J
OURNAL DE
T
HÉORIE DES
N
OMBRES DE
B
ORDEAUX
P
HILIPPE
M
ICHEL
Familles de fonctions L de formes automorphes
et applications
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome
15, n
o1 (2003),
p. 275-307
<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2003__15_1_275_0>
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Familles de fonctions
L
de formes
automorphes
et
applications
par PHILIPPE MICHEL
RÉSUMÉ. Une notion
importante qui
aémergé
de la théorieanaly-tique
des fonctions L ces dernièresannées,
est celle defamille.
Parexemple
les familles de fonctions L interviennent naturellement dans le modèleprobabiliste
des matrices aléatoires deKatz/Sarnak
qui
vise aprédire
larépartition
des zéros des fonctions L. L’analyse
des fonctions L en famille intervientégalement
dans laréso-lution
(inconditionnelle)
de diversproblèmes
ayant unesignifica-tion
arithmétique profonde,
tel que leproblème
de montrer la non-annulation de valeurspéciales
de fonctions L ou encore celui de borner non-trivialement ces valeurs(le
problème
deconvexité).
Dans cet
article,
nous passons en revue lestechniques analytiques
mises en
jeu
pour résoudre cesquestions
et décrivonsplusieurs
applications
de naturearithmétique.
ABSTRACT. One of the
important
concept that hasemerged
these last years in theanalytic theory
of Lfunctions,
is the concept offamilies.
Forinstance,
families of L functions occurnaturally
in
Katz/Sarnak’s
probabilistic
model of Random Matrices whosegoal
is topredict
the distribution of zeros of L functions. Thestudy
of L functions within families occurs also in the(uncon-ditional)
resolution of severalproblems
having
somedeep
arith-metical
meaning:
thequestion
ofnon-vanishing
ofspecial
values of L functions or theproblem
ofgiving
non-trivial upper boundsfor these
special
values(the
subconvexity
problem).
In thispa-per, we review the
analytic
method involved in solution of someof these
problems
andgive
severalapplications.
Tables des matières
1. Introduction 276
2. Familles de fonctions L 277
3. La méthode de mollification 282
4. La méthode
d’amplification
2865. Survol des
techniques analytiques
utilisées 296Bibliographie
3051. Introduction
L’étude des
propriétés analytiques
des fonctions L des formesautomor-phes
dans la bandecritique 1
est unsujet
fascinant del’arithmétique
con-temporaine
qui
mêle théorieanalytique
desnombres,
formesautomorphes
etgéométrie arithmétique.
Cetexposé
aborde cesquestions plutôt
sousl’angle
de la théorieanalytique
desnombres, cependant
on verra que loind’être des
concurrentes,
les différentesapproches
sontcomplémentaires
ets’éclairent l’une l’autre.
Une notion cruciale
qui
s’estdégagée
ces dernièresannées,
est celle def amill e
de fonctions L. Dupoint
de vue de la théorieanalytique
des nombres"cla,ssique" ,
cette notion est très naturelle : certains des résultats lesplus
fameux sur les fonctions L de caractères de Dirichlet(essentiellement
la seule famillequi
a été étudiéejusqu’à
il y apeu)
sont des énoncés "enmoyenne"
(par
exemple
les Théorèmes de Densité pour leurszéros)
qui
quelquefois
sont une alternative(parfois plus)
efficace àl’Hypothèse
deRiemann Généralisée. Dans le contexte des formes
automorphes,
la notionde famille de fonctions L ne s’est vraiment révélée que tout récemment
avec les extraordinaires
développements
de lagéométrie
arithmétique,
et elleapporte
bienplus qu’une simple généralisation
des énoncésclassiques
de la théorie
analytique :
~ Elle
apparaît
naturellement dansplusieurs problèmes arithmétiques
liésaux courbes modulaires et à la
conjecture
deBirch-Swinnerton-Dyer
(question
de non-annulation aupoint
critique).
~ Elle sert à résoudre des
problèmes
de natureanalytique, qui
étaientinaccessibles par les méthodes
traditionnelles,
pour les fonctions Lgénérales,
etqui
en corollaire fournissent des résultats non-triviaux engéométrie arithmétique.
~ Elle est au coeur du modèle
probabiliste
des matrices aléatoires pour lesfonctions L de Katz-Sarnak
[KaSa1]
qui
permet
de décrire la structure fine des zéros des fonctions L etpeut-être
de mieuxcomprendre
leur naturespectrale
(voir
aussi les survols[KaSa2, Mil]).
Dans cet
exposé
nousprésenterons
certainsprogrès
récentsqui
ont été réalisés àpartir
de cette notion. Nous irons pour cela des résultatsquanti-tatifs concernant la non-annulation de fonctions L au
point critique,
à desmajorations
non-triviales pour ces fonctions sur la droitecritique
Res =1/2.
Achaque
fois que ce serapossible
nous tâcherons de donnercer-taines des
applications
(ou
quelquefois
desinterprétations)
qui
peuvent être
obtenues en combinant ces résultats avec d’autres
techniques.
1 Dans la suite, nous normaliserons toutes les fonctions L de sorte que la bande critique est le domaine complexe 0 ~ Res fi 1.
Remerciements : Je veux remercier J.
Friedlander,
H. Iwaniec et P.Sar-nak pour de nombreuses discussions concernant les thèmes abordés dans cet
article et pour m’avoir
communiqué
leurs travaux[DFI8], [Sa2]
surlesquels
une
partie
de ce texte est basé.2. Familles de fonctions L
2.1. Fonctions L de formes
automorphes.
Onrappelle
que pour unenormalisation convenable
(si
le caractère central estunitaire)
la fonction L d’une formeautomorphe
cuspidale f
sur est une série de Dirichletqui
admet une factorisation enproduit
eulérienPour
chaque
p, le facteur localLp(f,
s)-1
est unpolynôme
enp-s
dedegré
~
d(et
dedegré
= dpour presque tout
p)
où les nombres
complexes
a f,i (p)
sontappelés
lesparamètres
locaux def
en p. Pour la
place
àl’infini,
on aégalement
un facteur local formé defonctions "Gamma" :
On sait alors
[GoJ]
que la fonction Lcomplète
A( f, s)
=Loo(f, s)L(f, s)
admet unprolongement holomorphe
à C(sauf
siL( f, s)
est la fonction()
etqu’elle
vérifie uneéquation
fonctionnelle de la formeoù q f est un entier
(appelé
le conducteur def),
f désigne
lacontragrédiente
de
f eut 6/
est un nombrecomplexe
de module1,
(le
"signe"
del’équation
fonctionnelle).
Par la théorie deRankin-Selberg
[JS, JPPS],
on saitégale-ment que le
produit
eulérienL(f, s)
converge absolument pour >1,
que
s )
a tous ces zéros dans la bandecritique
0
1 ;
enfin la méthode de Hadamard-de la Vallée-Poussin fournit unerégion
sans zérosoù
Q f
est le conducteuranalytique
def
définit parà un
(éventuel)
"zéro deLandau-Siegel"
près :
celui-ci serait contenu dansle domaine
(2.2),
seraitréel, simple
et nepourrait apparaître
que sif
est autoduale. On pourra sereporter
à[HL, HR]
pour une étude du zéro deSiegel
pour les fonctions L de formesautomorphes
surGLd
pourd >
2.Dans cet
exposé
nous considérons certaines fonctions L liées aux formessur
GLd
avec d --1, 2.
Pour d = 1 ce sont les fonctions L associées auxcaractères de Dirichlet
Pour d =
2,
on considère lesespaces suivants de formes
automorphes
cuspidales.
Elles sont classées suivant leurpoids,
un entierl~ > 0,
leurniveau q >
1 et leurnebentypus qui
est un caractère deDirichlet X
(mod q)
vérifiant la condition de
compatibilité
x ( -1 )
=(20131)~ :
~
l’espace
des formesholomorphes
depoids
k. epour
= 0 ou1,
l’espace
SA (q, X)
des formes(de Maass)
depoids k,
réellesanalytiques,
vecteur propre duLaplacien
de valeur
propre ~ -
(1/2
+ir)(1/2 - ir) >
0,
(la
conjecture
deRamanujan-Petersson prédit
que =0.)
(si
lenebentypus X
est le caractèretrivial,
on l’omettra de lanotation).
Parmi ces formes on considère l’ensemble
Skl (q, X)
(resp.
~S’~ (q, ~) )
de cellesqui
sontprimitives
(ie
vecteur propre de tous lesopérateurs
de HeckeTn,
n >1,
nouvelles etnormalisées) ;
ces formesprimitives
admettentun
développement
de Fourier à l’infini de la forme :~ pour
f holomorphe
où
Wa,fi(Y)
est la fonction deWhittaker,
désigne
la valeur propre du n-ièmeopérateur
de HeckeTn
convenablement normalisé.Remarque
2.1. Une formeprimitive
est bien définie à un scalaireprès.
Dans la
suite,
nousadopterons
la normalisationL2
enimposant
que leproduit
scalaire de Petersson def ,
(1, I),
vaut 1.La fonction L de Hecke associée à une forme
primitive
f
est la sérieet son conducteur
arithmétique
vaut q.Le troisième
type
de fonctions L que nous considérons est la famille desfonctions L de
Rankin-Selberg,
L( f
0 g,s)
où g
est une formeautomor-phe
surGL2(AQ)
fixée de conducteur D etnebentypus
x’.
Cette série de Dirichletpeut
être difficile à écrireexplicitement
engénéral,
mais si q et Dsont
premiers
entre eux, elle a uneexpression
simple
et son conducteur
arithmétique
vaut(qD)2.
Remarque
2.2.Récemment,
Ramakrishnan[Ra]
a montré(en
accord avecla
philosophie
deLanglands),
que ceproduit
Eulérien dedegré
4 est lafonc-tion L d’une forme
automorphe
surRemarque
2.3. Il n’est pastoujours
nécessaire de se restreindre au casoù g
estcuspidale.
Parexemple
prenant
avec
s)
la série d’Eisensteinnon-holomorphe
pour le groupemodulaire,
on a formellement
ce
qui
permetquelquefois
de considérerparallèlement
le cas des fonctions L de Hecke et celui des fonctions L deRankin-Selberg.
2.2. Familles. Dans la suite
B?(q, X)
désignera
une base de Hecke deS? (q, X)
c’est-à-dire une base(orthonormée)
formée de vecteurs propres desopérateurs
de HeckeTn
pour tout(n, q) =
1(et
éventuellement duLaplacien)
etqui
contient l’ensemble des formesprimitives
8f(q,
x) .
On considère des familles de fonctions L dedegré donné,
in-dexées par les élément des bases
B?(q,X),
qui
dépendent
d’unparamètre
Q représentant
la taille des conducteursanalytiques :
pourQ
P etf
E on alog Q.
En
degré
2,
ce sont les familles de fonctions de Hecke :pour
0 ~
K,
ou bienpour
0
A. Endegré
4,
on fixe une formecuspidale g
et on considèreles familles de fonctions L de
Rankin-Selberg
suivantes : 1En
pratique
un desparamètres
q, K ou A tendra vers +oo les autres restantessentiellement fixés ou tout au moins très
petits
devant leparamètre
prin-cipal. Compte-tenu
de la valeur du conducteur et celle desparamètres
locaux à l’infini de ces fonctionsL,
on trouve pour les différentesfamilles,
les
équivalences
suivantes :et si on considère les formes de Maass
2.3. Moments de fonctions L.
Étant
donnée une famille.~(Q),
lesmé-thodes
analytiques qu’on
va décrire reposent toutes sur l’évaluation des moments des fonctionsL( f , s)
"tordus" par certainspolynômes
de DirichletM(f, s ) .
Ces moments sont définis par la donnée d’un entier L(qu’on
écritsous la forme L =
~~~~ >
1pour un certain
paramètre A
> 0fixé),
et d’un vecteur de coefficients x =(x1, ... , XL)
ECL
aveclequel
on forme lepolynôme
de Dirichletainsi le
paramètre à
mesure lalongueur
du mollifieurM( f, s)
relativement à la famillePour s cz C dans la bande
critique
(disons
Res =1/2),
le moment d’ordre 1 est la forme linéaireet les moments d’ordre x
(~
entierpair)
sont définis par les formesquadra-tiques
La méthode
générale
pour évaluer ces moments est la suivante : on com-mence parreprésenter
L( f , s)
sous forme d’une sérierapidement
conver-gente
en utilisantl’équation
fonctionnelle(2.1) ;
on obtient alorsoù pour Res =
1/2, VS(y)
est une fonction à décroissancerapide quand
y > 1. On a donc
exprimé
L( f, s)
comme somme de deux séries(essentielle-ment)
finies delongueur «
Reportant
(2.9)
dans ondéveloppe
cetteexpression
et lamultiplicativité
desa f(n)
permet
d’inter-vertir les sommations pour se ramener à des sommes de la forme
pour m, n « On évalue ces sommes
grâce
à diverses formules de"traces"
(cf.
(5.1)
pour unexemple)
qui
donnent lieu à uneégalité
dutype
qu’on
reporte
dansl’expression
cherchée. La contribution du terme~m-~
fournit le Terme
Diagonal
du moment. Engénéral
il est leplus
facile àcontrôler. La
partie
restante fournit le TermeNon-Diagonal.
Bien entenduplus x
estgrand, plus
les variables m, npeuvent
êtregrandes
et moinson a de contrôle sur le Terme
Non-Diagonal
de(2.10).
Enpratique,
une transition dephase
seproduit quand
on calcule le momentcritique
d’ordre ~o donné parc’est à ce
point
que la contributionprovenant
du TermeNon-Diagonal
cesse d’être
trivialement2
négligeable
devant le TermeDiagonal ;
on verra-’
dans la section 4. une autre raison
expliquant pourquoi
cette barrière est naturelle.Exemple
2.1.Quand A
=0, Ko
vaut 4 pour lesfamilles
FIA,2A] (q, X)
et 2 pour lesfamilles
uand K
ou bien A ~--~ +00.
~ , ~ ’
(q~
X)
~’ q~Nous décrirons dans la section
5,
lestechniques qui
sont utilisées pourcontrôler les termes
non-diagonaux
dans ces cascritiques. Supposons
cettebarrière franchie
(on
verraqu’elle
l’est pour les famille décritesprécédem-ment)
et que les moments sont alors convenablement évalués pour certainsordres x. On
dispose
alors de deuxtypes
d’applications
très différentessuivant le choix que l’on fait du vecteur ~.
3. La méthode de mollification
La méthode de mollification a été inventée par Bohr et Landau au début
du 20ème siècle pour
étudier (
et seszéros ;
elle a ensuite étédéveloppée
par
Selberg
[Se]
et d’autres pour étudier lesquestions
de non-annulation de fonctions L notamment dans des familles. On doit à Iwaniec et Sarnakd’avoir donné un nouvel élan à la méthode de mollification en la
généralisant
aux familles de fonctions L de formes
automorphes
dans leur tentatived’attaquer
leproblème
du zéro deLandau-Siegel
[ISl].
3.1. Le
principe.
Soit unefamille ;
si l’on veut desrenseignements
sur le nombre de fonctions L de ~" ne s’annulant pas en un
point
déterminéso, la méthode des moments
peut
fournir des éléments deréponse :
en effetl’inégalité
deCauchy-Schwarz
donne la minorationqui
ramène ceproblème
decomptage
à celui de minimiser la formequadra-tique
enx,
M2 (7( Q) , £, so)
sous la contrainte linéaireso)
= 1.Quand
on estcapable
d’évaluerasymptotiquement
les moments d’ordre 1et 2 pour
Q
-t +oo, onpeut
montrer que ceproblème
de minimisationadmet une solution
asymptotiquement optimale qu’on
peut
expliciter.
Lepolynôme
de DirichletM(f, s)
solution de ceproblème
estappelé
un"mol-lifieur". On obtient alors un résultat de la forme
où
c(A)
est une fraction rationnelle duparamètre A
qui
s’annule en A = 0 et est strictement croissante. Enparticulier
(3.1)
est d’autant meilleur quesuggère
le fait quec(0) =
0,
le vecteur "trivial" definit par L =1,
xl - 1 est loin d’êtreoptimal :
on obtient dans ce cas la minorationplus
faibleOn voit donc que l’introduction d’un mollifieur
permet
de com-penser en moyenne, l’influence nonnégligeable
desquelques
qui
sont trèsgrands
parrapport
à la valeur moyenne.Mentionnons
également
que cette méthode admet des variantesqui
per-mettent notamment de contrôler en moyenne dans unefamille,
le nombre etla
multiplicité
des zéros des fonctions L situés sur lesegment
critique
[0, 1]
etplus particulièrement particulier
l’ordre d’annulation aupoint critique
s =
1/2 ([KMI ,
HM, KM VI,
CS]).
Enparticulier
cestechniques
ontpermis
à
Conrey
etSoundararajan
[CS]
d’obtenir le résultatfrappant
suivant : Théorème 1. Il existe uneinfinité
(et
même au moins20%
en un sensconvenable)
de caractères de Dirichletquadratiques primztifs x
dont lafonc-tion
L,
L(x,
s) =
En
X(n)n-s
ne s’annule pas sur lesegment
critique
~0,1J.
3.2. Mollification des fonctions L de
Rsankin-Seïberg.
Dans[KMV2,
KMV3,
MV]
latechnique
de mollification a étéappliquée
aux familles defonctions L de
Rankin-Selberg
pour1~ >
2,
qpremier,
Xo lecaractère trivial et pour g de niveau D sans facteurs carrés. Un
point
technique
intéressant dansexemple
est que le moment d’ordre Ko = 2 est"critique"
etqu’on
doit donc faire face à des termesnon-diagonaux.
Dans[KMV3]
le calculasymptotique
des moments d’ordre 1 et 2 mollifiésdonnent le
Théorème 2. une
,forme primitives cuspidale holomorphe
de niveauD sans
facteurs
carrés et denebentypus
X’.
il existe une constantepositive
absolue c > 0 telle que pour tout q
premier
suffisamment
grand
(en
fonction
deg)
on a l es minorationse
si g
n’est pas autoduale ou si g est autoduale et~’(-q) -
1e si g est autoduale et
X’ ( -q) _ - l,
alorsRemarque
3.1. Onpeut
noter que la preuve de ce résultat utilise pourl’étape d’optimisation
de la formequadratique,
l’existence d’unerégion
sans zéros convenable pour les convolutions de
Rankin-Selberg
L (g ~
g,s)
etL(g 0 F, s)
et ainsi des résultatsplutôt
avancés de la théorie des formesautomorphes
comme la modularité de la fonction L du carrésymétrique
(due
àGelbart-Jacquet
[GJ])
et la modularité de la fonction L deOn
peut
aussi considérer le casoù g
est une série d’Eisenstein[KMV2,
MV] :
soit X
un caractère de Dirichletfixé,
alors pour g =E~
une séried’Eisenstein convenable on a
s )
=s ) 2 .
Bienque g soit alors
plus
élémentairequ’une
formecuspidale,
l’obtention de formulesasympto-tiques
pour le moment d’ordre 2(qui
est donc le moment d’ordre 4 des fonc-tions L de Hecke desf
tordues parX)
s’avère êtrebeaucoup plus complexe
que dans le cascuspidal :
cela tient au fait que des termesprincipaux
non-diagonaux
supplémentaires
liés au terme constant de cette série d’EisensteinEx
apparaissent
etqu’ils
sontplutôt
délicats à évaluer.L’inégalité
permet
alorsd’obtenir,
en choisissant des mollifieursappropriés,
des résul-tats de non-annulation simultanée comme leThéorème 3. Il existe une constante absolue c > 0 telle que : pour Xi,
i =
1, 2,
3 trois caractèresprimitifs
de conducteurDi
sansfacteurs
carrés et tels queXl est
encoreprimitif,
et pour tout qpremier,
on a la minorationquand
q -3.3.
Interprétations.
Soit est une variétéabélienne,
ladétermina-tion du rang de tous les groupes de Mordell-Weil
A(K)
pour les extensionsfinies
de Q
estéquivalente
à celle de lamultiplicité
dans de toutesreprésentations complexes, continues,
de dimension finie et irréductibles deGal(Q/Q).
Si p est une tellereprésentation,
(une
variantede)
laconjecture
de
Birch-Swinnerton-Dyer
prédit
samultiplicité
mp dans[Ro] :
où
p, s)
est la fonction L duproduit
tensoriel de lareprésentation
galoisienne
définie par le module de Tate deA,
et(d’une
réalisationSadique
convenable)
de p. Dans le casparticulier
où A= A f
est la variété abélienne modulaire associée à une formeholomorphe f
depoids
2 etquand
p est
"modulaire" et est donc associée à une forme
automorphe
gp(ce
qui
estmaintenant connu pour de très nombreuses p de dimension
2)
on al’égalité
où
f ff
parcours l’orbite def
sous le groupe de Galois. Grâce aux travauxde
Gross-Zagier, Kolyvagin, Kato, Bertolini-Darmon, Zhang
etd’autres,
onpour les
quotient
deJo(q) =
et pour lesreprésentations
psuivantes :
~
quand
p est lareprésentation
triviale[GZ, Ko] ;
edim p
= 1 :gp =
X est alors un caractère de Dirichlet
[Sc] ;
.
quand dim p = 2
etp est
dihédrale etimpaire :
i. e. est induite parun caractère de Hecke sur un corps
quadratique imaginaire. D’après
Hecke,
gp est une formeholomorphe
depoids
1 et denebentypus
lesymbole
de Kronecker du corps[GZ,
G, BD1, BD2,
Zh2].
De
plus,
dans tous les casévoqués ci-dessus,
la preuve de(BSD-?)
résulted’une "formule" exacte conférant une
interprétation
arithmético-géomé-trique
à la valeurspéciale
L( f
Q9gp, 1/2)
(ou
à sadérivée).
Parexemple,
sip est
impaire
dihédrale,
L{ f
® gp,1/2)
ouL’( f
® gp,1/2)
peut
s’interpréter
comme la hauteur de la
{ f , p)-composante
isotypique
d’un diviseur deHeeg-ner sur une courbe de Shimura convenable
([GZ,
G, BD1, BD2,
Zh2]).
Ces
résultats,
sont autant de motivations pour une étudegénérale
parvoie
analytique
de la variable aléatoireet de la variable
"rang analytique"
où g
estfixée, s
est dans unvoisinage
de1/2
etf
décrit un ensemble deformes
primitives
holomorphes
depoids
2.Si p est la
représentation
triviale,
cesquestions
ont été étudiées dans[IS1,
KM1, KM2, KMVL,
HM,
Vl].
Pour les
représentations
p de dimension1,
le Théorème3,
ses variantes et les travaux de Kato sur leconjecture
deBirch-Swinnerton-Dyer
pour lescorps
cyclotomiques
[Sc]
impliquent
leCorollaire 3.1. Il existe une constante absolue c > 0 telle que pour tout
corps
cyclique
K dedegré
5 surQ, non-ramifié
en~, 3, 5,
et pour tout qpremier
assezgrand, la jacobienne
Jo (q)
possède
unquotient
JK
définit
surQ
dedimension >
qui
vérifie
laconjecture
deBirch-Swinner-ton-Dyer
sur K.Dans le cas des
représentations
de dimension2,
le Théorème 2ap-pliquée
aux fonctions theta associées aux caractères du groupe de classesd’idéaux d’un corps
quadratique imaginaire
et les formules deGross-Zagier
impliquent
leCorollaire 3.2. Il existe une constante absolue c >
0,
telle que pour toutcorps
quadratique
imaginaire K,
non-ramifié
en2,
et pour tout qpremier
assezgrand
inerte dansOK,
on aoù
HK
est le corps de classes de Hilbert de K ethK =
[HK : K].
Mentionnons aussi que l’on a aussi des
interprétations
moinsarithméti-ques ; par
exemple
le résultatsuivant,
dû à W. Luo[Lu],
concerne la ques-tion de non-annulaques-tion famille de fonctions L deRankin-Selberg
associéesaux formes de Maass au
point critique :
Théorème 4. R existe une constante absolue c > 0 telle que pour
q >
5premier
fixé,
et pour g ErS’4(q)
uneforme holomorphes
depoids
4fixée,
on a pour A ---~ -f-oo, la minorationCe théorème
s’interprète
via la théorie de la déformationspectrale
dePhillips-Sarnak
[PS].
Ilimplique qu’une proportion positive
de formesprimitives cuspidales
sont "annihilées" par une déformation réelleanaly-tique
générique
dero (q),
allant(dans
l’espace
deTeichmüller)
dans la di-rection définie par la différentiellequadratique
g. Sous laconjecture
que lamultiplicité
des valeurs propres duLaplacien
sur est bornée par uneconstante
absolue,
la théorie dePhillips-Sarnak implique
ainsi que pourune déformation
générique
de170(q),
lespectre
duLaplacien
n’estplus
es-sentiellement
cuspidal :
i. e. la loi deWeyl
forte n’est pas vérifiée.Pour conclure cette
section,
il est bon de mentionner que les résultatsprésentés
dans cettepartie
sont lesplus
représentatifs
dupoint
de vue de lacomplexité
destechniques
engagées,
mais qued’autres, plus simples,
sontparfois
utilisés dans certainsproblèmes arithmétiques :
parexemple
dansles travaux de Merel sur les
point
de torsion des courbeselliptiques
(cf.
[Me,
KM3,
KM4]).
Ces méthodes fournissent aussi des énoncésd’indépendances
linéaires pour les
images,
par lesopérateurs
deHecke,
de différents"cycles"
arithmétiques
sur les courbes modulaires[V2, KMV3].
On
peut
aussi noter que des énoncés de non-annulation de fonctions Lpeuvent
aussi être obtenus par des méthodescomplètement
différentes. Unexemple
frappant
et récent est donné dans la preuve par Vatsal et Cornut[Va, Cor]
de laconjecture
de Mazur sur la non-trivialité de certains diviseursde
Heegner
dans les extensionsanticyclotomiques,
dont la preuve utilise des méthodesergodiques.
Dans[Va],
Vatsal aremarqué
que cettequestion
peut
se ramener à unproblème
de non-annulation pour certaines fonctions L deRankin-Selberg
et il est bienpossible
que ceproblème
soit accessible auxtechniques analytiques.
4. La méthode
d’amplification
Nous décrivons dans cette
partie
une autre utilisationpossible
de4.1. Le
problème
de convexité. SoitL( f , s)
la fonction L d’une formeautomorphe cuspidale
surl’Hypothèse
de Riemann pour cettefonction L a la
conséquence
suivante sur la taille deL( f , s)
pour s sur ladroite
critique :
Conjecture.
(Hypothèse
de LindelôfGénéralisée).
Pour toute >0,
et pour =1 j2,
on aEn direction de cette
conjecture,
on a d’abord lamajoration
triviale(dite
de
convexité)
qui
résulte del’équation
fonctionnelle(2.1)
etprincipe
de convexité dePhragmen-Lindel;5£
Remarque
4.1. Cettemajoration
résulterait aussi de lareprésentation
(2.9)
et de la borne deRamanujan-Petersson
«, ne
(voir [Mo]
pour une preuve inconditionnelle de(4.1)
suivant cetteméthode).
Le
problème
de convexité consiste à faire un(petit)
pas en direction dela
conjecture
deLindelôf,
en améliorantl’exposant
(de
convexité)
1/4 :
Problème de Convexité. Montrer
qu’il
existe 8 >0,
tel que pour Res =1/2
la constante
impliquée
dans lesymbole «
étant absolue.Remarque
4.2. Dans lesapplications,
un seul desparamètres
est amenéà
varier,
les autres restant essentiellement fixés : cepeut
être la variablecomplexe
s, leconducteur q f
ou lesparamètres
à l’infini +(par
exemple
lepoids
ou la valeur propre pour les formesmodulaires) ;
dans la
pratique,
il suffit souvent de resoudre leproblème
de convexité parrapport
à tel ou telparamètre
tout en conservant un contrôle raisonnable sur les autres(par
exemple
unedépendance
polynomiale).
La célèbre
majoration
deWeyl
[We]
résout le
problème
de convexité pour lafonction (
suivant leparamètre s,
alors que lamajoration
deBurgess
[Bu]
résout le
problème
pour les fonctions L des caractères de Dirichlet parrapport à leur conducteur q. Les méthodes utilisées dans ces deux
exemples
sont assezspécifiques
et ne semblent pas segénéraliser
facilement à desfonctions L de
degré
supérieur
(voir
cependant
le travail deFouvry-Iwaniec
[Fol]
qui
résout leproblème
de convexité pour certaines fonctions L de caractères de Hecke d’un corpsquadratique imaginaire,
en utilisant desméthodes réminiscentes de celles de
Burgess).
La notion de famille et la méthode des moments fournissent ici une
ap-proche systématique
duproblème
de convexité. Leprincipe
est le suivant :plutôt
que de résoudre leproblème
pour une fonctionL( f , s)
"à la fois"(comme
l’ont faitWeyl
etBurgess
dans lesexemples précédents
mais aussi Weil pourl’Hypothèse
de Riemann des fonctions L des courbes sur les corpsfinis)
on laplonge
dans une famille7(Q)
Q
et on va chercherà résoudre le
problème
simultanément pour tous les membres de la famille(un
peu comme l’a faitDeligne
il y a trente ans pour lesconjectures
deWeil et un peu
plus
tard Laumon - avec une famille différente- quand
il a donné une preuve alternative de ces mêmes
conjecture
[Del,
De2,
La]).
Pour notre
problème,
onmajore simplement
le moment d’ordre x pourx convenable. On obtient en
général
unemajoration
de la formeque l’on
peut
interpréter
commel’Hypothèse
de Lindelôf Généralisée "enmoyenne".
Oubliant alors tous les termes de la somme(4.4)
sauf un, onobtient la
majoration
ainsi le
problème
de convexité sera résolu si onpeut
prendre x
> --~.4log
"
long Q
Remarque
4.3. Le choix d’une famille7(Q)
appropriée
fait aussipartie
duproblème
etpeut
être non-trivial :7(Q)
doit être à la fois suffisammentgrande
( "spectralement complète" )
pourpouvoir pratiquer
del’analyse
har-monique
et obtenir(4.4)
et pastrop
pour ne pas avoir à calculer un mo-ment d’ordre xtrop
élevé. Enparticulier,
on retrouve Le moment limitexo -
qui
est,
à lafois,
celui au delàduquel
on brise lacon-vexité et celui où
apparaissent
les termesnon-diagonaux
non-triviaux(cf.
Section
2.3) :
rien n’estjamais gratuit
en ce bas monde !En
général,
onpeut
arriver à(4.4)
pour le momentcritique
xo par desarguments
assezgénéraux
(ie
desinégalités
degrand
crible)
et pour allerau delà
plusieurs options
sontdisponibles :
e Obtenir
(4.4)
pour xo +1,
cequi
estparfois
faisable..
Établir (4.4)
pour le moment d’ordre xo mais en serestreignant
àune sous-famille de
7(Q)
assezpetite ;
parexemple,
enpassant
desFg (q, X)
pour un certain a 1 aussipetit
quepossible.
. Maisil faut s’attendre à ce que par le
principe
d’incertitude-l’analyse
harmonique
sur cette sous-famille soitplus
difficile !e Utiliser un
amplificateur :
cette méthode inventée par Iwaniec[Fol,
Iw2]
et utilisée à ce nombreusesreprises
depuis,
permet
d’éviter lesdeux
options précédentes. Rappelons
(voir
aussi[Fr])
que la méthoded’amplification
consiste àmajorer
le moment d’ordre xo défini par(2.8)
pour un vecteur ECLgénéral
afin d’obtenirl’analogue
de(4.4) :
pour un certain L =
Q~
avec A > 0 aussigrand
que
possible.
Ensuiteon choisit les coefficient x =
(xl, ... , ~L)
de sorte que siL( fo, s)
est le termequ’on
désiremajorer
M( fo, s)
amplifie
la contribution de ceterme : i on
peut
choisir de sorte que pour tout e > 0 et pour uncertain a =
a(d)
> 0 onait,
à lafois,
Cette fois-ci la fonction
f H
M(f,s)
agit
àl’opposé
d’unmollifieur.
On obtient alorsRemarque
4.4. Cette méthode est tout à fait "morale" : eneffet,,
(4.6)
ne contredit en rien lamajoration générale
(4.5) :
le vecteur dqui
a été choisi est relatif à la forme
particulière fo
et pourf ~
fo
dansJ’(Q)
onpeut
montrer(sous
uneHypothèse
de Riemann Généraliséeconvenable)
lamajoration
pour tout E > 0. Bien entendu cette dernière
majoration
(condition-nelle)
n’est pas utilisée dans la méthoded’amplification.
Ces trois
approches
ont été utilisées pour résoudre leproblème
decon-vexité pour les fonctions L associées aux formes
automorphes
surGL1(ÂQ),
et par rapport àchaque paramètre pris
séparement
(le
paramètre
s, le conducteur(ou niveau)
q, lepoids
1~ ou la valeur proprea) .
Un cas
remarquable
où lapremière option
a été utilisée(en
passant
deKo = 2 à x = 3)
est le travail deConrey-Iwaniec
[CI]
qui
améliore lamajoration
deBurgess
(4.3)
pour les fonctions L de caractères de Dirichletréels : ils montrent pour Res =
1/2,
lamajoration
qui
estl’analogue
de lamajoration
deWeyl
(4.2).
Pour cela ils réalisentIL(X,
s)12
comme la fonction L de Hecke de la serie d’Eisenstein standardE(z, s)
tordue par lecaxactère X
et évaluée aupoint
1/2.
Ils concluent en évaluant le moment d’ordre 3 en so =1/2
des fonctions L de Hecke des tordues par X des formes de Maass pourSL2 (Z) (provenant
duspectre
discret et
continu).
Ilsparviennent
à montrer lamajoration correspondante
à(4.4).
Pourconclure,
les auteursinvoquent
alors le résultat depositivité
suivant
conséquence
des formules deWalspurger
[Wal]
Ce cas est
exemplaire
à la fois par le choix(non évident)
de la famillede fonctions L auxiliaire et aussi par l’utilisation d’un résultat
profond
depositivité
pour les valeursspéciales
de fonctions L. Mentionnonségalement
que Ivié[Iv]
a utilisé unargument
similaire pour résoudre leproblème
deconvexité pour les fonctions L de formes de Maass au
point spécial s
=1/2.
La deuxième méthode(de
restriction à unesous-famille)
peut être
utiliséequand
on cherche a résoudre leproblème
de convexité parrapport
aupoids
k ou à la valeur
propre À
(voir
[Sa2]).
La troisième méthode
(d’amplification)
a été utilisée surtout pourrésou-dre le
problème
de convexité parrapport
au conducteur q f(où
la méthodede restriction ne fonctionne
pas),
notamment dans la série de travauxde
Duke,
Friedlander et Iwaniec( ~DFIl,
DFI2, DFI3, DFI4, DFI5, DFI6,
DFI7])
qui
culmine dans[DFI8].
En
regroupant
les différents résultats connus sur leproblème
decon-vexité,
ondispose
maintenant de toute latechnologie
nécéssaire pourmon-trer l’énoncé
particulièrement
général
suivant :Théorème 5.
Soit f
uneforme automorphe
(cuspidale)
surGL1(ÂQ)
ouGL2(AQ),
leproblème
de convexité est résoluséparément
parrapport
à chacun desparamètres numériques
dontpeut
dépendre f
le conducteurq,
(si
d -2~
lepoids k
ou la valeur propre duLaplacien A -
pour lesfonctions
L suivantes :. La
fonction
de HeckeL(f, s)
associée àf.
. Toute
fonction
L deRankin-Selberg
L(f
0 g,s)
où g est uneforme
automorphe cuspzdale
surGL1(ÂQ)
oupréalablement
fixée.
De cet énoncé nous
extrayons quatre
casparticuliers,
dont trois cons-tituent les trois contributions lesplus
récentes au Théorème 5 et dont le secondplus
ancien,
estrecyclé
dans la preuve du dernier cas :Le
premier
cas est dû àSarnak ;
il brise la convexité parrapport
auThéorème 6. Soit g une
forme
primitive
cuspidale
(holomorphe
ou deMaass)
fixée.
Pour touteforme primitive cuspidales f, holomorphe
depoids
k,
on a lamajoration
pour Res =
1/2 ;
dePlus, la
constanteimpliquée
dans lasymbole «
nedepend
(polynomialement)
que de s, du niveau def
et desparamètres
de g. Les trois autres cas sont relatifs au niveau : lesecond, plus ancien,
et estdû à
Duke-Friedlander-Iwaniec,
et résout leproblème
de convexité pour lesfonctions de Hecke tordues par un
caractère X
en fonction du conducteurde X
[DFIL] :
Théorème 7.
Soit g
uneforme
primitive
cuspidale
(holomorphe
ou deMaass)
fixée.
Pour tout caractèreprimitif
X de conducteur q, on a lamajoration
pour Res =
1/2 ;
deplus,
la constanteimpliquée
dans lasymbole «
nedépend
(polynomialement)
que de s, du niveau def
et desparamètres
de g.Le troisième est le résultat
principal
d’un article monumental de Duke-Friedlander-Iwaniec[DFI8]
qui
conclut un travaillong
de 8 ansqui
achèvela résolution du
problème
de convexité pour les fonctions L de Hecke parrapport
au niveau :Théorème 8. Pour toute
forme primitive cuspzdale f, holomorphe
ou deMaass de niveau q et de
nebentypus primitif,
on a lamajoration
pour Res =
1/2 ;
deplus, la
constanteimpliquée
dans lasymbole
« nedépend
(polynomzalement)
que de s, du niveau def
et desparamètres
de g.Remarque
4.5. Enparticulier,
ce résultat résoutpotentiellement
lepro-blème de convexité pour les fonctions L d’Artin de
degré 2
parrapport
au conducteur
(et
en tout cas pour toutes cellesqui
sont"modulaires")
au moinsquand
le conducteur de lareprésentation
coïncide avec celui dudéterminant.
Enfin,
le dernier résultatrompt
laconvexité,
pour la fonction deRankin-Selberg
L ( f
Q9g, s),
parrapport
au niveau def
etquand g
est fixé. Il aété obtenu en deux
temps,
d’abordquand
f holomorphe
et denebentypus
trivial parKowalski,
l’auteur et Vanderkam[KMV3]
puis
dans le casgénéral
par l’auteur
[Mi2]
(en
particulier
dans le cas extrême où lenebentypus
def
estprimitif)
en combinant les méthodes(complémentaires)
développées
Théorème 9. Soit 9 une
forme primitives cuspidale
(holomorphe
ou deMaass)
fixée.
Pour touteforme
primitives
cuspidale f, holomorphe
ou deMaass sur
rl(q),
on a lamajoration
pour Res =
1/2 ;
deplus, la
constanteimpliquée
dans lasymbole
« nedépend
(polynomzalement)
que de s, du niveau def
et desparamètres
de g. 4.2.Applications.
Il estremarquable
que le fait d’améliorerl’exposant
deconvexité,
même de manièremicroscopique
(par
exemple
de1/23041)
suffit àapporter
une solutioncomplète
à certainesquestions qui
n’ontap-paremment rien a voir avec les fonctions L.
Avant de passer à des
applications
plus élaborées,
voici un corollaire trèssimple
du Théorème 9. Corollaire 4.1. Soientdeux
formes
modulairesholomorphes
depoids
2(disons)
pourI’O(q)
etra (D)
respectivement.
Alors sif
estprimitive
etf ~
g, lepremier
nom-bre
premier
p pourlequel
p f (p)
~
estmajoré
par«D
q1-1/~50 ~ la
constante
impliquée
nedépendant polynomialement
que de D.Notons que le Theorème de Riemann-Roch
appliqué
à la courbemo-dulaire
Xo (qD)
donnerait unemajoration
de la forme «qD qui
corres-pondrait
essentiellement à la borne de convexité pourL( f
gg, s).
Cetteborne est donc
plus
faible que celle du corollairequand q
est suffisammentgrand
devant D. Il serait intéressant dedisposer
d’une preuvegéométrique
de résultat.
4.2.1.
Application
aux corpsquadratiques imaginaires.
Le théorème 8peut
être utilisé pour donner des information non-triviales et inaccessibles
jus-qu’à
present
sur le groupe des classes d’ideauxPic(OK)
d’un corpsquadra-tique
imaginaire
~. Plusgénéralement
pour tout ordre 0 contenu dans K et pour toutcaractère 0
du groupe des classes d’idéauxPic(O),
on associe une fonction theta 91jJqui
estholomorphe
depoids
1,
de niveau[Disc(O)
1
et denebentypus
x~(le
symbole
de Kronecker deK) .
Enappliquant
le théorème 8 auxformes 91jJ
pour 0 =OK
on obtientpar
exemple
leCorollaire 4.2. Tout sous-groupe
c yclique
de d’indice m esten-gendré
par un ideal de norme «m2 D1/2-1/11521,
où D est la valeur absoluedu discriminant de K.
Notons que la
majoration
de convexité fournirait essentiellement uneborne de la forme
« D1 ~~
qui provient
également
du théorème de Minkowski(notons
que leconcept
de convexité intervient aussi dans le théorème de lVlinkowski mais de manière assezdifférente).
Enparticulier
le corollaire est non-trivial dés que m n’est pastrop
grand
(m
«.D~~~3°~1 )
4.2.2.
Applications
auxpoints
deHeegner.
Certainesapplications
dupro-blème de convexité
proviennent
d’uneinterprétation
arithmétique
des va-leursspéciales
des fonctions L : c’est notamment le cas dans la théorie despoints
deHeegner
associés à un ordre d’un corpsquadratique imaginaire.
On
rappelle
que l’ensemble despoints
deHeegner
sur associés à unordre 0 C
OK
est muni d’une action transitive dePic(O).
Etant donnéun de ces
points
e, on défini alors pour toutcaractère 9
dePic(O)
la0-composante
isotypique
de ePour
f
E les formules detype
Gross etGross-Zagier
interprètent
la valeurspéciale
en1/2
de la dérivée de la fonction deRankin-Selberg
L( f ~
s)
comme la hauteur de Neron-Tate de laf-composante
de e.~ :on a
pour une certaine constante absolue c > 0. On
dispose
également
defor-mules
analogues
pour les diviseurs deHeegner
sur les courbes de Shimuraassociées à une
algèbre
dequaternions
(éventuellement définie)
sur Q
(cf.
[G,
GZ, BD1, BD2,
Zh2]).
En
particulier
le théorème 9appliqué
àf = f E
la forme modulaire associée à une courbeelliptique
E /Q
et g
la forme depoids
1 associée àun caractère de
Pic(O)
fournit unemajoration
"non-triviale" de la hauteur(de
laprojection
surE)
du diviseur deHeegner
e’fjJ,Equi
est défini sursoit
quand
le conducteur de Evarie,
soitquand
le discriminant de 0 varie. Mais on nedispose
pas encore d’uneinterprétation géométrique
de la borne de convexité dans ce contexte.
Le théorème 9 fournit
également
desrenseignements
sur larépartition
despoints
deHeegner
dansXo (q) (suivant
la mesurehyperbolique).
Quand
lecorps
quadratique
est fixé et que le discriminant de l’ordre non-maximal O tend versl’infini, l’équirépartition
depoints
deHeegner correspondant
à cet ordre a été établie par Clozel-Ullmo(voir
aussi[Va]
pour une variantesur les courbes de Shimura
définies).
Ici,
on considère le cas"orthogonal"
(plus difficile)
de larépartition
despoints
deHeegner
relatifs à l’ordre maximalOK
quand K
varie. Ainsi pour toute forme de Maassf ,
L(f
®g,p, 1/2)
s’interprète
en termes de "somme deWeyl"
relative àf :
si on poseon a
(au
moins siDisc(OK)
estpremier
avecq)
la formule suivante due àZhang
[Zh2]
Remarque
4.6. Dans le cas leplus
simple
de la courbe modulaireXo (1)
et
pour 0
= le caractère trivial dePic(OK)
une telle formule résulte de travaux deMaass,
et de la formule deWaldspurger
reliant les coefficients de Fourier depoids
demi-entiers aux valeursspéciales
de torduesquadratiques
de fonctions L
[Wal]).
Le théorème 9
appliqué
parrapport
au niveau de 91/J,(4.7)
et le théorème(ineffectif)
deSiegel impliquent
leCorollaire 4.3. Pour tout sous-groupe C de
Pic(OK)
d’indice rn et pourtout
forme cuspidales f
on aLe critère
d’équirépartition
deWeyl,
et un résultatanalogue
auCorol-laire 4.3
quand f
est une série d’Eisenstein(dont
la preuve utilise le Théo-rème8)
donne finalement leCorollaire 4.4. Soit q
fixé. Quand
D =IDisc(OK)1
- +oo, pour tout sous-groupe C dePic(OK)
d’indicem
n1/23042
l’orbite(incomplète)
despoints
deHeegner
devientéquirépartie
relativement à la mesurehyperbolique
surPlus
généralement,
les formules de Gross[G,
BD1]
(pour
lesalgèbres
dequaternions
sur Q qui
sontdéfinies)
et deZhang
[Zh2]
(dans
le casindéfini),
impliquent l’équirépartition
des orbitesincomplètes
depoints
deHeegner
sur les courbes de Shimura
correspondantes quand
D -Remarque
4. 7.Quand
l’orbite estcomplète
(C
= ce théorèmea été démontré par Duke
[Du]
en utilisant une méthode de Iwaniec[Iwl]
pour
majorer
non-trivialement les coefficients de Fourier des formes deMaass de
poids
demi-entier. Onpeut
aussi noter que ce cas résulte aussi duThéorème 7. Un résultat
d’équirépartition analogue
a été obtenurécem-ment par Paula Cohen pour les
points
deHeegner
sur les surfacesmodu-laires de Hilbert et par
Zhang
pour les variétés modulaires de hilbert[Zh2],
la preuve de ces deux résultats repose sur lagénéralisation
parCogdell,
Piatetski-Shapiro
et Sarnak[Cor, CPSS]
du Théorème 7 aux formesmod-ulaires de Hilbert sur les corps totalement réels. L’extension aux orbites