I
Bilan sur les techniques usuelles de calcul
Les exercices présents ci-dessous ne constituent pas un programme de révisions, mais une liste, non exhaustive, de situations permettant d'évaluer la maitrise de compétences essentielles pour débuter sereinement l'année.
Des dicultés pour traiter certains exercices doivent conduire à des révisions et, éventuelle- ment, à des questions posées par mail au professeur de mathématiques.
Des rappels de cours sont disponibles sur la page http://ovok.free.fr/cours/TSTI2D , en particulier des rappels sur les règles de calcul (exercice 1), un formulaire de trigonométrie (exercice 2) et plusieurs cours d'analyse (exercice 3)
Ces exercices sont à rendre lors du premier cours de mathématiques de l'année. Ils permet- tront un diagnostic initial à partir duquel les premiers thèmes abordés en accompagnement personnalisé seront déterminés.
Une présentation soignée est attendue, avec des résultats encadrés, des raisonne- ments et des conclusions rédigées.
1
fractions, puissances et factorisations
Exercice 1:
1. Résoudre l'inéquation
3 10x−1
7 <3 4x+1
5 2. En se ramenant à une étude de signes, résoudre l'inéquation
25 36+
5
6−4x x+1 4
>16x2
3. En se ramenant à une étude de signes, résoudre l'inéquation 2
6−3x6 3 9−7x
4. Déterminer par le calcul les valeurs de l'entiernpour lesquelles on a : 3n+23
×35n−13
34n−6 6
√ 233×√
333
√6
2
Trigonométrie
Exercice 2:
1. Calculer π 3 +π
4. En déduire les valeurs exactes decos 7π
12
etsin 7π
12
2. Dans le triangle ABC, rectangle en A, on donne AB=4 cm etABC\= 60o Calculer les valeurs exactes des longueurs des 3 côtés du triangle ABC.
3
exponentielles et logarithmes
Problème 3:
On considère la fonctionf dénie pour toutx∈R, par f(x) = 1− 1
1 +ex et la fonctiongdénie sur]0; 1[par
g(x) = ln(x)−ln(1−x)
Les questions 1, 2, 3 et 4 peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
1. étude de la fonctionf (a) Détailler le calcul de lim
x→+∞f(x)et de lim
x→−∞f(x)
(b) Calculer l'expression de la fonction dérivéef0(x), puis déterminer son signe.
(c) En déduire le tableau des variations de la fonctionf, puis tracer l'allure de la courbe représentative de la fonctionf
(d) Quel est le nombre de solutions de l'équationf(x) =3 4? Résoudre cette équation par le calcul.
2. Calcul d'intégrale
(a) Démontrer que pour toutx∈R,f(x) = ex
1 +ex, et en déduire une primitive de la fonctionf
(b) Calculer la valeur exacte de l'intégraleZ ln(3) 0
f(x)dx 3. étude de la fonctiong
(a) Justier que le domaine de dénition de la fonctiongest l'intervalle]0; 1[. (b) Détailler le calcul de lim
x→0+g(x)et de lim
x→1−g(x)
(c) Calculer l'expression de la fonction dérivéeg0(x), puis étudier son signe sur l'inter- valle]0; 1[
(d) En déduire le tableau des variations de la fonctiong, puis tracer l'allure de la courbe représentative de la fonctiong
(e) Quel est le nombre de solutions de l'équationg(x) = 0? Résoudre cette équation par le calcul.
4. Relations entre les fonctionsf etg (a) Pourx∈R, on posey= 1− 1
1 +ex
Indiquer à quel intervalle appartienty, puis exprimerxen fonction dey (b) Pourx∈R, calculerg(f(x))
(c) Poury∈]0; 1[, calculerf(g(y))
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