Trois théorèmes de finitude pour les $G$-formes

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

D

AVID

-O

LIVIER

J

AQUET

-C

HIFFELLE

Trois théorèmes de finitude pour les G-formes

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

7, n

o

_{1 (1995),}

p. 165-176

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1995__7_1_165_0>

© Université Bordeaux 1, 1995, tous droits réservés.

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Trois théorèmes de finitude

pour

les G-formes

par David-Olivier

JAQUET-CHIFFELLE*

RÉSUMÉ - Dans cet article, nous allons démontrer _qu’étant donné G, un

sous-groupe fini de

Gln(Z),

il n’y a, à G-équivalence près, qu’un nombre

fini de formes _{G-parfaites (resp. G-eutactiques,}

_{G-extrêmes).}

ABSTRACT - In this paper, we _{want to prove that, given G,} a finite _subgroup

of Gln

(Z),

there is, up to G-equivalence, only a finite number of G-perfect

(resp. G-eutactic, G-extreme) forms.

1.

_Rappels

Soit _n, un entier

_positif

et _q, une forme

quadratique

réelle définie

posi-tive à n variables. On associe à _q, de

façon

_canonique,

une matrice réelle

symétrique

définie

_positive

_Aq

E telle _que dx E

_q{x)

=

xtAqx.

Plus

_{généralement,}

cette

_{correspondance}

_permet

d’identifier

_l’espace

vec-toriel des formes

_quadratiques

sur à

l’espace

vèctoriel des matrices

_symétriques

réelles. On rend cet espace euclidien via le

_produit

scalaire induit _par la trace :

_{A 1 B}

&#x3E;=

_{Trace(AB) .}

On

_appelle

minimum de q, noté

m(q)

ou

m(Aq),

le nombre

positif

suivant :

Les vecteurs minimaux

_{de q}

_(ou

de

_Aq)

sont les vecteurs x E zn

_qui

vérifient

q(x)

=

m(q).

On _note

M(q) (ou

M(Aq))

l’ensemble des _vecteurs minimaux

de q.

L’invariant d’Hermite de q, noté

’Yn(q),

est défini par

= m(Ag ) .

Les formes

_qui

réalisent un maximum local de l’invariant d’Hermite sont dites

extrêmes.

Manuscrit reçu le 25 _{janvier 1994,} version _corrigée le 7 mai 1994.

*

L’auteur remercie le "Fonds national suisse de la recherche _{scientifique" pour} son

soutien _financier, ainsi que le rapporteur pour sa lecture attentive de la version _initiale, ses _remarques et ses _suggestions.

Dans

_Symn(IR),

_regardons

les

_points

_{xxt, x}

E

_{M (q).}

_{L’enveloppe}

convexe des demi-droites fermées issues de

_l’origine

et

_passant

_par ces

points

est

appelée

domaine de horonoï de la forme _q, noté

_Dq

ou

_DA,.

Si À e

_R+,

il

est clair que

Daq

=

Dq.

Une

forme q

_est dite

parfaites

si son domaine est de dimension

_maximale,

c’est-à-dire si

_dimDA

=

9.

On dit

_qu’une

forme _q est

_eutactique

si la matrice inverse de

_Aq,

est

un

_point

intérieur de

_Dq.

*

Voron6i relie ces définitions dans un théorème maintenant

_classique

_(Cf

[9]) :

THÉORÈME

1.1

_(VORONOÏ).

Une

_{forme quadratique}

réelle

_définie

_positive

est extrême si et seulement si elle est

_parfaite

et

_eutactique.

2. Trois actions de

_GIn(Z)

Considérons les trois actions suivantes :

1)

ai : action de

Gln(Z)

sur

Symn(IR).

Pour 9

E

_{Gln (Z)}

et X E

_Symn(JR),

on définit :

2)

a2 : action de sur l’ensemble des domaines de Voron6i.

Pour g

E et D un domaine de

_Voron6i,

on définit :

3)

a3 : action de par

conjugaison,

sur l’ensemble de ses sous-groupes.

Pour g

E et H un _sous-groupe de

Gln(Z),

on définit :

DÉFINITION

2.1. On

_appelle

_groupe des

_{automorphismes}

de

_A,

noté

_Aut(A),

le stabilisateur de A sous _al.

DÉFINITION 2.2. On

appelle

groupe des

symétries

d’un domaine

D,

noté

S(D),

le stabilisateur de V sous (}:2.

Les actions et a3 sont

compatibles

entre elles. En

effet,

considérons

X =

A,

la matrice d’une forme

quadratique

réelle définie

positive,

D =

_DA,

le domaine de Vorondi associé à

A,

’

Aut(A)

le _groupe des

_{automorphismes}

de

_A,

S(DA)

Gln(’Z),

le _groupe des

_symétries

de

_VA.

On vérifie sans

_peine

_{que :}

(compatibilité

de ai et

a2)

(compatibilité

de al et

a3)

(compatibilité

de a2 et

a3)

On dira _que deux formes

_(dont

les matrices

_respectives

_sont)

A et B sont

équivalentes

si elles sont

_positivement

_{proportionnelles}

à deux formes

_qui

appartiennent

à la même orbite sous a,. Donc A et B sont

_{équivalentes}

si

et seulement si .

L’invariant d’Hermite est constant sur les classes

d’équivalence.

On dira que deux domaines sont

équivalents

s’ils

appartiennent

à la même orbite sous cx2 . La

compatibilité

des actions al et a2 nous

_permet

de vérifier sans

peine

qu’à

deux formes

équivalentes

correspondent

deux domaines

équivalents

(la

réciproque

est fausse

_{~) ;}

_{si g -} A =

aB, alors 9 DA

---.-. DB .

3. G-formes

3.1 Résultats

_classiques

à

_{généraliser}

Vorondi a montré _{que pour n}

fixé,

il

n’existe,

à

_{équivalence près,}

_qu’un

nombre fini de formes

_parfaites.

Par

1.1,

on conclut

qu’à équivalence

_près

toujours,

il n’existe

_qu’un

nombre fini de formes extrêmes. Ash dans

_[1]

montre

_{qu’à équivalence près,}

il

_n’y

a

qu’un

nombre fini de formes

eutac-tiques.

Le but de notre article est de

_{généraliser}

ces résultats dans le cas des G-formes.

3.2 Définitions et

_propriétés

fondamentales

Soit

_G,

un _sous-groupe fini de On dira d’une forme

quadratique

réelle définie

_positive

_q

_qu’elle

est une si G

Aut(Aq).

L’action a, induit une action de G sur

Sym,,(R).

L’ensemble des

points

fixes par cette action est un _sous-espace vectoriel de noté

T(G).

En

_particulier,

toute G-forme

_appartient

à

_T(G).

On définit le groupe de Bravais de G

(Cf,

par

exemple,

[7]

et

_[8]),

noté

13(G),

comme étant le fixateur de

T(G)

sous _ai.

Remarques :

(i)

G est un _sous-groupe de

B(G) ,

(ii)

toute G-forme est une

B(G)-forme

(et

_{réciproquement}

!),

(iv)

la

_{correspondance}

G -

_T(G)

n’est _pas

_biunivoque.

En

_effet,

plusieurs

groupes G

peuvent

définir le même _espace

_T(G).

Par

contre,

la

_{correspondance}

_{B(G) H T (G),}

_elle,

est

_biunivoque.

Une

_{forme q}

est dite G-extrême si elle réalise dans

_T(G)

un maximum local de l’invariant d’Hermite.

On

_appelle

G-domaine d’une G-forme q, la

projection

orthogonale

de son domaine usuel

_Dq

sur

T(G).

Une

_{forme q}

est dite

_G-parfaite

si q est une G-forme dont le G-domaine est

de dimension maximale dans

_T(G).

On voit facilement _que toute G-forme

parfaite

est

_G-parfaite

_(la

_réciproque

est fausse

_!).

Une

_{forme q}

est dite

_G-eutactique

_{si q}

est une G-forme

_eutactique

et s’il existe des coefficients d’eutaxie constants sur les orbites de vecteurs mini-maux sous G. Il est facile de

_voir,

en

_prenant

les _moyennes sur les

orbites,

qu’une

G-forme

_eutactique

est

_toujours

_G-eutactique

_(Cf,

_par

_exemple,

_[3]).

On _{a, pour} les

_G-formes,

un théorème

analogue

au théorème 1.1.

THÉORÈME

3.1

_{(BERGÉ- MARTINET).}

Une

_G-forme

est G-extrême si et seulement si elle est

_G-parfaite

et

_(G-)

_eutactique.

On dira

_qu’une

matrice h E est une matrice de

G-équivalence

si

ht

_{T (G) h}

C

_{T (G).}

Il est facile de _{voir que} cette condition

_équivaut

à

ht

_{T(G) h}

--

T’(G~.

L’ensemble

N(G)

des matrices de

G-équivalence

est le

plus

grand

sous-groupe de pour

lequel

on

_peut

définir une action sur

T(G)

_par restriction de 0~1.

On dira que deux G-formes A et B sont

G-équivalentes

s’il existe

et h,

une matrice de

_{G-équivalence,}

tels

_{que h -}

A = AB. La notion de

G-équivalence

est

_plus

forte _que la notion

_{d’équivalence.}

Deux G-formes

G-équivalentes

sont

_{équivalentes ;}

_par

_contre,

il arrive _que deux G-formes

équivalentes

ne soient _pas

G-équivalentes.

LEMME 3.2. Le _groupe est le

_{normalisateur,}

dans du _groupe de Bravais

_~’3(G),

c’est-à-dire

Preuve : Soit h E les énoncés suivants

_équivalent

à dire

_{que h}

est

une matrice de

G-équivalence.

-4

_{Quelques exemples}

4.1 G = ou

Lorsque

G =

{Idn}

_ou =

Symn(R)

et l’on _retrouve les

no-tions habituelles de formes

_parfaites,

_eutactiques,

extrêmes et de domaines de Vorondi. Dans cet

_exemple,

les notions

_{d’équivalence}

et de

_{G-équivalence}

coïncident. En

_effet,

_{B(G) =}

_(+Idn)

et

_N(G)

=

Il _y a une infinité de formes

_parfaites

_(resp.

_eutactiques,

_extrêmes).

_Mais,

nous savons

_qu’il

_y a

_qu’un

nombre fini de classes de formes

_parfaites

_(resp.

eutactiques,

extrêmes).

4.2 G =

Aut(An),

Aut(E6),

Aut(E7),

Aut(Es),

etc.

Lorsque

G est _{le groupe} des

_{automorphismes}

d’une forme

_parfaite

_{q et que} G

_agit

transitivement sur les vecteurs minimaux

_{de q}

_(une

seule

_orbite),

De

_façon

_générale,

deux vecteurs minimaux

_qui

sont dans la même orbite sous G définissent deux arêtes dans

qui

ont même

projection

sur

~(G) .

On en conclut _que, dans le cas

qui

nous

_intéresse,

la dimension de la

_projection

de

_Dq

sur

T(G)

est au

_plus

1. Comme _{q est} une G-forme

parfaite,

elle est

_G-parfaite

et la dimension de la

_projection

de

_Dq

sur

?’(G)

est

_égale

à la dimension de

_?’(G).

Mais cette dernière est

_toujours

supérieure

ou

_égale

à 1

_(A

= est une matrice

symétrique

réelle

définie

_{positive qui appartient toujours}

à

_{?r{G) ) .}

_Ainsi,

la dimension de

vaut 1 et on conclut en

_remarquant

_que la matrice de Gram associée

à q

est un élément non-nul de

T(G).

Dans cet

_exemple,

il _y a

_donc,

à homothétie

_près,

une seule G-forme. Elle

est par

conséquent,

G-extrême et

_{G-eutactique,}

donc

_eutactique.

Il est clair _que G est

_égal

à son _groupe de Bravais : cela est vrai dès _que G est le _groupe des

_{automorphismes}

d’une forme

_quadratique

réelle définie

positive.

Mais

ici,

on a

mieux ;

du fait _que la dimension de

T( G)

vaut

_1,

on déduit facilement que G est aussi

égal

au

_{normalisateur,}

dans de son _groupe de Bravais.

Ainsi,

on a dans cet

_exemple

G =

B(G)

=

N(G) .

5 Théorèmes de finitude à

_{G-équivalence près}

.

Nous allons maintenant démontrer trois théorèmes de finitude pour les

G-formes,

à savoir :

’

THÉORÈME

5.1. 1

A

_{G-équ2valence près, 2l n’y}

a

qu’un

nombre ,

fin2

de

formes G-parfaites.

THÉORÈME 5.2. A

_{G-équivalence près, il n’y}

a

qu’un

nombre

fini

de

G-f ormes

eutactiques.

THÉORÈME

5.3. A

_{G-équiualence près, il}

_n’y

a

_qu’un

nombre

fini

de

_formes

G-extrêmes.

Le théorème 5.3 est une

_conséquence

directe des théorèmes 3.1 et 5.1 ou 5.2. Pour démontrer les théorèmes 5.1 et

_5.2,

nous avons besoin de certains résultats intermédiaires.

LEMME 5.4. Soit

_{A, ta}

matrice d’une

_{forme quadratiques}

réelle

_définies

posi-tive ;

est un _sous-groupe de

S (DA ) .

1 Dans

_(3~,

A.-M. _Bergé et J. Martinet énoncent que l’ensemble des classes de simi-litudes de réseau _G-parfaits est _{finie (Prop. 3.12).} Le théorème 5.1 est plus fort que cette _{proposition puisqu’il} montre la finitude du nombre de classes de formes G-parfaites

à _{G-équivalence près (et} non _pas seulement à équivalence près). De _plus, comme les

auteurs me l’ont signalé, la démonstration qu’ils donnent de leur _proposition 3.12 n’est pas correcte.

Preuve : Dire que g

appartient

à

_Aut(A)

revient à dire _{que g -} A = A. Par

compatibilité

des actions al et G2,9.

VA

= =

_DA;

cela

équivaut

à

dire que g

appartient

au _groupe des

symétries

de

DA.

Il En

_{général, S(DA)}

est

_{plus grand}

que

Aut(A) ;

il arrive même que

S(DA)

soit infini. Mais :

LEMME 5.5. Si A est la matrice d’une

_{forme parfaite,}

_Aut(A)

et

_S(DA)

çoïncident.

Preuve :

_{Soit 9}

E

_{S(DA) ;}

DA

=

9-DA

=

Dg . A .

On en conclut

que A et g~A

ont les mêmes vecteurs minimaux. Comme il est clair que

m(A)

=

m(g ~ A),

la

_perfection

de A

_implique

_{l’égalité}

A = g .

A ;

d’où,

g E

_Aut(A).

Il LEMME 5.6

_(VORONOÏ).

Tout domaine de Voronoï est soit le domaine d’une

_forme

_parfaite,

soit une

_facette

de codimension &#x3E; 1 d’un ted domaine. On en

déduit,

LEMME 5.7

_(VORONOÏ).

A

_{équivalence près, il n’y}

a

_qu’un

nombres

_fini

de

domaines de Voronoï.

,

On a vu dans la démonstration du lemme 5.5 _que deux formes

parfaites

de même minimum et de même domaine sont

_égales.

Cette

_propriété

_classique

reste _{vraie pour} les G-formes. Plus exactement :

PROPOSITION 5.8. Deux

_{formes G-parfaites}

de même minimum et de même G-dorraaine sont

_égales.

Cette

_proposition

est une

conséquence

immédiate du lemme 2.7 dans

[4].

En

_général,

_DA

et il se

_peut

qu’un

domaine D ne contienne

au-cune forme

quadratique

définie

_positive.

Les domaines

_qui

contiennent des formes

_quadratiques

réelles définies

_positives

ont des

_propriétés

parti-culières.

LEMME 5.9

_{{VoR,orroï).}

Soit

_D,

un domaine contenant

f,

une

forme

quadratique

réelle

_définie

_positive.

Le domaine V n’est contenu _que dans un nombre

_fini

de domaines de

_formes

_parfaites.

Preuve : Il suffit de _{constater que si} A est une forme

_parfaite

dont le domaine contient D

_{(donc f ),}

Si l’on fixe le

_minimum,

disons

_m(A)

=

_l,

_on sait

que le nombre de formes

parfaites

A vérifiant &#x3E;= À est

_{fini ;}

cette

_propriété,

énoncée dans

[9],

est démontrée de

_façon

détaillée dans

_[5]

_{(p. 39).}

Il PROPOSITION 5.10. Soit

_D,

un domaine

_{contenant f,}

une

_forme

quadra-tique

réelle

_définie

_positive.

_S(D),

le _groupe des

_symétries

de D est un sous-groupe cni de

Gln

(Z).

Preuve : Soit

_V(D),

l’ensemble des domaines de formes

_parfaites

contenant

D. Le lemme 5.9 montre _que

_V(D)

est un ensemble fini.

S(D)

_agit

sur

V(D)

par restriction de a2. Le fixateur de

V(D)

est

_toujours

fini. En

_effet,

Comme X est une forme

parfaite,

le lemme 5.5 _{montre que}

S(Vx) =

Aut(X) ;

en

_particulier,

c’est un _groupe fini.

Du fait _que

_V(D)

et son fixateur sont tous deux

_finis,

on déduit _que

S(D)

est, dans ce _cas, un _groupe fini.

, . LEMME 5.11. Soit

_G,

un _sous-groupe

fini

de et

_h,

un élément de

Une

_forme

A est

_G-parfaite

si et seulement si

_{(h -}

_A)

est

_{(h -}

G)-parfaite.

Preuve : Il suffit de montrer

_{l’implication}

dans un sens.

La

_{compatibilité}

des actions al et a3 montre que si A est une

G-forme,

(h - A)

est stable _par

_{(h - G).}

Cela a donc un sens de vérifier la

_{(h -}

G)-perfection

de

_(hA).

_Remarquons

_(h-1)t

_{T(G)h-1 ;}

si

_fl

=

{Tl, T2, ..., Td}

forme une base de

T(G’),~={(~~~ri~B(~-~)~T2~~

...,

(h-i)t

forme une base de

T(h ~ G)

T(G)

et

T(h - G)

ont donc

la même dimension. Si v est un vecteur minimal de

_A,

hv est un vecteur minimal de h - A =

(h-1)tAh-1.

Calculons la

_projection

_orthogonale

de

(hv)(hv)t

sur

T(h. G),

exprimée

dans la base duale de h .

_Q.

La i-ème coordonnée est donnée _par

On retrouve la i-ème coordonnée de la

_projection

_orthogonale

de

vvt

sur

Ainsi,

la dimension du G-domaine de A et celle du

_{( h ~ G)-domaine}

de h - A

_peuvent

se calculer via le _rang de la même matrice. Ces dimensions

sont donc

_égales.

Par

_conséquent,

si A est

_G-parfaite,

c’est-à-dire si ce _rang

est

_{maximal, h -}

A est

_{(h - G)-parfaite.}

Il La

_proposition

suivante décrit une

propriété

fondamentale des formes

G-parfaites,

propriété

qui joue

un rôle essentiel dans la démonstration du théorème 5.1.

PROPOSITION 5.12. Soit

_G,

un _sons-groupe

fini

de _{et q,} une

_forme

G-parfaite.

Al ors,

S (Dq )

est

_{fini ;}

en

particulier,

S(Dq)

ne contient

qu’un

nombre ,

_fini

de sous-groupes

conjugués,

par un élément de

_Gln

{7~),

au _groupe de Bravais

_B(G).

Preuve : Dans

_[3],

la

_proposition

2.8 _{montre que} si q est une forme

G-parfaite,

les vecteurs minimaux

_{de q engendrent}

Par la

_proposition

2.3 de

_[4],

on sait que

_Dq

contient alors au moins une forme

quadratique

réelle définie

_positive.

Par la

_{proposition 5.10,}

on en déduit _que

S(Dq)

est un groupe fini.

Il Soit

_Gi,G2

et

_G3,

trois groupes tels que

Gi

G2

G3.

On notera

G ( G1, G2, G3 ) ,

l’ensemble des _sous-groupes de

_{G2 ,}

_conjugués

à

_Gi

_par un élément de

_{G3 .}

Le _groupe

_{G2 agit}

naturellement sur

C (Gi ,

G2,

G3 )

_par

con-jugaison.

On notera

_/C(G1,

_G2,

_G3),

le nombre d’orbites _pour cette action. PROPOSITION 5.13. Soit

_G,

un _sous-groupe

fini

de

Gln(71)

et _q, une

forme

G-parfaite. R y

a au

_plus

JC(B(G),S(Vq),

oo classes de

G-équivalence

de

_{formes G-parfaites}

dont les domaines sont

_{e"quz*valents}

à

_Dq.

1

Preuve : La

_proposition

5.12 _{montre que} est un

ensemble

_{fini ;}

a

fortiori,

J’C{13{G), S(Dq), Gln(Z»

est fini.

Soit ql et q2 , deux formes

G-parfaites

dont les domaines usuels sont

équivalents

à

_{Dq .}

Il existe _{g, et g2} dans

_Gln(71)

tels _que

_Dq

=

Dq,, (i

=

1, 2) .

On

_peut

_supposer, sans

_perdre

de

_{généralité,}

_{que q1} et _{q2 ont} le même minimum. Par

_{compatibilité}

des actions cx2 et a3 ,

Les gi -

Ii(G)

sont des _sous-groupes de

_conjugués,

_par un élément de groupe de Bravais

,t3(G).

On

_peut

montrer que les formes ci et q2 sont

G-équivalentes

si et

seule-ment si

_91.B(G)

et

_g2~,t3(G)

sont dans la même orbite de

_S(Dq),

sous l’action de

S(D.)

_par

_conjugaison.

Pour achever la démonstration de

notre

_proposition,

seul un sens de cette

équivalence

nous

importe,

à

savoir,

si _{91 -}

_t3(G)

_{et 92 -}

_13(G)

sont dans la même orbite alors ci et q2 sont dans la même classe de

_{G-équivalence.}

Dire _{que g, - et 92 -} sont dans la même orbite

_équivaut

à dire

_qu’il

_{exite 9} E

_S(Vq)

tel _{que g -}

_{(gi -}

_B(G))

=

92 -

B(G).

Comme

(991 ) ’

Dq~

= _{9 -} = _{g -}

Dq

=

Dq,

_on

_peut

_supposer,

quitte

à

remplacer

91 par 99u que gi . = _{p2 -}

B(G) .

Posons

Comme

_les

_(i

=

1, 2)

sont

G-parfaites,

le lemme 5.11 affirme _que les

qi

(i

=

1, 2)

_sont

_H-parfaites.

Elles _ont le même domaine

Dq,

donc le même H-domaine

_(projection

de

_Dq

sur

T’(H~)

et le même minimum. Par la

_{proposition 5.8,}

on conclut _que

La relation

₍₂₎

montre

que 92 lg,

fournit une

_équivalence

_{entre ql} et _q2.

La relation

₍₁₎

montre que c’est une

G-équivalence ;

en

effet,

cette rela-tion

_équivaut

à dire _que

_{g2 lgl}

_appartient

au normalisateur de

B(G)

dans Il Preuve du Théorème 5.1 : A toute G-forme

_correspond

un domaine

clas-sique

de Vorondi. Le lemme 5.7

_{garantit qu’il}

n’existe

_qu’un

nombre fini de domaines

_{inéquivalents.}

A

_fortiori,

l’ensemble des domaines

_Dq,

où _q

est une forme

_G-parfaite,

se

_décompose

aussi en un nombre fini de classes

d’équivalence.

La

proposition

5.13 montre

_qu’à

_{G-équivalence}

_près,

il

_n’y

a

_qu’un

nom-bre fini de formes

_G-parfaites

dont les domaines usuels sont

_{équivalents.}

Ensemble,

ces deux résultats de finitude montrent

qu’à G-équivalence

près,

il

_n’y

a

_qu’un

nombre fini de formes

G-parfaites.

Il PROPOSITION 5.14. Soit

_G,

un _sous-groupe

fini

de et _q, une

G-forme.

Il _y a au

plus

Aut(q), Gln(Z))

oo classes de

G-équivalence

de

_{G formes équivalentes}

à _q.

Preuve : La finitude de

_Gln(71))

découle de la finitude de

Aut(q) .

Les énoncés des

_propositions

5.13 et 5.14

_présentent

une

_grande

simili-tude. Cette

_analogie

se retrouve

_{partiellement}

dans la démonstration. En

cette

_{fois-ci) ;}

on

_peut

reprendre

la

première

partie

de la _preuve de 5.13 en faisant

_jouer

à _q

(resp.

q1, q2 )

le rôle de

Dq (resp.

De

façon

naturelle,

il

_s’agit

de

_remplacer

_(resp.

_S(D.1),

par

Aut(q)

(resp.

Aut ( q2 ) ) .

On conclut toutefois

_{plus rapidement}

que

précédemment puisque l’égalité

entre domaines 92 -

Dq2 - Dq -

dans la preuve de 5.13 - se

traduit, ici,

directement _par une

égalité

entre formes

quadratigues :

ql =

92 - q2 --- _q. La matrice est une matrice de

G-équivalence

qui

envoie ₉₁ sur _q2.

8 Preuve du théorème 5.2 : Ash dans

_[1]

montre

_qu’à

_{équivalence près,}

il

n’y

a

_qu’un

nombre fini de formes

eutactiques.

La

proposition

5.14 _prouve

que

chaque

classe de formes

eutactiques

ne contient au

plus qu’un

nombre fini de classes de

_{G-équivalence}

de G-formes

_eutactiques.

8 6. Conclusion

Dans

_[4],

les auteurs définissent aussi les notions

_plus

_générales

de formes

T-parfaites, T-extrêmes,

etc. où T est un _sous-espace

quelconque

de

(R) .

Le cas des G-formes

correspond

au cas

_particulier

où T =

T(G) .

Les résultats de finitude de cet article ne sont

_plus

_toujours

vrais dans le cas des 7-formes. En

_effet,

_{François Sigrist}

et moi-même venons de

_construire,

en dimension

_2,

un

exemple

_pour

lequel

il _{y a,} à

T-équivalence près,

une infinité de formes

_T-parfaites

_(Cf

_[6]).

Cela

_souligne

l’intérêt des trois théorèmes

_précédents

de finitude _pour le cas des

_G-réseaux,

c’est-à-dire

_lorsque

T =

T(G)

provient

d’un

sous-groupe fini de

RÉFÉRENCES

[1]

A. Ash, On eutatic forms, Can. J. Math., Vol. XXIX, No. 5 _(1977), 1040-1054.

[2] A. _Ash, On the existence _of eutactic _forms, Bull. London Math. Soc. 12 _(1980), 192-196.

[3]

A.-M. _Bergé et J. _Martinet, Réseaux extrêmes pour un _{groupe d’automorphismes,}

Astérisque ** ₂₀₀

(1991), 41-66.

[4]

A.-M. _Bergé, J. Martinet et F. _Sigrist, Une généralisation de _{l’algorithme} de _Voronoï,

Astérisque 209

_(1992),

137-158.

[5]

D.-O. _{Jaquet-Chiffelle,} Enumération _complète des classes de _{formes parfaites} en

dimension _7, Thèse de doctorat, Annales de l’Institut Fourier Tome _43, Fasc. 1

[6]

D.-O. _{Jaquet-Chiffelle} et F. Sigrist, Classification des _{formes quadratiques} réelles :

un _{contre-exemple} à la _finitude, Acta Arithmetica LXVIII.3

_(1994),

291-294.

[7]

W. Plesken, The Bravais group and the normalizer of a reducible finite subgroup _of Gln(Z), Communications in _algebra 5

_{(4) (1977),}

375-396.

[8]

S. S. Ry0161kov, Maximal _finite groups of integral n x n matrices and _full groups of integral automorphims of positive quadratic forms

(Bravais models),

Trudy Mat. Inst. Steklov, Proc. Steklov Inst. Math. 128

_(1972),

217-250.

[9]

G. Voronoï, Sur _{quelques propriétés} des _{formes quadratiques positives parfaites,} J. reine _angew. Math 33

_(1908),

97-178.

David-Olivier JAQUET-CHIFFELLE

Confédération suisse

Section fédérale de _cryptologie

Hofweg 11 CH-3013 Berne Suisse