n k t i o n e n y o n d e n G e s c h l e c h t e r n p - - 2 u n d p - - 4 . W / i h r e n d Beispiele zerfMlender T h e t a f u n k t i o n e n m i t einem elliptischen F a k t o r reichlich vor- h a n d e n sind, ~ fehlt es g e r a d e an i n s t r u k t i v e n Beispielen ffir zerfiillbare T h e t a - f u n k t i o n e n m i t F a k t o r e n hSheren Gesehleehts. U m so lieber folgte ich d a h e r der A n r e g u n g des H e r r n WELLSTEI~r, die Zerfgtlung d e r T h e t a f u n k t i o a wirklieh aus- zufiihren, woriiber der d r i t t e Teil der D i s s e r t a t i o n handelt.

1 SctIrjLz_BAsxEHR, Zur lnvariantem und Funktionentheorie einer spezielleu Kurx'e 4. Ord hung. Dissertation, Strassburg i. E. 19o4.

2 ;k. KR.~ZEa, ]~ehrbuch der Thet'lfmlktionen, Leipzig I9O3.

3 A. KR.~ZER, Lehrbuch der Thetafnnktionen, S. 499, Satz XII und Satz XIII.

4 Literatur bei KR.~zm~. Ausser(tem: V. I)oE~IL Beitrag zur Lehre yore identis~,hen Ver- schwinden der lliemann'schen Thettlfunktion, Dissertation, strasslmrg i. E. i883.

lJber eine Riemann'sche Funktionenklasse mit zerfallender Thetafmlktion. 3

Erster Teil.

T h e o r i e des a l i g e m e i n e n Falles ( I ~ s > o ) .

w ~. Eiu allgemeines Z e r s c h n e i d u n g s p r i n z i p R i e m a n n ' s c h e r Fllichen m i t l i n e a r e r T r a n s f o r m a t i o n ill sich.

4. Die folgenden Betrachtungen gelten in einem viel weiteren Umfange, als wir sie wiedergeben; wir beschr~nken uns der Kiirzc wegen auf die Grundgleichung:

( I ) 8" = / ( z ) = ( z - - . , ) ( z - - c . ) . . . . ( z - -

.,,),

die fiir n - - 5 unsern speziellen Fall einschliesst, und dSrfen, da uns schliesslich n u r der Fall n = 5 interessieren wird, zur weiteren Vereiufachung der folgenden Uberlegungen annehmen, dass n e i n e Primzahl ist. Die Nullpunkte c~1, a 2 . . . a , yon

](z)

seien alle endlich und voneinander verschieden.

Die zu s gehSrige RIEMA~c~'sche Flgche besitzt n B H t t e r und n Verzweigungs- punkte. Die n Verzweigungspunkte entsprechen den n Nullpunkten a~, a , , . . . , a,, yon ] (z) und die n Blgtter den n Wurzelwerten yon s; und zwar ordnen wir, wenn Is] die dutch Einfiihrung yon Polarkoordinaten eindeutig gemachte Wurzel

V/(z)

bedeutet, dem r t e n Biatte (v = I, z , . . . , n) den Wert

(z)

s~ = d Is]

Zll~ WO

(3) e -- e ⁿ

ist.

Die Verzweigungslinien denken wit uns so gelegt, dass sie yon den Verzweigungspunkten ausgehend nach einem P u n k t e .q konvergieren, der kein Verzweigungspunkt ist. Dann h~ngen die n Bl~tter 1/ings den Ver- zweigungslinien in gleicher Weise zu- sammen, u n d zwar permutieren sich die n Zweige (z) yon

s,

wenn man bei positiver Umkreisung (entgegen dem Drehsinn des Uhrzeigers) eines Ver-

v6~ ~4. z cg~,

"v;S~

Hermann Schumacher.

zweigungspunktes die zugehSrige Verzweigungslinie fibersehreitet, Zyklus

(4) C = (I, ,2 . . . n).

Das Geschlecht der R I E M a ~ ' s e h e n Fl~iehe ist

nach dem

( 5 ) p = ( . _ ~) n ~

2

naeh der Formel

( 6 ) 2 p = w - - 2 ( n - - i ) ,

we w die Summe der Ordnungen der einzelnen Verzweigungspunkte bedeutet.

Zu der dutch die G1. (I) erzeugten Funktionenklasse geh5ren also p = ( n - - 2 ) n - - i linear unabhs ABEL'sche Integrale I. Gattung, die in irgend

2

einer Gestalt mit u~ (!t ~ i, 2 . . . p) bezeiehnet seien.

5. Um diese Integrale auf der R~EMA~'N'schen Flbiche eindeutig zu machen, ist ein Querschnittsystem S erforderlich, das aus p - - ( n - - 2 ) n - - i Querschnitt-

2

paaren a, b besteht. Wendet man die Abbildung

( 7 ) s ' = s . q ,

dureh die die Grundgleichung (i) in sieh selbst iibergeht, auf die Ri~.MaN~r'sche F1/iehe an, so geht aueh diese in sieh iiber, indem jedes einzelne Blatt in das zykliseh folgende verwandelt wird. Jede gesehlossene K u r v e ). bildet sich also auf eine K u r v e )/ ab, die kongruent mit ). immer im zyklisch folgenden Blatte verlfiuft. Das Quersehnittsystem S, das wir jetzt mit S (1) bezeichnen wollen, geht also durch die Abbildung (7) in ein neues System S(")fiber, dessen einzelne Sehnitte kongruent mit denen yon S (~, aber immer im zyklisch folgenden Blatte verlaufen. Wir wollen sagen, S (1) wird dutch die Abbildung (7))>um

ein Blatt verschoben>>.

Wendet man die Abbildung (7) wiederholt an, so durchl/iuft S (~

naeheinander die Lagen

S (2), S(a),..., S ('o, S("+1),...,

we

S ( n @1) ~ S ( 1 )

ist. S (1)

er/dhrt also eine Gruppe zykIischer Verschiebungen.

N u n babe das Integral I. Gattung ut,. die Periodizit/itsmoduln ( ! t = i , 2 , . . . , p;

~J ~ I , 2 , ^. . . ,?71)

r

^~,.1'

~o('~)

y.2' " " '

. ~,j(")

:~P an den Schnitten a ('j),

u n d

0ber eine RiemanlFsche Funktionenklasse mit zerfallender Thetafunktion. 5

o~ (') p., p + 1 ~ (~(~) ~ , p + 2 ' " " " ~ ~ 0 ~ , !~) .~ p an d e n S c h n i t t e n b (v) ~

die z u s a m m e n das S c h n i t t s y s t e m S<") bilden. D a n n lassen sich die Periodizitiits- m o d u l n des S c h n i t t s y s t e m s S ('+~) linear u n d h o m o g e n mit ganzzahligen Koeffi- z i e n t e n d u r c h die P e r i o d i z i t i i t s m o d u l n des S c h n i t t s y s t e m S(") ausdriicken, u n d zwar sind die ganzzahligen K o e f f i z i e n t e n dieselben fiir j e d e n W e r t y o n ~,. Also fiir

~ , = i z. B. ( Z = i , e . . . . , 2 p ) :

(2) (1) (1) (1)

( 0 } , ) , - - C1)" (O 1 ~- C2)" (O}~ ~ 4- . . . . = -~- C 2 p ' ), (0 p . , 2 p

(s)

oder s y m b o l i s e h :

wo (5. die Matrix"

(9)

b e d e u t e t . Analog ist:

~'- ) I ~'- ( '

u. s. f. Also e r g i b t sich:

N u n ist a b e r :

also ist

I

^{C I I C 2 1 . . . . C2 p, i}

{

(5. ~ C r 2 C 2 2 . . . . C2 p ' "=' ,

/ C } =

r c u f (1)

IC+"}-

0 ~ + 1 )

~ / '

~

I 0 . . . . O

icon - _ 0 I . . . . 0

0 0 . . . . I

6 Hermalm Schumacher.

die Einheitsmatrix. Es bilden also:

bei multiplikativer Zusammensetzung eine Gruppe, die der Gruppe der zyklischen Verschiebungen, die das Querschnittsystem S er[dhrt, isomorph ist.

6. Die Gruppe (io) ist nach der yon L o E w Y einffe]iihrten Sprechweise ))unter Hervorhebung ihrer irreduziblen Bestandteile oder Teilgruppen in eine dhnliche Gruppe,) trans/ormierbar, und zwar besitzt sie noch die besonclere Eigenscha]t, die

L o E w Y ~)vollstiindig reduzibeb> ~ nennt.

Die vollstd~Mige Reduktion der Gruppe (io) Icdnnen wit unmittelbar durch eine geeignete Anlage des Querschnittsystems erzielen, u~d zwar in um]assendster All- gemeinheit au/ [olgende Weise :

W i r d e n k e n u n s i i b e r d e r R I E ) L , N N ' s c h e n Fl~iche e i n e E b e n e a u s g e b r e i t e t u n d i n i h r d i e V e r z w e i g u n g s p u n k t e e i n g e t r a g e n ; d i e V e r z w e i g u n g s p u n k t e u m - g e b e n w i r mit der grdssten Anzahl v e r s e h i e d e n e r ,)Ovale~), d i e e i n a n d e r n i c h t s c h n e i d e n u n d d i e E i g e n s c h a f t e n b e s i t z e n :

I . E i n O v a l soll m i n d e s t e n s zwei V e r z w e i g u n g s p u n k t e e i n s c h l i e s s e n .

O

9 F K~k/r~- L b_ -

O

c4~

9 F I 6 V K - 2 , . % 9

Verhandlungen des III. internationalen 3[athematiker-Kongresses 1904. S. 196. Vergl.

ausserdem folgende Arbeiten yon Lo}:wY: 1. Za:- (~ruppenthe~,rie, Archiv der 3Iathematik und Physik, III. Reihe, V. 3. nnd 4. Heft. 2. Uber redazihle lineare homogene Differential- gleiehungen, Nachriehten der K. Gesellschaft der VVisscnscha/ten zu G6ttil~gen, 1902. Heft 1.

3. Zur Gruppentheorie mit Anwendungen mff die Thc(~:ie der Iinearen homo:zenen I)ifferential- gleiehungen, Transactions of the americm~ mathematical s(}cietv, Januar-" 190.1. 4. Ul,er die vollst~,ndig reduziblen Gruppen, die zu einer C, ruppe linearer homogener Substimtionen ge- h0ren, Transactions of the :unerican mathe~natical society, OctoJ)er 1905. 5. Uber reduzible lineare homogene Differentialgleichungen, 5Iarhemat. Annalen, Band 56. 6. ()her vollst~tndig reduzible lineare homogene Differentialgleichungen, 31athemat. Annalen, Band 62.

{)ber eine Rienmnn'sche Funktianenklas~e mit zerfallender Thelafimktion. 7 2. Zwei Ovale gelten als voneinander ver~chieden, wenn das eine wenigstens einen Verzweigungspunkt enthiilt,, der yon dem a ndern nieht eingesehlossen wird.

3. Einer und nur einer der Verzweigungspunkte soll yon keinem Oval ein- gesehlossen werden.

Fig. 2a und 2b zeigen fiir n ~ 5 die mSgliehen Lagen der Ovale, insoweit sie typiseh versehieden sin&

Die Anzahl dieser Ovale ist, wie man dutch einen Sehluss yon r auf ,, + i leieht einsieht, gleieh n - 2.

Jedes Oval O kann seinerseits Ovale u. s. f. einschliessen. (Vergl. Fig. 2a und 2b.) W i t wollen ein Oval in O, das yon keinem andern Oval in O einge- schlossen wird, ein ,>grSsstes Oval in 0,~ nennen; 0 kann hSehstens zwei solche grgsste Ovale einsehliessen; also enthglt ein Oval

i. entweder zwei Verzweigungspunkee, oder

e. einen Verzweigungspunkt und ein grSsstes Oval, oder 3. zwei grSsste Ovale.

Dnrch diese n - - 2 0 v a l e wird die Ebene in n - - z ,>Parzellen,> eingeteilt, wenn wir unter einer Parzelle den Tell der Ebene verstehen, der zwisehen einem Oval und seinen gr5ssten Ovalen enthalten ist; der gussere R a u m mit dem einen nieht

9 F I G V I ~ . 5 ~ - " F i G V ~ " 5~-_ "

O

eingeschlossenen Verzweigungspunkt wird also nieht als Parze!le mitgez/~hlt. Fig.

3a und 3 b ]leben dicse Parzel!en f(ir den Fall n:-~5 durch verschiedene Sehraf- fierung hervor.

Diese Parzellen iibertragen wir nun auf die RIE.~i:x~-'sche Fl~iche. Dabei bildet sich jede Parzelle auf alle n-Blfitter ab, und dieses Bild nennen wir kurz wiederum eine Parze]le. Eine Parzelle der RrE.~a~'~"sehen Fl/iehe besteht also arts ~ fibereinander liegenden Schichteu, und solcher Parzellen gibt cs n - 2.

Hermann Schumaeher.

Betrachten wir nun die RE~.xN-~'sehe F1/iehe daraufhin, wieviel Quersehnitte sich in einer Parzelle q3 anlegen lassen, so liegen die Verhfiltnisse iihnlich, als wenn wir eine RIE.~IANN'sche F1/iehe mit n u t drei Verzweigungspunkten h/itten.

Denn sollen die Querschnitte ganz innerhalb ~3 liegen, so diirfen sie sowohl das ]3 umgebende Oval O, als aueh die in O liegenden grSssten Ovale nicht schneiden.

Umkreisen nun die Querschnitte ein in O liegendes grSsstes Oval O,, so iiber- schreiten sie soviel Verzweigungslinien, als Verzweigungspunkte in demselben entha]ten sind, falls der P u n k t $2, yon dem alle Verzweigungslinien ausstrahlen, ausserhalb s~mtlicher Ovale liegt. Dieselbe Wirkung erzielen wir aber, wenn wir die z~ Verzweigungspunkte, die in dem Ovale O~ liegen, in einen P u n k t zusammen- fallen lassen, und die B15tter der RIE~Ia~-'sehen Fliiehe lgngs der neuen Ver- zweigungslinie naeh dem Zyklus C"' aneinander heften; enthiilt ~3 noeh ein zweites grSsstes Oval O=,, so darf ein in ~ liegender Querschnitt auch nieht in O, eindringen; wir Iassen daher aueh die in 0 2 liegenden z~-Verzweigungspunkte in einen zusammenfatlen, dessen Verzweigungslinie die Bl~itter naeh dem Zyklus C "~'~ verbindet. Da ein in ~3 verlaufender Quersehnitt aueh die i/ussere Grenze yon ]3 nieht iiberschreiten darf, so verlguft er so, als wenn aueh alle ausserhalb ct~ liegenden Verzweigungspunkte - - ihre Anzahl sei z3 - - in einen zusammen- gefallen w~iren. Die i n ~3 verlaufenden Quersehnitte sind demnaeh genau so anzulegen, als wenn die RIE.~IA.~.,C'sche -FIGVT4-br" Fl~iche, wie in Fig. 4, n u t drei Ver-

zweigungspunkte und drei Verzweigungs-

~ ' ~ - - , ~ . i n - - l ien m it den ZyMen C ~~, C '2 und C "~,' ' \ ~ ~ l~iitte, ( z ~ + z . + z 3 = n ) und ~ nur zwei

\ , \

~

^{, \} dieser Verzweigungspunkte einsehl6sse.

"\ Entlfiilt "},~ urspriinglieh nur ein grgsstes

i\

Oval oder keines, so ]iegen ausserdem

~) noeh ein, bezw. zwei Verzweigungs-

punkte in '~, und yon den Zahlen z~

und ~. sind dann eine, bezw. beide gleich I. Da nun n als Primzahl vor-

orOy5,. L ausgesetzt wird, so kann keiner der

Zylden C ~,, C "~ und C ~-, zerfallen; die drei Verzweigungspunkte z~ihlen also je fiir ~ , - - i einfache, und daher ist das Gcschleeht der vereinfachten R I E ~ t _ ~ schen Fliiche T

n - - i

Uber eine Riemann'sche Ftmktionenklasse mit zerfallender Thetafunktion. 9

'1~ - - I

nach G1. (6). Es sind also ~ = Querschnittpaare erforderlich, um diese 2

R I E M A ~ ' s c h e Flhche in eine einfach zusammenh~ingende zu verwandeln. Diese Querschnitte lassen sich auch in der urspriinglichen Parzelle ~ anlegen, wo die Ovale Oz und ON die Rolle der Verzweigungspunkte mit den Zyklen C ~,, C x~

spielen; da aber jeder der drei iibrig bleibenden Verzweigungspunkte yon der

n - - I

( n - - i) ten Ordnung ist, so sind in jeder der n - - 2 Parzellen z ~ - - Querschnitt-

2

paare m59lich , zusammen also ( n - - 2 ) ~ = p Querschnittpaare ; da keines dieser Schnittpaare die Fliiche zerstiickelt, ihre Anzahl aber p ~ ( n - - 2 ) n - I ist, so

2

reichen sie aus (vergl. S. 7), um die Integrale u~ auf der urspriinglichen RIE- M ~ N ' s c h e n Fl~che eindeutig zu machen. Es zerf~llt also das so angelegte Quer- schnittsystem S in n ~ 2 Teilsysteme S~, S 2 . . . S,-2 yon je n - - i Querschnitt-

2

paaren, yon denen jedes fiir sich in einer Parzelle liegt. Daher er/dhrt ]edes Tell- system Sh(h = I, 2 . . . . , n - - 2 ) durch die Abbildung (7) eine Gruppe zykliseher Ver- schiebungen $9),~ S (~),h " . , S(hn) und zwar so, dass kein Querschnitt des einen Teil- systems bei diesen Verschiebungen einen Querschnitt eines anderen Teilsystemes schneider. Infolgedessen driicken sich die PeriodizitKtsmoduln eines Integrales

n - - I

I. Gattung in den z = - Schnittpaaren eines Teilsystems S~ ~+1~ allein durch 2

die Periodizit~itsmoduln der vorhergehenden Lage desselben Teilsystems, also dureh die Periodizit/~tsmoduln desselben Integrals an den Schnitten yon S(a ~) aus, d. h. die Matrix ~ [G1. (9)] zerf~llt in n - - 2 Teilmatrizen ~h (h ~ i , 2, . . . , n - - 2 ) nach dem Schema

(12) ~ ---

{ ~ t O . . 9 0 ]

0 ( ~ 2 . . 9 0

9 . , .

0 0 9 9 9 ~ n - - 2

Bezeichnet nun ~h die zu ~h geh6rige Einheitsmatrix, so bilden also

bei multiplikativer Zusammensetzung die ,>irreduziblen Bestandteile, der Gruppe (io), die w i t dutch die spezielle Anlage des Querschnittsystems ))hervargehoben>) haben.

Acta mathematica. 32. Imprim~ le 24 mai 1907. 2

10 Hermann Schmnacher.

w 2. Die Riemann'sche Fl~tche und die Integrale 1. Gattung fiir den Fall n = 5 . 7. Wir betrachten nunmehr den speziellen Fall n----5. Unsere Grund- gleiehung (I) w I nimmt dann die F o r m

(x)

s~ = / (z) = ( z - - . , ) (z - - ~ ) ( z - - .~) ( z - - ~,) (z - - as)

an. Zu s gehSrt eine fiinfbl~ttrige RI~MANN'sche Flfiche mit den fiinf Ver- zweigungspunkten a~, a~, as, a~ und a 5, yon denen wir wieder voraussetzen, dass sie endlieh und voneinander verschieden sind. Ist [s] die eindeutig gemachte

5

Wurzel 1 / ~ ) , so ordnen wir dem v t e n Blatte

(~,=

I , 2, 3, 4, 5) der RIEMANN- schen Flgche den W e r t

(z) ~

= e ~ [s]

ZU~ W O

2 * t i

(3) e = e 5

ist. Die VerzweigungsIinien lassen wit yon den P u n k t e n a~, a2, a3, a4, ~5 aus- gehend naoh einem P u n k t e Y~ konvergieren, der Rein u ist (vergl. Fig. x); dann permutieren sich die fiinf Zweige s x, s 2, s s, *4, ss von s, wenn man bei positiver Umkreisung eines Verzweigungspunktes die zugehSrige Verzweigungslinie iiberschreitet, nach dem Zyklus

(4) C = (x, 2, 3, 4, 5)-

Das Gesehleeht dieser RIEMANN'sehen Fliiche ist naeh G1. (6) w i 1 0 = 6 .

Demnach gehSren zu der dureh die G1. (i) erzeugten Funktionenklasse sechs linear unabhRngige ABEL'sche Integrale i. Gattung. Als solche kann man wRhlen:

J

^{8 ~ '}

.

fzclz dz

(5) v , = j - ~ , v , = ;

_ ('z'dz _ f z d z w,% ; ?

Diese Integrale wollen wit ~>Fundamentalintegrale~ nennen, und zwar U ein

lntegral 1. Art, Vt und V2 Integrale 2. Art und Wt, W2 und Ws Integrale 3. Art.

Uber eine Riemann'sche Ftmktionenklasse mit zerfallender Thetafunktion. 11 8. Um diese sechs Integrale auf der R I E M ~ ' s c h e n Fl~che eindeutig zu machen, ist ein Querschnittsystem S yon sechs P a a r kanonisehen Quersebnitten erforderlieh. Fig. 5 (siehe Anhang) veransehaulieht die yon uns benutzte kano- nische Zersehneidung, die naeh den im w I entwickelten allgemeinen Prinzipien ausgefiihrt ist, und zwar ist die durch Fig. 3 b dargestellte Lage der Parzellen benutzt. Im Interesse der Zeichnung ist angenommen, dass die P u n k t e a~, as, aa, a4, an auf einer Geraden liegen; liegen sie nicht auf einer Geraden, so werden die Sehnitte entspreehend verzerrt (vergl. Fig. I4, Anhang).

Das Schnittsystem S zer/dllt in drei Teilsysteme,

St bestehend aus den Sehnittpaaren a~, b~ und a4, b~,

$2 ~) ~) ,) )) a2, b~ )) as, bs,

$3

)) ~) ~) )) aa, b~ ~)

ae, be.

Die ersten drei Schnitte eines ]eden Teilsystemes hat man sich kongruent iVberein- ander herlau/end zu denken, also:

at C',~ bt c',~ a4, a~ c,~ b2 ~ as, a.~ ~ bs ~ a6 .

Ebenso kSnnte man sieh auch die Teile des vierten Schnittes eines jeden Teilsystems, die in Fig. 5 nebeneinander gezeichnet sind, kongruent fiberein- ander herlaufend denken, woraus jedoch keine weiteren Schliisse gezogen werden.

$2 ist eine Wiederholung von S~, die dureh die Benutzung der in Fig. 5 b dar- gestellten Lage der Parzellen mSglieh wurde; S, ist nach demselben Prinzip angelegt wie S~ und $2. Die Pfeile an den Schnitten sind so gewtthlt, dass man bei einer positiven Umlaufung der Fl~che T r, wie wir naeh RI~-~A~N die RIE- MAN~'sche Fl~iche nach Ausffihrung der Zerschneidung nennen wollen, die linken Ufer der Schnitte, die wir als die positiven bezeichnen, in der Richtung der Pfeile, und die rechten Ufer der Schnitte, die wir als die negativen bezeichnen, in der entgegengesetzten Richtung zu durchlaufen hat. Wenn man also fiber einen a - S e h n i t t in der Riehtung des Pfeils integriert, so erh~lt man den posi- riven Periodizitiitsmodul an dem zugehSrigen b-Schnitt, und wenn man fiber einen b-Schnitt irl der Richtung des Pfeils integriert, so erh~lt man den negativen Periodizit~tsmodul an dem zugehSrigen a-Schnitt.

Wie bereits bemerkt, sind die Schnitte jedes der Paare

at, bt; a2, b~; aa, b~

I C. ~I~'UMANN, Vorlesungen iiber Riemanns Theorie der Abel'scben Integrale, 2. Aufl.

Leipzig, 1884, S- 175, w Io.

12 Hermann Schumacher.

aneinander kongruent. Man kann die Zerschneidung auch so einrichten, dass die Schnitte jedes der iibrigen Paare

a~, b,; as, bs; ae, be

ebenfalls einander kongruent sind, d. h. man kdnnte die Fldche 8o zerschneiden, dass die Schnitte ]edes Paares a~, b~, (,~L = i, z, 3, 4, 5, 6) ]~ongruent zueinander verlau/en; wir brauchen nur die Schnitte a~, a~ und a 6, bezw. kongruent zu den Schnitten b4, b~ und b6 zu machen. Vergl. Fig. 5a und 5 b, yon denen

54

Fig. 5a die Teflsysteme $1 und $2, Fig. 5b das Teilsystem $3 darstellt, das iibrigens auch cler F o r m nach mit S~ und $2 iibereinstimmend angelegt werden kSnnte. (In Fig. 5 natiirlich auch.) Dabei sind zur Vereinfachung der Figuren die Schnitte jedes Paares, da sie ohnehin kongrucnt sind, durch eine K u r v e wiedergegeben. Von den beigefiigten Zahlen gibt die erste das Blatt an, in dem der betreffende Schnitt a, die zweite das Blatt, in dem der Schnitt b verI~uft.

Eine eiDzige Angabe dieser Art h~tte iibrigens geniigt. S~mtliche Schnitte kSnnen in der mannigfachsten Weise stetig deformiert werden, ohne dass die Resultate unserer Untersuchung eine .~nderung erleiden.

Uber eine Riemann'sche Funktionenklasse mit zerfallender Thetafunktion. 13

w 3. D i e P e r i o d i z i t i t t s m o d u l n .

9. Die Periodizit~tsmoduln der sechs Fundamental-Integrale i. Gattung U, V~, V2, W~, W2 und W~ an den zwi~lf Schnitten a~ und b~ (H-~ i, 2,3,4,5,6) seien :

I

U--C7

4- 4- 4-

V2 - -

4-

W1-- #,

4- -b

a~ b~

AI~ B ~ A2~ B2~

A3~ B3~

A4~ B4~

As~ Bs~

A~F B ~

Diese 72 Periodizitgtsmoduln lassen eich nach den imw 1 gemachten Bemer- Icungen allein in/olge der besonderen Anlage des Querschnittsystema au] 18 reduzieren.

5 ~

~ 4

35 /+4

Z~

A~

14 Hermann Schumacher.

Es verhiilt sieh niimlich der Wert yon s in einem P u n k t e P der RiE~azgzc'sehen Fliiche zu dem Wert "yon s in dem im v ten zykliseh folgenden B]atte kongruen~

zu P liegenden P u n k t e p(v) wie I :r Mithin verh~lt sich der Wert des Dif- ferentials eines Integrals der r t e n Art in P zu dem Wert desselben Differentials in P(~) wie

/ovjr +1 ~__~_ Qv(r+ I)

(I) , T , : I .

Der W e f t dieses Verbiiltnisses iindert sich nicht, wenn P und P(~)kongruent iibereinander liegen bleibend irgendwelche Wege beschreiben, die nieht durch die Verzweigungspunkte gehen. N u n verlaufen aber die Schnitte b x (it = I, 2) bezw.

bs kongruent und gleichgerichtet m i t a ) , bezw. a~, und zwar im zyklisch folgenden Blatte, und b3 kongruent und gleichgerichtet mit as, und zwar im zweiten auf a~ zykliseh folgenden Blatte (vergl. Fig. 5). Also ergibt sich fiir ein Integral der r t e n Art ( i t = i , 2; /~t-~-i, 2, 3, 4, 5, 6):

und

f f

a). Bt~X = Q r + I , as __ B g 6 r + l

f

a s ~ _ _ _B~. s ~ r I)

f AtLa 9

bs

Hieraus folgen die Gleiehungen: (it = i, 2)

(2)

B1).~--oSAx),;

B~?,= --eSA2)., Bs) ,=-OsAsx;

B4)--~---Q4A4) ,, B s ) = - - r B6),=--e*A6?,.

(3)

Bfe ~ ~ 0 2 A l s ;

B~s = - - e s A~s, Bse = - - 0 3 Ass ;

B 4 e = - - O 4 A 4 s , B ~ e = - - r A s s , B e ~ = - - r A6s.

(4)

B t s ~ - - 04 A t s ; B~_, = - - e A 2 3 , B , s = _ Qs A ~ s ,

Bsa ~ - - e A s s .

B ~ = - - es A s s , Bes ~ - - e s A 8 3 ,

f2ber eine Riemann'sche Funktionenklasse mit zerfallender Thetafunktion. 15 Io. Weitere Gleiehungen zwischen den Periodizitiitsmoduln erhalten wir, wenn wit auf die gI~A~Z~'sche Flgche die Abbildung (7), w I, anwenden. Da- durch entsteht auch zu jedem der RI~Ma_~z~'schen Schnitte, zu dem im Sehnitt- system S (Fig. 5) kein kongruent mit ihm verlaufender vorhanden ist, ein immer im zyklisch folgenden Blatt verlaufender kongruenter Sehnitt. Dieser kongruente Schnitt wird im allgemeinen an mehreren Stellen auf Sehnitte des Systems S stossen und zwar naeh w I immer n u r auf Schnitte desselben Teilsystems. Ver- folgt m a n nun jedes Mal, wo m a n auf einen der RIEMaZCz~'sehen Schnitte stSsst, diesen, jedoeh ohne ihn zu iiberschreiten, bis zum Sehnittpunkt mit dem zu ihm gehSrenden anderen R I ~ A ~ ' s c h e n Schnitt, u n d verfolgt man dann diesen, wiederum ohne ihn zu iiberschreiten, u. s. f., so gelangt man schliesslieh an den Punkt, der dem P u n k t e gegeniiberliegt, in dem m a n zuerst auf einen der RIE~Az~'sehen Schnitte des Systems S stiess; setzt man nun den ursprfinglichen Weg fort, u. s. w., dann erh~ilt man schliesslich einen gesehlossenen Weg, der ganz in der Fliiche T ~ verliiuft. Das Integral fiber diesen Weg ist also null.

Ist a x (x ~ 4 , 5) der zu a~ immer im zykliseh folgenden Blatt verlaufende kongruente Sehnitt, d a n n i s t :

x bx--3 ax bx oder: (,u-~ x, 2, 3, 4, 5, 6)

Nun ist nach G1. (i) ffir ein Integral r t e r Art:

% _ = Or + 1, also f ~ f 0- (r + a) B~

~.

f %

Folglich ist:

(sb)

oder:

(6)

Q-(r+a) B~ x --A~, x-3 +Bl~x +Alxx

/

A I , ~ - a - - A l x - - B I z ( I + 0 s ) ~ o , A 2 , ~ - a - - A 2 x - - B 2 x ( I + 0 ~ ) ~ 0 ,

A 3 , ~ - 3 - - A a ~ - - B 3 ~ (I +O ~ ) = o ,

~ 0 ,

A 4 , ~ - a - - A * a - - B 4~(I+Q)--o,

Aa, x_z--A~x--Bs~(I+~)----o,

16 Hermann Sehumaeher.

Ferner ergibt sich fiir einen zu b.,.(z = 4, 5) im zykliseh folgenden Blatt kongruent verlaufenden Weg fix:

(, f§

~x bz--3 az

Also:

(7 a)

/ - - A ~ , z_3 + B ~ . = o.

Ffir ein Integral r t e r Art ist aber:

Folglieh:

(7 5 ) oder:

(8)

~ _ _ Q-- (r -1- 1) A ~ x .

__~--(r + 1) A~ x __A~,x_a + B ~ x = o,

AI, z_ +

r "

= 0 , A2, x_ 3 +

Q Z A 2 x - - B 2 x = o ,

A3, x-3 + Q ~ A 3 x ~ B a x = o ,

A4, x_ 3 + ( ~ A 4 x - - B 4 ~ = o, As, x_ 3 + e A s , ~ - - B s x = o, As, ~ - 3 + 0 A s z - - Box ~ o.

Sehliesslich sei f16 der kongruent zu bs im zyklisch folgenden Blatt ver- laufende Schnitt. D a n n ist:

(9' f +f +f= o.

~C a 8 al~

Also:

(9 a) f + B~3 + B ~ s ~ o.

Da n u n fiir ein Integral r t e r Art f - - - Q - ist, so ist:

(r + 1) Ap.6

(9 b)

- - 0 -(r+ ~) A~. 8 + B~3 + B ~ 6 ~ o ,

oder:

U-her eine Riemann'sche Funktionenklasse mit zerfallender Thetafunktion. 17

(~o)

I ~'~ A t ~ - - B,.~-- B,, = o,

~9 A 2~ -- B..~ - - B,, ~ o, 09 A ~ - - B~

^{- -} B 3 a - - - O ,

o A,~ - - B,,~ - - B,, = o, A 5 . - - B ~ - - B ~ = o,

q A , ~ - - B,.~ - B.. ~ o.

II. Aus den G1. (6) u n d (8) ergibt sich: (z----4, 5)

(~) /

A~x = - - (0' + ~a) Al, x_3, A ~ . ~ - - (0 9 + 0 ~) A2, -,.-3, A a , = - - (0' + 0 ~)

A3, z-3,

A 4 x ~ - - ( O + 0 4 )A4, u - 3 , As.,. . . . (0 + 0 ~) As, .~_~, A ~ . ~ - - (q + 0 4 ) A a . ~_~.

Aus den GI. (3), (4) u n d (io) folgt:

(~2)

I A,, = - - ( q + 04 )A,.~,

A , . = - - (0 9 + q3) A4,~, A.~ = - - (0 ~ + g~) A s s , A66 = - - (e ~ + . ~ A.~.

Die G1. (6) u n d (II) ergeben: ( • 5) B1 x ~ - - - 0 A l , x - 3 ;

B2~ = - - e ~ A2,~-3, Ba~ ~ - - 04 As,

z - 3 ;

B4x = - - 0 9 A 4 , ~ - a , B s ~ = - - ~ B~x ---- - - q t A ~ , x - 3 "

Folglich ergeben die Gleichungen (2), (3),

(4), (II), (I2)

und (I3) s t a r t der Tabelle I folgendes P e r i o d e n s c h e m a :

II.

a . : ii a,

+ Ii

U--U

+

V~-- V,

+

+

Wx--W,

+

+

A l l

A2i As,

A,t

a2 I as

A I 2

A2~

A3~

A4~

As~

Ae2

A 1 3

A ~ A33

_ __ A 4 3 _

A.~s

a 4 a~ i a~

i r

+ q4) A~3 --(O * + Q s ) A H - - (O* + 03)A'2 i - - (e

i - - ( 0 9 + 0 s) A n - - ( 0 9 + q 3 ) A 2 ~ - - ( ( ~ + 0 4 )A~3

' _ _ ( q + q S ) A31 9

- - (O + 04) A , ,

--(,o 9 + 0 ~ ) A a 2 i - ( q +,o 4 )A3~

_ _ ( q + q 4 ) A , 2

- - (e + r A~, - - (~ + r A ~ i - - (q9 + q~) & 3 - - (q + e*) A , , - - (q + q')A6~ i - - (09 + cS) A~s

Acta ma~hematica. 82. Imprim~ le 24 m~i lg07.

18 Hermann Schumacher.

an :

+

u - - v

+

+

Ws - - Ws - - ,o ~

b~ i b~ ~ b~

' A !

A ~ I - ~" ~::-- o ~ A ~ ~

I - - - I . . . _I

3 A I ,.

A ~ - - O ~i--,o A~.~

e

b4 b~ b.

- - o A,, - - 0 A ~ --o'-A,~

- - q* A,.~ - - q~ A~., i - - r A2~

i

- - o, ~ A~

- - ~" A4t

- - ~ A ~

- - o L A.~2 _ _ q3 A 3 ~

- - t~ ~ A ~ _ _ Q,I: A 4 a

- - q~ A ~ 2

- - 04 A . 3

worin also n u t n o e h die P e r i o d i z i t g t s m o d u l n der sechs I n t e g r M e I. G a t t u n g an d e n drei S c h n i t t e n a~, a2 u n d a~ v o r k o m m e n , die bezw. d e n T e i l s y s t e m e n S1, $2 u n d $3 a n g e h S r e n .

w 4. Die N o r m a l i n t e g r a l e I. G a t t u n g .

12. Die bisher abgeleiteten Periodenrelationen sind lediglich eine Folge der Abbildbarkeit der Riemann'schen Fldche au/ sich. Es gibt aber ~wch eine Reihe weiterer Relationen zwischen den Periodizit?itsmoduln der Integrale 1. Gattung, die nicht aus der speziellen Natur des vorliegenden algebraist, hen Gebildes, sondern aus dem allgemeinen Satze entspringen, dass, wenn I und I' zwei Inte4t. rale 1. Gattu?~g sind; das iiber die ganze Berandung yon T' erstreckte Integral f I d I' gleich null ist. Um in die Fi~lle der so erhaltenen Gleichungen Obersichtlichkeit zu bringen, bilden wit aus den Integralen gleicher Art lineare Verbindunqen mit besonders ein- ]achen Periodizitdtsmoduln. Von diesen ~)halbnormierten Integralen,> gehen wir dann zu den de]initiv normierten fiber.

Die U n t e r s u c h u n g g e h t aus y o n d e m b e k a n n t e n Satze, dass die D e t e r m i - n a n t e aus den Periodizit~itsmoduln y o n p linear unabh~ingigen I n t e g r a l e n

L G a t t u n g a n d e n a - S c h n i t t e n n i c h t null ist. Es ist also:

(~) D =

A . - - ( d + - - ( r § + r

A~ A3~ A33 --(Q~ + r _(0~_~ qS)A3: - - ( q + o ~) A4, A,.. A43 - - ( o + r - - ( o + o ~)A~ - - ( q 2 + o S ) As, As~ A~a - - ( q +~ ~)As~ - - ( q +~ ~)A~" - - ( q ~ + r A,, A,z A,3 --(O + o*)A6, --(O + ~')A,3 - - ( q ' + o. a)

A I $

A23 A33

# 0

A 4.~

A ~ Ae3

Uber eine Riemaml'sche Funktionenklasse mit zerfallender Thetafunktion. 19 Wir multiplizieren die i. bezw. 2. Spalte mit (,o + (~) und addieren sie bezw.

zur 4. und 5. Spalte, die 3- Spalte multiplizieren wir mit (,o2+ o 3) und addieren sie zur letzten SpaRe. Dann ergibt sich:

(2) D =

oder

(3)

A . At2 A~3 (I+2Q+2q*)A,~ ( I + 2 0 + 2 q ~ ) A , 2 --(i+20+2.0~)A~3

A:, A m

A,_3 (I+2,0+2~ot)A:~ (I+2~o+20t)A:: - - ( I + 2 0 + 2 q ~ ) A . . 3 Aat A32 A~a

(I +

2,0 + 2tr ) Az~ (z + 2,0 + 20q A= - - (r + 20 + 20 ~) A33

A .

A42 A43

o o o

A.~I As~ A:,~ o o o

A.t Ao2 Ao~ o o o

I A . AI~. A,~

D = - - A~, A~: A.,~

A3~ A32 A33 Folglioh ist:

(4a)

^{D f =}

A41 A4~ A,3 As, A~: A~.~

A6t Ae.~ A0.~

9 (~ + 2 0 + 2.o*) a e o.

A . AI: A,3 A~, A~: A~3 A31 As.. A33

o und 4b) ] A4~ A42 A,~

D " = A~, A~ A~3

Ae~ A6.-

A+3

# 0 .

# O ,

z3. Bildet man also aus WI, W, und W3 drei lineare Funktionen W;, W**

und W~ mit der Vorschrift, dass an:

III.

w ; - + ;

+ +

w : - f r

w;-@;

+

a l i a 2 _a3

I O 0

0 I

0 0

i O

-i

L I

sei, so haben die daraus entspringenden Gleichungen:

(5)

A,, W; + A t : W; +A,3 W ; ~ W , ,

&, w: + &, W; + A:: W;=W,,

A , , W; + A,2 W; + A , W ; ~ W 3 ,

nach G1. (4 b) eine nicht versehwindende AuflSsungsdeterminante D", und es ist

daher :

20 Hermann Schumacher.

(6)

I W ; = D'~,W,+DT~W.~+D'~,W, IY' '

p~ t s

W; -- D'~. w, + Dob.w; + D., W3,

t n

W*,--D';, W, + D,b W2 + D:;, W3,

wo D~k die zu Ahk gehSrende Unterdeterminante von D" bedeutet.

Diese Ausdri~cke W*,, W~ und W~ bilden die ~>Normalintegrale 3. Art,).

Um in ~hnlicher Weise die Integrale der beiden anderen Arten zu normieren, bedenken wit, dass wegen D' ~ o (Gl. 4 a) mindestens ein Element A 1 ~ der ersten Zeile yon D' mitsamt seiner Adjunkte D'I~ yon null verschieden sein muss ( a = I , 2, 3); dabei bedeutet Ax~ den Periodizit~tsmodul yon U an a~,; ist nun a = I oder = 2, so kSnnen wir die Querschnitte a~, a~, a3 uns so umnumeriert denken, dass jener nicht verschwindende Periodizit~tsmodul gerade den Index a - - 3 erh~lt. Wir diirfen daher unbeschadet der Allgemeinheit die Annahmen:

A:, A2,. } (7) A , 3 e o , D ' , ~ = A~l A~2 ~ o maehen.

Sind jetzt V~ und V~ zwei lineare Verbindungen yon V~ und V~ mit den Periodizit~tsmoduln:

IV.

ii a~ a2

+ , r I

i o

+.

I

V ) - - 0 ) I

so ist :

(8)

also mit Riieksieht auf (7):

{

A~, V7 + A22 V~ = V,,

A~, V'~ + As~ V: = V.,,

(9)

{V~=

Asz V I - - A . V2 D'I~

V; = - A~I V1 + A21 V2

nt13

Dies sind die )>Normalintegrale 2. Art)> ;

ihre Periodizit~tsmoduln an as setzen wir zur Abkiirzung gleich

to~

bezw. %, dann ist:

(io)

ljber eine Riemann'sche Ftmktionenklasse mit zerfallender Thetaftmktion.

4 - . ~ ,

~- Dt,s = t,,t,

+. - . - - A ~ t

A2a

+ AztAsa

{02.

an as: V , - - V ~ D , s

Als Normalintegral 1. Art wKhlon wir die naeh (7) zuliissige Bildung:

21

(i,) A,-~ = U', U

und setzen (voriibergehend):

(12) _{A~, A,~}

A l a ~ a l l ' A t a : a t 2 9

Die G1. (6), (9) u n d ^(*z) ergeben also j e t z t z u s a m m e n mit der Tabelle II. und den G1. (io) und &2) folgendes P e r i o d e n s e h e m a :

V .

+ ~ , I

U* at, at~ ] I

+

v; f;

w; #;

+ +

w ; #:

+

w ; #;

a n :

r ,

u" g*

+ +

v, f;

+ +

w ; - #;

w; #;

+ +

i w : - #:

0 I tO 2

I O 0

a 4 a~

t __ (r + qa) a .

(t~ + qs)

(q + r

0 I 0 0

0 0 I

b, I b~ b3

~ a l I _ ~ a t ~ _ ~4

Qa o - - q tat

6 6

- (e' + r a,, i (e + r

o -- (r ⁺

e')

^~,

( ~ ' + r ' - - ( 0 + r

q' o o

o Qa o

o o ~s

O

b4

#'

0 0

(e

+ r o

O

b5 - - ~)a~2

__ q4

t o

0

_ (~, + ^~s) b,

i

i Q,

]

i __ Q8 %

"1

] O

O

22

Hermann Schumacher.

14. Auf diese ~>halbnormierte>> Integrale I. Gattung wenden wir jetzt den in Artikel xz. erw~hnten Satz an, dass, wenn I und I' irgend zwei Integrale L Gattung sind, das Integral f l d l ' fiber den ganzen Rand der kanoniseh zer- sehnittenen RIEMANN'schen F1Kche T ~ genommen versehwindet. Nun ist aber:

T' ~ A'~ Brt~

wo At~ bezw. A'~ die Periodizit~tsmoduln der Integrale I bezw. I' an dem Sehnitte ate, und Bt~ bezw. B't~ die Periodizit~itsmoduln der Integrale I bezw. I' an dem Schnitte b~ bedeuten.

Wir haben also die Relation:

(I3)

] ~ ] A ~ Bt~ 1_=o"

t~ A't~ B't~

8etzen wir x) 1 = U*, I ' = V~ und z) 1 = U', I ' = V._*, so ergibt sieh:

(x4) an = (~ + ~') to~ und a~ = (~ + @) t.~.

Au] die ~ i g c n Integrale angewandt ergibt GI. (13) ldentitiiten.

Demnaeh nimmt das Periodenschema V endgfiltig die folgende Form an:

VI.

an:

u*-u"

+ +

v; r

+

v ; _ w;

+

r

W~ W,

w;

+

nT;

an : bl

al a2 ^{a a}

F

(q + e*)% I

b~

d t.

+ --* _ _ ~3

V~'-- V, o

~ 0 t

W2

bs

- - ~) ( 0 t

(01

(r162

( r 1 6 2

!

r 2 0

I, (~?~ + Cs)

I 0

(e + r

0 0

b~

)

i

^--

(q + r (r + r to, -- (q + r %

0 0

t

^--

(r + e")

J ,

I b~ b6

(I +q*)t~, i e *

--

(I + q*) % q~

o ~s t~

..j-

V ; -

v;.,

W*- W:

W;--W~

+

W;-- #;

o Q3

~ o

o~ --o~4 .~,

I

1 ~ ('q2

0

Cs

o

o r

1 ('

r 0

~3 (0 2 0

j

Uber eine Riemann'sche Funktionenklasse mit zerfallender Thetafunktion. 23 I n dieser Tabelle seken wir die an]dnglich 72 Periodizitdtsmoduln der sechs Integrale 1. Gattung au[ zwei absolute Moduln (oi und (o~ zuriickge]iihrt, die, falls zwischen den Verzweigungspunkten keine besonderen Relationen bestehen, von- einander unabhiingig sind.

15. Auch yon den hMbnormierten Integralen ist die Determinante der Periodizitgtsmoduln an den a - S c h n i t t e n nieht null; also:

(e + e 4)(01 (@ + @4)(02 I Cat (02 --(e + e ~')

I o ~, - - ( Q ~ + e s) o - - ( e + e ' ) ( o ~

o z ~,~ o - - ( e ' + e ~) - - ( e + r

x o o o - - ( , o + e 4) o o

0 I 0 0 - - ( e + e 4) 0

0 0 I 0 0 - - (e I ⁺ e s)

# O ,

Wir multiplizieren die I . , bezw. 2. Spalte mit ( 0 t + 0 s) und addieren sie zur 4. bezw. 5. Spalte; die 3. Spalte multiplizieren wir mit (Q + {?~) und addieren sic zur letzten Spalte. Dann ist:

( e + e ~)~, ( e + e ~)~,~ ~ o o o

I 0 (01 0 0 0

0 I 03~ 0 0 0

I 0 0 I + 2 ( / ~ + 2 Q s 0 0

0 I 0 0 I + 2 ( # + 2 0 s 0

0 0 I 0 0 - - ( I + 2(1~ + 2e s )

woraus jetzt folgt, dass die U n t e r d e t e r m i n a n t e : (e + e')o.,, (e + e ' ) ' ,

-Q = I 0 ca l

0 I (.03

yon null verschieden ist; also ist:

(~6)

Auf diese Ungleichheit gestiitzt, lassen sich jetzt die definitiven Normal- integrale i. Gattung leicht konstruieren. Wir bilden zuni~ehst aus U ~ V] und

V~ drei lineare Funktionen T1, T2 und T~ mit den Periodizitiitsmoduln:

24 Hermann Schumacher.

VII.

DArm ist :

(I7) mithin :

( I 8 )

&n : a, a2 a3

+ I I

T~ - - T 1 I 0 ! 0

+

T 2 - - -T2 o I o

o o I

+

T3 - - ~'s

{

( e + e ' ) 0 , , T , + ( e + P ' ) ~ T 2 + T s = U ' ,

T , + ~, Ts = V ] ,

T~ + ~, T~ = V~;

T , =

- - ~ '

u ' + (~--(e + e')o,:)v;+ (e + e'),,,,o,, v:

.Q

D e m n a c h ergibt sich j e t z t folgendes P e r i o d e n s c h e m a : V I I I .

a n : +

T, --T,

+

T, --T2

+

T~ - - T 3

+ - - .

W , - - W ,

a t

0

a2 ! a3

o ! o

,!

I 0

0 I

o

i

i o

i I o

[ o i I

a 4

- - (q~ + e s)

o

o

(e + e')

o - - ( e

I

o ,

i

a5 a6

o o

- - ( O ' + e s) o

o - - (e + e ~]

t

t

o o

+ Q~) o

2

o (O~ + ps)

. { -

W , - - W , o

(Jber eine Riemann'sche Funktionenklasse mit zerfallender Thetafunktion. 25

a n : b92 b~ I b3 b4 b5 b6

. (0 t (0 5 (0 l

+ 3 ,o, s-'o,'o~ , '~' r oS~,o; o" (,o~-,o ~) (,o'-,o 3)

T, --Ta ](I+2,O+2,O )~__`os ( 1 + 2 o + 2 , o ) C o ? - --(,O--`O ).?2- '" --" ' . Q - - " ~ 6 T2 - - T 2 ( I + 2 ' O + 2 ' O ) - ~ - ( I + 2 ' O + 2 q ) ~ - - , I --(,O--,O )f2 ( ' O s - - ` O a ) ~ ('O'--`Os)~-)-)-'o ('~ .(i

. . . . . . i ,

+ {:o I I __(OS n3~ (oK 3" to2 I 3

T3

--T3

- - ( I + 2 , O + 2 , O 3 ) ~ - - ( I + 2 ` o + 2 ~ 3 ) w 2 ('O--'O')~2-)-'~ '" ~ ' n --(~ )~-- --(~

+

W * ~ - - W*, - - ,O ~ o o - - ,O' o o

+

* * - - 'O 4 - - e '

W ~ - - W ~ o o o o

+ - - _ _ ~4t

W*, - - W*. o o - - 0, 3 o o

16. Aus diesen sechs Integralen erhalten wir die Normalintegrale I. Gattung, wenn wir aus TI und W~, T2 und W~, bezw. T~ und W~ je zwei lineare Funk- tionen ul und u,, us und us, bezw. u3 und u6 bilden, denen wir die Periodizitiits- moduln vorschreiben :

.}.

IX. an av: u ~ - - u ~ = d~v, (,u, v = I, 2, 3, 4, 5, 6),

wo d~v das KRONECKER'sche Symbol ist, das fiir u ⁼ v den Wert i , fiir u <> v den Wert null hat. ~ Dann ist:

(19)

{ u l - - ( , o ' +,O s) u , = T1, us - - (,O' + ,O s) u5 = T2, u s - - (`O + ,O 4) u s = T3,

u, - - (e + e L) u, = W*~, u s - - (q + ,O ~) u5 = W , , u , - - (,O' + ,O s) us = W*, ; u n d die de/initiven Normalintegrale s i n d endlich ."

(20)

( 3 I ) ( 2 I )

u, = g + ~ (+-" + e 3) T, + ~ - - g (r + +s) W;,

u s = 3 + 5 ( q , + q 3 ) T ~ + 2

- ~ ( e

I ,

+ e 3) w , ,

,

~ = _~(,oS+e3) T~+ + + O s) W;,

t Die RIE)L~s.~'schen Normalintegrale 1. Gattung sind also x i u W Acta mathematiea. 32. Imprim6 le 24 mai 1907.

26

(20)

Hermann Schumacher.

Setzen wir symbolisch (21)

und allgemein :

(22)

i_ + 2 (q~ + qs)) ( T 1 _ W*~),

5 5

( 1 2 )

+ ~ (e ~ + r (T~-- W;),

)

+ ~ (e ~ + e ~) ( T ~ - W;).

aq + bq ~ + cq s + d q 4 = ( a b e d )

so g e h S r t schema X.

Bezeichnet m a n :

zu den Normalintegralen (2o) das auf Seite 27 folgende Perioden-

so ist die bekannte Relation

in Tabelle X identisch er/is

+

an b v : % - - u~ = aFv,

w 5. D i e T h e t a f u n k t i o n .

17. Die zu unseren Normalintegralen gehSrende Thetafunktion lautet:

O(u, lu2 lu~ lu, lu5 lu,)=

- - 0 o , "[-~

~e

gi/6 + 2 ~i(ml ul +m2 ua T m a ua T m a ua T m s us +m6 u~)

worin ]6 die quadratische Form der sechs Summationsbuehstaben bedeutet, deren Koeffizienten die Periodizitiitsmoduln der Normalintegra]e an den b-Schnitten sind. (Tabelle X.) Also:

8 6

(I)

/'-~-- 2 2 a t ~ v . ' m v - m~.,

~.=1 p / = l

an

: --+ _

+ U 2 -- U 2 + - Us ~ ~s 7--- U~ -- ~ an" +- _ U t ~ ,tl~ t + U 2 -- U 2 + U 3 -- U 3 + U 4 -- U~ +~ 'US -- ~5 + U~ ~ U~

at a~ o

a3 a4 i o o o i o o o o i o o o i o o o o

a5 O O O O O O O O I O

a6 O O O I

b, b2 b~ b4 b~ b~

1 .... ,o: 1 _._ [

f (3443)~' + g (122i) ~ (3433)~ ; (3443) (~ ; (3443)';; + ~(122f)

I .~ (o; -- 5 (2112) ~:2- I (0~ I

-~(i331) ~ -5 (2413)

I (0~ (02 -- i

(I~3f) to,

I - - (Oz 5 (2112)X)-" -- 5

(1331) X2-

I - (0~ I

-;(I331)~.-5(24~3~

I . - - . [0 t

--5(2112) X)

I . -- - . (M 2

-- 5 (2112) ~ I I I(2-1--i 2)

-- 5 [I22I) D .- (0., I (i22i) ~i

5

I, . (0~1 I I -- - (01(-02

-- 5[I33I) i2 -5(2413) --g (I33I)--~

I (0 t ~O z 1 - - ~O,~ . 5 (1331) -~2

--5(I33I)x2 --5 (2413)

O) 2

-- ~ (153i)

I - r I ~o 2 -- 5

(1221) ~2

--5

(I22I) ~2

I - (~t i I I (0 t (u z 5 (2II2)"~; +~ (432I) 5 !2 I[2)_--:~2-- .... I . - ,(0 t(q. [I . . (0~ I . .

5(- 2112) --~2 " 15 (- 2112) DI + 5- (4321)

X - I I I . . ~0 t I - ~0 2 (2112)

f2 (2ii2) 72 --;(I22I)~--~ (I234) 5

I - _ (0 t

--~ (I33I)~2 - ~- (1330 '~

I. _.I I

--~(I22I) (~--~(I234)

I - (01 (2112) ~2 I - (0 2

~ (2112)~

I - I I

(2II2).t~ + 5 (2413)

5"

CD m ~ r O e-r ~~ O to