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On obtient à l’aide de la calculatrice :M2

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

BAC BLANC2017 CORRIGÉ DE LEXERCICE DES TS Partie A

1. On obtient à l’aide de la calculatrice :M2=

6 2 3

4 4 1

10 4 7

.

2. On aM2+8M+6I=

6 2 3

4 4 1

10 4 7

+

8 8 8

8 −8 8 32 16 8

+

6 0 0 0 6 0 0 0 6

=

20 10 11

12 2 9

12 20 21

=M3. 3. On a donc :

M3 =M2+8M+6I ⇐⇒ M3M2−8M =6I ⇐⇒ M¡

M2M−8I¢

=6I ⇐⇒ M× 1

6

¡M2M−8I¢

=I : cette égalité, ainsi que la factorisation parM à droite, montre que l’inverse de la matriceMest la matrice1

6

¡M2M−8I¢ .

Partie B : Étude d’un cas particulier

1. Les coordonnées des points A, B et C vérifient l’équation de la parabole, d’où le système :

a+b+c = 1 ab+c = −1 4a+2b+c = 5

⇐⇒(matriciellement)

1 1 1

1 −1 1

4 2 1

a b c

=

 1

−1 5

.

2. Le résultat précédent peut s’écrire :

a b c

=M−1

 1

−1 5

.

Or l’inverse deMestM−1=

12 16 13

1 21

2 0

1 131

3

, d’où

a b c

=

1

2 1 6

1 1 3

21

2 0

1 1313

 1

−1 5

=

 1 1

−1

.

Partie C : Retour au cas général

1. On aM

a b c

=

p q r

 ⇐⇒

a b c

=M1

p q r

=

1

2 1 6

1 1 3

212 0 1 1313

 1

−1 5

p q r

⇐⇒

a = −12p+16q+13r b = 1

2p1

2q c = a+1

3q1

3r

⇐⇒

6a = −3p+q+2r 6b = 3p−3q 6c = 6p+2q−2r

⇐⇒

−3p+q+2r ≡ 0 [6]

3p−3q ≡ 0 [6]

6p+2q−2r ≡ 0 [6]

2. Considérons la deuxième ligne du système :

3p−3q≡0 [6] ⇐⇒ 3(p−q)≡0 [6] ce qui signifie quepq doit être multiple de 2, soitpq≡0 [2].

Le double de la deuxième ligne du système ajoutée à la troisième donne : 4q+2r≡0 [6] ⇐⇒2(2q+r)≡6 [6], d’où 2q+rdoit être multiple de 3, soit 2q+r≡0 [3].

1

(2)

Mais 2≡ −1 [3] entraîne 2q≡ −q [3], donc 2q+r≡0 [3] ⇐⇒ −q+r≡0 [3].

Finalement on a le système

½ qr ≡ 0 [3]

pq ≡ 0 [2] . 3. (a) A,B et C alignés si et seulement si C∈(AB) ⇐⇒−→

AC=α

−→AB,α∈R. Or−→

AB(−2 ;qp) et−→

AC(1 ;rp). Donc :

−→AC=α

−→AB ⇐⇒

½ 1 = −2α

rp = α(q−p)α= 1

−2=rp qpqp= −2(r−p) ⇐⇒qp= −2r+2p ⇐⇒3p−q−2r =0.

(b) On choisitp=7, on a donc 7−q≡0 [2], on déduit queq=7+2kaveck∈Z.

Orqr≡0 [3] ⇐⇒7+2k−r≡0 [3], c’est-à-direr=7+2k+3lavecl∈Z. Comme les points ne sont pas alignés :

3p−q−2r6=0⇐⇒ 21−7−2k−14−4k−6l6=0 ⇐⇒ −6k−6l6=0 ⇐⇒ −6(k+l)6=

0 ⇐⇒k+l6=0.

Prenons simplementk=l=1, d’oùq=9 etl=12.

L’égalité

a b c

=M−1

p q r

=M−1

 7 9 12

permet de trouvera=2, b= −1, c=6.

2

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