Algorithmique des graphes 6 — Plus courts chemins, la suite Anthony Labarre 10 mars 2021
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Texte intégral
(2) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir. • Pour prouver que l’algorithme de Kosaraju-Sharir est correct, il est plus simple de s’imaginer que chaque CFC est supprimée du graphe dès qu’on l’identifie ;. 2.
(3) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir. • Pour prouver que l’algorithme de Kosaraju-Sharir est correct, il est plus simple de s’imaginer que chaque CFC est supprimée du graphe dès qu’on l’identifie ; • Le résultat suivant sera crucial :. 3.
(4) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir. • Pour prouver que l’algorithme de Kosaraju-Sharir est correct, il est plus simple de s’imaginer que chaque CFC est supprimée du graphe dès qu’on l’identifie ; • Le résultat suivant sera crucial :. Lemme 1 Soit v le sommet de G dont la date de fin d’exploration est maximale. Alors la CFC C de G contenant v est une source, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C .. 4.
(5) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir Soit v le sommet de G dont la date de fin d’exploration est maximale. Alors la CFC C de G contenant v est une source, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C ..
(6) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir Soit v le sommet de G dont la date de fin d’exploration est maximale. Alors la CFC C de G contenant v est une source, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C .. C v. b.
(7) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir Soit v le sommet de G dont la date de fin d’exploration est maximale. Alors la CFC C de G contenant v est une source, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C . Procédons par contradiction : on suppose. C v. b.
(8) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir Soit v le sommet de G dont la date de fin d’exploration est maximale. Alors la CFC C de G contenant v est une source, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C . Procédons par contradiction : on suppose qu’il existe un arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C .. C v. a. b.
(9) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir Soit v le sommet de G dont la date de fin d’exploration est maximale. Alors la CFC C de G contenant v est une source, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C . Procédons par contradiction : on suppose qu’il existe un arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C . Soit r le sommet à partir duquel l’exploration en profondeur mène au sommet a ; on sait que r ∈ / C , sinon on aurait a ∈ C ; donc r 6= v . C v. a. b. r.
(10) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir Soit v le sommet de G dont la date de fin d’exploration est maximale. Alors la CFC C de G contenant v est une source, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C . Procédons par contradiction : on suppose qu’il existe un arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C . Soit r le sommet à partir duquel l’exploration en profondeur mène au sommet a ; on sait que r ∈ / C , sinon on aurait a ∈ C ; donc r 6= v . C v. a. b. Il existe un chemin r. a→b. v;. r.
(11) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir Soit v le sommet de G dont la date de fin d’exploration est maximale. Alors la CFC C de G contenant v est une source, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C . Procédons par contradiction : on suppose qu’il existe un arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C . Soit r le sommet à partir duquel l’exploration en profondeur mène au sommet a ; on sait que r ∈ / C , sinon on aurait a ∈ C ; donc r 6= v . C v. a. b. Il existe un chemin r. a→b. ⇒ on finit d’explorer v avant r. v;. r.
(12) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir Soit v le sommet de G dont la date de fin d’exploration est maximale. Alors la CFC C de G contenant v est une source, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C . Procédons par contradiction : on suppose qu’il existe un arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C . Soit r le sommet à partir duquel l’exploration en profondeur mène au sommet a ; on sait que r ∈ / C , sinon on aurait a ∈ C ; donc r 6= v . C v. a. r. b. Il existe un chemin r. a→b. v;. ⇒ on finit d’explorer v avant r ⇒ date fin(v ) < date fin(r ) ;.
(13) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir Soit v le sommet de G dont la date de fin d’exploration est maximale. Alors la CFC C de G contenant v est une source, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C . Procédons par contradiction : on suppose qu’il existe un arc (a, b) avec a 6∈ C et b ∈ C . Soit r le sommet à partir duquel l’exploration en profondeur mène au sommet a ; on sait que r ∈ / C , sinon on aurait a ∈ C ; donc r 6= v . C v. a. r. b. Il existe un chemin r. a→b. v;. ⇒ on finit d’explorer v avant r ⇒ date fin(v ) < date fin(r ) ; ⇒ contradiction : date fin(v ) est censée être maximale..
(14) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir. On peut maintenant prouver que l’algorithme de Kosaraju-Sharir est correct : • le premier parcours nous donne les descendants de chaque sommet ;. 14.
(15) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir. On peut maintenant prouver que l’algorithme de Kosaraju-Sharir est correct : • le premier parcours nous donne les descendants de chaque sommet ; • le second parcours reconstruit chaque CFC C “sans déborder”, puisqu’il n’existe pas d’arc sortant de C dans G 0 ;.
(16) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Correction de l’algorithme de Kosaraju-Sharir. On peut maintenant prouver que l’algorithme de Kosaraju-Sharir est correct : • le premier parcours nous donne les descendants de chaque sommet ; • le second parcours reconstruit chaque CFC C “sans déborder”, puisqu’il n’existe pas d’arc sortant de C dans G 0 ; • à chaque identification d’une CFC, on la supprime et on recommence ;.
(17) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Plus courts chemins : poids < 0. • L’algorithme de Dijkstra fonctionne bien tant qu’il n’y a pas de poids négatifs dans notre graphe ;. 17.
(18) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Plus courts chemins : poids < 0. • L’algorithme de Dijkstra fonctionne bien tant qu’il n’y a pas de poids négatifs dans notre graphe ; • Cela n’arrive pas dans le cas de distances ; quand pourrait-on en avoir ?. 18.
(19) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Plus courts chemins : poids < 0. • L’algorithme de Dijkstra fonctionne bien tant qu’il n’y a pas de poids négatifs dans notre graphe ; • Cela n’arrive pas dans le cas de distances ; quand pourrait-on en avoir ? • quand les poids correspondent à des dépenses énergétiques ;. 19.
(20) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Plus courts chemins : poids < 0. • L’algorithme de Dijkstra fonctionne bien tant qu’il n’y a pas de poids négatifs dans notre graphe ; • Cela n’arrive pas dans le cas de distances ; quand pourrait-on en avoir ? • quand les poids correspondent à des dépenses énergétiques ; • quand les poids correspondent à des coûts ou à des remises ;. 20.
(21) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Plus courts chemins : poids < 0. • L’algorithme de Dijkstra fonctionne bien tant qu’il n’y a pas de poids négatifs dans notre graphe ; • Cela n’arrive pas dans le cas de distances ; quand pourrait-on en avoir ? • quand les poids correspondent à des dépenses énergétiques ; • quand les poids correspondent à des coûts ou à des remises ; • .... 21.
(22) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Plus courts chemins : poids < 0. • L’algorithme de Dijkstra fonctionne bien tant qu’il n’y a pas de poids négatifs dans notre graphe ; • Cela n’arrive pas dans le cas de distances ; quand pourrait-on en avoir ? • quand les poids correspondent à des dépenses énergétiques ; • quand les poids correspondent à des coûts ou à des remises ; • .... • Comme on va le voir, l’algorithme de Dijkstra n’est plus fiable dans ces cas-là ;. 22.
(23) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra en présence de poids < 0. Exemple 1 (plus courts chemins depuis a) c. 2. −10. 2. b 1. d a. 3. étape. a. b. c. d. 0 1 2 3 4. 0 0 0 0 0. +∞ 1 1 1 1. +∞ 2 2 2 -7. +∞ 3 3 3 3. 23.
(24) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra en présence de poids < 0. Exemple 1 (plus courts chemins depuis a) c. 2. −10. 2. b 1. d a. 3. étape. a. b. c. d. 0 1 2 3 4. 0 0 0 0 0. +∞ 1 1 1 1. +∞ 2 2 2 -7. +∞ 3 3 3 3. 24.
(25) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra en présence de poids < 0. Exemple 1 (plus courts chemins depuis a) c. 2. −10. 2. b 1. d a. 3. étape. a. b. c. d. 0 1 2 3 4. 0 0 0 0 0. +∞ 1 1 1 1. +∞ 2 2 2 -7. +∞ 3 3 3 3. 25.
(26) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra en présence de poids < 0. Exemple 1 (plus courts chemins depuis a) c. 2. −10. 2. b 1. d a. 3. étape. a. b. c. d. 0 1 2 3 4. 0 0 0 0 0. +∞ 1 1 1 1. +∞ 2 2 2 -7. +∞ 3 3 3 3. 26.
(27) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra en présence de poids < 0. Exemple 1 (plus courts chemins depuis a) c. 2. −10. 2. b 1. d a. 3. étape. a. b. c. d. 0 1 2 3 4. 0 0 0 0 0. +∞ 1 1 1 1. +∞ 2 2 2 -7. +∞ 3 3 3 3. 27.
(28) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra en présence de poids < 0. Exemple 1 (plus courts chemins depuis a) c. 2. −10. 2. b 1. d a. 3. étape. a. b. c. d. 0 1 2 3 4. 0 0 0 0 0. +∞ 1 1 1 1. +∞ 2 2 2 -7. +∞ 3 3 3 3. 28.
(29) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra en présence de poids < 0. Exemple 1 (plus courts chemins depuis a) c. 2. −10. 2. b 1. d a. 3. étape. a. b. c. d. 0 1 2 3 4. 0 0 0 0 0. +∞ 1 1 1 1. +∞ 2 2 2 -7. +∞ 3 3 3 3. 29.
(30) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra en présence de poids < 0. Exemple 1 (plus courts chemins depuis a) c. 2. −10. 2. b 1. d a. 3. étape. a. b. c. d. 0 1 2 3 4. 0 0 0 0 0. +∞ 1 1 1 1. +∞ 2 2 2 -7. +∞ 3 3 3 3. 30.
(31) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra en présence de poids < 0. Exemple 1 (plus courts chemins depuis a) c. 2. −10. 2. b 1. d a. 3. étape. a. b. c. d. 0 1 2 3 4. 0 0 0 0 0. +∞ 1 1 1 1. +∞ 2 2 2 -7. +∞ 3 3 3 3. 31.
(32) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra en présence de poids < 0. Exemple 1 (plus courts chemins depuis a) c. 2. −10. 2. b 1. d a. 3. étape. a. b. c. d. 0 1 2 3 4. 0 0 0 0 0. +∞ 1 1 1 1. +∞ 2 2 2 -7. +∞ 3 3 3 3. On rate le chemin optimal a. d. c. b de poids −5.. 32.
(33) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Problèmes de Dijkstra. • En l’absence de poids négatifs, Dijkstra s’en sortait puisqu’il n’était pas nécessaire de revenir sur ses décisions ;. 33.
(34) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Problèmes de Dijkstra. • En l’absence de poids négatifs, Dijkstra s’en sortait puisqu’il n’était pas nécessaire de revenir sur ses décisions ; • Dans le contre-exemple, un arc de poids < 0 nous a permis de trouver un meilleur chemin ;. 34.
(35) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Problèmes de Dijkstra. • En l’absence de poids négatifs, Dijkstra s’en sortait puisqu’il n’était pas nécessaire de revenir sur ses décisions ; • Dans le contre-exemple, un arc de poids < 0 nous a permis de trouver un meilleur chemin ; • Mais comme l’algorithme se termine, les autres chemins n’en bénéficieront pas ;. 35.
(36) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Problèmes de Dijkstra. • En l’absence de poids négatifs, Dijkstra s’en sortait puisqu’il n’était pas nécessaire de revenir sur ses décisions ; • Dans le contre-exemple, un arc de poids < 0 nous a permis de trouver un meilleur chemin ; • Mais comme l’algorithme se termine, les autres chemins n’en bénéficieront pas ; • L’algorithme de Bellman-Ford règlera ce problème en examinant les arcs plusieurs fois ;. 36.
(37) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. L’algorithme de Bellman-Ford. • L’algorithme de Bellman-Ford recherche également des raccourcis entre les sommets ;.
(38) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. L’algorithme de Bellman-Ford. • L’algorithme de Bellman-Ford recherche également des raccourcis entre les sommets ; • Le fonctionnement est différent de celui de Dijkstra, qui cherchait des chemins moins coûteux de la source s à un sommet u en passant par un autre sommet v ;.
(39) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. L’algorithme de Bellman-Ford. • L’algorithme de Bellman-Ford recherche également des raccourcis entre les sommets ; • Le fonctionnement est différent de celui de Dijkstra, qui cherchait des chemins moins coûteux de la source s à un sommet u en passant par un autre sommet v ; • Ici, on vérifie pour chaque arc (u, v ) s’il existe un chemin moins coûteux de u à v ;.
(40) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. L’algorithme de Bellman-Ford. • L’algorithme de Bellman-Ford recherche également des raccourcis entre les sommets ; • Le fonctionnement est différent de celui de Dijkstra, qui cherchait des chemins moins coûteux de la source s à un sommet u en passant par un autre sommet v ; • Ici, on vérifie pour chaque arc (u, v ) s’il existe un chemin moins coûteux de u à v ; • On examine l’ensemble de tous les arcs |V | fois..
(41) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. (a). 0. +∞. +∞. +∞. +∞. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(42) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. (a). 0. +∞. +∞. +∞. +∞. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(43) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. (a). 0. 6. +∞. +∞. +∞. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(44) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. (a). 0. 6. +∞. 7. +∞. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(45) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. (a). 0. 6. 11. 7. +∞. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(46) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. (a). 0. 6. 11. 7. +∞. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(47) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 11. 7. z 2. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(48) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 11. 7. z 2. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(49) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(50) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(51) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(52) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(53) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(54) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(55) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(56) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(57) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(58) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 6. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(59) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(60) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(61) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(62) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(63) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(64) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(65) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(66) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(67) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(68) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. 2.
(69) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. -2.
(70) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. -2.
(71) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. -2.
(72) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. -2.
(73) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3 −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. -2.
(74) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. -2. (les étapes suivantes ne changent plus rien). −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t.
(75) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Bellman-Ford On examine les arcs dans l’ordre lexicographique : (s, t), (s, y ), (t, x), (t, y ), (t, z), (x, t), (y , x), (y , z), (z, x).. Les coulisses. Exemple 2 (source = s) z 9 y. 7. −3. étape. s. t. x. y. (a). 0. 6. 4. 7. z 2. (b). 0. 2. 4. 7. 2. (c). 0. 2. 4. 7. -2. (les étapes suivantes ne changent plus rien). −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t.
(76) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. En “pratique” (enfin, dans les exercices . . . ) Le déroulement complet étant long, on ne vous demandera généralement les détails que pour une passe sur tous les arcs. z 9 y. 7 −3. −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. 0. 0. +∞. +∞. +∞. +∞. après traitement des arcs issus de ... (étape finale). 1. 0. 6. +∞. 7. +∞. s : (s, t), (s, y ). 0. 6. 11. 7. 2. t : (t, x), (t, y ), (t, z). 0. 6. 11. 7. 2. x : (x, t). 0. 6. 4. 7. 2. y : (y , x), (y , z). 0. 6. 4. 7. 2. z : (z, x). 2. 0. 2. 4. 7. 2. (étape finale). 3. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 4. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 5. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 76.
(77) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. En “pratique” (enfin, dans les exercices . . . ) Le déroulement complet étant long, on ne vous demandera généralement les détails que pour une passe sur tous les arcs. z 9 y. 7 −3. −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. 0. 0. +∞. +∞. +∞. +∞. après traitement des arcs issus de ... (étape finale). 1. 0. 6. +∞. 7. +∞. s : (s, t), (s, y ). 0. 6. 11. 7. 2. t : (t, x), (t, y ), (t, z). 0. 6. 11. 7. 2. x : (x, t). 0. 6. 4. 7. 2. y : (y , x), (y , z). 0. 6. 4. 7. 2. z : (z, x). 2. 0. 2. 4. 7. 2. (étape finale). 3. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 4. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 5. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 77.
(78) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. En “pratique” (enfin, dans les exercices . . . ) Le déroulement complet étant long, on ne vous demandera généralement les détails que pour une passe sur tous les arcs. z 9 y. 7 −3. −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. 0. 0. +∞. +∞. +∞. +∞. après traitement des arcs issus de ... (étape finale). 1. 0. 6. +∞. 7. +∞. s : (s, t), (s, y ). 0. 6. 11. 7. 2. t : (t, x), (t, y ), (t, z). 0. 6. 11. 7. 2. x : (x, t). 0. 6. 4. 7. 2. y : (y , x), (y , z). 0. 6. 4. 7. 2. z : (z, x). 2. 0. 2. 4. 7. 2. (étape finale). 3. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 4. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 5. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 78.
(79) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. En “pratique” (enfin, dans les exercices . . . ) Le déroulement complet étant long, on ne vous demandera généralement les détails que pour une passe sur tous les arcs. z 9 y. 7 −3. −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. 0. 0. +∞. +∞. +∞. +∞. après traitement des arcs issus de ... (étape finale). 1. 0. 6. +∞. 7. +∞. s : (s, t), (s, y ). 0. 6. 11. 7. 2. t : (t, x), (t, y ), (t, z). 0. 6. 11. 7. 2. x : (x, t). 0. 6. 4. 7. 2. y : (y , x), (y , z). 0. 6. 4. 7. 2. z : (z, x). 2. 0. 2. 4. 7. 2. (étape finale). 3. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 4. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 5. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 79.
(80) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. En “pratique” (enfin, dans les exercices . . . ) Le déroulement complet étant long, on ne vous demandera généralement les détails que pour une passe sur tous les arcs. z 9 y. 7 −3. −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. 0. 0. +∞. +∞. +∞. +∞. après traitement des arcs issus de ... (étape finale). 1. 0. 6. +∞. 7. +∞. s : (s, t), (s, y ). 0. 6. 11. 7. 2. t : (t, x), (t, y ), (t, z). 0. 6. 11. 7. 2. x : (x, t). 0. 6. 4. 7. 2. y : (y , x), (y , z). 0. 6. 4. 7. 2. z : (z, x). 2. 0. 2. 4. 7. 2. (étape finale). 3. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 4. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 5. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 80.
(81) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. En “pratique” (enfin, dans les exercices . . . ) Le déroulement complet étant long, on ne vous demandera généralement les détails que pour une passe sur tous les arcs. z 9 y. 7 −3. −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. 0. 0. +∞. +∞. +∞. +∞. après traitement des arcs issus de ... (étape finale). 1. 0. 6. +∞. 7. +∞. s : (s, t), (s, y ). 0. 6. 11. 7. 2. t : (t, x), (t, y ), (t, z). 0. 6. 11. 7. 2. x : (x, t). 0. 6. 4. 7. 2. y : (y , x), (y , z). 0. 6. 4. 7. 2. z : (z, x). 2. 0. 2. 4. 7. 2. (étape finale). 3. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 4. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 5. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 81.
(82) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. En “pratique” (enfin, dans les exercices . . . ) Le déroulement complet étant long, on ne vous demandera généralement les détails que pour une passe sur tous les arcs. z 9 y. 7 −3. −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. 0. 0. +∞. +∞. +∞. +∞. après traitement des arcs issus de ... (étape finale). 1. 0. 6. +∞. 7. +∞. s : (s, t), (s, y ). 0. 6. 11. 7. 2. t : (t, x), (t, y ), (t, z). 0. 6. 11. 7. 2. x : (x, t). 0. 6. 4. 7. 2. y : (y , x), (y , z). 0. 6. 4. 7. 2. z : (z, x). 2. 0. 2. 4. 7. 2. (étape finale). 3. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 4. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 5. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 82.
(83) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. En “pratique” (enfin, dans les exercices . . . ) Le déroulement complet étant long, on ne vous demandera généralement les détails que pour une passe sur tous les arcs. z 9 y. 7 −3. −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. 0. 0. +∞. +∞. +∞. +∞. après traitement des arcs issus de ... (étape finale). 1. 0. 6. +∞. 7. +∞. s : (s, t), (s, y ). 0. 6. 11. 7. 2. t : (t, x), (t, y ), (t, z). 0. 6. 11. 7. 2. x : (x, t). 0. 6. 4. 7. 2. y : (y , x), (y , z). 0. 6. 4. 7. 2. z : (z, x). 2. 0. 2. 4. 7. 2. (étape finale). 3. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 4. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 5. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 83.
(84) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. En “pratique” (enfin, dans les exercices . . . ) Le déroulement complet étant long, on ne vous demandera généralement les détails que pour une passe sur tous les arcs. z 9 y. 7 −3. −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. 0. 0. +∞. +∞. +∞. +∞. après traitement des arcs issus de ... (étape finale). 1. 0. 6. +∞. 7. +∞. s : (s, t), (s, y ). 0. 6. 11. 7. 2. t : (t, x), (t, y ), (t, z). 0. 6. 11. 7. 2. x : (x, t). 0. 6. 4. 7. 2. y : (y , x), (y , z). 0. 6. 4. 7. 2. z : (z, x). 2. 0. 2. 4. 7. 2. (étape finale). 3. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 4. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 5. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 84.
(85) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. En “pratique” (enfin, dans les exercices . . . ) Le déroulement complet étant long, on ne vous demandera généralement les détails que pour une passe sur tous les arcs. z 9 y. 7 −3. −4. 7. x. 8 5 s. −2. 6 t. étape. s. t. x. y. z. 0. 0. +∞. +∞. +∞. +∞. après traitement des arcs issus de ... (étape finale). 1. 0. 6. +∞. 7. +∞. s : (s, t), (s, y ). 0. 6. 11. 7. 2. t : (t, x), (t, y ), (t, z). 0. 6. 11. 7. 2. x : (x, t). 0. 6. 4. 7. 2. y : (y , x), (y , z). 0. 6. 4. 7. 2. z : (z, x). 2. 0. 2. 4. 7. 2. (étape finale). 3. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 4. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 5. 0. 2. 4. 7. -2. (étape finale). 85.
(86) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Cycles négatifs. • Un cycle négatif C est un cycle tel que. P. a∈A(C ) w (a). < 0;. 86.
(87) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Cycles négatifs. • Un cycle négatif C est un cycle tel que. P. a∈A(C ) w (a). < 0;. • Les poids négatifs ne posent pas problème à Bellman-Ford, mais les cycles négatifs oui — pour les mêmes raisons que Dijkstra ;. 87.
(88) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Cycles négatifs. • Un cycle négatif C est un cycle tel que. P. a∈A(C ) w (a). < 0;. • Les poids négatifs ne posent pas problème à Bellman-Ford, mais les cycles négatifs oui — pour les mêmes raisons que Dijkstra ; • L’algorithme de Bellman-Ford comprendra un morceau permettant de détecter la présence d’un cycle négatif ;. 88.
(89) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Intuitions sur Bellman-Ford. • Chaque arc (u, v ) a le potentiel d’améliorer le meilleur chemin actuel de s à v en passant par u ;. 89.
(90) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Intuitions sur Bellman-Ford. • Chaque arc (u, v ) a le potentiel d’améliorer le meilleur chemin actuel de s à v en passant par u ; • Pourquoi parcourir tous les arcs exactement |V | fois ?.
(91) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Intuitions sur Bellman-Ford. • Chaque arc (u, v ) a le potentiel d’améliorer le meilleur chemin actuel de s à v en passant par u ; • Pourquoi parcourir tous les arcs exactement |V | fois ? • tout chemin contient au plus |V | − 1 arcs ;.
(92) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Intuitions sur Bellman-Ford. • Chaque arc (u, v ) a le potentiel d’améliorer le meilleur chemin actuel de s à v en passant par u ; • Pourquoi parcourir tous les arcs exactement |V | fois ? • tout chemin contient au plus |V | − 1 arcs ; • si on arrive à améliorer un chemin contenant le nombre maximal d’arcs, c’est forcément grâce à un cycle de poids négatif ;.
(93) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. L’algorithme de Bellman-Ford proprement dit Algorithme 1 :. BellmanFord(G , source). Entrées : un graphe pondéré orienté G , un sommet source. Sortie : la longueur d’un plus court chemin de la source à chacun des sommets du graphe (+∞ pour les sommets non accessibles), ou nil si le graphe contient un cycle négatif. 1 2. 3 4 5. 6 7 8. distances ← tableau(G .nombre sommets(), +∞); distances[source] ← 0; // parcourir chaque arc |V | − 1 fois pour i allant de 1 à G .nombre sommets() −1 faire pour chaque (u, v , p) ∈ G .arcs() faire distances[v ] ← min(distances[v ], distances[u] + p); // vérifier la présence d’un cycle négatif pour chaque (u, v , p) ∈ G .arcs() faire si distances[v ] > distances[u] + p alors renvoyer nil; renvoyer distances;. 93.
(94) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Complexité de l’algorithme de Bellman-Ford • La complexité est assez simple à calculer :. Techniques algorithmiques.
(95) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Complexité de l’algorithme de Bellman-Ford • La complexité est assez simple à calculer : • on examine tous les arcs |V | fois ;. Techniques algorithmiques.
(96) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Complexité de l’algorithme de Bellman-Ford • La complexité est assez simple à calculer : • on examine tous les arcs |V | fois ; • tous les calculs sont en O(1) ;. Techniques algorithmiques.
(97) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Complexité de l’algorithme de Bellman-Ford • La complexité est assez simple à calculer : • on examine tous les arcs |V | fois ; • tous les calculs sont en O(1) ;. • On a donc :. Techniques algorithmiques.
(98) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Complexité de l’algorithme de Bellman-Ford • La complexité est assez simple à calculer : • on examine tous les arcs |V | fois ; • tous les calculs sont en O(1) ;. • On a donc : • du O(|V |3 ) pour une matrice d’adjacence ;. Techniques algorithmiques.
(99) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Complexité de l’algorithme de Bellman-Ford • La complexité est assez simple à calculer : • on examine tous les arcs |V | fois ; • tous les calculs sont en O(1) ;. • On a donc : • du O(|V |3 ) pour une matrice d’adjacence ; • du O(|V ||A|) pour une liste d’adjacence ;. Techniques algorithmiques.
(100) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Complexité de l’algorithme de Bellman-Ford • La complexité est assez simple à calculer : • on examine tous les arcs |V | fois ; • tous les calculs sont en O(1) ;. • On a donc : • du O(|V |3 ) pour une matrice d’adjacence ; • du O(|V ||A|) pour une liste d’adjacence ;. • Remarque : on peut s’arrêter quand l’algorithme “se stabilise”, donc quand les estimations ne subissent plus aucun changement ;.
(101) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Dijkstra vs. Bellman-Ford. • Quand utiliser Dijkstra ?. Techniques algorithmiques.
(102) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Dijkstra vs. Bellman-Ford. • Quand utiliser Dijkstra ? • quand tous les poids sont positifs ou nuls ;. Techniques algorithmiques.
(103) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra vs. Bellman-Ford. • Quand utiliser Dijkstra ? • quand tous les poids sont positifs ou nuls ; • sa complexité est meilleure que Bellman-Ford dans le cas orienté ;.
(104) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra vs. Bellman-Ford. • Quand utiliser Dijkstra ? • quand tous les poids sont positifs ou nuls ; • sa complexité est meilleure que Bellman-Ford dans le cas orienté ;. • Quand utiliser Bellman-Ford ?.
(105) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra vs. Bellman-Ford. • Quand utiliser Dijkstra ? • quand tous les poids sont positifs ou nuls ; • sa complexité est meilleure que Bellman-Ford dans le cas orienté ;. • Quand utiliser Bellman-Ford ? • quand le graphe est orienté avec des poids négatifs ;.
(106) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Dijkstra vs. Bellman-Ford. • Quand utiliser Dijkstra ? • quand tous les poids sont positifs ou nuls ; • sa complexité est meilleure que Bellman-Ford dans le cas orienté ;. • Quand utiliser Bellman-Ford ? • quand le graphe est orienté avec des poids négatifs ;. • S’il y a des cycles négatifs dont le chemin cherché peut tirer profit, on ne peut rien faire ;.
(107) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Motivations. • Jusqu’ici, on s’est intéressés au calcul de tous les plus courts chemins issus d’une source donnée ;. 107.
(108) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Motivations. • Jusqu’ici, on s’est intéressés au calcul de tous les plus courts chemins issus d’une source donnée ; • Comment faire pour calculer les plus courts chemins entre chaque paire de sommets ?. 108.
(109) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Motivations. • Jusqu’ici, on s’est intéressés au calcul de tous les plus courts chemins issus d’une source donnée ; • Comment faire pour calculer les plus courts chemins entre chaque paire de sommets ? • On pourrait lancer |V | fois Dijkstra ou Bellman-Ford ;.
(110) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Motivations. • Jusqu’ici, on s’est intéressés au calcul de tous les plus courts chemins issus d’une source donnée ; • Comment faire pour calculer les plus courts chemins entre chaque paire de sommets ? • On pourrait lancer |V | fois Dijkstra ou Bellman-Ford ; • L’algorithme de Floyd-Warshall permet d’obtenir le résultat voulu avec une meilleure complexité ;.
(111) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. L’algorithme de Floyd-Warshall. • L’algorithme de Floyd-Warshall procède comme suit :.
(112) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. L’algorithme de Floyd-Warshall. • L’algorithme de Floyd-Warshall procède comme suit : • au départ, les plus courts chemins entre chaque paire de sommets sont les poids des arcs les reliant (ou +∞) ;.
(113) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. L’algorithme de Floyd-Warshall. • L’algorithme de Floyd-Warshall procède comme suit : • au départ, les plus courts chemins entre chaque paire de sommets sont les poids des arcs les reliant (ou +∞) ; • à la k ème itération, on cherche à améliorer le chemin u v en s’autorisant les sommets intermédiaires d’indice 0, 1, 2, . . ., k pour un certain k fixé ;.
(114) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. L’algorithme de Floyd-Warshall. • L’algorithme de Floyd-Warshall procède comme suit : • au départ, les plus courts chemins entre chaque paire de sommets sont les poids des arcs les reliant (ou +∞) ; • à la k ème itération, on cherche à améliorer le chemin u v en s’autorisant les sommets intermédiaires d’indice 0, 1, 2, . . ., k pour un certain k fixé ;. • Remarque : la seule modification à l’étape k consiste à vérifier si le chemin u k v est plus court que le chemin u v, puisque les sommets d’indice inférieur ont déjà été utilisés..
(115) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Floyd-Warshall Exemple 3 4 2. 1 -2 3. 3. -1 4 2. 115.
(116) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Floyd-Warshall Exemple 3. Les chemins 4. 2. 1 -2 3. k=0. 3. -1 4 2 1 2 3 4. 1 2 3 4 0 +∞ −2 +∞ 4 0 3 +∞ +∞ +∞ 0 2 +∞ −1 +∞ 0. 1. −2. 3. 2. 4. 1. 2. 3. 3. 3. 2. 4. 4. −1. 2. matrice de distances. 116.
(117) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Floyd-Warshall Exemple 3. Les chemins 4. 2. 1 -2 3. k=1 2. 3. -1 4 2 1 2 3 4. 1. 4 −2. 1. 4. 1. 3. 2. 4. −1. 3. 3. 2 4. −2. 2. 1 2 3 4 0 +∞ −2 +∞ 4 0 3 +∞ +∞ +∞ 0 2 +∞ −1 +∞ 0. matrice de distances. 117.
(118) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Floyd-Warshall Exemple 3. Les chemins 4. 2. 1 -2 3. k=1 2. 3. -1 4 2 1 2 3 4. 1. 4 −2. 1. 4. 1. 3. 2. 4. −1. 3. 3. 2 4. −2. 2. 1 2 3 4 0 +∞ −2 +∞ 4 0 2 +∞ +∞ +∞ 0 2 +∞ −1 +∞ 0. matrice de distances. 118.
(119) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Floyd-Warshall Exemple 3. Les chemins 4. 2. 1 -2 3. k=2 4. 3. -1 4 2 1 2 3 4. 1 2 3 4 0 +∞ −2 +∞ 4 0 2 +∞ +∞ +∞ 0 2 +∞ −1 +∞ 0. 4 2 1. −1 −1 4 −2. 2. 4. 1. 2. 4. 1. 1. 4. 1. 3. 2. 4. −1. −2. 3. 3. 3. 2 4. −2. 2. matrice de distances. 119.
(120) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Floyd-Warshall Exemple 3. Les chemins 4. 2. 1 -2 3. k=2 4. 3. -1 4 2 1 2 3 4. 1 2 3 4 0 +∞ −2 +∞ 4 0 2 +∞ +∞ +∞ 0 2 3 −1 1 0. 4 2 1. −1 −1 4 −2. 2. 4. 1. 2. 4. 1. 1. 4. 1. 3. 2. 4. −1. −2. 3. 3. 3. 2 4. −2. 2. matrice de distances. 120.
(121) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Floyd-Warshall Exemple 3. Les chemins 4. 2. 1 -2 3. k=3 1. 3. -1 4 2 1 2 3 4. 1 2 3 4 0 +∞ −2 +∞ 4 0 2 +∞ +∞ +∞ 0 2 3 −1 1 0. 2 4 4 2 1. −2 4 −1 −1 4 −2. 3 1 2 2 1. 4. 1. 3. 2. 4. −1. 4 3. 4. 1. 4. 1. −2. 2 −2. 4 3. 3. 3. 2 4. 2 −2. 2. matrice de distances. 121.
(122) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Floyd-Warshall Exemple 3. Les chemins 4. 2. 1 -2 3. k=3 1 2. 3. 4 4. -1 4 2 1 2 3 4. 1 2 3 0 +∞ −2 4 0 2 +∞ +∞ 0 3 −1 1. 2. 4 0 4 2 0. 1. −2 4 −1 −1 4 −2. 3 1 2 2 1. 4. 1. 3. 2. 4. −1. 4 3. 4. 1. 4. 1. −2. 2 −2. 4 3. 3. 3. 2 4. 2 −2. 2. matrice de distances. 122.
(123) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Floyd-Warshall Exemple 3. Les chemins 4. 2. 1 -2 3. k=4. 3. 1 2 3 4. 2. 4. 3. 2. 4. 1 1. -1 4 2 1 2 3 0 +∞ −2 4 0 2 +∞ +∞ 0 3 −1 1. 3. 2. 4 0 4 2 0. 4 4 2 1. −2 −2 4 −1 −1 4 −2. 2 2. 2. 4. 3. 2. 4. 1 2 2 1. −2. 3. 4. 1. 4. 1. −2. 4 −1 2 −2. 1 2 4 3. 3. 3. 4. 1. 3. 2. 4. −1. −1. 3. 2 4. −1. 2. matrice de distances. 123.
(124) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Déroulement de l’algorithme de Floyd-Warshall Exemple 3. Les chemins 4. 2. 1 -2 3. k=4. 3. 1 2 3 4. matrice de distances. 2. 4. 3. 2. 4. 1 1. -1 4 2 1 2 3 0 −1 −2 4 0 2 5 1 0 3 −1 1. 3. 2. 4 0 4 2 0. 4 4 2 1. −2 −2 4 −1 −1 4 −2. 2 2. 2. 4. 3. 2. 4. 1 2 2 1 3. 4. 1. 3. 2. 4. −1. −1. 3. 2 4. −1. 2. −2. 3. 4. 1. 4. 1. −2. 3. 4 −1 2 −2. 1 2 4 3.
(125) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. L’algorithme de Floyd-Warshall proprement dit Si seules les distances nous intéressent, l’algorithme est assez simple à implémenter, car peu d’accès au graphe sont nécessaires. Algorithme 2 :. FloydWarshall(G ). Entrées : un graphe orienté pondéré G . Sortie : les distances entre toute paire de sommets du graphe. 1 2 3 4 5 6. 7 8 9 10. n ← G .nombre sommets(); distances ← matrice(n, n, +∞); pour i allant de 0 à n − 1 faire distances[i][i] ← 0; pour chaque (u, v , p) ∈ G .arcs() faire distances[u][v ] ← p; // chercher les améliorations en passant par k = 0, 1, 2, . . . pour k allant de 0 à n − 1 faire pour i allant de 0 à n − 1 faire pour j allant de 0 à n − 1 faire distances[i][j] ← min(distances[i][j], distances[i][k]+distances[k][j]);. 125.
(126) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Complexité de l’algorithme de Floyd-Warshall • La complexité est assez simple à calculer :. 126.
(127) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Complexité de l’algorithme de Floyd-Warshall • La complexité est assez simple à calculer : • on accède une fois à tous les arcs ;. 127.
(128) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Complexité de l’algorithme de Floyd-Warshall • La complexité est assez simple à calculer : • on accède une fois à tous les arcs ; • on a trois boucles imbriquées indépendantes comportant chacune |V | itérations ;. 128.
(129) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Complexité de l’algorithme de Floyd-Warshall • La complexité est assez simple à calculer : • on accède une fois à tous les arcs ; • on a trois boucles imbriquées indépendantes comportant chacune |V | itérations ; • les opérations sur la matrice de distances se font en O(1) ;. 129.
(130) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Complexité de l’algorithme de Floyd-Warshall • La complexité est assez simple à calculer : • on accède une fois à tous les arcs ; • on a trois boucles imbriquées indépendantes comportant chacune |V | itérations ; • les opérations sur la matrice de distances se font en O(1) ;. • ⇒ total : O(|V |3 ) ;. 130.
(131) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Complexité de l’algorithme de Floyd-Warshall • La complexité est assez simple à calculer : • on accède une fois à tous les arcs ; • on a trois boucles imbriquées indépendantes comportant chacune |V | itérations ; • les opérations sur la matrice de distances se font en O(1) ;. • ⇒ total : O(|V |3 ) ; • Dans ce cas précis, la représentation du graphe importe peu : qu’on obtienne les arcs en O(|V |2 ) (matrice) ou en O(|A|) (listes), c’est le O(|V |3 ) qui domine ;. 131.
(132) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Techniques algorithmiques. • Les algorithmes vus jusqu’ici sont des exemples de techniques algorithmiques dont on reparlera ;. 132.
(133) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Techniques algorithmiques. • Les algorithmes vus jusqu’ici sont des exemples de techniques algorithmiques dont on reparlera ; • On a vu des algorithmes :. 133.
(134) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Techniques algorithmiques. • Les algorithmes vus jusqu’ici sont des exemples de techniques algorithmiques dont on reparlera ; • On a vu des algorithmes : 1. gloutons : Dijkstra, Kruskal, Prim ;.
(135) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Techniques algorithmiques. • Les algorithmes vus jusqu’ici sont des exemples de techniques algorithmiques dont on reparlera ; • On a vu des algorithmes : 1. gloutons : Dijkstra, Kruskal, Prim ;. 2. de programmation dynamique : Bellman-Ford, Floyd-Warshall ;.
(136) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Algorithmes gloutons. • Les algorithmes gloutons (greedy en anglais) font des choix localement optimaux selon le(s) critère(s) visé(s) ;. 136.
(137) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Algorithmes gloutons. • Les algorithmes gloutons (greedy en anglais) font des choix localement optimaux selon le(s) critère(s) visé(s) ; • dans un problème de minimisation, on sélectionne le choix le moins cher à chaque étape ;. 137.
(138) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Algorithmes gloutons. • Les algorithmes gloutons (greedy en anglais) font des choix localement optimaux selon le(s) critère(s) visé(s) ; • dans un problème de minimisation, on sélectionne le choix le moins cher à chaque étape ; • dans un problème de maximisation, on sélectionne le choix le plus profitable à chaque étape ;.
(139) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Algorithmes gloutons. • Les algorithmes gloutons (greedy en anglais) font des choix localement optimaux selon le(s) critère(s) visé(s) ; • dans un problème de minimisation, on sélectionne le choix le moins cher à chaque étape ; • dans un problème de maximisation, on sélectionne le choix le plus profitable à chaque étape ;. • Kruskal et Prim suivent clairement ce schéma : à chaque étape, on sélectionne l’arête de poids minimum (+ autres conditions) ;.
(140) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Bilan des algorithmes gloutons. • Une fois qu’on a compris le principe, les algorithmes gloutons se révèlent très utiles :. 140.
(141) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Bilan des algorithmes gloutons. • Une fois qu’on a compris le principe, les algorithmes gloutons se révèlent très utiles : • cette approche sert de bon “candidat de départ” si on n’a pas d’autre idée ;. 141.
(142) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Bilan des algorithmes gloutons. • Une fois qu’on a compris le principe, les algorithmes gloutons se révèlent très utiles : • cette approche sert de bon “candidat de départ” si on n’a pas d’autre idée ; • elle est généralement simple à implémenter ;. 142.
(143) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Bilan des algorithmes gloutons. • Une fois qu’on a compris le principe, les algorithmes gloutons se révèlent très utiles : • cette approche sert de bon “candidat de départ” si on n’a pas d’autre idée ; • elle est généralement simple à implémenter ;. • Malheureusement, rares sont les situations où ils sont optimaux ;. 143.
(144) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Bilan des algorithmes gloutons. • Une fois qu’on a compris le principe, les algorithmes gloutons se révèlent très utiles : • cette approche sert de bon “candidat de départ” si on n’a pas d’autre idée ; • elle est généralement simple à implémenter ;. • Malheureusement, rares sont les situations où ils sont optimaux ; • Ils restent très utiles dans la conception d’algorithmes d’approximation ;. 144.
(145) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Programmation dynamique • Les algorithmes gloutons échouent quand une solution optimale ne peut pas s’obtenir en se contentant de combiner des choix optimaux localement ;. 145.
(146) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Programmation dynamique • Les algorithmes gloutons échouent quand une solution optimale ne peut pas s’obtenir en se contentant de combiner des choix optimaux localement ; • La programmation dynamique résoud ce problème en examinant aussi les choix non optimaux localement ;. 146.
(147) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Programmation dynamique • Les algorithmes gloutons échouent quand une solution optimale ne peut pas s’obtenir en se contentant de combiner des choix optimaux localement ; • La programmation dynamique résoud ce problème en examinant aussi les choix non optimaux localement ; • De manière très informelle :. 147.
(148) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Programmation dynamique • Les algorithmes gloutons échouent quand une solution optimale ne peut pas s’obtenir en se contentant de combiner des choix optimaux localement ; • La programmation dynamique résoud ce problème en examinant aussi les choix non optimaux localement ; • De manière très informelle : • pour chaque choix possible à une étape donnée, on évalue l’impact de ce choix ;. 148.
(149) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Programmation dynamique • Les algorithmes gloutons échouent quand une solution optimale ne peut pas s’obtenir en se contentant de combiner des choix optimaux localement ; • La programmation dynamique résoud ce problème en examinant aussi les choix non optimaux localement ; • De manière très informelle : • pour chaque choix possible à une étape donnée, on évalue l’impact de ce choix ; • on optimise ensuite sur toutes les décisions possibles, en gardant le critère global en tête ;. 149.
(150) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Programmation dynamique. • La programmation dynamique ne se fait en général pas avoir comme les algorithmes gloutons ;. 150.
(151) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Programmation dynamique. • La programmation dynamique ne se fait en général pas avoir comme les algorithmes gloutons ; • Cela ne veut pas dire qu’elle fonctionne toujours !.
(152) Plus courts chemins : poids < 0. Tous les plus courts chemins. Techniques algorithmiques. Programmation dynamique. • La programmation dynamique ne se fait en général pas avoir comme les algorithmes gloutons ; • Cela ne veut pas dire qu’elle fonctionne toujours ! • Le problème étudié doit présenter une certaine structure : on parle de “sous-structure optimale”, ce qui signifie que l’on peut atteindre l’optimum global en résolvant des sous-problèmes de manière optimale ;.
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