Mosa¨ıque poissonienne

(1)

Ergodicit´ e des mosa¨ıques STIT.

Rapha¨el Lachi`eze-Rey

Laboratoire Paul Painlev´e (Universit´e Lille 1)

9eme colloque “ jeunes Probabilistes et Statisticiens”

(2)

1 Mosa¨ıques al´eatoires

2 Ferm´es al´eatoires

3 Mosa¨ıques STIT

Raphaël Lachièze-Rey () Ergodicité des mosa¨ıques STIT. 9eme colloque “ jeunes Probabilistes et Statisticiens” 2 / 27

(3)

3 Mosa¨ıques STIT

(4)

Mosa¨ıques

Definition

Mosa¨ıque : EnsembleC ={C₁,C2, ...} de cellules convexes compactes, localement fini (pour tout compact K , {i;C_i∩K 6=∅} est fini.) Le ferm´e correspondant est M =∪_i∂C_i.

(5)

Quelques exemples de structures r´e´elles – Applications potentielles.

Craquel´ee sur une surface de c´eramique (Photo : G. Weil)

(6)

Simulation de craquement d’un sol s´ech´e (H.-J. Vogel)

(7)

Tissu dans un muscle de rat (I. Erzen)

(8)

Perla 2.jpg

Joints dans le granit (D. Nikolayev, S. Siegesmund, S. Mosch, A.

Hoffmann)

(9)

Gris Perla.jpg

Sch´ema des joints dans le granit.

(10)

Mosa¨ıque poissonienne

(11)

Mosa¨ıques de Voronoi, Delaunay

Etant donné un processus ponctuel de pointsΠ, on associe à chaque point x de Π sa cellule de Voronoi V_x comme l’ensemble des points dontx est le plus proche élément de Π.

V_x ={y ∈R²;kx−yk= inf

x⁰∈Πkx⁰−yk}

(12)

Mosa¨ıques en 3D

Mosa¨ıque d’hyperplans Poisonniens en dimension 3 :

(13)

Mosa¨ıques mixtes

Mosa¨ıque grise : R´eseau de bas niveau.

Points noirs : Serveurs de haut niveau.

Mosa¨ıque noire (R´eseau de haut niveau) : Mosa¨ıque de Voronoi correspondant aux points noirs.

gauche : Serveur de bas niveau= mosa¨ıque de Voronoi.

droite : Seveurs de bas niveau=mosa¨ıque poisonnienne de droites.

(14)

3 Mosa¨ıques STIT

(15)

Topologie de Fell

X : Espace topologique F : Ferm´es

K : Compacts

Topologie de Fell T sur F, engendr´ee par les

F^K ={F ∈ F;F ∩K =∅,}, K ∈ K, F_O ={F ∈ F;F ∩O 6=∅}, O ouvert.

La tribu Bor´elienne correspondante est not´eeE (Tribu d’Effros).

(16)

Fonctionelle de capacit´ e

Un fermé quelconque X peut etre récupéré si l’on connait toutes les variables 1l_X_∩K_=∅,K ∈ K.

Pour un fermé aléatoireX dans (F,E), on définit lafonctionelle de capacité

T_X(K) =P(X ∩K 6=∅) =EX(F_K), K ∈ K.

(17)

Propri´ et´ e d’alternation

Soit K0,K1 des compacts. Alors

P(X toucheK0, X ne touche pasK1) =T(K0∪K1)−T(K1)≥0.

Pour tous compacts K₀,K₀⁰,K₁, ...,K_n,on peut exprimer

P(X toucheK0, X ne touche pasK1,K2, ...,Kn) `a partir de T.

P(X toucheK0, X ne touche pas K1,K2, ...,Kn)

≥P(X toucheK0∪K₀⁰, X ne touche pasK1,K2, ...,Kn).

On dit alors queT est altern´ee.

(18)

Semi-continuit´ e sup´ erieure

Si K_n est une suite d´ecroissante de compacts, et K =∩_nK_n, limn 1_K_n_∩X_6=∅ = 1_K∩X_6=∅ p.s.

En cons´equence (Fatou) lim sup

n

T_X(K_n)≥T_X(K).

T est Semi-continue sup´erieurement.

(19)

Th´ eor` eme de Choquet

TX caractérise la loi de X dans (F,T) : Théorème (Choquet)

Soit T :K 7→[0,1]. C’est la fonctionelle de capacité d’un fermé aléatoire X ssi

T est semi-continue sup´erieurement.

et T est altern´ee.

Cons´equences :

X etX⁰ ont la mˆeme loi ssi T_X =T_X⁰.

X_n converge en loi versX ssiT_X_n(K)→T_X(K) pour chaqueK deK.

(20)

Fonctionelle de capacit´ e de la mosa¨ıque Poisonienne

Droites de R² :D=R+× S¹, muni de la tribu Bor´elienne et d’une mesure ν localement finie.

Soit Π un processus ponctuel Poisonnien sur Dd’intensit´eν.

Alors M_Π=∪_D∈ΠD est unemosa¨ıque de droites Poisoniennes.

Pour K compact deR^d soit D_K ={D ∈ D;D∩K 6=∅},

T_M_Π(K) =P(card(Π∩ D_K) =0) =1−ν(D_K)e^−ν(D^K⁾.

(21)

(22)

3 Mosa¨ıques STIT

(23)

modélisation de craquèlement sur une fenêtre bornée

(24)

(25)

A

A A

A AA

(26)

A

A A

A AA

(27)

A

A A

A AA

@

@@

(28)

A

A A

A AA

@

@@ (((((

(29)

A

A A

A AA

@

@@ (((((

(30)

Nagel, Weiss, Mecke (Jena)

Mod`ele de division cellulaire(processus de branchement.)

Les temps de vies des cellules sont indépendants et exponentiels, leur taux de mort dépend de la géométrie de la cellule.

Si la mosa¨ıque doit etre isotropique, le taux est proportionnel au p´erim`etre de la cellule (Plus une cellule est petite, moins elle se craquelle vite.)

(31)

Dans une fenˆ etre compacte

Soit ν une mesure sur l’ensemble des hyperplans, et soit a≥0. On suppose que pour tout compact K,

ν(H_K)<∞,

o`uH_K est l’ensemble des hyperplans qui intersectentK. Algorithme de construction :

On commence au tempst = 0.

On fait tourner une exponentielleτ de param`etre ν(H_W)

Lorsquet =τ, on coupe W par un hyperplan al´eatoire H en deux cellules W₀ etW₁. (H est conditionn´e parH∩W 6=∅.)

On recommence la proc´edure it´erativement pour chaque sous-cellule.

On s’arrete lorsque le temps t=a est atteint.

Mosa¨ıque obtenue : S_W_,a,ν.

En g´en´eral, on prendraν stationnaire.

(32)

Exemples

Simulations de mosa¨ıques STIT isotropes. (ν est stationnaire et isotrope).

En ce cas, on note la mosa¨ıque al´eatoireS_W_,a.

(33)

Mosa¨ıque sur R

^d

.

Nagel and Weiss 2005 : Si W ⊆W⁰, alors

S_W_,a,ν ^(d)= S_W⁰_,a,ν∩W. (i.e.T_S_W,a,ν(K) =T_S

W0,a,ν(K), K ∈ K,K ⊆W.) Th´eor`eme (Kolmogorov)

Il existe une mosa¨ıque aléatoire S_a,W surR^d telle que, pour toute fenêtre W , Sa,ν∩W a même loi que SW,a,ν.

Sa est dite mosa¨ıque STIT isotrope de parametre a.

(34)

Stationnarit´ e

On dit que x est stationnaire lorsque pour tout x deR^d, M +x ^(d)= M.

Exemples o`u ν est stationnaire (mais pas isotrope).

(35)

Nesting

Soit deux mosa¨ıques aléatoires M etM⁰ sur R^d. On définit l’itération, ou nesting deM dansM⁰ de la manière suivante :

Soit (M_k⁰)_k des copies ind´ependantes de M⁰, et (C1,C2, ...) les cellules de M. Alors

I(M,M⁰) =∪_i,kCi∩M_k⁰ On d´efinit par r´ecurrence

I₂(M) = 2I(M,M), ...

1

n+ 1I_n+1(M) = I

1

nI_n(M),M

.

(36)

STable to ITeration

Toute mosa¨ıque STIT S est stable par it´eration : I_n(S)^(d)= S,n∈N.

Nagel, Weiss 2005 : Si M est une mosa¨ıque a/’eatoire stationnaire, alors I_n(M) converge en loi vers une mosa¨ıque STIT.

T_I_n_(M)(K)→T_S_a,ν(K), K ∈ K.

(37)

Propri´ et´ e de m´ elange

Une mosa¨ıque vérifie la propriété de mélange fort si

P(M∩K =∅,M∩(K⁰+h) =∅)→_khk→∞T_M(K)T_M(K⁰+h), K,K⁰ ∈ K.

(38)

Th´eor`eme

Soit S une mosa¨ıque STIT. Alors pour tous compacts K et K⁰,

P(K ∩S =∅,(K⁰+h)∩S =∅)−P(K ∩S =∅)P((K⁰+h)∩S =∅)

=O(1/khk) Si de plus K et K⁰ sont connexes,

P_a(K ∩S =∅,(K⁰+h)∩S =∅) P(K ∩S =∅)P((K⁰+h)∩S =∅) −1

= 1

||h||ζ(h/||h||)(1 +o(1)).

o`uζ est strictement positive et continue sur S^d−1.

(39)

J. Mecke, W. Nagel, V. Weiss : A global construction of homogeneous random planar tessellations that are stable under iteration. Stochastics 80, 51-67 (2008).

W. Nagel, V. Weiss : Crack STIT tessellations- Characterization of stationary random tessellations sable with respect to iteration.Adv.

Appl. Prob. 37, 859-883 (2005).