République Algérienne Démocratique Et Populaire
Ministère De L'enseignement Supérieur Et De La Recherche Scientifique
UNIVERSITE 20AOUT - SKIKDA –
FACULTE DES SCIENCES ET SCIENCES DE L’INGENIEUR
DEPARTEMENT DE GENIE-CIVIL
MEMOIRE DE MAGISTER
Spécialité : GENIE CIVIL Option : STRUCTURES
Présenté par :
MOKHTARI SALIM
Promotion 2006/2007
INSTABILITE PAR FLAMBAGE ELASTIQUE DES PLAQUES STRATIFIEES MUNIES DUNE
SINGULARITE GEOMETRIQUE
REMERCIMENT
Je voudrais tout d'abord exprimer ma profonde reconnaissance a monsieur, professeur GUENFOUD MOHAMED qui m'a encadré durant ce travail et pour ses conseils et son suivi pour l'élaboration de ce travaille qu'il trouve ici témoignage de ma profonde gratitude.
Et je remerciée en particulier monsieur .docteur TATI Abdelouaheb, pour nous avoir prêté ce programme de flambage des plaques stratifiée.
Je tiens a remercie également le président de jury et les membre du jury. Je tiens aussi a remercier tous ceux qui m'ont aidés de prés ou loin pour l'élaboration de ce travaille
Enfin mes remerciements vont à l’ensemble du corps enseignant de l'institut génie civil et mécanique à Biskra skikda. Constantine à Guelma.
MOKHTARI.SALIM
DEDICACE
Je dédie ce travail à :
Mes très chers parents.
Toute ma famille.
Tout mes amie : Samir, Bacha, Larbi, chergui, guidiri, bellili, daha,bouziane,
A tout ceux qui ont une bonne impression dans mon coeur.
Toute la promotion post graduation 2006
Mokhtari. Salim
Résumé
Le présent travail concerne l'analyse de l'instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées menues de singularité géométrique.
Le flambage des plaques stratifiées en matériaux composite est un phénomène très complexe, pour l'analyse du flambage des plaques minces stratifiées, nous avons employé un élément de quatre nœuds 32 degré de liberté, la formulation a été basée sur la théorie de Kirchhoff étendue au plaque stratifiées en adoptant l'approche mono couche équivalente. Nous présentons en suite la formulation du problème d'instabilité en élisant le principe de la variation seconde de l'énergie potentielle pour la construction des matrices de rigidité.
Une série d'exemples a été testé au flambage des plaque mince isotropes et stratifiées, les résultats obtenus et comparés a ceux disponible dans la littérature, ont montré la rapidité de convergence et la bonne performance de l'élément.
Une étude paramétrique a été entreprise pour mettre en évidence l'effet de certains paramètres sur le comportement de flambage des plaques minces munies d'ouvertures carré isotrope et stratifiées ont montre que la charge critique de flambage augmente avec l'augmentation de l'ouverture pour certaines condition aux limites.
Mots clés : Stratifié, Composite, Flambage, Instabilité, Plaque, Singularité Géométrique, Elément fini
Abstract
This work relates to the analys is of the instability with elastic buckling small laminated plates of geometrical singularity. The buckling of the plates laminated out of materials composite is a very complex phenomenon, for the analysis of the buckling of the laminated thin sections, we employed an element of four nodes 32degré of freedom, the formulation was based on the theory of kirchoff extended to the plate laminated by adopting the mono approach sleep equivalent.
We present in continuation the formulation of the problem of instability in the principle of the variation second of the potential energy for construction of the matrices of rigidity.
A series of examples was tested with the buckling of the thin section isotropic and laminated, the results obtained and compared has those available in the literature, showed the speed of convergence and the good performance of the element.
A parametric study was undertaken to highlight the effect of certain parameters on the behavior of buckling of the thin sections provided with openings square isotropic and laminated have watch which the critical load of buckling increases with the increase in the opening for certain boundary condition.
Keys Words : Lamina, Composite, Buckling, Instability, Plate, Geometrical singularity, Finite Element
ﺔﺻﻼﺧ
ﻞﺼﺘﯾو اﺬھ ﻞﻤﻌﻟا ﻰﻟا analys ﻮھ ﻦﻣ مﺪﻋ راﺮﻘﺘﺳﻻا ﻊﻣ ﺔﻧوﺮﻣ ءاﻮﺘﻟا ةﺮﯿﻐﺼﻟا ﻖﻗﺮﻣ تﺎﺣﻮﻟ تاذ ﻊﺑﺎﻄﻟا ﻲﺳﺪﻨﮭﻟا دﺮﻔﺘﻟاو. نﺎﻓ ءاﻮﺘﻟا تﺎﺣﻮﻠﻟ ﻖﻗﺮﻣ ﻦﻣ ﻞﺻا داﻮﻤﻟا ﮫﺒﻛﺮﻤﻟا ﻮھ ةﺮھﺎﻇ ةﺪﻘﻌﻣ ﺔﯾﺎﻐﻠﻟ ، ﻞﯿﻠﺤﺘﻟ ءاﻮﺘﻟﻺﻟ ﻦﻣ ﻖﻗﺮﻣ ﺔﻘﯿﻗر باﻮﺑﻻا ، ﻦﺤﻧو ﻦﯿﻠﻣﺎﻌﻟا اﺮﺼﻨﻋ ﻦﻣ ﺮﺻﺎﻨﻋ ﺔﻌﺑرا ﺪﻘﻌﻟا 32degré ﺔﯾﺮﺤﻠﻟ ، ﺪﻨﺘﺴﯾو ﻰﻟا ﮫﻏﺎﯿﺻ ﺔﯾﺮﻈﻧ دﺪﻤﻟ فﻮﺸﺗﺮﯿﻛ
ﮫﺣﻮﻠﻟا ﻖﻗﺮﻣ ﺎھدﺎﻤﺘﻋﺎﺑ ﺞﮭﻧ يدﺎﺣآ مﻮﻨﻟا ﺎﻣ ﺎﮭﻟدﺎﻌﯾ.
ﻦﺤﻧو ﻲﻓ اﺬھ راﺮﻤﺘﺳا ﮫﻏﺎﯿﺻ ﺔﻠﻜﺸﻣ مﺪﻋ راﺮﻘﺘﺳﻻا ﻲﻓ أﺪﺒﻣ فﻼﺘﺧﻻا ﺔﯿﻧﺎﺜﻟا ﻦﻣ تﺎﻧﺎﻜﻣا ﺔﻗﺎﻄﻟا ﻦﻣ ﻞﺟأ ءﺎﻨﺒﻟا
تﺎﻓﻮﻔﺼﻤﻠﻟ ﮫﺑﻼﺼﻟا.
ﺔﻋﻮﻤﺠﻣ ﻦﻣ ﮫﻠﺜﻣﻻا ﻢﺗ ﺎھرﺎﺒﺘﺧا ﻊﻣ ءاﻮﺘﻟا ﺔﻘﯿﻗر ﻦﻣ بﺎﺒﻟا ﺪﺣﻮﻣ صاﻮﺨﻟا ﻖﻗﺮﻣو ، ﺞﺋﺎﺘﻨﻟاو ﻲﺘﻟا ﻢﺗ لﻮﺼﺤﻟا ﺎﮭﯿﻠﻋ ﺔﻧرﺎﻘﻣو ﻚﻠﺗ ﺔﺣﺎﺘﻤﻟا ﮫﻟ ﻲﻓ بدﻻا ، ﺮﮭﻇا ﺔﻋﺮﺳ
برﺎﻘﺘﻟا ءادﻻاو ﺪﯿﺠﻟا ﺮﺼﻨﻌﻠﻟ.
أ يدوﺪﺣ ﺪﻗو ﺖﯾﺮﺟا ﺔﺳارد ﻂﯿﻠﺴﺘﻟ ءﻮﻀﻟا ﻰﻠﻋ ﺮﯿﺛﺄﺗ ﺾﻌﺑ ﻢﻟﺎﻌﻤﻟا ﻰﻠﻋ كﻮﻠﺳ ءاﻮﺘﻟا ﺔﻘﯿﻗر ﻦﻣ باﻮﺑا تدوز تﺎﺤﺘﻔﻟا ﮫﻌﺑﺮﻤﻟا ﺪﺣﻮﻣو صاﻮﺨﻟا ﻖﻗﺮﻣ ﺪﻗو ةﺪھﺎﺸﻣ ﮫﺟﺮﺤﻟا ﻲﺘﻟا ﻞﻤﺣ ﻦﻣ
ءاﻮﺘﻟا ﺪﯾﺰﺗ ﻊﻣ ةدﺎﯾز ﻲﻓ ﺢﺘﻓ دوﺪﺤﻟا ﺎﻃﺮﺷ ﺾﻌﺒﻟ.
ﺢﯿﺗﺎﻔﻣ تﺎﻤﻠﻜﻟا : lamina ، ﺐﻛﺮﻣ ، ءاﻮﺘﻟا ، مﺪﻋو راﺮﻘﺘﺳﻻا
، ﺔﺣﻮﻟ تاذ ﻊﺑﺎﻄﻟا ﻲﺳﺪﻨﮭﻟا دﺮﻔﺘﻟاو ، دوﺪﺤﻣ ﻦﻣ ﺮﺻﺎﻨﻋ
NOTATION
Z Y
X. . Coordonnées cartésiennes h .t épaisseur
m f S S
V.. . Volume et les aires
Vm Fraction volumique de la matrice Vf Fraction volumique des fibres
Em Module d élasticité de la matrice Ef Module d élasticité des fibres
m Le cœfficient de poisson de la matrice
f Le cœfficient de poisson des fibres Sf Aire des fibres
Sm Aire de la matrice
f Déformation dans les fibres
m Déformation dans la matrice EL Module d élasticité longitudinale ET Module d élasticité transversale
21 23 12.G .G
G Module de cisaillement
ij Le cœfficient de poisson
m Cisaillement de la matrice
f Cisaillement des fibres
y x
. Rotation autour des axes x.y w
v u
d Déplacement suivant x.y.z
y x
. Rotation de la normale autour x.y.z
0 0 0
xyl xl yl
Déformation membranaire k Déformation flexionnelle
0 0 0
xynl ynl
xnl
Déformation non linéaire de membrane
Qij cœfficient de rigidité réduite Aij rigidité extensionnelle Bij Rigidité de couplage Dij Rigidité flexionnelle
Sijkl Coefficient de la matrice de souplesse
xy y
x M M
M Effort des moments de flexion par unité de
………...longueur
xy y
x N N
N Effort des efforts internes par unité de
………..longueur
Contrainte
S Matrice qui relier les déformation avec le………vecteur de déplacement
Sk Matrice qui relier les courbure avec le………vecteur de déplacement
a Coefficient qui dépend du rapport a/b a largeur de la plaque
b longeur de la plaque
d largeur de trou
L'intensité de la charge critique Fcr La charge critique
s sinus c cosinus
K1e Matrice de rigidité élémentaire membrane
K2e . K3e Matrice de rigidité de couplage membrane………flexion
Klg Matrice géométrique élémentaire U l'énergie potentielle de déformation V l'énergie potentielle due aux charges………extérieures
V/ L'énergie potentielle due aux charges
………transversale
L'énergie potentielle totale
.
Coordonnées de l élément de référence N Fonction d'interpolation
J . J 1det
J matrice jacobien , son inverse , et son………déterminent
m ,n nombre de demi-monde sinusoïdales
………caractérisant le flambement
LISTE DES FIGUIRES
FigureII.1: Traction longitudinale ... 11
FigureII.2: Traction transversale ... 12
FigureII.3: Essai de cisaillement longitudinal ... 14
FigureII.4: Axes principaux et axes de référence d'une couche stratifié ... 17
FigureII.5: Schématisation des résultantes en membrane des actions exercées sur un stratifié FigureII.6: Schématisation des résultantes de cisaillement ... 21
FigureII.7: Schématisation des moments de flexion et de torsion ... 21
FigureII.8:Schématisation des déformations dans le cas de la théorie classique des stratifiés ... ………...22
FigireIII.1: Elément membranaire... 29
FigureIII.2: L'élément plaque ... 32
FigureIII.3: Schématisation des déformations dans le cas de la théorie Classique des stratifiés ... 33
Figure. (V.1): Condition géométrique en élasticité plan simuler les types de sollicitation ... 45
Figure (IV.1.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément a/b=1.5 pour une plaque isotrope simplement appuyée ... …...……....46
Figure (IV.1.b): la variation de Ncr en fonction de nombre d'élément (a/b=1et2 )pour une plaque isotrope simplement . . appuyée……… ... ..46
Figure. (V.2): Condition géométrique en élasticité plansimuler les tupes de sollicitation……… ... ……… …………...47
Figure (IV.2.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément (a/b=1 )pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicité par une Compression biaxialle………… ... ……….48
Figure. (V.3): Condition géométrique en élasticité plansimuler les tupes de sollicitation……… ... …………...49
Figure (IV.3.a): la variation de Ncr en fonction de nombre d'élément (a/b=1 )pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicité par une Cisaillement pur ……..…… ... ………...…50
Figure (IV.3.b): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément (a/b=2 )pour une plaque isotrope simplement appuyée
sollicité par une Cisaillement ……… ... ………...50
Figure (IV.3.c): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément (a/b=1.5)pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicité par une Cisaillement pur……… ... ………..51
Figure (IV.4): la plaque stratifié avec une orientation (90,-90,0,0,-90,90)……...…..52
Figure. (IV.5): condition géométrique en élasticité plan simuler les types de sollicitation……… ……… ... …...52
Figure (IV.5.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément a/b=1 ,a/b =1.5 ,a/b=2 pour une plaque isotrope simplement appuyéesollicité par une compression simple ……… ... …………...53
Figure (IV.6.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément (a/b=1 )pour une plaque orthotrope simplement appuyée Sollicité par une Compression biaxialle…..……… ... ……….………...55
Figure (IV.7.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément (a/b=1 ) et (a/b=1.5 ) , (a/b=2 )pour une plaque orthotrope simplement appuyée sollicité par une Cisaillement pur...… ... ……...57
Figure (IV.8):Type de sollicitation utilisé pou étude de flambage avec singularité……… ... ……..58
Figure (V.10): La discrétisation de la plaque carré……… ... ……63
Figure (IV.12): La variation Fcr en fonction de d/b pour a/b=1 , le cas isotrope………...….64
Figure (IV.13): La variation Fcr en fonction d/b 5 pour a/b=1.5, le cas isotrope…………... 64
Figure (IV.14): La variation Fcr en fonction d/b pour a/b=1 pour le cas orthotrope…… .…. 65
Figure (IV.15): La variation Fcr en fonction de d/b pour a/b=1.5 ,le cas orthotrope……… .... ..65
Liste des tableaux
Tableau IV.1 charge critique de flambage d'une plaque isotrope simplement appuyée
45 Tableau IV.2 Variation de Ncr en fonction de nombre d'élément a /b=1 Pour une
plaque isotrope simplement appuyée sollicitée Par une compression
biaxiale 47
Tableau IV.3 charge critique de flambage d'une plaque isotrope Sollicitée Par un
cisaillement pur 49
Tableau IV.4 charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée simplement Appuyée Sollicitée par une compression uniaxiale 53 Tableau IV.5 charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée
simplement appuyée Sollicitée par une compression biaxiale 54 Tableau IV.6 charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée
simplement Sollicitée par Cisaillement pur 56
Tableau IV.7 Cas isotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en
Compression uniaxiale 61
Tableau IV.8 Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en
compression uniaxiale 61
Tableau IV.9 Cas isotropela variation Fcr en fonction de la position de trous en.
cisaillement pur
62 Tableau IV.10 Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trous en
cisaillement pur
62
INTRODUCTION GENERALE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique 1 1. INTRODUCTION :
L'évolution actuelle de la technologie a amené l'ingénieur à réaliser des projets de plus en plus complexes, coûteux et soumis à des contraintes de sécurité de plus en plus sévères. La grande utilisation des plaques, avec ou sans ouverture, en matériaux composites stratifiés dans plusieurs types de structures ; aérospatiale, aéronautique, marine.
Les ingénieurs civils ont exploité les avantages d'utilisation des matériaux composites et spécialement les plaques renforcées par des fibres de verre (F.R.P) parmi ces avantages on cite:
Rapport résistance/ poids optimale
La légèreté
La résistance a la corrosion
Faible conductivité électrique et thermique
Le besoin d'avoir des ouvertures dans les composantes des structures est d'une considération pratique, par exemple dans l'aéronautique, l'industrie automobile et aussi dans les sous marins, les ouvertures sont nécessaires pour l'accès des lignes hydrauliques et pour empêcher des dommages éventuels.
Dans certaines applications les éléments structuraux doivent résister au flambage et dans d’autres au post-flambage et ainsi pour économiser le poids.
Les plaques avec ouverture sont souvent soumises aux charges de compression induites mécaniquement ou thermiquement et qui peuvent causer le flambage de ces derniers.
Alors, le comportement de ce type de structures vis-à-vis de la stabilité, doit être bien connu lors de leur conception.
2. Recherche bibliographique :
Les travaux sur le comportement du flambage des plaques en matériaux composites stratifiées ont débuté depuis les années 70.
En 1972, Martin [1] a publié ce qui apparaît être parmi les premières études du flambage et du post-flambage des plaques en composite avec ouvertures soumises à un chargement uniaxial de compression. Son travail était basé sur la méthode Rayleigh Rite dans laquelle la double intégrale a été effectuée numériquement et des travaux expérimentaux ont été faits en
INTRODUCTION GENERALE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique 2 parallèle pendant cette période, et les résultats analytiques et expérimentaux se sont révélés concordants.
En 1978, Knauss, Starnes et Henneke [2] ont présenté une investigation expérimentale du comportement de flambement et des caractéristiques de rupture d'une plaque rectangulaire en graphite–époxy, possédant une ouverture circulaire et soumise à un chargement de compression.
Dans ce travail, les auteurs ont étudié le cas de deux plaques de 24 et 48 couches avec une ouverture de dimension b/d = 0,3
En 1982, Herman [3] a présenté ce qu'on peut considérer comme la première investigation du comportement du flambage des plaques soumises au cisaillement avec une ouverture centrale de forme circulaire. Il a utilisé la méthode des éléments finis pour étudier le flambage des plaques en graphite–époxy.
En 1983, Nemeth et ses collègues [4.5] ont présenté une analyse approximative pour le flambement des plaques rectangulaires soumises à la compression avec une ouverture centrale. Leur étude approximative était basée sur la méthode variationnelle de Kontorovitch.
En 1984 et 1985, Marshall, Little et Eltayeb, [6.7] ont présenté une investigation analytique et expérimentale du comportement du flambage des plaques rectangulaires orthotropes soumises à un chargement de compression avec des ouvertures circulaires. Ils ont fait une analyse approximative en utilisant la méthode de Rayleigh Ritz. Dans ce travail expérimental, les résultats obtenus concernent une plaque carrée, simplement appuyée en verre époxy sans ouverture et avec ouverture jusqu'a d/b= 0,7. Les résultats analytiques et expérimentaux se sont révélés concordants, spécialement les cas où d/b = 0,5 et où les dimensions des ouvertures d/b < 0,5.
En 1986 Marshall, Lite, El Tayeb et William [8] ont présenté des résultats de flambage des plaques orthotropiques avec des ouvertures circulaires. Le travail était analytique, parallèlement à un travail expérimental pour des plaques carrées avec des ouvertures de dimension d/b = 0,3 et 0,5.
Il y a eu une bonne concordance entre les résultats analytiques et ceux obtenus par la méthode expérimentale utilisée.
INTRODUCTION GENERALE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique 3 3. PROBLEMATIQUE
Pour répondre aux besoins d'accès et de services, il est toujours nécessaire d'avoir des singularités (ouvertures) au centre ou bien loin du centre de la plaque. Cela est souvent le cas de récipients contenant des liquides où il est nécessaire de permettre le passage du liquide d'une chambre à une autre à travers des valves positionnées près du fond de la partition. La présence de pareilles ouvertures mène à une distribution non uniforme des contraintes de compression, et par conséquent, il en résulte un changement dans la charge critique de flambement.
Les structures composites minces (plaques stratifiées) qui sont largement utilisées de nos jours, deviennent instables lorsqu'elles sont sujettes à des chargements de nature mécanique ou thermique, et flambent dans la zone élastique. Par conséquent, le flambage présente une très grande importance lors de la conception de ce type de structures.
L'objectif de ce travail est la contribution dans l'étude du flambage des plaques multicouches avec singularité en matériaux composite stratifié et isotrope, en utilisant la méthode des élément finis [MEF], et donner un aperçu sur l'importance et la précision des résultats obtenus grâce à l'utilisation de la [M.E.F] et à la méthode du calcul numérique pour la résolution des problèmes.
INTRODUCTION GENERALE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique 4 4. PLAN DE TRAVAIL
Le travail est organisé en quatre chapitres :
Nous avons présenté, en premier lieu, la théorie de l'instabilité élastique. Dans le second chapitre nous faisons un bref rappel de la théorie des plaques stratifiées.
Le troisième chapitre, est consacré à la modélisation des problèmes d'instabilité par élément finis:
Elément utilisé (TATI, DHAT)
14
15 Rigidité de membrane (membrane)
Rigidité de flexion (plaque)
Elément coque
Cas des multicouches (la loi de comportement)
Problème de flambage
Matrice des contraintes initiales Kg
Le dernier chapitre est consacré la validation des différents éléments au flambage des plaques isotropes et multicouches avec et sans singularité, en faisant une comparaison avec des méthodes analytiques et numériques.
Enfin, ce travail se termine par une conclusion générale qui met en valeur les résultats obtenus.
CHAPITRE I LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
5 I. INSTABILITE DES PLAQUE
I.1 Généralités
Le but de ce chapitre est de formuler les équations de base pour représenter les problèmes liés à la flexion, aux effets de membrane et à l'instabilité élastique des plaques minces. Nous définissons également, l'énergie potentielle, sa première et seconde variation pour chacun des cas.
I.2 formulation générale
Les développements qui suivent peuvent être retrouvés dans les ouvrages d'Almroth
9 ,Timoshenko
10 , Chajes
11 .Avant de formuler le problème spécifique de l'instabilité des plaques, nous allons formuler celui de l'instabilité en général, d'après Rubinstein
12 .Notons l'état d'une structure en équilibre sous l'action de charges externes comme l'état d'équilibre 1, pour vérifier si c' est un état d'équilibre stable , nous cherchons d'abord l'énergie potentielle d'un autre état, disons 2 , produit par une perturbation arbitraire.
Par exemple pour une structure à un degré de liberté (w) nous représentons les états 1 et 2 comme suite :
Etat 1 : w , Π(w)
Etat 2 : w+δw, Π(w w) où (w)est la perturbation ainsi définie.
La variation de l'énergie potentielle ΔΠ est:
ΔΠ=Π(w+ δw) - Π(w) (1.1) En utilisant la série de Taylor, ΔΠ peut être écrite sous la forme:
ΔΠ= δ Π+ 2Π + 03 (1.2) δΠ= w
w
Dans la quelle :
22 2
2 w
w
(1.3)
0(3) sont les termes d'ordre supérieur ou égale à trois que nous négligeons.
Pour l'équilibre à l'état 1,
w doit être stationnaire d’oùCHAPITRE I LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
6
w =0 où 0
w pour w0 (1.4)
Pour que cet équilibre 1 soit stable,
w doit être minimum. Pour garantir cette stabilité de l'équilibre 1, la seconde variation 2 doit être définie positive d’où:Equilibre stable : 2 0 où 0
2 2
w puisque
w 2 est positif (1.5) Pour un équilibre instable au stade 1, la structure ne tendra pas à retourner vers le stade1, quand une perturbation vers le stade 2 survient .ceci a lieu quand la seconde variation du potentiel 2est nulle ou négative. La ligne de démarcation, ou bifurcation entre la condition de stabilité et d'instabilité de l'équilibre, correspond à :2
= 0, d’où pour un équilibre instable 2 = 0 ou 0
2 2
w (1.6)
Nous constatons donc que l'étude d'équilibre se limite à l'étude de la première variation et celui de l'instabilité à la seconde variation2.
I. 3 Instabilité élastique des plaques minces
Nous avons un système d'axes tel que celui de la figure (II.5) la plaque est soumise à un chargement d'intensité arbitraire dans le plan xy qui provoque une compression de la plaque.
Par l'élasticité plane, et pour ce chargement d'intensité arbitraire, nous trouvons en chaque point de coordonnées x, y, z un vecteur d'effort internes
N par unité de longueur, où
N est défini ci-dessous:N N N N y xy dz
h
h x xy
y
x
2
2
(1.7)
Où h est l'épaisseur de la plaque, x,y,xy sont les contraintes planes dans le plan x, y et Nx, Ny , Nxy les efforts internes correspondants, par unité de longueur.
Afin d'étudier l'instabilité élastique des plaques, pour laquelle l'intensité du chargement axial lors du flambement est inconnue, nous considérons qu'au flambement, cette intensité est représentée par λ fois l'intensité arbitrairement choisie qui donne le vecteur N , étant une constante.
Notre plaque est maintenant soumise à une distribution d'efforts internes
NCHAPITRE I LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
7 Appliquons maintenant un chargement de flexion transversale, et regardons l'équilibre pour une position légèrement fléchie de la plaque, en supposant que :
Le vecteur
N reste constant durant la flexion. Cet état d'équilibre correspond à l'état d'équilibre 1 que nous avons défini au paragraphe (I.1) pour savoir si cet état d'équilibre est stable ou non, nous allons évaluer la seconde variation de l'énergie potentielle 2 entre l'état 1 , et un état d'équilibre voisin obtenu par légère perturbation de l'état 1.I.3.1 Evaluation de l'énergie potentielle pour l'état d'équilibre 1
Dans l'évaluation de l'énergie potentielle, nous négligeons, pour les plaques minces l'énergie interne due aux déformations de cisaillement. Les relations qui suivent sont établies pour une position fléchie de la plaque.
I.3.1.a Relation déformations -déplacements
Les déformation x y xy pour un point de coordonnées x, y, z qui s'est déplacé de u, v, w suivant les axes x, y et z, respectivement, sont :
m + nl +z K (1.8a)
Où est le vecteur de déformation total
m = x y xy (1.8b)
m =
x v y u y v x u
(1.8c)
m Est le vecteur de déformations linéaires de membrane
nl Est le vecteur de déformations non linéaires de membrane nl =
y w x w y
w x
w
2 2
2
1 (1.8d)
K Est le vecteur de déformations de flexion K =
x y y
x
x y x y
(1.8e) Tel que :
x w
x
;
y w
y
CHAPITRE I LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
8
x et y étant les rotations des plans yz et xz autour de x et y, respectivement . Les équations (1.8) sont les relations cinématique de la plaque.
Les variation u, v, w, x , y sont fonction de x et y seulement et se référent au plan moyen xy.
I.3.1.b Evaluation de l'énergie potentielle L'énergie interne U est
U
D
v
2
1 (1.9)
U=
1
2
1 D m dv
v
m
+
2
dv D m
v
nl
+
3
dv D
K
z m
v
+
4
2
1 D nl dv
v
nl
+ z K
D
nl dvv
5
+
6 2
2
1 z K D K dv
v
(1.10)Nous cherchons la deuxième variation 2U pour une perturbationw, et on ne garde que les termes quadratiques de (w) et de ses dérivées afin de linéariser le problème de l'instabilité. Par conséquent, le terme (1) de l'équation (1.10) qui ne contient pas de termes de w ou de ses dérivées est abandonné.
Les termes (3) et (5) sont nuls pour une matrice
D constante ou symétrique par rapport au plan moyen car :
2
2
0
h
h
zdz
Le terme (4) qui est du quatrième ordre est négligé.
Pour des plaques minces orthotropes ou isotropes, l'énergie U qui varie avec w se réduit donc aux termes (2) et (6), qui pour une intégrale sur l'aire A devient:
U =
2
dA Dm m
A
nl
+
6
2
1 K Df K dA
A
(1.11)Comme
N =
Dm
m où
N est défini par l'équation (1.7) nous obtenons:U=
N dA K
Df
K dAA A
nl
21 (1.12)
Si nous considérons les notations suivantes :
CHAPITRE I LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
9
y w x w
n
Et
y yx
xy x
N N
N
N N (1.13)
L'équation (1.11) devient:
U=
N
n dAA
n
2
1 K
Df
K dAA
2
1 (1.14)
Pour un matériau isotrope, l'expression (1.11) devient :
U= N dA
y w x
N w y N w
x w
xy y
x A
12 21 212 2
+
(1.15)
) 1 (
24 2
3
Eh
A
x y x y
y x y
x
2
2 2
+
2
2 1
x y
x y
dA
Nous avons vu au paragraphe (I.1) que l'état d'équilibre est instable si :
22U 2 0 (1.16)
Mais comme les charges externes sont conservatives alors :
2 0 (1.17)
Utilisons la relation (1.13), l'équation (1.14) :
2
N
dA
K
Df
K dA0A n
A
n
(1.18)
La discrétisation de la plaque par éléments finis permet de mettre l'équation (1.18) sous la forme d'un problème de valeur propre.
K
KG
Un 0 (1.19)Où
K et
KG
sont respectivement, la matrice de rigidité de flexion et la matrice géométrique.
Un Représente les vecteurs déplacements correspondant au mode de flambement dont l'intensité de la charge critique est donné parI.4 Conclusion :
Nous avons présenté dans ce chapitre la résolution de problème d'instabilité par la seconde variation de l'énergie potentielle pour le cas d'un seul degré de liberté, mais notre but et d'étudie l'instabilité d'une plaque stratifiée avec un vecteur de déplacement qiqu'on va le rencontré dans le chapitre précédant suivant.
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 10 II. LATHEORIE DES STRATIFIE
II .1 INTRODUCTION
Le matériau composite est un assemblage d'au moins deux matériaux non miscibles (mais ayant une forte capacité d'adhésion). Le nouveau matériau ainsi constitué possède des propriétés que les éléments seuls ne possèdent pas.
Ce phénomène, qui permet d'améliorer la qualité de la matière face à une certaine utilisation (légèreté, rigidité à un effort, etc.), explique l'utilisation croissante des matériaux composites, dans différents secteurs industriels. Néanmoins, la description fine des composites reste complexe du point de vue mécanique.
La cellule élémentaire du matériau est considérée comme constitué d'une fibre entourée d'un cylindre de matrice à base circulaire ou hexagonal L. Cette cellule possède un axe de révolution noté l'axe 1 ou l'axe longitudinal L. Les directions normales aux fibres sont appelées directions transversales. Le composite est considéré comme étant isotrope transverse c'est –à – dire qu'il est isotrope dans le plan normal à la direction 1. Le plan transverse est repéré par les deux directions équivalentes 2 et 3 notées aussi T et T'
.
II. 2 LOI DE COMPORTEMENT DE LA MONOCOUCHE
II.2.1 Approches théoriques à la détermination des modules d'élasticité
Le problème de détermination des modules d'élasticité d'un matériau composite unidirectionnel consiste à rechercher des expressions de ces modules (5 modules indépendants) en fonction des caractéristiques mécaniques et géométriques des constituants; modules d'élasticité des fibres, de la matrice, fraction volumique des fibres, longueurs des fibres, etc. Les propriétés mécanique et géométriques des fibres et de la matrice seront caractérisées par leurs modules d'élasticité, coefficients de poisson et de fractions volumiques notés respectivement Ef, Em, Uf, Um, Vf et Vm.
La résolution du problème est plutôt complexe à cause des possibilités multiples et variées d'arrangements des fibres dans le composites. (Figure II.1).
Dans ce qui suit on donne quelques expression simplifiée des modules élastiques du composite unidirectionnel en fonction des caractéristiques des constituants.
II.2.1.1 Module de Young longitudinal
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 11 Le module de Young est déterminé par un essai de traction longitudinale figure (II.1). On suppose que les fibres et la matrice subissent une déformation identique et uniforme. Si ΔL est l'allongement de la cellule du composite, la déformation longitudinale imposée à la cellule est:
L= ll
(2.1)
fibre Matrice
Matrice
1 2
L h
1
1
L
h
FigureII.1: Traction longitudinale
Où L est longueur initiale de la cellule considérée.
La déformation dans la fibre et la matrice est:
f =m=
L (2.2)Les contraintes dans la fibre et la matrice sont exprimées par:
f Ef f (2.3)
m Emm (2.4)
La charge totale appliquée est : F1= σƒSƒ+ σƒSm (2.5)
Où Sƒ et Sm sont respectivement les aires des sections droites de la fibre et de la matrice.
Si S est l'aire de la section droite de la cellule moyenne, la contrainte moyenne
σ1= F1/S (2.6)
σ1= σƒ Sƒ+ σm (1-Vƒ) (2.7)
Cette contrainte moyenne est liée a la déformation de la cellule par le module d'Young Longitudinal par:
1=EƒVƒ+ Em (1-Vƒ) (2.8)
La relation précédentes, conduisent a' léxpression du module d'Young longitudinale
EL = Eƒ Vƒ+ Em (1-Vƒ) (2.9)
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 12 Cette expression est connue sous le non de loi de mélange pour le module d'Young dans la direction des fibres.
II.2.1.2 Module de Young transversal
Le module d'Young transversal est déterminé dans un essai de traction transversal ou le composite est chargé suivant la direction normale aux fibres (figure II.2).
fibre Matrice
Matrice
1 2
hf
2
hm/2
hm/2
2
FigureII.2: Traction transversale
La charge F2imposée suivant dans la direction transversal est transmise dans les fibres et la matrice et impose des contraintes égales soit.
σm = σƒ = σ2
Il en résulte que les déformations respectives des fibres et de la matrice dans la direction transversale sont:
f =f
2
(2.10)
m = Em
2
(2.11) La déformation transversale est donnée par:
ε 2= εƒVƒ+εm (1-Vƒ) (2.12) la déformation est liée a la contrainte imposé à la cellule par:
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 13
2 ET2 (2.13)
la combinaison des relation précédente conduit à léxpression du module d'Young Transversale.
m f f
f
f E
V E
V E
1
1 (2.14)
II.2.1.3 Coefficient de poison longitudinal
Le coefficient de poisson longitudinal, est déterminé par essai de traction longitudinale.
Les déformations transversales respectives des fibres et de la matrice sont donnée par:
2m m1 et 2f f1
L'allongement transversal de la cellule élémentaire est:
Lt m1hmf1hf La déformation transversale st donnée par:
2 [m(1 f) ff]1
m f
t
h h
L
(2.15)
D’où l'expression du coefficient de poisson
LT ff m(1f) (2.16)
Cette expression est la loi des mélanges pour le coefficient de poisson longitudinal.
II.2.1.4 Module de cisaillement longitudinal
Le module de cisaillement longitudinal GLTest déterminé dans un essai de cisaillement longitudinal (figure II.3) Les contraintes de cisaillement dans les fibres et la matrice sont égales du fait des contraintes de cisaillement imposées à la cellule. Les déformations en cisaillement de la fibre et de la matrice sont donnée par:
f Gf
m
m G
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 14
fibre Matrice
Matrice
1 2
hf
hm/2
hm/2
FigureII.3: Essai de cisaillement longitudinal
Les déformations induites dans la fibre et la matrice sont donnée par:
f hf f m hmm La déformation totale de la cellule est:
f m hf f hmm (2.17) Alors l'angle de cisaillement de la cellule est donné par l'expression:
f f m(1 f)
m f
V h V
h
(2.18)
Cet angle de cisaillement est liée a la contrainte de cisaillement par le module de cisaillement
GLT
(2.19)
De la combinaison des relations précédentes, on obtient:
M f f
f
LT G
V G
V G
1
1 (2.20)
II.2.2 Matrice de rigidité et de souplesse
Le comportement élastique d'un matériau composite unidirectionnel peut être d'écrite en introduisant soit la matrice de rigidité notéecij, soit la matrice de souplesse Sij
La loi de Hooke s'écrit suivant l'une des deux formes :
C
(2.21)Ou bien sous forme explicite:
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 15
66 65 64 63 62 61
56 55 54 53 52 51
56 45 44 43 42 41
36 35 34 33 32 31
26 25 24 23 22 21
16 15 14 13 12 11
6 5 4 3 2 1
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
6 5 4 3 2 1
(2.22)
S
(2.23)
6 5 4 3 2 1
=
66 65 64 63 62 61
56 55 54 53 52 51
46 45 44 43 42 41
36 35 34 33 32 31
26 25 24 23 22 21
16 15 14 13 12 11
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
6 5 4 3 2 1
(2.24)
Avec C matrice d élasticité et S matrice de souplesse
Pour un matériau orthotrope les matrices d élasticité et de souplesse s'écrivent :
C
66 55 44 33 32 31
23 22 21
13 12 11
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
c c c c c c
c c c
c c c
(2.25)
S
66 55 44 33 32 31
23 22 21
13 12 11
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
S S S S S S
S S S
S S S
(2.26)
Les constantes de rigidité et de souplesse sont liées aux modules d'élasticité EL, ET, GLTet
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 16
LT Par les relation suivantes:
Constante de souplesse
12 66 13 55 23 44
3 33 2 23 23 2 22
1 13 13 1 12 12 1 11
, 1 , 1
1
, 1 1 ,
, 1 ,
S G S G
S G
S E S E
S E
S E S E
S E
Constantes d'élasticité
2 1
32 23 11
1 E C E
,
3 1
32 23 12
12 E E
C
,
2 1
23 12 13
13 E E
C
3 1
31 13 22
1 E C E
,
2 1
13 21 23
23 E E
C
,
2 1
21 12 33
1 E C E C44 G23, C55 G13, C66 G12
Avec
3 2 1
13 32 21 13 31 21
12 2
1
E E E
II.2.3 Matériau composite en-dehors de ses axes principaux
Les stratifié sont élaborés par lémpilement de couche successible dont la direction des fibres et variable d'une couche a l'autre. Pour faire l'étude du comportement élastique de tels stratifiés, il est nécessaire de prendre un système d'axe de référence pour l'ensembles du stratifiée, et de rapporter le comportement élastique de chaque couche à ce système de référence.
On considère une couche (figureII.4) de matériau unidirectionnel de directions principales 1, 2, 3 le plan 1,2 est confondue avec le plan de la couche et la direction 1 est confondue avec la direction des fibre .il est question de caractériser les propriétés élastique de la couche en les exprimant dans le système d'axes de référence (1'.2'.3 ') du stratifié, la direction des fibres fait un angle () avec la direction1',
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique 17
1' 1
3 3'
2 2'
FigureII.4: Axes principaux et axes de référence d'une couche stratifié
Les matrices d'élasticité C' et de souplesse S' dans le système de refèrence sont obtenues en appliquant au matrices d'élasticité et de souplesse C et S les relation de changement de base Suivantes:
C
T1
C T (2.27)Et
S' T1
S T (2.28)Avec T est la matrice de changement de base, donné par:
T =
2 2
2
2 2
sin cos
0 0
0 cos sin cos sin
0 cos
sin 0 0
0
0 sin
cos 0 0
0
0 0
0 1 0
0
cos sin 2 0
0 0 cos
sin
cos sin 2 0
0 0 sin
cos
(2.29)
Les matrice C' et S' s'écrivent de la forme
P P
P P
P P
P P P P P
P P P
P P P
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(2.30)
Avec Pij Cij'ouSij'
II.2.3.1 Etat de contraintes planes