Calcul semi-quantique du spectre de rayonnement dans un accélérateur circulaire, à électrons

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Calcul semi-quantique du spectre de rayonnement dans

un accélérateur circulaire, à électrons

A. Abragam

To cite this version:

CALCUL

_{SEMI-QUANTIQUE}

DU SPECTRE DE RAYONNEMENT DANS UN

ACCÉLÉRATEUR CIRCULAIRE,

A

ÉLECTRONS

Par

A. ABRAGAM.

Sommaire. 2014 On étudie

par une méthode semi-quantique le _rayonnement d’un électron dans un

accélérateur circulaire.

Les résultats coïncident avec ceux _{obtenus par la} méthode classique, ce _qui tend à _légitimer cette

dernière dans les cas où elle pourrait paraître sujette à caution.

LE JOURNAL PHYSIQUE SÉRIE VIII, IX,

Introduction. - Une étude de

Schwinger

_a montré

_qu’un

électron

de

_{grande énergie}

en mouve-ment circulaire émet un

_rayonnement,

dont le

spectre

d’énergie

est d’une extraordinaire richesse

en

harmoniques.

Le6

_principaux

résultats de cette

étude sont

_les

suivants : Notations :

E,

énergie

de

_{l’électron;}

Eo,

énergie

de _repos de

l’électron;

W,.,

_énergie

rayonnée

par tour

d’électron;

..

W,,,

énergie

rayonnée

sur

l’harmonique

de _rang n.

Dans ces conditions on montre _que

(Schwinger)

D’autre

_part

croît avec n comme

(n)’

_jusqu’à

’%

un rang n,,

puis

décroît

rapidement.

’

Exemple.

-- Soit

un électron de 109 eV

_{(1 B eV)}

avec une

_fréquence

de révolution de 3o Mc

_(À

= _{i o}

m).

Avec des _{valeurs raisonnables pour les différents}

paramètres

de

l’accélérateur,

on trouve

30000

_eV,

_101°, Â.

Or

_l’énergie

d’un

_photon

de 1 o Á est

déjà

de l’ordre

de 1000 eV. Il en résulte _que sur un

_harmonique

déterminé,

et _par tour

d’électron,

seul un

_petit

nombre de

_photons

est émis. On

_peut

se demander dans ces conditions si le calcul

_classique

_du

rayon-nement est

_légitime

et s’il ne serait _{pas nécessaire}

de faire

_appel

à la

théorie

des

_quanta.

Position du

_{problèmes Que}

l’accélérateur soit un bétatron ou un

_synchrotron,

le

_système

se

compose essentiellement des

_parties

suivantes : A. 1° Un

_champ

_magnétique

constant destiné à

produire

le mouvement

circulaire;

2° Un

_champ

_électrique

accélérateur,

tangentiel

à la

_trajectoire

_(localisé

en des

_points

de la

trajec-toire _pour le

_synchrotron,

_réparti

le

_long

de

_celle-ci,

pour le

bétatron).

’

B. L’électron en mouvement.

C. Le

_champ

_rayonné

_{par l’électron.}

Il n’est bien entendu _pas

_question

de

_quantifier

les

_champs

A,

_qui

seront considérés comme des fonctions données de

_l’espace

et du

_temps.

Quantifier

le mouvement de l’électron

_apparaît

à la fois comme très

_difficile

et

_probablement

inutile. ,

Difficile,

parce que si en

_mécanique

classique

on

peut

considérer des

_trajectoires

circulaires dans un

champ

magnétique

constant et uniforme

_(en

négli-geant

le

_{rayonnement) correspondant}

à une vitesse

initiale

_{perpendiculaire}

au

_{champ magnétique,}

en

mécanique

ondulatoire il est

_impossible

_d’imposer

de telles conditions initiales

_{particulières}

_qui

assurent à la

_trajectoire

sa

_{périodicité.}

Un électron dans un

_champ

_magnétique

constant

et uniforme n’aurait _pas d’états fermés.

Il faudrait donc

_(comme

cela a lieu en

_pratique)

imposer

au

_champ

constant une structure focali-sante

_(variation

convenable du

_champ

dans

_l’espace)

que l’on ferait entrer dans

_{l’équation}

de Dirac

régissant

le mouvement de l’électron. Un tel

_problème

serait certainement très

_compliqué.

~ Inutile,

parce que les

grandes

dimensions

de la

trajectoire

permettent

à la. fois de satisfaire au

principe

d’incertitude et de considérer

_pratiquement

l’électron comme un

_point

localisé

_ayant

une

quan-tité de mouvement bien définie. °

Si donc l’électron est décrit

_{classiquement,}

le

champ

accélérateur et la réaction de

_rayonnement

auront tendance à transformer la

_trajectoire

circu-laire en

_{spirale, respectivement}

_centrifuge

ou

centri-pète.

,

(Ceci

dans le cas du

_synchrotron;

dans le cas du

bétatron,

si l’on

_néglige

le

_rayonnement,

l’effet

du

_champ

accélérateur est de conserver _{le rayon} en faisant croître la vitesse

_angulaire.)

Si nous nous

_plaçons

à la limite des

_{possibilités}

d’accélération en considérant que

_l’énergie

fournie par

tour,

par le

champ

accélérateur,

est

_égale

à celle

rayonnée,

nous _{pourrons faire abstraction du}

_champ

144

extérieur et considérer le mouvement circulaire et

uniforme de

l’électron,

comme

imposé

en fonction

du

_temps,

sans nous

_préoccuper

des causes

_qui

le

produisent.

Le

_champ

_{électromagnétique}

de

_rayonnement

sera considéré comme un

_{système quantifié}

S

interagissant

avec l’électron en mouvement

_qui

provoque une

_perturbation

de ce

_système.

On

_peut

_{remarquer que} c’est là un

_point

de vue

symétrique

de celui

_{adopté quelquefois, qui}

consiste

à considérer la matière en mouvement comme un

système

quantifié,

et une onde lumineuse décrite

classiquement,

comme une

_perturbation

de ce

système.

Cette dernière manière de voir rend

_compte

correctement de nombreux

_{phénomènes.}

On

_peut

en trouver une

justification

dans le raisonnement

sommaire suivant : Les

_{échanges d’énergie}

entre

matière et

_rayonnement

doivent se faire de

_façon

discontinue. Une

_description

des

_{phénomènes,}

où

seul l’un des

_partenaires

_peut

céder et recevoir de

l’énergie

par

quanta, quoique

incomplète,

peut

donc conduire à des résultats corrects. Ce raisonnement

s’applique

sans

_changement

au cas

qui

nous _occupe.

Résolution du

_problèmes

Recherche de l’hamillonien d’interaction. - On montre

en théorie

quantique

des

_champs

_{que l’on}

_peut

_prendre

comme

hamiltonien de

_couplage

entre matière et

rayon-nement

_{l’opérateur}

Notatians : Le

_.champ

est décrit _par le

quadri-vecteur

_potentiel

Les diverses

_{composantes Ai}

sont des

_opérateurs.

s

_(x,

_{y, z,}

_t)

est le vecteur courant

_électrique

(vecteur

tridimensionnel);

An

est un trivecteur dont les trois

_composantes

sont

_{A,, A2,}

Contrai-rement à s est dans nos

_hypothèses

non un

opérateur

mais une fonction ordinaire.

Si f

_(t)

est le trivecteur dont les

_composantes

sont les coordonnés de

l’électron,

on a _pour s

6 est la fonction de Dirac.

En

intégrant

l’expression

de

H’,

il viènt

e est la

_charge

de l’électron.

Calcul des

_{probabilités}

d’émission. -

Pour introduire le

_langage

des

_photons,

_supposons comme

on le fait

toujours,

tout le

_{système enfermé}

dans un

cube de rayon très

grand

et

_développons

An en série de Fourier suivant des vecteurs

k,

_{= ). (Toutes}

les notations sont celles de

Heitler,

Quantum

Theory o f Radiation.)

q;, et

qt

sont

_{respectivement}

les

_opérateurs

d’émission et

_{d’absorption}

de

_photons

de direction

+

de

_propagation

kj,

polarisation

e;, et

fréquence

V).

D’après

(2)

il vient

’

q;, et

q*

sont

représentés

par des matrices aux

propriétés

bien connues, dont les seuls éléments

non nuls sont :

où ni

_représente

le nombre de

_photons

dans un état

déterminé.

Le maximum de

_{renseignements disponibles,}

sur le

champ

est _{fourni par la connaissance} des nombres n,,. Sous l’action

_{perturbatrice}

de l’électron en _{mouvement il y} a

probabilité

de

transition

s’exprimant

par la variation des nombres ni,.

Nous nous intéressons ici

_uniquement

à l’émission

spontanée

de

_{l’électron,}

à l’exclusion de tout

phéno-mène

_{d’absorption}

et d’émission

_provoquée.

Nous

_prendrons

donc comme état

W 0

non

_perturbé

du

_système

l’état où tous les nombres n;, ont la valeur zéro.

Par suite de la

_perturbation

l’état du

_champ

au

_{temps 1}

sera de la forme

où les

W)

sont les états _propres du

_champ

non

perturbé,

caractérisés chacun _par l’ensemble des nombres n~, des

_photons,

existant dans cet état du

champ.

La méthode de

_perturbation

de Dirac

donne,

compte

tenu du fait

_qu’il

_n’y

a _pas de

_photons

dans %état

initial,

.

Le second membre est le seul élément de matrice

de l’hamiltonien de

_couplage,

intervenant dans le

calcul de la

_perturbation

du

_premier

ordre, à

_laquelle

on. se limite dans l’étude de l’émission. L’état ’1B

des nombres no est

égal

à i, tous les autres étant

nuls (1).

Soit v la vitesse de

_{l’électron, Wo}

sa vitesse

angu-laire.

Prenons comme axe des z l’axe de la

_trajeçtoire

circulaire.

On aura alors

Soient a,

~3,

~y les cosinus directeurs du vecteur de

_{propagation k),}

et

«’,

[3’, y’

ceux du vecteur de ,

polarisation

On a

De

_même,

(1) A ce _point du calcul on _{peut remarquer, compte} tenu de _{l’expression} des _{matrices q que} b> est _{proportionnel}

1

d’après (4) à La _probabilité d’émission d’un photon v

sera _{proportionnelle} à (Elle est _{proportionnelle} à , 1 bi. _2). L’énergie rayonnée sur cette _{fréquence, proportionnelle} à

cette _{probabilité,} et à 1ï’n aura une _{expression qui} ne contiendra pas t. Or _d’après le _principe de correspondance l’énergie rayonnée w-,, devrait tendre vers celle calculée _{classiquement} lorsqu’on fait tendre lî vers zéro. Comme elle ne contient pas ti- elle coïncide donc avec _{l’expression classique.} Ce résultat

est évidemment _indépendant de la loi de mouvement _{f (t)} imposée à l’électron.

La seule différence au _point de vue résultats avec la théorie classique, réside dans le fait que si les _{probabilités} d’émission

d’un _{photon par unité de temps} sont _petites, il _peut y avoir des fluctuations _{que la théorie classique} est évidemment

impuissante à _prévoir.

Mais il _{suffît, pour obtenir} ces _{probabilités,} de diviser

par n’V l’énergie rayonnée sur une _{fréquence déterminée,} calculée classiquement.

Il est néanmoins intéressant de _poursuivre le _{calcul pour}

les raisons suivantes :

I A titre de vérification;

2° Pour l’intérêt _intrinsèque de la méthode de calcul,

car elle donne _{peut-être plus rapidement} et simplement que la méthode _classique des _potentiels de Liénard-Wichert,

le contenu spectral de la radiation émise.

En

_développant

_{l’exponentielle}

suivant une

for-mule

_classique

En.

_décomposant

les cosinus en

_{exponentielles,}

puis

en

_intégrant,

on obtient

_{pour b~,}

_(t)

une somme

d’exponentielles imaginaires

dont les dénominateurs

sont de la forme

_{(n -(-1)}

_Wo -!- v; et

_(n-I)

_Wo ± VI,.

~/

(t)

a au cours

-4lu

_temps

une _{valeur moyenne}

- très faible à moins

que la

fréquence vA

du

_photon

f

émis ne soit très voisine de _pmo où p est un nombre

entier. Si nous n’écrivons alors que la

partie

prin-cipale

de b>,

(t)

on trouve en

_posant

et

_compte

tenu

de b>,

(o)

= _o,

~ l’’ ~’ ~ ’ l, l

~ b,, 2

représente

la

_probabilité

d’émission d’un

photon

de

_{fréquence vA}

très voisine de pmo. Mais

ce

_qui

a un sens

_physique

c’est

_{l’intégrale}

de cette

expression

sur une bande de

_fréquence

étroite

w,,

contenant

En effectuant cette

_{intégration qui}

est

_classique,

puis

en

_multipliant

_{l’expression}

ainsi obtenue

vi

dQ

~

"

par

_{(2Rc)3 (nombre}

de

_photons,

_compris

entre

les

_{fréquences j-,}

+

d>,, émis dans

_l’angle

on trouve _{pour la}

_probabilité

d’émission d’un

_photon

de

_{fréquence )-,,}

=

pw à

d V),

_près,

et de

_polarisation

déterminée,

dans

_l’angle

solide dS~ et _{par unité} de

_temps,

Il faut encore faire la somme

Pl+P2=P

correspondant

aux deux

_{polarisations possibles}

pour un même vecteur de

_propagation.

Ce calcul

peut

se

_simplifier

_par un choix

_particulier

des axes.

146

de coordonnées

qui

ne restreint _{pas la}

_{généralité,}

puisque

le

_rayonnement

_présente

certainement la

symétrie

de révolution autour de l’axe de la

trajectoire.

Supposons

alors que les vecteurs

propagation

et

_polarisation

des

_photons

soient

_placés

comme

l’indique

la

_figure.

Fig. i.

’

On obtient pour les cosinus directeurs de ces vecteurs les valeurs suivantes :

Si l’on

_remplace

_{alors, compte}

tenu des formules ci-dessus _{P par}

_{Pi + P2}

et si l’on

pose -==

_B

_(il

_n’y

e

a _pas de

_danger

de confusion avec

_B

cosinus directeur

qui

n’interviendra

_plus

dans la

_suite),

il vient

On

_peut

encore

exprimer

1 et

_{Jp +}

i en

fonction de

_al,

et

_{J 2}

_{par les} formules des fonctions

de Bessel. On trouve

où R est _{le rayon} de la

_trajectoire.

°

En

_multipliant

P _par

_Pú)o.1ï

_énergie

du

_photon

on obtient

l’expression

de

_{W~,, énergie}

émise par

unité de

_temps

sur

_{l’harmonique}

_p

_qui

coïncide

avec le résultat

_{classique (voir}

par

exemple

Schiff,

Production of

_{particles energies beyond}

_{200 MeV,}

Review

_{o f Scientific}

Instruments,

janvier

1946,

vol.

_17).

Conclusion. --- n On

peut

considérer comme

corrects les calculs

_classiques

faits sur _le

rayon-nement des

_particules

accélérées. Si l’on veut tenir

_compte

de la structure

_quantique

de la

_lumière,

il suffit de diviser

_l’énergie

_rayonnée

sur une

fré-quence donnée calculée

classiquement,

par

l’énergie

du

_photon

_{correspondant,}

_pour obtenir la

proba-bilité d’émission.

-Si cette

_probabilité

est

_faible,

un calcul de fluctuations du

_{rayonnement peut}

être

_entrepris

à

_partir

de ces

_{probabilités.}

~~ La méthode

_{semi-quantique}

_précédente

peut

remplacer

avantageusement

la méthode

_classique

pour l’étude

spectrale

de

l’énergie rayonnée.

3~ C’est _par une discussion

_approfondie

de la formule

_(A),

faisant intervenir le

_comportement

asymptotique

de 3p

(p)

pour p très

grand,

que

Schwinger

a obtenu les résultats

_indiqués

dans

l’introduction.

Le détail de ses calculs n’a _pas été

publié

à ma connaissance.

’

On trouvera des indications sur ce calcul dans l’article

_déjà

*cité de Schiff.

Je

_prie

M. le Professeur Francis Perrin de trouver ici

_{l’expression}

de ma

_{profonde gratitude}

_pour

l’intérêt

qu’il

a bien voulu

_porter

à ce travail.