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Submitted on 1 Jan 1980
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Excitations thermiques propagatives dans une couche de fluide stratifiée
P. Lallemand, C. Allain
To cite this version:
P. Lallemand, C. Allain. Excitations thermiques propagatives dans une couche de fluide stratifiée.
Journal de Physique, 1980, 41 (1), pp.1-17. �10.1051/jphys:019800041010100�. �jpa-00209211�
LE JOURNAL DE PHYSIQUE
Excitations thermiques
propagatives
dans une couche de fluide stratifiéeP. Lallemand et C. Allain
Laboratoire de Spectroscopie Hertzienne de l’E.N.S.
24, rue Lhomond, 75231 Paris Cedex 05, France (Rep le 19 juillet 1979, accepté le 14 septembre 1979)
Résumé. 2014 On considère la dynamique des excitations d’une lame de liquide horizontale soumise à un gradient
de température vertical et placée entre deux plaques rigides parfaitement conductrices. Après avoir rappelé les équations du mouvement et étendu les méthodes classiques de résolution, on montre que l’on peut étendre les résultats simples qui s’appliquent dans le cas de surfaces libres à condition de multiplier la viscosité cinématique
par un coefficient qui ne dépend que de la géométrie du système. On montre ensuite que les modes deviennent
propagatifs : ondes thermoconvectives, lorsque le gradient stabilisant dépasse un certain seuil. On présente ensuite
divers résultats expérimentaux obtenus à l’aide de la technique de la diffusion Rayleigh forcée en vue de mettre ces
ondes thermoconvectives en évidence expérimentale. On discute les raisons pour lesquelles l’accord entre prédic-
tions et résultats expérimentaux n’est que qualitatif au voisinage du seuil.
Abstract. 2014 We consider the dynamics of the excitations of a horizontal liquid layer placed in between two per-
fectly conducting and rigid plates, in the presence of a vertical temperature gradient. After recalling the equations
of motion and extending the usual methods to solve them, we show that we can apply the results holding for
free boundaries, provided the kinematic viscosity is multiplied by a coefficient that depends only upon the geo- metry of the system. We then show that the modes can become propagative (thermoconvective waves) when a stabilizing temperature gradient is larger than a threshold. We present experimental results deduced from forced
Rayleigh scattering measurements to show the existence of the thermoconvective waves. We finally discuss the
reasons why the agreement between theory and experiment is only qualitative near threshold.
J. Physique 41 (1980) 1-17
Classification
Physics Abstracts
44.25
Introduction. - L’etude des excitations thermiques
des lames de liquide a connu un regain d’interet [1]
depuis quelques annees, en particulier grace a la
mise en place de moyens exp6rirnentaux nouveaux [2].
Lorsque le liquide est soumis a un gradient ther- mique destabilisant, suffisamment important, on sait
que le milieu devient instable. On observe alors le
phenomene de convection [3]. Pour des valeurs
encore plus fortes du gradient thermique les rouleaux convectifs deviennent instables, avec apparition de
mouvements turbulents. Ces phenomenes ont fait l’objet d’experiences variees [4]. Divers auteurs [5, 6]
se sont aussi interesses a la transition systeme stable- syst6me convectif. Pour cela ils ont etudie la dyna- mique d’excitations periodiques. C’est ainsi que Lekkerkerker et Boon [6] ont analyse les mouve-
ments du fluide en termes de modes couples de nature
mixte : onde thermique et onde de vorticite. Ils ont montre qu’un mode particulier presente un pheno-
mene de ralentissement critique a la transition convec-
tive. Ces predictions ont donne lieu a des etudes
exp6rirnentales [7, 8].
Nous nous proposons d’etendre l’analyse de Lekker-
kerker et Boon [6] au cas realiste d’une lame de
liquide comprise entre deux plaques rigides tres
bonnes conductrices de la chaleur. Pour cela nous
utiliserons une methode iterative. Nous envisagerons
ensuite le cas d’une stratification stable, c’est-a-dire que l’on chauffe la partie superieure de la lame de
liquide lorsque celui-ci a un coefficient de dilatation
thermique positif. Nous verrons que les relaxations deviennent oscillantes lorsque le gradient thermique
est suffisamment important. Ce changement de la
nature des relaxations a ete pr6dit par plusieurs
auteurs [9]. Nous presentons enfin une serie d’exp6-
riences utilisant la technique exp6rimentale de diffu-
sion Rayleigh forcee [10] de la lumiere, en vue de
mettre en evidence 1’existence d’ondes thermiques propagatives et de tester les modeles theoriques.
1. Analyse theorique. - Considerons une lame de fluide, d’epaisseur d, situee entre deux plaques horizon- tales, rigides, tres bonnes conductrices de la chaleur et maintenues respectivement aux temperatures T
et T + #d. Nous choisissons des coordonnees reduites telles que les plaques soient situees en z = + 1/2
et z = - 1/2.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019800041010100
Nous allons faire une analyse bidimensionnelle des excitations thermiques de faible amplitude, de longueur d’onde L. Nous les choisirons de la forme :
ou a = 2 nd/L est le nombre d’onde (en unites reduites) dans la direction horizontale. Comme nous
le verrons dans la parties experimentale, il est aise
de creer de telles excitations dans le fluide, puis de
detecter leur evolution temporelle est. Notre but est donc de prevoir la valeur des taux de relaxation
I s I a partir des donnees caracterisant la situation
experimentale. Notons que ce choix de solution revient a prendre une transformation de Fourier
spatiale dans la direction x et une transformation de Laplace par rapport au temps. Le systeme est
entierement defini lorsque l’on a fixe :
- les proprietes du fluide, par la diffusivit6 ther-
mique K, la viscosite cinematique v et le coefficient de dilatation thermique q a = 1 v
av
aT ;- la geometrie du systeme, par 1’epaisseur d et
la longueur d’onde L ;
- 1’environnement, par le gradient thermique p,
l’accélération de la pesanteur g et les conditions
aux limites aux interfaces liquide-parois horizontales.
Le probleme trait6 consiste a generaliser le calcul
de 1’apparition des instabilites convectives dans lequel
on cherche les conditions pour que la fonction est devienne exponentiellement croissante. Il en resulte que l’analyse qui suit est directement inspiree des
discussions presentees de maniere didactique par Chandrasekhar [3]. Apres avoir rappele les equations
du mouvement nous presenterons diverses methodes de resolution rigoureuses puis approchees. Nous
discuterons ensuite les resultats par analogie avec
le cas d’une lame de liquide a bords libres.
1.1 EQUATIONS DU MOUVEMENT. - Bien que notre but soit de determiner uniquement la dependance spatio-temporelle de la temperature du milieu, le
fait que nous considerions un fluide incompressible
nous oblige a envisager en meme temps la vorticite du milieu.
Nous representons :
- la temperature par F(z) e iax est
- la derivee selon x de la composante horizontale de la vorticite par G(z) eiax e st
- la composante verticale de la vitesse par
W(z) e’ax est
avec :
Les equations de 1’hydrodynamique linearisees
appliquees a un fluide stratifi6 tel qu’on ait au repos
F(z) = To + flz, conduisent, dans 1’approximation
de Boussinesq, aux equations couplees :
Nous avons introduit les nombres sans dimensions usuels : nombre de Prandtl p = v/K et nombre de Rayleigh R = grxPd4 jvK. De plus nous avons pris
comme unite de temps d2/4 n2 v.
Par ailleurs, il faut preciser les conditions aux
limites sur les plaques. Ici, en vue de decrire nos
experiences, nous avons choisi des parois rigides et parfaitement conductrices de la chaleur. Il en resulte que les fonctions F et W doivent satisfaire a :
On peut noter que les solutions du probleme vont
etre des modes couples en raison du terme R dans
1’6q. (1).
1. 2 SOLUTION EXACTE. - Partant des 6q. (1) et (2)
on trouve que W satisfait :
W se presente donc comme une somme de six fonctions exponentielles exp( ± q, z) ; exp( ± q2 z) ; exp( ± q3 z)
ou qi, q2 et q3 sont solutions de 1’equation :
On tient alors compte des conditions aux limites (3),
ce qui conduit a annuler un determinant 6 x 6.
En examinant ce determinant on trouve qu’on peut
ranger les solutions en deux classes selon la parite
de W. Les solutions paires seront obtenues en annulant
le determinant :
Tandis que les solutions impaires sont obtenues pour :
On procedera de la facon suivante pour trouver les solutions. On fixe s reel ou complexe, puis on fait
varier R. Pour chaque R on calcule d’abord qi, q2, q3 a partir de 1’eq. (5), puis on calcule Dq ou Di. La
solution R(a, s) cherchee sera obtenue lorsque Dq
ou Di sera nul.
Ce procede analogue a celui qu’on utilise pour trouver l’instabilit6 de B6nard (cas particulier s = 0)
a ete utilise par Gershuni et al. [9]. Considerons le
cas particulier R = 0 en vue de determiner les modes
non couples.
1.2.1 Mode thermique. - On l’obtiendra à partir
de 1’eq. (1) et de la condition aux limites (3c), d’ou :
On trouve donc le meme resultat que pour un mode
thermique libre de vecteur d’onde :
soit en seconde - 1 : ST = - Kqn .
1. 2. 2 Mode « vortex ». - 11 faut alors suivre la methode de resolution indiquee plus haut. On trouvera
la solution a partir des racines de 1’equation :
et
= a
coth a
pour les modes impairs. (10b)11 est int6ressant de remarquer que le nombre de Prandtl n’intervient pas dans ces equations. On peut alors r6soudre (10a) et (lOb) une fois pour toutes
(voir plus loin les eqs. (32) a (35)) et exprimer le resultat (en unites reduites) sous la forme :
soit en seconde - ’
On trouve donc le meme taux de relaxation que celui de la vorticite a condition de remplacer la vis-
cosit6 cinematique v par vf,,(a).
Nous pouvons indiquer qu’on peut aisement resoudre le probleme dans le cas d’une lame de
liquide a bords libres. En effet, dans ce cas la condi- tion aux limites (3b) est remplacee par
Cela permet de choisir :
ou
Dans ces conditions 1’eq. (5) devient :
ou n = 2 m dans le cas impair et n = 2 m + 1 dans
le cas pair.
On obtient donc immediatement deux solutions du probleme en resolvant cette equation du second degre. Notons que lorsque R = 0 ces solutions sont
simplement .
On verra plus loin que la solution exacte differe peu de celle qu’on obtient simplement dans le cas
des bords libres a condition d’introduire le facteur
correctif fn(a) dans la racine SV.
1. 3 MTTHODE DE RESOLUTION APPROCHEE. - En vue
de diminuer la quantite des calculs num6riques à
faire et d’obtenir une meilleure idee physique sur
les excitations, nous avons adapt6 a notre situation
la methode variationnelle discut6e par Chandra- sekhar [3]. Le principe consiste a d6composer F(z)
sur une base de fonctions simples satisfaisant la condition aux limites (3c), en particulier les fonctions
cos (2 m + 1) 7z ou sin 2 m7rz. Elles permettent d’in- troduire naturellement les vecteurs d’onde qm discutes plus haut (eq. (9)).
Avant d’entrer dans le detail des calculs, nous allons etendre le principe variationnel discute par Chandrasekhar.
1.3.1 Expression de R à partir des fonctions F, G et W. - Partant de 1’eq. (1), nous avons :
ou l’on a pose D = d/dz.
Nous effectuons alors une serie d’integrations
par partie, en tenant compte des conditions aux
limites (3) pour z = ± 1/2. Cela permet d’exprimer
R sous la forme :
Cette expression constitue la generalisation de 1’ex- pression de Rc, obtenue pour s = 0.
1. 3 . 2 Principe variationnel. - Nous allons montrer que l’on peut obtenir R en minimisant 1’expression (14)
par rapport a de petites variations 6F, bG et 8 W qui
satisfont aux equations du mouvement (1) et (2)
et aux conditions aux limites (3). Pour cela nous
ecrivons (14) sous la forme :
Calculons les variations de R, soit :
En effectuant une serie d’integrations par parties, on
trouve que l’on peut exprimer 6R sous deux formes differentes :
ou
Cela montre que R est extremum par rapport a de petites variations 6F ou 6W si les fonctions F et W satisfont aux equations du mouvement. Cela va nous
permettre de determiner F et W en essayant de mini- miser la valeur de R calcul6e avec 1’expression (14).
En pratique il vaut mieux minimiser une quantite
différente que l’on obtient en utilisant le raisonnement suivant.
Si R est extremum par rapport aux variations 6F, 6G et 6 W, il en sera de meme pour U a condition que Z soit maintenu constant. On peut alors tenir compte de cette condition sur Z a 1’aide d’un multi-
plicateur de Lagrange. Ceci nous conduit a considerer
la quantite :
On peut pour cela exprimer J de deux manieres differentes :
a) Premier énoncé. - En procédant d’une mani6re
analogue a celle qui a conduit a (14), on peut montrer
que :
Cherchons a minimiser J. Pour cela nous calculons la variation de J, soit :
Nous trouvons donc que la condition necessaire et suffisante pour que J soit extremum est que 1’equa-
tion du mouvement (1) soit satisfaite par F et W.
fl) Deuxième énoncé. - Partant de la m8me expres- sion (14) que precedemment, on peut aussi considerer
1’expression :
Calculons les variations de K. On trouve :
Cela montre qu’on pourra remplacer 1’equation
du mouvement (2) par la condition que l’expression K
est extremum. Notons pour les applications ulterieures que l’on peut transformer K et l’ecrire sous la forme :
On va maintenant exploiter ces deux enonces du
principe variationnel. Partant de fonctions satis- faisant les conditions aux limites (3) et 1’equation
du mouvement (2) nous nous servirons de J pour tenir compte de l’equation du mouvement (1). Au contraire partant de l’equation du mouvement (1), K nous
servira pour tenir compte de l’equation du mouve-
ment (2).
Ces principes variationnels s’averent tres utiles
car ils vont nous permettre de calculer R(a, s) par
approximations successives.
1.3.3 Utilisation de 1’expression J (mgthode T).
- Nous allons considerer une fonction d’essai F
dependant lin6airernent de N parametres, telle que F satisfasse les conditions aux limites (3c). A partir
de IA nous determinerons W a l’aide de 1’6quation
du mouvement (2) et des conditions aux limites (3a)
et (3b). On essaiera de tenir compte de 1’equation du
mouvement (1) en minimisant J donne par 1’eq. (20) (premier enonce) par rapport aux N parametres.
Comme nous partons de F qui represente la temp6-
rature, nous appellerons ce procede la methode T.
Une fagon simple de tenir compte des conditions (3c)
consiste a prendre :
dans le cas pair et :
dans le cas impair.
Le calcul des fonctions W correspondantes puis
de Jest donne dans 1’appendice I. Fdependant lin6aire-
ment des N parametres Ai, la minimisation de J est obtenue en annulant un determinant N x N :
dont les elements sont donnes dans 1’appendice I.
Avant de presenter quelques resultats nous allons developper une autre methode approchee.
1. 3 . 4 Utilisation de 1’expression K (methode W). -
La demarche va etre semblable a celle du paragraphe precedent, mais en echangeant les roles de F et de W.
Nous partirons donc de W, si bien que nous appelle-
rons cette fagon de proceder : la methode W.
Il s’agit donc de considerer des fonctions W satis- faisant les conditions aux limites (3a) et (3b). Comme
nous avons deux conditions sur chaque paroi, le
choix de W est plus delicat que dans la methode T.
Nous avons opte pour les fonctions considerees par Chandrasekhar [3] qui les obtient a partir des solutions de 1’equation :
avec :
Ceci conduit a une serie discrete de solutions :
en se limitant aux fonctions paires en z.
Ici Å.m est solution de 1’6quation : -,--
-_
"
En suivant les raisonnements de la methode T,
on aboutit a la solution R(s, a) en annulant le deter-
minant :
dont les elements sont explicites dans 1’appendice II.
1.4 EVALUATION DES MTTHODES DE RESOLUTION APPROCHTE. - Nous avons fait une etude assez
detaillee de la validite des methodes T et W en utilisant
comme test la convergence des racines R pour a et s donnes en fonction de la dimension N de la base de fonctions d’essais.
1.4.1 Détermination du nombre de Rayleigh critique. - Nous ne reviendrons pas ici sur la methode T qui est discutee par Chandrasekhar,
mais considerons uniquement la methode W. Nous donnons dans le tableau I, les valeurs de Rc(a) pour le premier mode pair pour diverses valeurs de Lid,
obtenues pour N = 1, 2, 3 et 4. On voit que la conver- gence vers la valeur exacte est tres satisfaisante, quoique moins rapide que ce qu’on trouve avec la
methode T.
1. 4. 2 Détermination de fn(a). - Nous avons défini fn(a) plus haut a partir des racines des equations
transcendantes (l0a) ou (lOb). En pratique on cherche
les racines successives des equations
Tableau I. - Evolution du nombre de Rayleigh critique calcul£ par la methode W en fonction de l’ordre d’approxi-
mation.
[Test of the W method : evolution of the critical Rayleigh number with the order of approximation.]
d’of :
pour les modes pairs et :
pour les modes impairs.
On donne dans le tableau II quelques valeurs
de fo, fl, f2 d6terrnin6es exactement et determinees par la methode W au 1 er ordre a l’aide de 1’expression (A 2.2) ou (A 2.3). On voit que la methode W donne des resultats satisfaisants.
Tableau II. - Valeurs des coefficients fn(a). Valeur
exacte et valeur calculée par la méthode W au premier
ordre.
[Values of the coefficients f.(a). Exact value and approximate value calculated with the W method limited to the first order of iteration.] ]
1. 4. 3 Cas général. - L’etude d’un grand nombre
de situations nous a conduit aux conclusions sui- vantes :
- la methode T converge tres rapidement sauf
dans certains cas exceptionnels ou il y a couplage
entre modes d’ordres differents ;
- la methode W donne elle aussi des resultats tres satisfaisants, bien que la convergence soit moins
rapide.
11 en resulte que cette methode W ne parait pas tres interessante car, a resultats comparables, elle
est plus lourde a manipuler que la methode T.
On a trouve que l’on pouvait calculer une valeur
tres satisfaisante de R(s, a) a l’aide d’equations beaucoup plus simples a partir de la seule connais-
sance de fn(a) et de Rc(a).
En effet pour un mode donne, il suffit de considerer le couplage entre le mode thermique et le mode vortex
sous la forme simple proposee par Lekkerkerker et Boon [6], a savoir que
DI ro -,
OÙ ST et Sv sont donnes par les eqs. (8) et (11).
Cette forme, exacte pour le cas de conditions aux
limites de bords libres peut donc etre etendue au cas
des bords rigides a condition d’introduire le facteur correctif f (a). Les valeurs approchees fournies par
(36) different en g6n6ral de moins de 1 % de la valeur
exacte. Il existe cependant des situations ou il semble
qu’il y ait des diff6rences tres importantes entre les predictions foumies par (36) et les resultats exacts,
comme on peut le voir sur la figure 1. En realite cela est du au fait qu’il y a couplage entre modes d’ordres diff6rents. Ainsi sur la figure 1, on a couplage entre
les modes pairs n = 0 et n = 2. On peut s’en apercevoir
en observant la convergence de la methode T. On trouve en effet de tres grandes diff6rences entre les valeurs de R calculees au 1, 2 et 3e ordres.
Le fait que 1’on puisse representer les valeurs
de R(s, a) a partir de 1’eq. (36) constitue le resultat le plus utile de 1’analyse theorique presentee ici.
II suffira donc de determiner les deux grandeurs Rc(a)
et fn(a) dont nous avons parl6 en d6tail plus haut.
Cela justifie les affirmations donnees dans le premier rapport sur ces travaux [7, 11].
1.4.4 Cas de stratification stabilisantes. - Si l’on prend un fluide normal (a > 0) la stratification
thermique sera stabilisante si l’on chauffe la plaque superieure. Nous considerons alors les predictions
de 1’6q. (36) dans ces conditions.
Pour R donne, l’eq. (36) admet deux solutions
qui seront complexes conjuguees si :
Fig. 1. - Racines reelles de 1’equation de dispersion : (. ) obtenues a 1’aide de la methode T ; (- - - -) approximation para- bolique (6q. 36) - s est exprime en unites reduites. Calcul effectu6
pour d = 2,9 mm, L = 2,5 mm ; p = 3,9.
[Real roots of the dispersion equation : (. ) obtained using
the T method; (- - - -) parabolic approximation (equ. (36)).
Here - ,s is in reduced units, d = 2.9 mm, L = 2.5 mm and p = 3.9.]
donc si :
On trouve alors que :
avec :
Cela montre que pour R Rk(a) la relaxation prend
un caractere oscillatoire amorti. On peut aussi dire
que le couplage entre excitations thermique et vortex
conduit a des modes propagatifs.
Cette prediction faite a partir de l’equation simple (36) a ete confirmee en utilisant soit le calcul exact, soit la methode T. On trouve que les predictions (40)
et (41) sont tres satisfaisantes en ce qui concerne
la partie imaginaire y, mais moins bonnes pour la
partie r6elle x au voisinage de Rk. On compare dans le tableau III les resultats obtenus par les différentes methodes dans le cas particulier d’une cellule de 2,9 mm d’epaisseur, un liquide de nombre de Prandtl p = 3,9 et une longueur d’onde de 2,5 mm. La figure 2 presente un exemple de predictions. Notons que dans ces conditions Rc(a) = 5 495,4, fo(a) = 1,1214
et donc Rk(a) = - 3 575.
Lorsque y # 0, nous sommes en presence d’ondes progressives de longueur d’onde L de pulsation y
et de constante d’amortissement x. On peut d6finir
une vitesse de phase en unites reduites.
La relation de dispersion est assez compliquee.
On pourrait 1’exploiter mais comme nous n’avons fait des mesures que sur les excitations periodiques
dans l’espace, nous n’avons pas calcule la vitesse de groupe correspondante.
Le caractere oscillatoire qu’on a ainsi mis en evi-
dence ressemble au modele simple d’une couche stable stratifi6e consideree en Physique atmosph6- rique [12]. On montre qu’il existe des modes de relaxation oscillant a la frequence de Brunt-Vaisala.
11 existe cependant des differences importantes entre
, ce modele et ce que nous discutons ici. En effet ici le caractere periodique de l’excitation provient du couplage entre modes de natures diff6rentes : on
pourrait parler d’ondes thermoconvectives alors que
Tableau III. - Taux de relaxation complexe - s = x + iy du premier mode pair et valeurs de R correspondantes
calculées pour le Cll.’ d = 2,9 mm, L = 2,5 mm, p = 3,9 par diverses méthodes.
[Complex relaxation rate - s = x + iy for the first even mode and corresponding values of R calculated for the case d = 2.9 mm, L = 2.5 mm, p = 3.9 using various methods.]
