[ Baccalauréat ES 2000 \ L’intégrale de juin à novembre 2000

(1)

L’intégrale de juin à novembre 2000

Amérique du Nord juin 2000 . . . . 3

Antilles–Guyane juin 2000 . . . . 6

Asie juin 2000 . . . . 10

Centres étrangers juin 2000 . . . .14

La Réunion juin 2000 . . . . 18

Liban juin 2000 . . . . 21

Métropole juin 2000 . . . . 25

Polynésie juin 2000 . . . . 28

Antilles–Guyane septembre 2000 . . . . 31

Métropole septembre 2000 . . . . 35

Polynésie septembre 2000 . . . . 38

Amérique du Sud novembre 2000 . . . . 40

Nouvelle–Calédonie décembre 2000 . . . . 44

(2)

2

(3)

EXERCICE1 4 points Commun à tous les candidats

Le tableau suivant donne l’évolution du pourcentage de logiciels piratés en France de 1990 à 1998.

On désigne parxle rang de l’année et paryle pourcentage de logiciels piratés.

Année 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Rangxi 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Pourcentageyi 85 78 73 66 57 51 47 44 43

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique¡ xi ;yi

¢dans un repère orthogonal tel que :

• 1 cm représente un an sur l’axe des abscisses

• 1 cm représente 5 % sur l’axe des ordonnées.

2. Dans cette question les résultats seront obtenus à l’aide d’une calculatrice et arrondis au mil- lième. Aucun détail des calculs statistiques n’est demandé.

a. Donner le coefficient de corrélation linéairerde la série statistique¡ xi;yi

¢. Un ajustement affine est-il justifié ?

b. Écrire une équation de la droite de régression (D) deyenxpar la méthode des moindres carrés.

Représenter (D) dans le repère précédent.

c. En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation du pourcentage de logiciels pi- ratés en 2004.

3. L’allure du nuage permet d’envisager un ajustement exponentiel.

On posez=ln(y).

À l’aide d’une calculatrice, on a obtenu les résultats suivants :

— Le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (xi ;zi), oùzi=ln¡ yi¢

, est r^′= −0,991.

— Une équation de la droite de régression dezenxpar la méthode des moindres carrés est z=0,093x+4,444 (1).

En utilisant la relation (1), donner une estimation du pourcentage de logiciels piratés en 2004.

EXERCICE2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir la vente de ces tablettes, il dé- cide d’offrir des places de cinéma dans la moitié des tablettes mises en vente. Parmi les tablettes ga- gnantes, 60 % permettent de gagner exactement une place de cinéma et 40 % exactement deux places de cinéma.

La notationp(A/B) désigne la probabilité conditionnelle de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé.

1. Un client achète une tablette de chocolat. On considère les évènements suivants : G: « Le client achète une tablette gagnante » ;

U: « Le client gagne exactement une place de cinéma » ; D: « Le client gagne exactement deux places de cinéma ».

a. Donnerp(G),p(U/G) etp(D/G).

(4)

Baccalauréat ES A. P. M. E. P.

b. Montrer que la probabilité de gagner exactement une place de cinéma est égale à 0,3.

c. SoitXla variable aléatoire égale au nombre de places de cinéma gagnées par le client.

Déterminer la loi de probabilité deX.

Calculer l’espérance mathématique deX.

2. Un client achète deux jours de suite une tablette de chocolat. Les deux achats sont indépen- dants.

a. Déterminer la probabilité qu’il ne gagne aucune place de cinéma.

b. Déterminer la probabilité qu’il gagne au moins une place de cinéma.

c. Montrer que la probabilité qu’il gagne exactement deux places de cinéma est égale à 0,29 (on pourra s’aider d’un arbre).

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les résultats de cet exercice seront donnés sous forme décimale arrondie au centième.

Un camp d’adolescents propose des stages d’activités nautiques pour débutants avec, au choix : planche à voile, plongée ou ski nautique.

Lors d’un stage donné, ce camp accueille vingt jeunes dont sept seront initiés à la planche à voile, huit à la plongée et cinq au ski nautique. Chaque stagiaire ne pratique qu’une seule des trois activités.

1. On forme un groupe de trois stagiaires choisis au hasard parmi les vingt.

a. Combien de groupes est-il possible de former ?

b. Déterminer la probabilité de chacun des évènementsA,BetCsuivants :

— A« Les trois stagiaires pratiquent des activités différentes » ;

— B« Les trois stagiaires pratiquent la même activité » ;

— C« Au moins l’un des trois stagiaires pratique le ski nautique ».

2. Parmi les vingt stagiaires, un seul se prénomme Christian. Chaque jour, on choisit au hasard un groupe de trois stagiaires chargé du service au repas de midi.

a. Montrer que la probabilité que Christian soit choisi un jour donné pour le service de midi est égale à 0,15.

b. La durée du stage est de cinq jours.

• Quelle est la probabilité de ne jamais choisir Christian pour le service de midi pendant tout le séjour ?

• Quelle est la probabilité de le choisir exactement une fois ?

•En déduire que la probabilité de choisir Christian au moins deux fois est inférieure à 0,2.

PROBLÈME 11 points

Commun à tous les candidats Partie A

Soitf la fonction définie sur l’intervalle

¸

−1 2 ;+∞

· par :

f(x)= −x+7+6ln(2x+1)−6ln(2x+2).

On note (C) la courbe représentative def dans un repère orthonormal³ O,−→

ı,−→

´ .

1. Justifier quef est définie sur l’intervalle

¸

−1 2;+∞

· .

Amérique du Nord 4 juin 2000

(5)

2. Déterminer la limite def en−1 2.

En déduire que la courbe (C) admet pour asymptote une droite (D) dont on précisera une équation.

3. En remarquant que, pour toutxde l’intervalle

¸

−1 2;+∞

·

6ln(2x+1)−6ln(2x+2)=6ln µ2x+1

2x+2

¶ . déterminer la limite def en+∞.

4. Soit (∆) la droite d’équation :y= −x+7.

a. Quelle est la limite de£

f(x)−(−x+7)¤

lorsquextend vers+∞

En donner une interprétation graphique.

b. Étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (∆).

5. a. Montrer que, pour toutxde l’intervalle

¸

−1 2;+∞

·

f^′(x)=

−2x²−3x+5 (2x+1)(x+1) oùf^′désigne la fonction dérivée def.

b. Étudier le signe def^′et dresser le tableau de variations def. 6. Soit (T) la tangente à la courbe (C) au point M d’abscisse 0.

Déterminer une équation de la droite (T).

7. Tracer les droites (D),(∆),(T) et la courbe (C) dans le repère³ O,−→

ı,→−

´

, unité graphique 2 cm.

On placera l’axe des ordonnées à 2 cm du bord gauche de la feuille de papier millimétré.

Partie B

1. SoitHla fonction définie sur l’intervalle

¸

−1 2 ;+∞

· par :

H(x)=(2x+1)ln(2x+1)−(2x+2)ln(2x+2).

Montrer que la fonctionH est une primitive sur

¸

−1 2;+∞

·

de la fonctionhdéfinie sur cet intervalle par :h(x)=2ln

µ2x+1 2x+2

¶ .

2. On note (E) la partie du plan comprise entre la courbe (C), la droite (∆) et les droites d’équa- tions respectivesx=2 etx=5.

a. Hachurer (E) sur la figure.

b. Calculer la valeur exacte de l’aire de (E) en unités d’aire.

c. Calculer l’aire de (E) en cm²(on rappelle que l’unité graphique est 2 cm). On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième.

Amérique du Nord 5 juin 2000

(6)

[ Baccalauréat ES Antilles–Guyane juin 2000 \

Commun à tous les candidats

La documentaliste d’un lycée effectue une enquête auprès de 500 élèves entrant au CDI afin de connaître le nombre d’ouvrages consultés selon la fréquentation du CDI.

On obtient les résultats suivants :

•18 % des élèves consultent un seul ouvrage par visite et, parmi ceux-ci, 90 % viennent au moins une fois par semaine ;

• 125 élèves viennent moins d’une fois par semaine et 16 % d’entre eux consultent entre deux et cinq ouvrages par visite ;

• 45 % des élèves viennent au moins une fois par semaine et consultent chaque fois plus de cinq ouvrages.

1. Reproduire et compléter le tableau deseffectifsci-dessous

Nombre d’ouvrages consultés

Fréquentation

au moins une fois par semaine

moins d’une fois par semaine

Totaux un ouvrage

de deux à cinq ouvrages plus de cinq ouvrages

Totaux 500

2. On prend au hasard un élève fréquentant le CDI et on considère les évènements : A: « L’élève vient au moins une fois par semaine au CDI » ;

B: « L’élève consulte de 2 à 5 ouvrages » ; C: « L’élève consulte au moins 2 ouvrages » ;

D: « L’élève vient au moins une fois par semaine au CDI et consulte entre 2 et 5 ouvrages ».

Calculer la probabilité des évènementsA,B,C,DetA∪B.

3. a. On considère un élève qui vient au moins une fois par semaine au CDI.

Quelle est la probabilité pour qu’il consulte de deux à cinq ouvrages ? b. On considère un élève qui consulte de 2 à 5 ouvrages.

Quelle est la probabilité qu’il vienne au moins une fois par semaine au CDI ? (N.B. : les résultats seront donnés à 10⁻³près.)

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Le graphique donné en annexe est celui de (Γ), courbe représentative d’une fonction f définie sur [0; 4] et de ses tangentes aux points d’abscisses 1 et 1,5.

1. Lire graphiquementf(1) ;f^′(1) ;f(1,5).

2. Parmi les trois courbes données en annexe, laquelle est susceptible de représenter f^′, où f^′ est la fonction dérivée def?

Justifier votre réponse à l’aide d’arguments graphiques.

3. On admet quef(x)=(ax+b)e⁻^x⁺¹oùaetbsont deux réels fixés.

Calculer f(x) puis utiliser la question 1 pour détermineraetb.

(7)

4. On pose

H(x)= −(2x+1)e⁻^x⁺¹ surR.

Vérifier queHest une primitive dehdéfinie surRpar h(x)=(2x−1)e⁻^x⁺¹.

En déduire, en unités d’aire, la valeur exacte de l’aire de la portion de plan limitée par la courbe (Γ), l’axe des abscisses et les droites d’équationx=1 etx=4.

Annexe

0

−1

−2

−3 1 2

1 2 3 4

Courbe de la fonctionf

0

−1 1 2 3 4

1 2 3 4

Courbe n^o1

0

−1

−2 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4

Courbe n^o2

0

−1

−2 1 2 3 4

1 2 3 4 5

Courbe n^o3

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Antilles–Guyane 7 juin 2000

(8)

1. Soit la fonctionf, définie surRpar :f(x)=80+ae^bx.

Déterminer les réelsaetbpour que la courbe représentative def, dans un repère³ O,−→

ı,−→

´ , passe par les points A(0; 53) et B(3; 60). Donner les valeurs exactes, puis une valeur arrondie à 10⁻¹près pourb.

2. Dans une entreprise, on installe un nouvel atelier. Pendant la période de « mise en route », la production len-ième jour (n, entier naturel non nul) est donnée par :

Un=80−27e⁻^0,1n(unités).

a. Montrer que la suite (Un) est strictement croissante.

b. Au bout de combien de jours la production dépassera-t-elle les 72 unités ? 3. On pose :Vn=e⁻^0,1n (n, entier naturel non nul).

a. Montrer queVnest une suite géométrique dont on donnera la raison et la limite.

b. CalculerS=V1+V2+...+V12.

À la suite d’une avarie, l’atelier doit être arrêté après 12 jours de fonctionnement. Quelle est la production totale obtenue pendant cette période ? Donner une valeur arrondie à l’unité.

Problème 10 points

Une entreprise fabrique un produit, en quantitéx, exprimée en milliers de tonnes.

Le coût total de fabrication est donné par : CT(x)=x

4+9

2ln(x+1) pourx∈[0 ; 5].

Les coûts sont exprimés en millions de francs.

A. Étude d’une fonction auxiliairefdéfinie sur [0; 5]

On considère la fonctionf définie sur [0; 5] par : f(x)=x²

2 + 9x

x+1−9ln(x+1).

1. Calculer f^′(x) .

Vérifier que l’on peut écriref^′(x)=x(x−2)(x+4) (x+1)² . 2. Établir le tableau de variations def sur [0; 5].

3. En déduire quef s’annule sur ]0 ; 5 ] pour une valeur uniquea.

4. Déterminer un encadrement à 10⁻³près dea(on précisera la méthode utilisée).

5. Déduire des résultats précédents le signe def sur [0; 5].

B. Étude d’un coût moyenCm

La fonction coût moyenCmest définie sur ]0; 5] par : Cm(x)=CT(x)

x =x 4+9

2

·ln(x+1) x

¸ . 1. CalculerC_m^′ (x).

Vérifier que l’on peut écrireC_m^′ (x)= f(x)

2x² oùf est la fonction auxiliaire de la questionA

(9)

2. Étudier le sens de variation deCmsur ]0 ; 5].

3. Pour quelle production l’entreprise a-t-elle un coût moyen minimal, exprimé en francs par tonnes ?

Quel est ce coût ?

(10)

[ Baccalauréat ES Asie juin 2000 \

Tiré d’une revue économique, le tableau ci-dessous donne l’évolution du nombre de demandeurs d’emploi en France entre les mois d’octobre 1997 et mai 1998 (en milliers de personnes).

Mois oct. 97 nov. 97 déc. 97 jan. 98 fév. 98 mar. 98 avr. 98 mai 98

Rang du moisxi 1 2 3 4 5 6 7 8

Demandeurs

d’emploiyi 3 102 3 090 3 051 3 029 3 031 3 005 2 994 2 979

1. Le plan est rapporté à un repère orthogonal. Les unités graphiques sont :

• 2 cm par mois sur l’axe des abscisses ;

• 1 cm pour 20 milliers de demandeurs d’emploi sur l’axe des ordonnées (origine en 2 800).

a. Représenter le nuage de points¡ xi ;yi

¢.

b. Calculer les coordonnées du point moyenGde cette série double et placer ce point sur le graphique.

Vous orienterez le graphique en prenant pour axe des abscisses le « grand » côté de la feuille de papier millimétré (format paysage).

2. Dans cette question, aucun calcul manuel n’est demandé. Les valeurs obtenues à l’aide de la calculatrice seront données sous forme décimale approchée à 10⁻³près par défaut.

a. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série (xi;yi).

b. Écrire une équation de la droite (D) de régression deyenxi par la méthode des moindres carrés. La tracer sur le schéma précédent.

3. On suppose que la tendance se poursuit.

Déterminer graphiquement, à 20 milliers près, le nombre de demandeurs d’emploi que l’on peut prévoir en septembre 1998. Vérifier ce résultat.

Un horloger fabrique deux types de montresM1etM2. Ces montres possèdent :

— soit un bracelet en cuir, noté C ;

— soit un bracelet en or, noté O ;

— soit un bracelet en argent, noté A.

On sait que :

— les montres de typeM2ne peuvent pas être pourvues d’un bracelet en cuir ;

— les bracelets en cuir représentent 40 % de la production totale, et ceux en or représentent 20 % ;

— la production de montres de typeM2avec bracelet en argent représente 15 % de la production totale, et est le triple de celle des montres de même type qui ont un bracelet en or.

Les résultats des calculs seront donnés de manière exacte sous forme décimale.

Partie A

Recopier et compléter le tableau des pourcentages suivant :

C O A Total

M1

M2

Total 100 %

(11)

Partie B

Une montre est choisie au hasard.

Calculer la probabilité des évènements suivants : 1. C’est une montre de typeM2.

2. C’est une montre avec un bracelet en argent.

3. C’est une montre de typeM1avec un bracelet en argent.

4. C’est une montre de typeM1, sachant que son bracelet est en argent.

5. C’est une montre de typeM2avec un bracelet en or.

6. C’est une montre avec bracelet or, sachant qu’elle est de typeM2. 7. C’est une montre de typeM2sachant que son bracelet est en cuir.

Exercice 2 5 points

Une entreprise de 36 salariés est constituée d’apprentis, d’ouvriers et de cadres. Parmi ces personnes, 22 sont des hommes dont 18 ouvriers et 3 cadres, 6 femmes sont cadres et une est apprentie.

Dans cette société, on travaille 5 jours par semaine. Les résultats seront donnés suivant le cas, soit sous forme de fraction irréductible, soit sous forme décimale arrondie à 10⁻³près par défaut, soit en écriture scientifique.

1. Tous les matins, une personne choisie au hasard est interrogée sur ses conditions de travail.

Calculer la probabilité pour que, un jour donné, la personne interrogée soit : a. un apprenti ;

b. un cadre, sachant que c’est un homme ; c. une femme, sachant que c’est une ouvrière.

2. Afin de connaître le sentiment du personnel sur le passage aux 35 heures, on interroge tous les matins 4 personnes choisies au hasard. Chaque tirage journalier est indépendant de ceux des jours précédents. L’une des femmes se prénomme Marianne.

a. Montrer que la probabilité pour qu’un jour donné Marianne fasse partie du groupe des personnes interrogées est égale à1

9.

b. On rappelle que dans cette société, on travaille 5 jours par semaine.

Quelle est la probabilité pour que Marianne soit interrogée au moins une fois en 2 se- maines ? (On considère que les choix successifs des groupes de 4 personnes sont 2 à 2 in- dépendants.)

Partie A

Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Sur le graphique ci-dessous la courbe (C) représente une fonction f définie et dérivable surR. La droite (T) est la tangente à la courbe (C) au point A d’abscisse 0.

Asie 11 juin 2000

(12)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

−1

−2

−3

−4 1 2 3 4

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4 O

A

(T)

(C)

e

1. À partir des informations portées sur le graphique, reproduire sur votre copie et compléter le tableau suivant :

x −1 0 1

f(x)

f^′(x) −2

e² 2. Résoudre graphiquement, dansR, les équations ou inéquations suivantes :

a. f(x)=2 puisf(x)<2.

b. f^′(x)=0 puisf^′(x)>1.

Partie B

Soit la fonction numériquef définie surRpar :

f(x)=(x+2)e⁻^x.

On désigne par (C) la courbe représentative def. On ne demande pas de construire (C).

1. Déterminer la limite def en−∞

2. Déterminer la limite def en+∞

Comment se traduit graphiquement ce résultat ? On rappelle que la limite en+∞de e^x

x est égale à+∞. 3. Établir que toutxréelf^′(x)= −(x+1)e⁻^x.

En déduire le signe def^′(x) puis le tableau de variations de la fonctionf.

4. Démontrer que l’équationf(x)=2 a deux solutions distinctes sur l’intervalle [−2;4] et donner une valeur approchée à 10⁻²près de celles-ci.

5. Soitgla fonction définie surRpar :g(x)=(ax+b)e⁻^x.

Asie 12 juin 2000

(13)

a. Déteminer les réelsaetbpour quegsoit une primitive def.

b. Calculer, en unités d’aire, la valeur exacte puis une valeur approchée, à 10⁻²près par dé- faut, de l’aire de la partie de plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses, et les droites d’équationx= −2 etx=4.

Asie 13 juin 2000

(14)

Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2000

Soitf la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0; 4] dont la représentation graphique, dans un repère orthonormal³

O,−→ ı,−→

´

, est la courbe (C) donnée en annexe. Cette annexe est à rendre avec la copie.

Les points M, N, P, Q et R appartiennent à (C). Les coordonnées de M sont µ

0 ; 3 2

¶

, celles de N sont µ

1 ; 7 2

¶

, celles de P sont µ

2 ; 5 2

¶

, celles de Q sont µ

3 ; 3 2

¶

et celles de R sont µ

4 ; 7 2

¶ .

La courbe (C) admet en chacun des pointsN etQune tangente parallèle à l’axe des abscisses.

La droite (∆) est la tangente à la courbe (C) au point P ; elle passe par le point S de coordonnées (3; 1).

1. a. Donnerf^′(1),f^′(2) etf^′(3).

b. Déterminer une équation de la droite (∆).

2. a. Déterminer à l’aide du graphique le nombre de solutions de l’équationf(x)=3 sur l’intervalle [ 0 ; 4].

b. Tracer la droite d’équationy=x 2+3

2sur le document en annexe puis, à l’aide du graphique, résoudre l’inéquationf(x)<x

2+3 2.

3. La fonction f est la dérivée d’une fonctionFdéfinie sur l’intervalle [0; 4]. En justifiant la ré- ponse, donner le sens de variation deF.

4. Soitgla fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; 4] par : g(x)= 1

f(x). a. Donner le tableau de variations def.

b. En déduire le tableau de variations deg.

1. Une entreprise a fabriqué 20 000 objets d’un modèleαen 1999. Elle réduit progressivement cette production de 2 500 pièces par an jusqu’à ce que la production devienne nulle. On note u0la production du modèleαpour l’année 1999 etunla production du modèleαpour l’année (1999 +n).

a. Calculeru1etu2.

b. Exprimerun+1en fonction deun. Quelle est la nature de la suite (un) ? c. Exprimerunen fonction den.

d. Déterminer le nombre total d’objets de modèleαqui auront été produits du 1^erjanvier 1999 au 31 décembre 2007.

2. Dès 1999, cette entreprise lance un nouveau modèleβ. 11 000 objets du modèleβont été produits en 1999. La production du modèleβaugmente de 8 % chaque année. On notev0

la production du modèleβpour l’année 1999 etvn la production du modèleβpour l’année (1999+n). Les résultats numériques seront arrondis à l’unité près.

a. Vérifier quev1=11880 et calculerv2.

(15)

b. Exprimervn+1en fonction devn. Quelle est la nature de la suite (vn) ? c. Exprimervnen fonction den.

d. Calculer la production de l’année 2007.

e. Déterminer le nombre total d’objets de modèleβqui auront été produits du 1^erjanvier 1999 au 31 décembre 2007.

Soit la suiteundéfinie paru0=1 et, pour tout entier naturel,un+1=1 4un+3.

1. On considère la fonctionf définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ parf(x)=1 4x+3.

a. Tracer dans un même repère orthonormal d’unité 2 cm la représentation graphique (D) de la fonctionf et la droite (∆) d’équationy=x.

b. Calculer les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.

c. En faisant apparaître le mode de construction, utiliser ce graphique pour représenteru1,u2

etu3sur l’axe des abscisses.

d. Quels semblent être le sens de variation et la limite de la suite (un) ? 2. Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturel parvn=un+1−un.

a. Montrer que, pour tout entier naturel,vn+1=1 4vn.

Quelle est la nature de la suite (vn) ? Préciser son premier termev0. b. Exprimervnen fonction den.

c. Exprimervnen fonction deunet en déduire que, pour tout entier natureln, un= −3×

µ1 4

¶n

+4.

d. Déterminer le sens de variation de la suite (un).

e. Déterminer la limite de la suite (un).

Commun à tous les candidats Partie A

Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : g(x)=x²+1−lnx.

1. Calculer la fonction dérivée deget étudier son signe.

2. Donner le tableau de variations deg (on ne demande pas les limites en 0 et en+∞). En déduire le signe deg(x) pourxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[.

Partie B

Soitf la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : f(x)=x+1

2+lnx x

et soit (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormal³ O,−→

ı ,→−

´

d’unité graphique 2 cm.

Centres étrangers 15 juin 2000

(16)

1. a. Déterminer la limite def en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

b. Déterminer la limite def en+∞. (On rappelle que lim

x→+∞

lnx x =0.) 2. Montrer que, pour toutxde l’intervalle ]0 ;+∞[,f^′(x)=g(x)

x² oùf^′est la fonction dérivée de f. En déduire le signe def^′(x) puis le tableau de variations def.

3. Montrer que l’équationf(x)=3 admet une unique solutionx0dans l’intervalle [2 ; 3].

À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude 10⁻²dex0. 4. a. Calculer la limite de

· f(x)−

µ x+1

2

¶¸

lorsquextend vers+∞. Interpréter graphiquement ce résultat.

b. Calculer les coordonnées du pointA, intersection de la courbe (C) avec la droite (D) d’équa- tiony=x+1

2.

c. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au pointA.

d. Étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D).

5. Tracer (C), (D) et (T) dans le repère orthonormal³ O,→−

ı,−→

´

d’unité graphique 2 cm.

Partie C

SoitFla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : F(x)=x²+x+(lnx)²

2

1. Montrer queFest une primitive def sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

2. a. Hachurer, sur le graphique précédent, le domaineE limité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectivesx=1 etx=e.

b. Calculer l’aire deEen unité d’aire, de manière exacte.

c. Donner la valeur exacte de cette aire en cm²et en donner la valeur décimale arrondie au dixième.

(17)

−1 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

−1 O →−

ı

−

→



(C) N

P

Q

R

S (∆) M

(18)

[ Baccalauréat ES La Réunion juillet 2000 \

En vue d’étudier ses préférences alimentaires, le chien Motus a le choix chaque soir entre un et un seul des deux menus suivants :

•des croquettes ;

•une soupe avec de la viande et des pâtes aux légumes.

Une étude réalisée sur un nombre élevé de jours permet de constater que Motus a préféré la soupe dans 70 % des cas et les croquettes dans 30 % des cas.

On admet que le comportement du chien reste identique dans l’avenir.

1. On considère un jour donné choisi au hasard, et on appelleCl’évènement « Motus choisit les croquettes ».

Calculer les probabilités deCet deC.

2. On observe les choix du chien pendant trois jours consécutifs. On admet que ces choix sont indépendants d’un jour à l’autre.

Construire un arbre pondéré pour décrire tous les choix possibles du chien.

3. Si Motus choisit les croquettes, il boit 1 litre d’eau après son repas, s’il choisit la soupe il ne boit que 1/2 litre d’eau.

On note la quantité bue par le chien après ses repas pendant 3 jours consécutifs, choisis au hasard.

On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de litres d’eau bue par le chien. On suppose que les choix du chien sont indépendants d’un jour à l’autre pendant ces 3 jours.

a. Quelles sont les valeurs possibles deX? b. Établir la loi de probabilité deX. c. Calculer E(X) et interpréter cette valeur.

(enseignement obligatoire)

Le but de cet exercice est de déterminer laquelle des fonctionsf1,f2,f3définies sur l’intervalle [0; 1]

par :

•f1(x)=x²−x

•f₂(x)=ln(x²−x+1)

•f₃(x)=xe^x⁻¹−x

est représentée par la courbeΓdonnée ci-dessous dans un repère orthonormé.

0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0,1 0,2 0,3

0,5 1,0

0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 0,1 0,2 0,3 0,4

0,5 1,0

M

I

Γ

(19)

1. Calculer les fonctions dérivéesf₁^′,f₂^′,f₃^′des fonctionsf1, f2, f3.

2. L’examen de la courbeΓpermet d’obtenir cinq informations : A, B, C, D, E.

• A : les points de coordonnées (0; 0) et (1; 0) appartiennent àΓ.

• B : la courbeΓadmet en O une tangente d’équationy= −x.

• C : la courbeΓadmet en I une tangente d’équationy=x−1.

• D : la courbeΓadmet en M une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

• E : l’ordonnée du point M est inférieure à−0,26.

En utilisant chacune des cinq informations, dans chaque cas, vous préciserez pour chacune des fonctionsf1, f2, f3, celles qui vérifient la condition correspondante et celles qui ne véri- fient pas cette condition.

Conclure en donnant une équation de la courbeΓsur l’intervalle [0; 1].

(enseignement de spécialité)

La courbeC ci-dessous représente dans un repère orthonormal³ O,−→

ı ,→−

´

, une fonctionf définie sur Rpar

f(x)=e⁻^x(ax+b), oùaetb sont deux réels.

La droite∆est la tangente à la courbeC au point d’abscisse 0.

Cette tangente passe par les points A µ

−1 2; 7

2

¶ et B

µ1 2; 5

2

¶ .

−1

−2 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

0 1

∆

Partie A

1. Lire sur le graphique les valeurs def µ

−3 2

¶

,f(0),f^′ µ

−1 2

¶ . 2. Calculer f^′(0).

3. Déterminer une équation de la droite∆.

4. Déterminer les valeurs des réelsaetb.

La Réunion 19 juin 2000

(20)

Partie B

1. Soithla fonction définie surRparh(x)= −e⁻^x(2x+1)+1.

Établir le tableau de variation deh(on ne calculera pas les limites aux bornes deR).

En déduire que, pour toutxde [0; 1], on ah(x)60.

2. Soit la fonctiongdéfinie surRparg(x)=e⁻^x(2x+3)+x−3.

Calculerg^′(x) et exprimerg^′(x) en fonction deh(x).

3. En déduire le sens de variation puis le signe deg(x) sur [0; 1].

Partie C

1. Déduire des parties précédentes que la courbeC est au-dessous de la droite∆pour les points d’abscissexappartenant à [0; 1].

2. En déduire l’inégalité : Z1

0 f(x) dx6⁵ 2.

Au 1/01 /1999, une entreprise s’est équipée d’un certain nombre de machines-outils identiques, coû- tant chacune à l’achat 400 000 F.

Au bout detannées, chacune se revend en ayant perdu chaque année 26% de sa valeur de l’année précédente ; on désigne parR(t) cette valeur de revente.

On estime que l’entretien d’une machine coûte forfaitairement 20 000 F, pour toute l’utilisation jusqu’à sa revente.

On appelle coût d’investissement I(t) d’une machine pour l’année t, le coût d’achat de cette ma- chine augmenté du montant forfaitaire de son entretien diminué de sa valeur de revente l’annéet. On donneI(t)=420−R(t), exprimé en milliers de francs.

1. ExprimerR(t) en fonction det.

2. On modéliseR(t) par la fonction suivante, définie sur [0 ;+∞[ par : R(t)=400e⁻^0,3t.

On désigne parC(t) le coût total d’utilisation d’une machine au bout detannées.C(t) est donné par :

C(t)=420−400e⁻^0,3t. a. Calculer la limite deC(t) en+∞.

Calculer la dérivée deC(t) et étudier son signe.

Étudier les variations de la fonctionCpourt∈[0 ;+∞[.

b. Vérifier qu’au bout de 15 ans, le coût total est pratiquement égal au coût d’achat augmenté du coût d’entretien, à 5 000 F près.

3. L’entreprise décide de revendre les machines dès que le coût total d’utilisation d’une machine dépasse 330 000 F.

a. Résoudre l’inéquationC(t)>330. Donner la réponse en nombre entier d’années.

b. Pour des raisons comptables, l’entreprise revend ses machines au mois de janvier. En quelle année doit-elle le faire ?

Quel sera le prix de revente d’une machine à cette date ?

(On donnera la meilleure approximation de ce prix en nombre entier de milliers de francs.)

La Réunion 20 juin 2000

(21)

Le tableau suivant indique la teneur de l’air en dioxyde de carbone (CO2), observée depuis le début de l’ère industrielle.

Dans le tableau ci-dessous,xireprésente le rang de l’année etyila teneur en CO2exprimée en parties par million (ppm).

Année 1850 1900 1950 1990

Rang de l’annéexi 0 50 100 140

Teneur en CO2yi 275 290 315 350

On a représenté dans le repère ci-après le nuage de points associé à la série statistique¡ xi ;yi

¢.

250 300 350 400 450 500

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Teneur en CO2(ppm)

Rang de l’année

b b b b

On veut modéliser cette évolution par une fonction dont la courbe est voisine du nuage de points.

Plusieurs types de fonctions semblent utilisables.

1. Modélisation par une fonction affine

a. À l’aide d’une calculatrice, donner le coefficient de corrélation linéaire, arrondi au cen- tième, de la série (xi;yi).

b. À l’aide d’une calculatrice, donner une équation de la droite de régression deyenxpar la méthode des moindres carrés, sous la formey=ax+b, avecaarrondi au centième etbà l’unité. Représenter cette droite dans le repère ci-dessus.

c. Selon ce modèle, quelle teneur en CO2peut-on prévoir en 2010? Placer dans le repère ci- dessus le point M correspondant à cette prévision.

(22)

2. Modélisation par une fonctionf définie parf(x)=250+Be^Ax. On pose zi =ln¡

yi−250¢

. On admet que la série (xi;zi) a pour coefficient de corrélation linéaire 0,999 et qu’une équation de la droite de régression de z enx par la méthode des moindres carrés est :z=0,01x+3,2.

a. Selon ce modèle, quelle teneur en C02peut-on prévoir en 2010? Placer dans le repère ci- dessus le point N correspondant à cette prévision.

b. Donner une équation de la courbe d’ajustement deyenx, sous la forme y=f(x)=250+Be^Ax, avecAarrondi au centième etBà l’unité.

c. En déduire des valeurs approchées décimales arrondies à l’unité près def(0),f(50),f(100), f(140).

3. Laquelle des deux prévisions de la teneur en CO2pour 2010 vous semble la plus plausible ? Pourquoi ?

obligatoire

Un jeu forain utilise une roue divisée en dix secteurs : sept sont verts, trois sont rouges.

On fait tourner la roue, et lorsqu’elle s’arrête, un repère désigne un secteur, chaque secteur ayant la même probabilité d’être obtenu.

Jouer une partie est l’expérience aléatoire consistant à faire tourner la roue trois fois de suite, de façon indépendante, en notant à chaque arrêt la couleur obtenue.

1. a. Représenter à l’aide d’un arbre cette expérience aléatoire et indiquer sur chaque branche les probabilités correspondantes.

b. Montrer que la probabilité d’obtenir trois fois le vert est égale à 0,343.

c. Calculer la probabilité d’obtenir au moins une fois le rouge.

d. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux fois le rouge.

2. Pour jouer une partie, un joueur doit miser une somme d’argent : soitmle montant de sa mise.

S’il obtient trois fois le vert, il perd sa mise. S’il obtient une ou deux fois le rouge, il récupère sa mise. S’il obtient trois fois le rouge, il récupère sa mise et gagne une somme égale à dix fois sa mise.

On noteXla variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur : les valeurs que peut prendre Xsont−m, 0 et 10m.

a. Déterminer la loi de probabilité deX.

b. Exprimer l’espérance deX en fonction dem. Expliquer pourquoi, quelle que soit la mise du joueur, la règle du jeu avantage le forain.

(spécialité)

Partie A - Étude d’une suite

On considère la suite (un) définie paru0=900 et, pour tout entier natureln,un+1=0,6un+200.

1. Calculeru1etu2.

2. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier natureln, par vn=un−500.

a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on donnera le terme et la raison.

b. Exprimervnen fonction den. En déduire queun=400×(0,6)ⁿ+500.

c. Déterminer la limite de la suite (un).

Liban 22 juin 2000

(23)

Partie B - Application économique

Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients sous- crivent, le 1^erjanvier, soit auprès de A, soit auprès de B, un contrat d’un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B.

Cette année 2000, la société A détient 90 % du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10 %. On estime que, chaque année, 20 % de la clientèle de A change pour B, et de même 20 % de la clientèle de B change pour A. On considère une population représentative de 1 000 clients de l’année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B. On veut étudier l’évolution de cette population les années suivantes.

1. a. Vérifier que la société A compte 740 clients en 2001.

Calculer le nombre de clients de A en 2002.

b. On noteanle nombre de clients de A l’année (2000+n).

Établir quean+1=0,8an+0,2(1000−an).

En déduire quean+1=0,6an+200.

2. En utilisant le résultat de lapartie A, que peut-on prévoir pour l’évolution du marché des télécommunications dans ce pays ?

Le but du problème est l’étude d’une fonction et le tracé de sa courbe représentative (PartieB), en s’ap- puyant sur l’étude du signe d’une fonction auxiliaire (PartieA).

Partie A

Soitf la fonction définie sur l’intervalle [1 ;+∞[ par f(x)=1

2+

−1+lnx x² .

Certains renseignements concernant la fonctionf sont consignés dans le tableau suivant :

x 1 e³² +∞

f(x)

−1 2

f(e³²)

1 2

1. a. Montrer que, pourxélément de l’intervalle [1 ;+∞[, on a :f^′(x)=3−2lnx

x³ , oùf^′désigne la dérivée def.

b. Étudier le signe de f^′(x) selon les valeurs dex, et retrouver les variations de f données dans le tableau (aucun calcul de limite n’est demandé).

2. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle [1 ; e].

3. En utilisant les résultats précédents et le tableau de variation de f, donner le signe def(x) selon les valeurs dex.

Partie B

Soitgla fonction définie sur l’intervalle [1 ;+∞[ par g(x)=1

2x+1−lnx x

etC sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal.

Liban 23 juin 2000

(24)

1. a. Déterminer la limite degen+∞. (On rappelle que lim

x→+∞

lnx x =0.) b. Montrer que lim

x→+∞

· g(x)−

µ1 2x+1

¶¸

=0.

Interpréter ce résultat pour la droiteDd’équationy=1

2x+1 et la courbeC c. Étudier la position de la courbeCpar rapport à la droiteD.

2. Montrer que la fonctionf étudiée dans lapartie Aest la fonction dérivée deg. En déduire le sens de variation deg.

3. Soit M le point deCd’abscisse e, et T la tangente àC en M. Justifier que T est parallèle àD. 4. Tracer les droitesDet T dans un repère orthonormal³

O,−→ ı ,→−

´

(unité graphique : 2 cm).

Indiquer le point deC d’abscisseα(on utilisera 1,25 pour valeur approchée deα) et la tangente àC en ce point. Enfin, tracer la courbeC.

5. On désigne parS le domaine limité par la courbeC, la droiteDet les droites d’équations respectivesx=1 etx= e.

SoitAla valeur exprimée en unités d’aire de l’aire du domaineS.

a. ExprimerAà l’aide d’une intégrale (on ne cherchera pas à calculer cette intégrale dans cette question).

b. Une primitive sur l’intervalle [1 ;+∞[ de la fonctionhdéfinie parh(x)=lnx x est H(x)=1

2(lnx)². CalculerA.

Liban 24 juin 2000

(25)

Le tableau suivant, publié en août 1999 dans une revue économique, donne la part du temps partiel au sein de la population active (les valeurs pour 2000 et 2004 sont le résultat d’une estimation).

Annéexi 1980 1985 1990 1995 1997 2000 2004

Part du temps partiel en %yi 8,3 11 12 15,6 16,8 18 20 On étudie la série statistique¡

xi ;yi¢

pour19806_x_i61997.

Les calculs seront effectués à la calculatrice.

1. Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées¡ xi ;yi

¢pour 19806 xi 61997. On prendra : 1 cm pour une part de 2 % en ordonnée, 2 cm pour 5 ans en abscisse en prenant pour origine le point (1980; 0).

2. Déterminer les coordonnées de G, point moyen de la série statistique¡ xi;yi

¢. Le placer sur le graphique.

3. a. Donner la valeur arrondie à 10⁻³ près du coefficient de corrélation linéaire de la série

¡xi;yi

¢. Un ajustement affine est-il justifié ? Dessiner cette droite sur le graphique.

b. Déterminer une équation de la droite d’ajustement affine dey enx par la méthode des moindres carrés (aetbarrondis à 10⁻³près).

c. Peut-on considérer que les estimations pour 2000 et 2004 faites par la revue ont été réali- sées en utilisant l’équation obtenue à la question3. b.?

En 1998 un constructeur automobile français a vendu dans la catégorie « petites voitures » 283 049 vé- hicules répartis de la façon suivante :

86 214 du modèle A, 166 937 du modèle B, le reste du modèle C.

Le constructeur estime que la probabilité de choix d’un de ces modèles par un client ayant l’inten- tion d’acheter une voiture de cette catégorie, est égale à la fréquence de vente de ce modèle dans la catégorie « petites voitures » de cette marque.

Les résultats seront arrondis à trois décimales.

1. Déterminer la probabilité qu’un client acheteur choisisse le modèle B.

Quelle est la probabilité qu’il ne choisisse pas le modèle B?

2. Trois clients achètent un véhicule dans la catégorie « petites voitures », leur choix se fait de façon indépendante. On appelleX la variable aléatoire donnant le nombre de clients parmi les trois qui achètent le modèle B.

a. Construire un arbre de probabilité et déterminer la loi de probabilité deX.

b. Calculer l’espérance mathématique deX. 3. Représenter la fonction de répartition deX

4. Quelle est la probabilité pour qu’au plus deux clients sur les trois achètent un véhicule du modèle B?

(26)

Le système bancaire, recevant un dépôt initialS0=50 000 F, en remet 80 % en circulation sous forme de prêts et en conserve 20 % (le montant de cette réserve sera notéeE₀). L’activité économique se traduit par le fait que les sommes prêtées reviennent dans le système où elles apparaissent comme un nouveau dépôtS1, dépôt qui sera traité selon le même processus 80 % remis en circulation, 20 % mis en en réserve).

Le dépôt initial de 50 000 F engendre ainsi une suiteSnde dépôts successifs et une suiteEnde mises en réserve.

1. a. CalculerS1,S2,E0,E1, etE2. b. ExprimerSnà l’aide deSn−1.

c. En déduire les expressions deSnet deEnen fonction den.

2. On fait le bilan après que la banque ait reçu lesnpremiers dépôtsS0, ... ,Sn−1, (et ait procédé aux mises en réserve correspondantes).

a. Calculer en fonction denla somme totaleDnque la banque a reçue.

b. Calculer la somme totaleRnque la banque a inscrite en réserve.

3. a. Montrer que la limiteRde la suite (Rn) est égale au dépôt initialS0.

b. Déterminer la limiteDdans la suite (Dn). Quelle est l’interprétation de la différenceD−S0?

Partie A

1. SoitCmla fonction définie sur [0; 6] par :

Cm(q)=0,8+4(1−2q)e⁻^2q

Cette fonction traduit le coût marginal quotidien d’une usine pour la fabrication d’un produit chimique sous forme liquide,qétant la quantité de produit exprimée en milliers de litres et Cm(q) exprimé en milliers de francs.

Dresser le tableau de variations deCm, la valeur deCm(1) figurera dans le tableau.

En déduire le signe deCm(q) sur [0; 6].

2. a. Montrer que la fonctiongdéfinie sur [0; 6] parg(q)=4qe⁻^2qadmet pour fonction dérivée la fonction définie par :

g^′(q)=4(1−2q)^e⁻^2q.

b. Le coût marginal est assimilé à la fonction dérivée du coût total. Sachant que les coûts fixes CT(0) s’élèvent à un millier de francs, déterminer la fonctionCT traduisant le coût total en fonction deq.

3. a. Déterminer les variations deCT sur [0; 6] en utilisant la question1..

b. Représenter la fonction coût total dans le plan muni d’un repère orthonormé³ O,−→

ı,→−

,−→ k´ (unité graphique 2 cm).

Partie B

Le prix de vente de ce liquide est de 1,80 F par litre. La fabrication quotidienne est vendue en totalité.

1. a. Représenter sur le graphique précédent la fonction traduisant la recette quotidienne.

Métropole 26 juin 2000

(27)

b. Montrer que le bénéfice notéB(q) s’exprime par : B(q)=q−1−4qe⁻^2q. 2. Soit la fonctionhdéfinie sur [0; 6] par :

h(q)=1,8−Cm(q).

a. Étudier les variations dehen utilisant celles deCm.

b. Démontrer que l’équationh(q)=0 a une unique solutionαsur [0; 1]. (On ne demande pas de calculerα.)

c. En déduire le signe deh(q) pourq∈[0;6].

3. a. En utilisant la question précédente donner les variations deB.

b. Donner une valeur deB(α) avec deux décimales en prenant 0,28 comme valeur deα.

Que représente cette valeur pour cette usine ?

Métropole 27 juin 2000

(28)

[ Baccalauréat ES Polynésie juin 2000 \

Un client désirant louer une voiture auprès de la société ALIZÉ doit formuler sa demande en précisant deux critères :

• la puissance du véhicule : il a le choix entre deux catégories A ou B;

• l’équipement : voiture climatisée ou non climatisée.

Une étude statistique portant sur un grand nombre de clients a permis d’établir que 60 % des clients louent une voiture de catégorie A et que, parmi eux, 20 % désirent la climatisation. En revanche, 60 % des clients préférant la catégorie B optent pour la climatisation.

1. Traduire à l’aide d’un arbre pondéré la situation décrite ci-dessus.

2. Dans cette question, on donnera des résultats numériques exacts. On choisit au hasard un client et on définit les évènements suivants :

« Le client a choisi une voiture de catégorie A climatisée »

« Le client a choisi une voiture climatisée ».

a. Déterminer la probabilité de ces évènements.

b. Quelle est la probabilité pour que la voiture choisie soit de catégorie A, sachant qu’elle est climatisée ?

3. On suppose que le nombre des clients est suffisamment important pour que la probabilité de choisir une voiture climatisée de catégorie A soit, pour chacun d’eux, celle obtenue à la question 2 et que leurs choix sont indépendants les uns des autres. On choisit au hasard trois clients.

SoitXle nombre de voitures de catégorie A climatisées louées par ces trois clients.

a. Montrer que la probabilité de l’évènement [X=3] est (0,12)³.

b. Déterminer la probabilité de l’évènement [X=0] et en donner l’arrondi à deux décimales.

c. Déterminer la probabilité de l’évènement « Au moins un des clients a choisi une voiture de catégorie A climatisée » et en donner l’arrondi à deux décimales.

Tous les résultats pourront être obtenus à l’aide de calculatrice sans justification seront arrondis à deux décimales.

Chaque trimestre l’INSEE publie la moyenne annuelle des quatre derniers indices trimestriels du coût de la construction des immeubles à d’habitation (base 100 au 4^etrimestre 1953). Le tableau suivant donne ces moyennes pour les premiers trimestres des années 1995 à 1999.

Année 1995 1996 1997 1998 1999

rang de l’annéexi 1 2 3 4 5

moyenne des indicesyi 1 017 1 024,5 1 038 1 063,25 1 065

(Source : INSEE)

1. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. Un ajustement affine est-il envisageable ? Expliquer pourquoi.

2. Donner une équation de la droite d’ajustement affine deyenxpar la méthode des moindres carrés.

3. En supposant que l’évolution se poursuive de la même façon, estimer la moyenne des indices prévisible au 1^ertrimestre 2000.

(29)

4. Monsieur Dupont loue à monsieur Lejeune, 3 000 F par mois, un studio à compter du 1^eraoût 1999. Le contrat prévoit une révision annuelle des loyers au 1^eraoût : les loyers sont propor- tionnels aux moyennes des indices du coût de la construction du premier trimestre de l’année (la moyenne des indices correspondant au loyer initial est 1 065).

Le propriétaire envisage de fixer le loyer à 3 060 F à compter du 1^eraoût 2000. Cette augmen- tation serait-elle conforme au contrat si l’on tient compte de la moyenne des indices obtenue à la question 3?

MadameXdécide de verser 5 000 F, chaque année, le 31 décembre, sur un compte en assurance-vie, à partir de l’année 1999. Toutes les sommes déposées sont rémunérées au taux annuel de 5 %, à intérêts composés, ce qui signifie que chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital le 31 décembre et produisent à leur tour des intérêts.

On désigne parCn(nentier positif ou nul) le capital, exprimé en francs, dont MadameXdispose sur son compte au 1^erjanvier de l’année (2000+n). On a doncC0=5000.

1. a. Montrer que le capital acquis au 1^erjanvier 2001 est 10 250 F.

b. Établir que, pour tout entiernpositif ou nul :Cn+1=1,05Cn+5000.

2. a. On poseun=Cn+100000 , pournentier positif ou nul. Établir une relation entreun+1et un. En déduire que la suite (un) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

b. Exprimer (un) en fonction den.

c. Montrer queCn=105000(1,05)ⁿ−105000.

d. En quelle année le capital acquis dépasse-t-il 200 000 F pour la première fois ? 3. On poseS=5000+5000(1,05)+5000(1, 05)²+...+5000(1,05)¹⁹+5000(1,05)²⁰.

Calculer la valeur exacte deSet montrer queS=C20.

On considère la fonction numériquef définie sur [0 ;+∞[ par : f(x)=x+2e^x−1

e^x+1

et on note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

A. Étude def sur [0 ;+∞[

1. Justifier quef(x)=x+2− 4

e^x+1puis déterminer la limite def en+∞. 2. Montrer que la droite (D) d’équationy=x+2 est asymptote à (C) en+∞.

Étudier la position de (C) par rapport à (D).

3. On désigne parMle point de la courbe (C) d’abscissexetN le point de (D) de même abscissex. La distance entre les pointsMetNest le nombreM N= 4

e^x+1. Résoudre l’inéquation M N<10⁻¹.

4. Calculer f^′(x) puis dresser le tableau de variation def sur [0 ;+∞[.

5. Démontrer que l’équationf(x)=1 admet dans l’intervalle [0 ; 1] une solution uniquex0dont on déterminera un encadrement à 10⁻¹près.

Polynésie 29 juin 2000

(30)

B. Représentation de la courbe (C)

1. Donner le coefficient directeur de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0.

2. Tracer (T), (D) et la partie de la courbe (C) correspondant aux points dont l’abscisse appar- tient à [0 ; 4]. Faire figurer le point de la courbe d’abscissex0sur le schéma.

C. Primitive def

1. Soitgla fonction définie sur [0 ;+∞[ par

g(x)= e^x e^x+1. a. Déterminer une primitiveGdegsur [0 ;+∞[.

b. Vérifier que 1

e^x+1=1−g(x) sur [0 ;+∞[.

2. On appelleA l’aire, exprimée en cm², de la portion du plan délimitée par (C), la droite (D) et les droites d’équationx=1 etx=3. Calculer la valeur exacte deApuis en donner l’arrondi à deux décimales.

Polynésie 30 juin 2000

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Dans une entreprise de conception de logiciels pour l’informatique, 20% des employés ont un di- plôme en gestion des affaires. 70% des diplômés en gestion des affaires ont des postes de cadre, alors que seulement 15% de ceux qui n’ont pas ce diplôme occupent ces postes.

Le comité d’entreprise organise en fin d’année une loterie pour tout le personnel. Chaque employé reçoit un billet de loterie et un seul.

Tous les billets sont placés dans une urne et on en tire un totalement au hasard.

L’employé gagnant se voit alors offrir un voyage.

1. a. Construire un arbre de probabilité décrivant cette situation.

b. Calculer la probabilité des évènements suivants :

G : « L’employé gagnant a un diplôme de gestion des affaires ».

C : « L’employé gagnant est un cadre de l’entreprise ».

2. Sachant que l’employé gagnant est un diplômé en gestion des affaires, quelle est la probabilité que ce soit un cadre ?

3. Quelle est la probabilité que l’employé gagnant soit un cadre si l’on sait qu’il n’est pas diplômé en gestion des affaires ?

4. Calculer la probabilité des évènements suivants :

« L’employé gagnant est cadre et diplômé en gestion des affaires ».

« L’employé gagnant est cadre et non diplômé en gestion des affaires ».

Enseignement obligatoire

Dans cet exercice, les résultats numériques pourront être obtenus à l’aide de la calculatrice et seront arrondis à2chiffres après la virgule.

Le tableau suivant donne le bénéfice, en millions de francs (MF), obtenu chaque année par une entreprise pour les années 1995 à 1999.

Année 1995 1996 1997 1998 1999

Rang de l’annéexi 1 2 3 4 5

Bénéficeyi 10 9 12 8 11

1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entrexety. Que peut-on en déduire quant à la pertinence d’un ajustement affine pour cette série statistique à deux variables ?

2. On considère ensuite la sériezides effectifs cumulés croissants de la sérieyi. a. Recopier et compléter le tableau suivant :

Année 1995 1996 1997 1998 1999

Rang de l’annéexi 1 2 3 4 5

Bénéficeyi 10 19

b. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entrexetz.

c. Donner une équation de la droite de régression dezenx.

d. À l’aide des résultats précédents, montrer qu’il est possible de calculer une estimation du bénéfice cumulé pour l’année 2000, puis du bénéfice pour l’année 2000, arrondi à une unité près.