Mémoire pour l'obtention du magistère en génie civil

(1)

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE DU 20 AOUT 1955-SKIKDA FACULTE DE TECHNOLOGIE DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL

Mémoire pour l'obtention du magistère en génie civil

OPTION : structure

Thème : étude numérique par les éléments finis mixtes de la propagation non coplanaire d'une fissure (kinking) dans un matériau composite.

Jury :

Président :

Messast Salah

Université de 20Aout 1955 Skikda

Rapporteur :

Bouzerd Hamoudi

Université de 20Aout 1955 Skikda Examinateurs :

Samai Mohamed laid

Université de Constantine

Examinateurs

: Sbartai Badreddine

Université de 20Aout 1955 Skikda

Réalisé par :

Remmache abdelkrim

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DEDICACE

Je dédie le fruit de mes années d’études :

A mes très chers parents

A mes frères Kamel, Chamso, Mourad, Adel

A mes sœurs Rachida, Fatiha, Yamina, Louiza, Karima, Mouna

A Soraya et mon fils anes

A tous mes amis

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Remerciement

Je tiens à remercier et exprimer ma gratitude et ma reconnaissance tout d’abord à ALLAH, le Tout Puissant, qui m' a aidé à réaliser ce modeste travail.

Mes remerciements vont a' mes très chers parents en signe de respect et de reconnaissance pour les sacrifices qu'ils ont consenti afin de m'assurer un brillant avenir.

Je remercie chaleureusement M^R : Bouzerd Hamuodi pour son assistance, ses redressements et ses orientation durant la réalisation de ce projet.

Mes remerciements vont également ou président du jury ainsi que les membres qui m'ont honoré d'avoir accepter d'évaluer ce travail et à tous ceux qui m' ont encouragé et à tous ceux qui se sont impliqués, de prés ou de loin, à la réalisation de ce mémoire.

(4)

Introduction générale ……… ..…..……….…… 01

Chapitre I : notions sur les matériaux composites I.1.Introduction……… …….………..……… 02

I.2. Les propriétés des matériaux composites résultent………02

I.2.1. Matrices :...03

I.2.2. Les différentes familles de matrices ……….…03

I.2.3. Renforts ………... 04

I.2.4. Les différents types de renforts de base………04

I.2.5. Propriétés mécaniques des renforts ……….………….05

I.3. Caractéristiques générales des composites………05

I.3.1. Quelques avantages des matériaux composites ………06

I.3.4. Inconvénient et mauvaise perception ………06

I.3.5. Applications commerciales et industrielles des matériaux composites…… ….………07

I.3.6. Définition de base………07

I.4. Comportement mécanique des matériaux composites ……….……08

I.5. Position du problème d’élasticité anisotrope……….10

I.5.1. Éléments mathématiques……….10

I.5.2. Equation de compatibilité ………..………16

I.5.3. Relation contrainte / déformation ………..………16

I.5.4. Caractérisation des matériaux composites ……….…17

Chapitre II : notion sur la mécanique de rupture II.1. Introduction………. 20

II.2. Endommagement et mécanique de la rupture ………20

II.3. Fissures statiques, quasi-statiques, dynamiques ………21

II.4. Modes de rupture………. ………22

(5)

II.5. Mécanique linéaire, et non-linéaire de la rupture ………22

II.5.1. Etude d’un milieu élastique fissuré …..……… 23

II.5.2. Approche Locale ...24

II.5.3. Approche Globale ou Energétique………..28

II.6. Implémentation de la méthode G_θ ……….36

Chapitre III : Etude du phénomène de coudage III.1. Introduction………38

III.2. Critères de bifurcation ………. ..…...38

III.3. Propagation d’une fissure..……….……….40

III.3.1. Critère de la contrainte normale maximale……… 40

III.3.2. Critère de la densité d’énergie de déformation minimale………43

III.3.3. Critère du taux de restitution d’énergie maximal………...45

Chapitre IV : méthode numérique pour le calcul du taux de restitution d’énergie IV.1. Introduction ………47

IV.2. Méthode de calcul par éléments finis (M.E.F)………47

IV.3. Principes variationnelles comme base pour la méthode des éléments finis...47

IV.4. Principes variationnells pour la théorie de petit déplacement d’élastoplastique…...…48

IV.5. Principes variationnells de la mécanique des milieux continus………...……51

IV.5.1. Fonctionnelle de Reissner ………...…53

IV.6. Méthode des éléments finis (programme CASMIC)………...…56

IV.6.1. Fichier des données (nom ccr) ……….…………57

IV.6.2. Fichier des données (nom ccf) ……….……57

IV.6.3. Fichier des données (nom out) ………57

IV.7. Formulation de l’élément RMQ-7………..………58

IV.7.1. Étude de l’élément de référence RMQ- 5………..………59

IV.7.2. Etude de la convergence…………..………63

IV.7.3. Etude des valeurs propres ……….………64

IV.8. Construction de l’élément RMQ-7……….66

IV.8.1. Construction de l’élément RMQ- 11………..66

IV.8.2. Construction de l’élément RMQ-7 ……….…………69

IV.8.3. Condensation statique et obtention de l’élément RMQ-7………..……70

(6)

v.2. méthode des éléments finis………73

v.3. méthode analytique………73

v.4. exemple de validation ………74

v.5. résultas………....75

Conclusion... ..77

Références bibliographiques……….………..79

(7)

ﺺﺨﻠﻣ

ﺔﻨﻴﻌﻣ ﺔﻳﻭﺍﺰﺑ ﻪﺳﺃﺭ ﻦﻣ ﺍءﺪﺘﺑﺍ ﺎﻘﺒﺴﻣ ﺩﻮﺟﻮﻣ ﻖﺷ ﻑﺍﺮﺤﻧﺍ ﺓﺮﻫﺎﻈﻟ ﺔﻴﺿﺎﻳﺮﻟﺍ ﺔﻐﻴﺼﻟﺍ ﻢﻳﺪﻘﺗ ﻢﺗ ﺔﺳﺍﺭﺪﻟﺍ ﻩﺬﻫ ﻲﻓ ﻲﻓ

ﺔﺴﻧﺎﺠﺘﻣ ﺓﺩﺎﻣ ,

.ﺮﺧﺁ ﻰﻟﺇ ﻢﻠﻌﻣ ﻦﻣ ﺔﻴﻜﻴﻧﺎﻜﻴﻤﻟﺍ ﺖﺑﺍﻮﺜﻟﺍ ﺓﺮﻴﻐﺘﻣ ﻭ ﺔﻧﺮﻣ ﻰﻠﻋ

.ﺔﻴﻠﻣﺎﻜﺗ ﺔﻟﺩﺎﻌﻣ ﻞﻜﺷ

ﻖﺸﻟﺍ ﺱﺃﺭ ﺭﺍﻮﺠﺑ ﺎﻬﻴﻠﻋ ﻞﺼﺤﻤﻟﺍ ﺕﺍﺩﺎﻬﺟﻻﺍ ﻝﺎﻤﻌﺘﺳﺎﺑ ﻪﻴﻠﻋ ﻞﺼﺤﻧ ﻑﺍﺮﺤﻧﻻﺍ ﺓﺄﺸﻧ ﻲﻓ ﺐﺒﺴﺘﻤﻟﺍ ﺭﺮﺤﻤﻟﺍ ﻱﻮﻗﺎﻄﻟﺍ ﺭﺪﻘﻟﺍ ﻥﺇ ﺓﺭﺮﺤﻤﻟﺍ ﺔﻗﺎﻄﻟﺍ ﻩﺬﻫ ﻰﻤﺴﺗ ﻭ ﻦﻳﺮﻗ ﺔﻗﻼﻋ ﻲﻓ ﻪﺛﻭﺪﺣ ﺪﻌﺑ ﻑﺍﺮﺤﻧﻻﺍ ﻖﺷ ﻲﺘﻓﺎﺣ ﺕﺎﺤﺘﻓ ﻚﻟﺬﻛ ﻭ ﻑﺍﺮﺤﻧﻻﺍ ﺓﺄﺸﻧ ﻞﺒﻗ ﻲﻠﺻﻷﺍ .ﺔﻴﺗﺍﻮﻨﻟﺍ ﺔﻗﺎﻄﻟﺎﺑ ﻕﺎﻄﻟﺍ ﺭﺪﻗﻭ

ﺓ

ﺔﻘﻳﺮﻁ ﻰﻠﻋ ﻑﺍﺮﺤﻧﻼﻟ ﻲﻟﺎﻴﺧ ﻢﻳﺪﻘﺗ ﺪﻨﻋ ﺓﺭﺮﺤﻤﻟﺍ (K) ﻑﺍﺮﺤﻧﻻﺍ ﺱﺃﺭ ﻲﻓﺩﺎﻬﺟﻹﺍ ﺓﺪﺷ ﻞﻣﺎﻌﻣ ﺏﺎﺴﺣ ﻢﺘﻳ .ﻑﺍﺮﺤﻧﻻﺍ ﺱﺍﺭ ﻲﻓ ﺕﺎﻜﻜﻔﺘﻟﺍ ﻢﻴﻗ ﻰﻠﻋ ﻝﻮﺼﺤﻟﺍ ﺪﻌﺑ(Irwin) ﻦﻳﻭﺭﺍ ﻱﺩﻮﻤﺣ ﺭﻮﺘﻛﺪﻟﺍ ﻢﻤﺻ ﺚﻴﺣ ﺔﻴﻬﺘﻨﻤﻟﺍ ﺮﺻﺎﻨﻌﻟﺍ ﺔﻘﻳﺮﻁ ﺔﻄﺳﺍﻮﺑ ﻖﺸﻠﻟ ﻲﻟﺎﻴﺧ ﻡﺪﻘﺗ ﺪﻨﻋ ﺓﺭﺮﺤﺘﻤﻟﺍ ﺔﻗﺎﻄﻟﺍ ﺭﺪﻗ ﺏﺎﺴﺣ ﻦﻜﻤﻳ.

ﻲﺑﺎﺴﺣ ﺞﻣﺎﻧﺮﺑ ﻲﻓ ﺎﻬﻟﺎﺧﺩﺈﺑ ﻡﺎﻗ ﻭ .( ﺕﺍﺩﺎﻬﺟﺍ ﺪﻘﻋ ﻭ ﺔﺣﺍﺯﺇ ﺪﻘﻋ ﻰﻠﻋ ﻱﻮﺘﺤﺗ ﻱﺃ) ﺔﻄﻠﺘﺨﻣ ﺔﻴﻬﺘﻨﻣ ﺮﺻﺎﻨﻋ ﺩﺭﺯﻮﺑ ﻪﻤﻤﺻ .ﺔﻗﺎﻄﻟﺍ ﻦﻣ ﺭﺮﺤﻤﻟﺍ ﺭﺪﻘﻟﺍ ﺍﺬﻫ ﺏﺎﺴﺣ ﺽﺮﻐﻟ ﺚﺣﺎﺒﻟﺍ ﺲﻔﻧ(BIFIS) ﻑﺍﺮﺤﻧﻻﺍ ﻪﻜﻠﺴﻳ ﻥﺃ ﻦﻜﻤﻳ ﻱﺬﻟﺍ ﻞﻀﻔﻤﻟﺍ ﻖﻳﺮﻄﻟﺎﺑ ﺊﺒﻨﺗ ﺲﻴﻳﺎﻘﻣ ﺓﺪﻋ ﻊﺿﻭ ﻢﺗ

ﻒﻟﺎﺨﻳ ﺔﺠﻴﺘﻧ ﻲﻄﻌﻳ ﺱﺎﻴﻘﻣ ﻞﻛ ﻦﻜﻟ ﻭ , ﻻﺇ

.ﺔﺘﺑﺎﺜﻟﺍ ﺔﻴﻜﻴﻧﺎﻜﻴﻤﻟﺍ ﺺﺋﺎﺼﺨﻟﺍ ﺕﺍﺫ ﺩﺍﻮﻤﻟﺍ ﻲﻓ ﻯﺮﺧﻷﺍ ﺲﻴﻳﺎﻘﻤﻟﺍ ﺕﺎﻫﺎﺠﺗﺍ ﺔﻴﻘﺑ ﻚﻟﺫ ﻭ ﺎﻔﻧﺁ ﺓﺭﻮﻛﺬﻤﻟﺍ ﺲﻴﻳﺎﻘﻤﻟﺍ ﻊﻴﻤﺠﻟ ﺎﻴﺑﺎﺴﺣ ﺎﻬﻴﻠﻋ ﻞﺼﺤﻤﻟﺍ ﻊﻣ ﺎﻬﺠﺋﺎﺘﻧ ﺖﻧﺭﻮﻗ ﻭ ﺖﻳﺮﺟﺃ ﺏﺭﺎﺠﺗ ﺓﺪﻋ ﺽﺮﻐﻟﺍ ﺍﺬﻬﻟﻭ

.ﻦﺴﺣﻷﺍ ﺭﺎﻴﻌﻤﻟﺍ ﺝﺍﺮﺨﺘﺳﻻ ﺍﺬﻫ ﻲﻓ ﺔﻴﻠﺒﻘﺘﺴﻣ ﻝﺎﻤﻋﻷ ﻞﻴﻟﺪﻛ ﺎﻫﺭﺎﺒﺘﻋﺍ ﻦﻜﻤﻳ ﻦﻜﻟ ﻭ ﺔﻟﺎﺴﻤﻟﺍ ﻰﻠﻋ ﺔﺑﺎﺟﻺﻟ ﺔﻠﺻﺎﻓ ﺮﺒﺘﻌﺗ ﻻ ﺏﺭﺎﺠﺘﻟﺍ ﻩﺬﻫ ﺕﺎﺻﻼﺧ ﻥﺇ

.ﻝﺎﺠﻤﻟﺍ

ﺔﻴﺣﺎﺘﻔﻤﻟﺍ ﺕﺎﻤﻠﻜﻟﺍ :

. (G) ﺓﺭﺮﺤﻤﻟﺍ ﺔﻗﺎﻄﻟﺍ ﺭﺪﻗ ,(K) ﺕﺍﺩﺎﻬﺟﻻﺍ ﺓﺪﺷ ﻞﻣﺎﻌﻣ ,ﻑﺍﺮﺤﻧﻻﺍ ,ﻖﺸﻟﺍ ,ﺔﻧﻭﺮﻣ

(8)

Abstract

In this study, we shall present a mathematical formula of phenomena crack kinking in anisotropic, brittle, homogeny, linear and elastic material under and elastic material under a singular integral equation .

The energy release rate of nucleation which caused the beginning of kink is obtained by experimenting the work of stress before kinking and the openings displacement along a kink line after kinking.

The values of these dislocation components found at the crack tip allow the calculation of stress intensity factors at the kink tip as the Irwin's energy release rate for a virtual advance of a small kink.

The energy release rate is also evaluated with the finite elements method (F.E.M), these finite elements are interfacial mixed elements R.M.Q-7 proposed by H.Bouzerd which are put in the logical done by this later, gives directly the energy release rate for a virtual advance of crack in one mesh from which a considerable gain of temps.

The preferable direction of kinking is propsed by different criteria of prediction which give total different results, one thing which is false for isotropic materials.

The experiments were realised for judging which of this criteria is the best, the conclusions are not absolute but they can be considered as guide for future works in this domain.

Key words:

Anisotropic, Elasticity, Crack, Kink, Kinking, Stress intensity factor, Energy release rate.

(9)

Résumé

Dans cette étude, nous allons présenter une formulation mathématique du phénomène de (kinking), d'une fissure préexistante dans un matériau fragile, homogène, linéaire, élastique et anisotrope.

Les valeurs des composantes de dislocations trouvées en pointe du coude permettent le calcul des facteurs d'intensités de contraintes en pointe du coude ainsi que la valeur du taux de restitution d'énergie pour une avancée virtuelle du coude.

Le taux de restitution d'énergie est aussi évalué par la méthode des éléments finis, ces éléments finis sont les éléments mixte d'interface proposé par Hamoudi BOUZERD qui sont implantés dans un logiciel conçu par ce dernier et donne directement le taux de restitution d'énergie en un seul maillage.

La direction préférable du coudage est proposée par différents critères de prédiction qui donnent des résultats généralement différents.

Des expériences ont été réalisées pour juger lequel de ces critères est le plus fiable, leurs conclusions ne sont pas tranchantes mais peuvent être considérées comme un guide pour des futurs travaux dans ce domaine.

.

Mots Clés:

Anisotrope, élasticité, fissure, (kinking), linéaire , facteurs d'intensités de contrainte K , taux de restitution d'énergieG.

(10)

INTRODUCTION GENERALE

(11)

Introduction

1

INTRODUCTION

Dans un sens large .le mot composite signifie constitué de deux ou plusieurs parties différentes. en fait .l’appellation matériau composite ou composite est utilisée dans sens beaucoup plus restricif .un matériau composite est constitue de l’assemblage de deux matériaux de natures différentes. Se complétant et permettant d’aboutir a un matériau dont l’ensemble des performances est supérieur a celui des composants séparément.

La mécanique de rupture a pour objet l’étude des fissures macroscopiques, la mécanique de la rupture est une philosophie de conception visant a développer un critère de ruine prenant en compte l’existence de fissures dans le matériau. Et l’étude de la répartition des σ_ij et des ε_ij dans un matériau pour lequel l’endommagement a la taille de l’élément de volume représentatif.

L’évolution d’une fissure dépend de plusieurs paramètres intrinsèques au matériau, tels que les propriétés géométriques et mécaniques de la structure, ou extrinsèques comme l’étendue de cette fissure ou la nature des charges appliquées. Tous ces paramètres doivent être pris en compte dans la simulation numérique, de façon à permettre l’étude de la propagation quasi-statique d’une ou de plusieurs fissures Lorsque la géométrie ou le chargement ne sont pas symétriques, la fissure ne se propage pas de façon rectiligne, et il est nécessaire de déterminer les directions de propagation des fissures.la question intéressante a’

poser est quelle direction le coudage aura lieu s’il y aura propagation de la fissure préexistante .

Après avoir donné un bref aperçu sur le critère. énergique global du taux de restitution d’énergie G et son importance sur la détermination du chemin qui peut suivre une fissure préexistante lors se son propagation, on essai de donner une méthode numérique des éléments finis (M.E.F). La méthode des élément finis programmée dans le logiciel BIFIS et qu’utilise l’élément d’interface mixte RMQ-7 proposé par le docteur Hamoudi Bouzerd , pour les deux plan de contraintes et de déformation .

(12)

CHAPITRE I :

NOTION SUR LES MATERIAUX COMPOSITES

(13)

Chapitre I notions sur les matériaux composites

2

I.1. Introduction :

Dans un sens large .le mot composite signifie constitué de deux ou plusieurs parties différentes. en fait .l’appellation matériau composite ou composite est utilisée dans sens beaucoup plus restricif .un matériau composite est constitue de l’assemblage de deux matériaux de natures différentes. Se complétant et permettant d’aboutir a un matériau dont l’ensemble des performances est supérieur a celui des composants séparément.

Un matériau composite consiste dans le cas le plus général d’une ou plusieurs phases discontinues réparties dans une phase continue .dans le cas de plusieurs phases discontinues de natures différentes le composite est dit hybride .la phase discontinue est habituellement plus dure avec des propriétés mécaniques supérieurs a celles de la phase continue .la phase continue est appelée la matrice .la phase discontinue est appelée renfort.

Les matériaux composites présenent plusieurs caractéristiques qui différent de celles des matériaux conventionnel.d’autre sont totalement nouvelles et nécessite de nouvelles approches analytique.expérimentales et numériques .la plupart des matériaux sont homogénes et isotropes .alors les matériaux composites sont a la fois hétérogéne et anisotropes.

I.2. Les propriétés des matériaux composites résultent :

 Des propriétés des matériaux constituants.

 De leur distribution géométrique.

 De leurs interaction ; etc.

Ainsi ; pour accéder a la description d’un matériau composite ; il sera nécessaire de spécifier :

 La nature des constituants et leurs propriétés.

 La géométrie du renfort ; sa distribution.

 La nature de l’interface matrice- renfort.

La géométrie du renfort sera caractérisée par : sa forme, sa taille, la concentration du renfort, sa disposition (son orientation), etc. Si l’ensemble de ces paramètres concourent a déterminer les propriétés du composite, les modélisations descriptives ne tiendront compte que Certains paramètres, du fait de la complexité des phénomènes mis en jeu. Par exemple,

(14)

la forme du renfort sera schématiquement approchée soit par des sphères, soit par cylindres.

La concentration du renfort est habituellement mesurée par la fraction volumique ou par la fraction massique, la concentration du renfort est un paramètre déterminant des propriétés du matériau composite.

Pour une concentration donnée, la distribution du renfort dans le volume du composite est également un paramètre important. Une distribution uniforme assurera une homogénéité du matériau : les propriétés du composite seront indépendantes du point de mesure. Dans le cas d’une distribution non uniforme du renfort, la rupture du matériau sera initiée dans les zones pauvres en renfort, diminuant ainsi la résistance du composite.

Dans le cas de matériaux composites dont le renfort est constitué de fibres, l’orientation des fibres détermine l’anisotropie du matériau composite. Cet aspect constitue une des caractéristiques fondamentales des composites : la possibilité de contrôler l’anisotropie du produit fini par une conception et une fabrication adaptées aux propriétés souhaitées. .

Un matériau composite résulte de l’association d’au moins deux matériaux non miscibles, dont les qualités se combinent avec synergie. C’est donc, par essence même, un produit hétérogène.

I.2.1. Matrices :

Phase continu .qui assure la cohésion. Transfère et répartit les contraintes. protége des agressions extérieures les renforts et commande de la mise en œuvre .

I.2.2. Les différentes familles de matrices :

 matrices organiques thermoplastiques, à chaîne linéaire, et polymères thermodurcissables, ou résines, aux propriétés mécaniques plus élevées (résines de polyester, les résines époxydes, jusque vers 200 C^°), résines phénoliques ou résines polyamides, jusqu’à 400 C^°.

 matrices carbonées décomposition d’une matière organique à haute température.

 matrices métalliques bonne ductilité, bonne résistance à certains solvants, bonne tenue en température.

 matrices céramiques réfractaires : tuiles de protection thermique, brûleurs. Très faible résistance à la rupture en traction.

(15)

4

Fig I-1 : Les différentes familles de matrices

I.2.3. Renforts :

Phase discontinue et souvent filamentaire a très hautes caractéristiques mécaniques.

Qui assure le principal des contraintes mécaniques ; du composite (résistance et rigidité ; tenue aux chocs).

I.2.4. Les différents types de renforts de base :

Fig I-2

:

Les différents types de renforts

(16)

 fibres de verre (1940, 1 euro/kg) : extrusion du verre au travers d’une filière percée de trous de 1 à 2mm de diamètre, puis étirées.

 fibres de carbone HR hte résistance ou HM haut module : fibres de polymère carbonisées sous -tension en plusieurs étapes, oxydation (100 à 200 C^°), puis pyrolise (1500-2500 C^°).

 fibres de polymère «Kevlar» (20 euros/kg), pour câbles.

 fibres métalliques ou céraiques (1000 euros/kg). diamètre 100 à 200µm, long 1mm.

 microbilles pleines ou creuses en verre, carbone ou polystyrène. Elles ont des diamètres compris entre 10 et 150µm.

 Renforts minéraux mica et amiante.

I.2.5. Propriétés mécaniques des renforts :

matériau Module d’Young

(Gpa)

Résistance en traction

(Mpa)

Masse volumique

(kg/m³)

Température d’utilisation max (c⁰)

Allongement a’ rupture (%)

Verre R Kevlar 49 Carbone HM

Bore Sic (fibre) Sic (trichte)

80 130 400 400 480 840

2500 3600 2000 3500 2300 21000

2500 1450 1900 2650 3200 3200

650 200 2500

700 900 1600

3 2 0,8 0,5 2,5

Tableau -I

:

Propriétés mécaniques des renforts

I.3. Caractéristiques générales des composites :

La principale caractéristique des composites est qu’ils sont formés d’un renfort de faible densité et de grande résistance et rigidité et d’une matrice qui lie les renforts en une masse compacte. Le renfort et la matrice ont des propriétés mécaniques et physiques très différentes. Il s’ensuit que les composites sont des matériaux très particuliers:

 Matériaux anisotropes.

 Propriétés mécaniques et physiques particulières.

(17)

6

 Design et conception très différents de ceux des matériaux conventionnels.

 Certaines propriétés uniques comme les mécanismes de rupture et l’expansion thermique.

Il existe deux types de matériaux composites :



Les composites de grande diffusion (GD) :

représentent 95% des composites utilisés, constitués principalement par le couple résine polyester / fibre de verre.

Les propriétés mécaniques sont plus faibles mais d'un coût compatible avec une production en grande série.



Les composites à hautes performances (HP) :

constitués par les couples résine / fibre de verre, de carbone ou d’aramide. Les propriétés mécaniques spécifiques élevées et un coût unitaire important. Ce sont les plus employés en aéronautique et dans le spatial.

I.3.1. Quelques avantages des matériaux composites :

 Résistance.

 Légèreté : rapport résistance / poids élevé.

 Résistance à l’environnement et à la corrosion.

 Fabrication facile et peu onéreuse.

 Excellente résistance à la fatigue et aux chocs.

 Amélioration des propriétés électriques.

 Produits éprouvés sous des applications exigeantes.

I.3.4. Inconvénient et mauvaise perception :

 Aux yeux du public, les composites sont des plastiques et donc peu durables. En effet, l’utilisateur est souvent rassuré par du métal.

 Le fait que les composites peuvent libérer de la fumée peut être un motif de rejet.

 Les composites sont relativement méconnus et souvent les managers n’aiment pas s’aventurer dans des chemins inconnus.

 Les industries ayant investi dans des équipements pour travailler avec les métaux ne peuvent réinvestir dans ces équipements coûteux spécifiques aux composites.

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 Le design avec les composites requiert une expertise spécifique et des connaissances interdisciplinaires.

 Les transformateurs font souvent appel à l’assistance des fournisseurs et ceci peut engendrer des problèmes de propriété intellectuelle sur les projets en cours de développement.

 Les composites sont en compétition avec les métaux mais la métallurgie des métaux se développe elle aussi très rapidement.

 L’usage de produits chimiques dans l’industrie des composites implique des contrôles par les agences de protection de la santé et de l’environnement et des lois justifiées et des fois arbitraires.

 Les composites sont considérés comme coûteux à cause des prix des matières premières.

I.3.5. Applications commerciales et industrielles des matériaux composites :

 L’industrie aéronautique, aérospatiale, automobile.

 La construction navale.

 Les transports utilitaires.

 Les industries mécaniques.

 Les industries électrique et électronique.

 Industries diverses : ameublement, armement, médecine.

I.3.6. Définition de base :

Homogène : mêmes propriétés en tout point du matériau.

Hétérogène : en 2 points différents, propriétés différentes.

Isotrope : mêmes propriétés dans toutes les directions.

Isotrope transverse : il existe un axe de symétrie. Symétrie par rapport à une droite.

Orthotrope : propriétés symétriques par rapport à deux plans orthogonaux.

Anisotrope : les propriétés sont différentes selon les différentes directions.

(19)

8

I.4. Comportement mécanique des matériaux composites :

Les matériaux composites présentent plusieurs caractéristiques qui différent de celles des matériaux conventionnels.quelques caractéristiques sont de simples modification du comportement conventionnel .a cause de leur nature hétérogéne, les matériaux composites sont étudiées selon deux poits de vues : micromécanique et macromécanique.

L’aspect micromécanique se distingue dans l’étude du comportement des matériaux composites tout en considérant l’intéraction des matériaux constitutifs a une échelle microscopique.

Tandis que l’aspect macromécanique se manifeste dans l’etude du comportement des matériaux composites en considérant le matériau comme globalement homogène et les effets des constituants sont en compte dans les propriétés moyennes apparentes du composite.

La différence entre le comportement mécanique des matériaux isotropes, orthotropes et anisotropes, sous l’action d’une contrainte de cisaillement, est montrée et discutée dans ce qui suit :

Pour les matériaux isotropes :

La contrainte normale provoque une extension dans la direction de la contrainte appliquée et une contraction dans la direction perpendiculaire .la contrainte de cisaillement provoque seulement des déforemation de cisaillement.

Pour les matériaux orthotropes :

Comme pour les matériaux isotropes la contrainte normale dans une direction principale provoque une extension dans la direction de la contrainte normale appliquée et une contraction dans la direction perpendiculaire. Néanmoins a cause de la différence qui existe entre les propriétés dans les deux directions principales, la contraction peut être plus impotente ou moins importante que celle d’un matériau isotrope d’une manière similaire avec le même module d’élasticité dans la direction du chargement .la contrainte de cisaillement provoque des déformations de cisaillement, mais la magnitude de la déforemation est dépendante des différents modules d’young et différents coefficients de poisson.

Pour les matériaux anisotropes :

L’application d’une contrainte normale conduit non seulement a une extension dans la direction de la contrainte appliquée et une contraction dans la direction perpendiculaire ; mais

(20)

aussi a une déformation de cisaillement. et l’application d’une contrainte de cisaillement provoque une extension et une contraction en plus de la distorsion due a la déformation de cisaillement .

(21)

10

Fig I-3 : Comportement mécanique de matériaux anisotropes

I.5. Position du problème d’élasticité anisotrope : I.5.1. Éléments mathématiques :

I.5.1.1. Formule de changement de base pour un vecteur :

Soient (e₁ . e₂. e₃ ) les vecteurs de base du repère R et (é₁ . é₂ . é₃) du repère R’ .

é1 = a₁₁e₁+a₁₂e₂ +a₁₃e₃

3 32 2 22 1 21

2 a e a e a e

é = + +

3 33 2 32 1 31

3 a e a e a e

é = + +

Contrainte normale Contrainte de cisaillement

Isotrope Orthotrope

Avec la contrainte Normale dans

La direction Principale Du matériau

Anisotrope Ou matériau

orthotrope Avec la contrainte

Normale hors La direction Principale du

matériau

(22)

Les coordonnées d’un vecteur u (u₁.u₂.u₃ ) = (u'₁.u'₂.u'₃) sont :













3 2 1

' ' '

u u u

= 













33 32 31

23 22 21

13 12 11

. .

a a a

















3 2 1

u u u

=A 













3 2 1

u u u

Relation de passage inverse : dans le cas d’une base orthonormée directe. A⁻¹= A^t

 cas d’une rotation autour de l’axe 3 :













−

1 0

0

0 cos sin

0 sin cos

θ θ

Pour obtenir la relation de passage inverse remplacer θpar -θ .

Fig I-4 : rotation autour de l’axe 3

(23)

12

1.5.1.2. Changement de base pour un tenseur exprimé sous forme matricielle :

Soit le tenseur T =

















33 32 31

23 22 21

13 12 11

. .

T T T

. dans le repère R

Dans le repère R’ . si les bases sont orthonormales directes . T= A T A’

I.5.1.3. Illustration des contraintes un cube élémentaire :

Fig I -5 : représentation des contraintes sur les forces d’un cube élémentaire

 Notation :

Le champ de contraintes au point M d’un solide est un tenseur de rang 2 symétrique noté σ(M) .

) σ(M =

















33 32 31

23 22 21

13 12 11

. .

σ σ σ

Commeσ(M). Est symétrique σ_ij=σ_ji pour tout i≠j. 6 grandeurs représentent donc l’état des contraintes en un point M.

(24)

I.5.1.3.1. Contraintes principales :

Il existe un repère dans lequel. σ(M). Est de la forme :

















=

33 22 11

0 0

σ σ σ

σ

les contraintes dans ce repère sont les contraintes principales . elles correspondent aux valeurs propres de la matrice σ(M). La recherche des contraintes principales et du repère principal revient a’ résoudre l’équation (

[ ]

σ -λ

[ ]

^I ^{) =}

[ ]

^o ^.

I.5.1.3.2. Notations pour l’ingénieur :

On peut noter les 6 variables du tenseur des contraintes sous la forme :













6 5 4 3 2 1

σ σ σ σ σ σ

=













12 13 23 33 22 11

σ σ σ σ σ σ

La matrice de changement de base pour une rotation d’angle θ autour de l’axe 3 s’écrit :













−

→ =

θ θ

θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ

θ

θ θ θ

θ

σ

2 2

sin cos

0 0 0 cos sin cos sin

0 cos sin

0 0

0

0 sin cos

0 0

0

0 0

0 1 0

0

cos sin 2 0

0 0 cos sin

cos sin 2 0 0 0 sin cos

R

TR

Pour obtenir la relation de passage inverse. Remplacer par -θ

(25)

14

I.5.1.4. Déformations d’un volume élémentaire :

Fig I- 6 : déformation dans un plan

I.5.1.4.1. Définition des déformations :

1 1

11 x

u

∂

= ∂

ε .

2 2

22 x

u

∂

= ∂

ε .

3 3

33 x

u

∂

= ∂ ε

) 2(

1

1 2 2 1 21

12 x

u x u

∂ +∂

∂

= ∂

=ε

ε (1)

) 2(

1

1 3 3 1 13

31 x

u x u

∂ +∂

∂

= ∂

=ε ε

) 2(

1

2 3 3 2 32

23 x

u x u

∂ +∂

∂

= ∂

=ε ε

(26)

Comme dans le cas des contraintes. le champ de déformations au point M d’un solide est donc un tenseur de rang 2 symétrique noté ε(M). Il y a donc 6 grandeurs représentant les déformations ( 3 translation et 3 rotation ) .

)

ε(M = .

. .

33 32 31

23 22 21

13 12 11

















ε ε ε

I.5.1.4.2. Déformations principales :

Il existe un repère dans lequelε(M). Est de la forme :

















=

33 22 11

0 0

c c c C

Les déformations dans ce repère sont les déformations principales. Elle correspondent aux valeurs propres de la matrice ε(M) le recherche des déformations principales et du repère principal revient a’ résoudre l’équation (

[ ] [ ]

ε −λ I ) =

[ ]

o

I.5.1.4.3. Notation pour l’ingénieur :

On note le tenseur des déformations sous la forme :













6 5 4 3 2 1

ε ε ε ε ε ε

=













12 13 23 33 22 11

γ γ γ ε ε ε

(27)

16

La matrice de changement de base pour une rotation d’angle θ autour de l’axe 3 s’écrit :













−

→ =

θ θ

θ θ θ

θ

θ θ

θ θ θ

θ

θ θ θ

θ

2 2

sin cos

0 0

0 cos sin 2 cos sin 2

0 cos

sin 0

0 0

0 sin

cos 0

0 0

0 1

0 0

cos sin 0

0 0

cos sin

cos sin 0

0 0

sin cos

c R

TR

Pour obtenir la relation de passage inverse. Remplacer θ par - θ

I.5.2. Equation de compatibilité :

Les équations (1) traduisent qu’il existe un lien entre déplacement et déformations. et entre les déformations elles même.

2 2

11 2

∂x

∂ ε +

1 2

22 2

∂x

∂ ε

= 2

2 1

12 2

x x∂

∂

∂ ε

3 2

22 2

∂x

∂ ε +

2 2

33 2

∂x

∂ ε

= 2

3 2

23 2

x x ∂

∂

∂ ε

21 33 2

∂x

∂ ε +

23 11 2

∂x

∂ ε

= 2

3 1

13 2

x x∂

∂

∂ ε

I.5.3. Relation contrainte / déformation : I.5.3.1. Loi de Hooke :

La relation entre contraintes et déformations peut être caractérisée par σ =c.ε:

(28)

























=













6 5 4 3 2 1

66 56

46 36 26 16

65 55

45 35 25 15

64 54

44 34 24 14

63 53

43 33 23 13

62 52

42 32 22 12

61 51

41 31 21 11

6 5 4 3 2 1

C C C C C C

C C

C C C C

C C

C C C C

C C

C C C C

C C

C C C C

C C

C C C C

C C

C C C C

σ σ σ σ σ σ

Ou bien

:

^ε ⁼^s^σ

























=













6 5 4 3 2 1

66 56

46 36 26 16

65 55

45 35 25 15

64 54

44 34 24 14

63 53

43 33 23 13

62 52

42 32 22 12

61 51

41 31 21 11

6 5 4 3 2 1

σ σ σ σ σ σ

S S

S S S S

S S

S S S S

S S

S S S S

S S

S S S S

S S

S S S S

S S

S S S S

C C C C C C

C est la matrice de rigidité; S la matrice de souplesse. C et S sont des matrices symétriques : il y a donc 21 constantes de rigidité Cij ou constantes de souplesse Sij.

I.5.4. Caractérisation des matériaux composites :

I.5.4.1. Matériau monoclinique :

Ce matériau possède un plan de symétrie : l'expression de la matrice de passage ne change pas pour tout changement de repère symétrique par rapport à ce plan. Supposons le plan R(e₁,e₂) plan de symétrie du matériau. Si l'on utilise les relations de passage (16) entre le repère R=(e₁,e₂,e₃) et le repère symétrique R'=(e₁^',e₂^' ,e₃^') avec la forme générale (14), on montre que la loi de Hooke se résume à l'expression suivante :













66 36

26 16

55 45

54 44

36 33

23 13

26 23

22 12

16 13

21 11

0 0

C C

(29)

18

I.5.4.2. Matériau orthotrope :

Le matériau orthotrope est un matériau à 3 plans de symétrie orthogonaux deux à deux. En pratique, c'est le cas des tissus noyés dans un polymère. La même démarche que précédemment conduite aux expressions dans un repère défini par les axes d'orthotropie :













66 55

44 33

23 13

23 22 12

13 12 11

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

C C

C C C

I.5.4.3. Matériau unidirectionnel :

Le matériau unidirectionnel est un matériau possédant un axe de symétrie, par exemple l’axee₁. C'est le cas pour une ensemble de fibres unidirectionnelles dans un substrat.

Par géométrie, le matériau unidirectionnel est orthotrope. Il est souvent appelé orthotrope de révolution. Dans le repère d'orthotropie, la matrice s'écrit :

















−

66 66

23 22 22

23 12

23 22 12

12 12 11

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 2 0

0 0 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

C C

C C C

C C

C C C

(30)

I.5.4.4. Matériau isotrope :

On appelle un matériau isotrope un matériau homogène présentant en tout point une symétrie du comportement mécanique. Un matériau isotrope si ses propriétés sont indépendantes du choix des axes de référence.

















−

0 2 0

0 0 0

2 0 0

0 0 0

0 2 0

0 0 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

12 11 12

11 12

11 11

12 12

12 11 12

12 12 11

C C C

C C

C C C

Constantes d'élasticité (coefficients de Lamé ou E,ν )

(31)

CHAPITRE II :

NOTION SUR LA MECANIQUE DE RUPTURE

(32)

II. 1. Introduction :

La mécanique de rupture a pour objet l’étude des fissures macroscopiques, la mécanique de la rupture est une philosophie de conception visant a développer un critère de ruine prenant en compte l’existence de fissures dans le matériau. Et l’étude de la répartition des σ_ij et des ε_ij dans un matériau pour lequel l’endommagement a la taille de l’élément de volume représentatif.

Divers modes de ruine et d’endommagement font partie de la mécanique de rupture.

Les principaux modes de ruine sont les suivants :

 Instabilité élastique ou flambement.

 Instabilité plastique ou déformation excessives.

 L’endommagement.

II.2. Endommagement et mécanique de la rupture :

Lorsqu’une pièce est soumise à des efforts d’origines variées, il existe des limites, en contraintes ou en déformations, qu’elle ne doit pas dépasser, sous peine d’endommager le matériau et de provoquer sa rupture. Suivant que l’on s’intéresse à la dégradation du matériau d’un point de vue micro-mécanique ou macro-mécanique, deux approches peuvent être utilisées :

 La mécanique de l’endommagement : propose de décrire continûment la dégradation progressive du matériau due à l’apparition, à la croissance, puis à la coalescence de micro-fissures ou de micro-cavités présentes dans le matériau. Cette approche, initialement introduite par Kachanov, a été reprise et développée par de nombreux auteurs tels que Chaboche, Lemaitre [Lemaitre 1988], Bui [Bui et al.

1981], Ehrlacher [Ehrlacher 1985], Gurson [Gurson 1977], Tvergaard, Needleman [Needleman et al. 1987], Rousselier [Rousselier 1987], etc…

 La mécanique de la rupture : a pour objet l’étude du comportement mécanique d’un matériau en présence de fissures macroscopiques. Cela revient notamment à déterminer le champ des contraintes et des déformations au voisinage de la pointe d’une fissure. L’étude de ces champs mécaniques permettant ensuite de juger de la stabilité ou non d’une fissure.

(33)

Chapitre II notion sur la mécanique de rupture

21

Le choix de l’approche dépend essentiellement de l’étude que l’on désire effectuer.

Dans certains procédés de mise en forme des matériaux, l’endommagement est souvent critique, et il n’est donc pas nécessaire d’étudier la propagation de fissures. Par contre, dans d’autres procédés (usinage, découpage) et en génie civil, l’étude des fissures se propageant dans le matériau est nécessaire et est basée sur la mécanique de la rupture.

De plus, la capacité du code de calcul utilisé à permettre la propagation d’une fissure à travers un maillage est un paramètre important. En effet, en mécanique de l’endommagement, on ne modélise pas réellement les étapes d’amorçage et de propagation de fissures. Ces étapes se produisent naturellement lorsque l’adoucissement dû à la croissance des cavités l’emporte sur l’écrouissage du matériau. Il se produit alors une instabilité mécanique traduite

notamment par la chute des contraintes dans la zone endommagée. La fissure correspond alors aux zones qui ne transmettent plus d’efforts normaux. Cette approche présente donc

l’avantage de ne pas significativement modifier la topologie du maillage en introduisant une fissure mais reste approximative dans la mesure où la précision sur le chemin de propagation est directement lié à la finesse du maillage.

II.3. Fissures statiques, quasi-statiques, dynamiques :

Les premiers travaux réalisés en mécanique de la rupture visaient à établir, de façon précise, les champs mécaniques au voisinage d’une fissure statique. La difficulté d’une telle étude réside dans la prise en compte de la singularité introduite par la pointe d’une fissure. Le calcul précis de paramètres mécaniques tels que les facteurs d’intensité des contraintes, ou le taux de restitution d’énergie réside en grande partie dans la bonne prise en compte de cette singularité.

Ces paramètres mécaniques ainsi calculés, il est possible de prévoir la propagation ou non de la fissure. Suivant le type de matériau étudié, et le chargement appliqué, la propagation pourra être qualifiée de stable (la fissure a besoin de plus d’énergie pour reprendre sa progression) ou d’instable. (La fissure poursuit sa progression jusqu’à la ruine de la structure, sans nécessiter d’énergie supplémentaire).

On est alors amené à étudier la propagation quasi-statique de fissures, à l’aide de critères d’amorçage, de bifurcation, et de stabilité.

Enfin dans les problèmes de chargement rapide, ou lorsque les vitesses de propagation de fissures sont importantes ,il devient nécessaire de prendre en compte les termes d’inertie

(34)

dans la formulation et dans la résolution du problème .On parle alors de propagation dynamique des fissures.

II.4. Modes de rupture :

La fissuration se manifeste par la séparation irréversible d’un milieu continu en deux parties, appelées lèvres de la fissure, ce qui introduit une discontinuité au sens des déplacements. Les mouvements possibles des lèvres de chaque fissure sont des combinaisons de trois modes indépendants :

 Mode I : ouverture (ou clivage).

 Mode II : cisaillement plan.

 Mode III : cisaillement anti-plan.

Fig II-1 : mode de rupture

Le mode I est le plus dangereux pour l’extension d’une fissure ; cependant, une fois amorcée et pour des sollicitations mixtes ou des géométries complexes, la fissure a tendance à bifurquer, et reste donc rarement rectiligne (2D) ou plane (3D).

II.5. Mécanique linéaire, et non-linéaire de la rupture :

La mécanique de la rupture se propose de décrire les étapes d’amorçage et de propagation de la fissuration. Selon le comportement du matériau durant la propagation d’une fissure, on peut être confronté à deux types de rupture :

 Rupture fragile, en l’absence de déformation plastique significative (mécanique linéaire de la rupture) ;



Rupture ductile, en présence de déformation plastique non négligeable (mécanique non linéaire de la rupture).

(35)

23

II.5.1. Etude d’un milieu élastique fissuré :

Fig II-2 : les zones de champs mécanique

Dans un milieu élastique fissuré, la région proche de la pointe de fissure peut être décomposée en trois zones [Zhang 1992] :

1- La zone d’élaboration : au voisinage direct de la pointe de fissure, l’étude de cette zone (considérée comme ponctuelle d’un point de vue mécanique) est très complexe dans la mesure où les contraintes tendent vers l’infini (d’un point de vue théorique) à la pointe de fissure ; 2- La zone singulière : dans cette zone, le champs de contrainte présente une singularité en

12

r− ;

3- La zone des champs lointains : extérieure aux deux précédentes, elle raccorde la zone singulière aux conditions aux limites de chargement et déplacement.

C’est la singularité d’ordre –1/2 dans la zone singulière qui caractérise la solution obtenue en élasticité pure. Cette solution n’est malheureusement pas physiquement réaliste. En fait, les contraintes en pointe de fissure sont « écrêtées » par la plasticité ]. De plus, la signification énergétique de la rupture proposée par Griffith devient plus ambiguë, dans la mesure où elle consiste à représenter la propagation de fissure comme un déchargement. Or, en plasticité, une partie de l’énergie est dissipée (phénomène irréversible) et on ne peut donc pas toujours évaluer la fraction d’énergie « disponible » pour la propagation.

Les ruptures obtenues par fatigue, par choc thermique, ou par corrosion couvrent également un domaine de recherche important, mais elles ne seront pas abordées dans ce manuscrit.

(36)

On peut alors distinguer deux approches concernant l’étude de la zone singulière :

 Une approche locale : caractérisée par une étude des champs de contrainte et de déformation au voisinage du front de fissure ;

 Une approche globale : (ou énergétique), caractérisée par l’étude du comportement global de la structure fissurée sur le plan énergétique.

II.5.2. Approche Locale :

Certains auteurs définissent l’approche locale comme l’approche liée aux modèles d’endommagement, cette approche consiste à déterminer les paramètres de mécanique de la rupture à l’aide des champs de contraintes et de déformations locaux en pointe de fissure.

Pour définir ces champs en pointe de fissure, nous introduirons la notion de facteurs d’intensité des contraintes. Ces champs étant fortement perturbés par la singularité créée par la pointe de fissure,

II.5.2.1. Facteurs d’intensité des contraintes :

Introduits par G.R. Irwin [Irwin 1957] en 1957, les facteurs d’intensité de contraintes correspondent à des cinématiques particulières du mouvement des fissures. Dans le cadre de la mécanique linéaire de la rupture, les contraintes et les déformations au voisinage d’une fissure admettent un développement asymptotique dont le terme singulier s’écrit :

) ( 2

1 θ

σij _α π f^αij

r

=K

) ( 2

1 θ

εij _α π g^αij

r

=K 3 , 2 ,

=1 α

Fig II-3 : champ des contraintes au voisinage de la fissure

(37)

25

Kαa est le Facteur d’Intensité des Contraintes (FIC) en modeα , avec α=I, II ou III.

Les fonctions f et g donnent la répartition angulaire ; leurs expressions en contraintes et déformations planes sont données dans plusieurs ouvrages de mécanique de la rupture [François et al. 1993], [Miannay 1995]. Lorsque l’on se trouve en mode I pur, l’état local de contraintes et de déformations peut être caractérisé à l’aide du seul paramètre K_I . Dans certains cas (préchargement à chaud [Pineau 1998], effets d’échelle ou de géométrie [Bauvineau 1996], [Hancock 1993] …), il est nécessaire de tenir compte également des premiers termes non singuliers :

) ( )

( 2

1 f ij T O r

r

K_I ^I _xj _xj

ij = θ + δ δ +

σ π

La contrainte transverse T, est une contrainte parallèle au plan de fissure, et n’intervient que sur σ_xx . Elle a également pour effet de modifier le terme hydrostatique du tenseur des contraintes : σ_m =Trace(σ)/3 (donc la triaxialité des contraintes) ainsi que la plus grande contrainte principale.

Les FIC caractérisent la force de la singularité du champ des contraintes à l’extrémité de la fissure [Erdogan 1983]. Ils sont proportionnels aux discontinuités des déplacements des lèvres de la fissure, et ne dépendent que de la répartition des efforts extérieurs et de la géométrie de la fissure. Plusieurs ouvrages tels que celui de Murakami [Murakami et al. 1987]

donnent l’expression de ces FIC pour des géométries et des chargements variés.

Plusieurs auteurs continuent à utiliser les FIC en plasticité confinée (et surtout en déformation plane), ais ces facteurs n’ont plus de signification en plasticité étendue puisqu’il n’y a plus de singularité des contraintes en pointe de fissure. En plasticité confinée, on définit alors des FIC équivalents, ou apparents, qui dépendent des FIC élastiques, mais également des déformations plastiques en pointe de fissure.

Dans le cas de la plasticité étendue, le champ singulier HRR [Hutchinson 1968], [Rice et al. 1968] représente le premier terme de la solution complète qui pourrait se présenter sous la forme d’un développement en série. Tout comme le rajout de la contrainte transverse T en élasticité linéaire, on montre qu’en plasticité étendue il est parfois nécessaire de prolonger le développement en série et de prendre en compte le premier terme non singulier Q. Q est appelé facteur d’amplitude du champ du second ordre, ou paramètre de triaxialité du confinement. Sa prise en compte prend une importance croissante avec l’extension de la plasticité,

(38)

II.5.2.2. Calcul des facteurs d’intensité des contraintes :

Les facteurs d’intensité des contraintes s’exprimant en fonction du champ des contraintes au voisinage de la fissure, et ce champ de contraintes étant parfaitement accessible numériquement, ce calcul ne devrait pas poser de problèmes à priori. Pourtant, nous allons voir qu’une bonne précision sur ces facteurs est difficile à obtenir.

 Eléments singuliers :

L’utilisation standard de la méthode des éléments finis ne permettant pas de rendre compte des singularités des champs de contrainte au voisinage de la pointe de la fissure, il a été nécessaire d’effectuer quelques modifications.

Plusieurs idées ont été proposées : du raffinement de la zone singulière à l’introduction brutale de la singularité dans les fonctions de forme, la plupart de ses techniques ont peu à peu été abandonnées.

Ce sont Henshell et Shaw [Henshell et al. 1975] d’une part, et Barsoum [Barsoum 1976] d’autre part, qui finirent par trouver une solution préservant à la fois les fonctions de forme et les fonctions d’interpolation.

Le fait de déplacer les noeuds milieux des côtés correspondant à la pointe de la fissure (arêtes 1-2 et 1-4) au quart de la longueur (Figure suivante) permet de forcer la singularité, Toutefois, si la singularité existe le long des côtés en contact avec la pointe de la fissure, elle disparaît sur les autres rayons émanant du noeud 1. Hibbitt [Hibbitt 1977] a de plus montré en 1977 que l’énergie de déformation (et donc la raideur) n’était plus bornée lorsque l’on tendait vers la pointe de fissure. Il a alors fallu introduire le triangle à 8 noeuds avec noeuds au quart (Fig II-4 .b), la pointe de fissure se trouvant aux trois noeuds confondus 1-8-4. Cet élément garantit alors la singularité pour toutes les arêtes émanant du noeud 1, ainsi qu’une énergie de déformation bornée lorsqu’on tend vers la pointe de fissure.

Fig II-4 : a) Elément quadrangle singulier b) Elément triangulaire singulier

(39)

27

Tong et Pian [Tong et al. 1973] ont également proposé un super-élément mixte à 9 ou 17 noeuds, avec présence d’une fissure centrée et qui permet de prendre en compte la singularité

; malheureusement, sa mise en oeuvre délicate constitue un sérieux handicap.

 Principe de superposition :

Cette méthode, la plus couramment utilisée, consiste à ramener le problème traité à une suite de problèmes déjà résolus et dont les solutions se trouvent dans certains Handbooks [Murakami et al. 1987]. Le principe utilisé est celui de la superposition des solutions, qui résulte de l’élasticité linéaire.

 Méthode des fonctions de poids :

On recherche la valeur de K_I produite par une force unité, placée à une distance x de l’extrémité de la fissure. Pour une distribution F(x), on peut alors écrire :

∫

+

fissure

I F x K x dx

K ( ) ( )

La fonction K(x) s’appelle fonction de poids. Elle est bien établie pour certains cas particuliers, et répertoriée dans certains Handbooks. L’avantage d’une telle méthode est qu’elle ne nécessite qu’un seul calcul de structure, Malheureusement, on reste limité aux géométries qui existent dans les tables.

 Calcul par extrapolation :

Cette méthode, également utilisée en élastoplasticité, consiste à effectuer une extrapolation du champ des contraintes ou des déplacements lorsque r tend vers 0.

Par exemple, en déformations planes, le déplacement est une fonction linéaire de r, et pour .θ =πK_I et K_IIpeuvent s’exprimer en fonction du déplacement :

r E u

r

K_I_u ^y

8 ) 1

( ₂ π

ν

= −

r u r E

K_II_u ^x

8 ) 1

( ₂ π

ν

= −

Puis, par passage a’ la limite : )

( limK r K_I = _I_u

) ( limK r K_II = _II_u