Asie 2010. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (5 points)(candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O,→−u ,−→v
. L’unité graphique est 1 cm.
On notei le nombre complexe de module1et d’argument π 2. On considère les pointsA,B,CetPd’affixes respectives :
a= −2, b=2−2i√
3, c=3+3i√
3 et p=10.
PARTIE A. Etude de la configuration 1) Construction de la figure.
a)Placer les pointsAet Pdans le repère O,−→u ,→−v . b) Déterminer les modules des nombres complexesbetc.
c) Utiliser les cercles de centreOet de rayons respectifs4 et6 pour construire les pointsBetC.
2)Démontrer que le triangleBCPest équilatéral.
3)SoitQle point d’affixeqtelle queq=a+eiπ3 (c−a).
a)Vérifier que q= −4+4i√ 3.
b) Vérifier l’égalitéq= −2b. Que peut-on en déduire pour les pointsB,OetQ? 4)SoitRle symétrique deCpar rapport àO.
a)Démontrer que les droites(AP),(BQ)et (CR)sont concourantes enO.
b) Etablir que :AP=BQ=CR.
PARTIE B
On notef l’application qui, à tout pointMdu plan, associe le réelf(M)défini par : f(M) =MA+MB+MC.
1)Calculerf(O).
2)SoitMun point quelconque d’affixem. SoitNle point du plan d’affixentelle que n=a+eiπ3(m−a).
On admet que si M6=A, le pointN est le point du plan tel que le triangleAMNsoit équilatéral direct et si M=A, alorsN=A.
Démontrer que :MA=MNpuis que MC=NQ.
3)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l’évaluation.
En utilisant l’inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point Mdu plan,f(M)>12.
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