N OTIONS DE DÉRIVATION

3 3

N OTIONS DE DÉRIVATION

N OTIONS DE DÉRIVATION

Ce chapitre constitue une approche, assistée par ordinateur, de la notion de dérivation ; il est indissociable du futur chapitre Dérivation qui apportera la rigueur délaissée ici.

1 P

?

La terre est ronde... Et pourtant, localement, elle peut nous sembler plate...

De même, en zoomant susamment, la courbe d'une fonction peut ressembler à un segment de droite. On peut ainsi se faire une idée de la notion de tangente.

L'intérêt de ce chapitre est de ramener l'étude de fonctions compliquées à l'étude de fonctions plus simples : les fonctions anes, représentées par des droites.

Ip.113 ex 1, 2, 3, 6

2 T

Soitf une fonction, etCf sa courbe représentative dans un repère.

Soit Aun point (d'abscissea) surCf, en lequel Cf pos- sède une tangente non verticale.

A

Cf

a

On notef⁰(a) le coecient directeur de la tangente àCf au pointA. Notation

Ce nombre s'appelle nombre dérivé def ena. Vocabulaire

On peut par exemple obtenirf⁰(a)grâce à GeoGebra ou en activant la colonne Y' du menu table de la calculatrice.

LYCÉEBLAISEPASCAL

1

S.DELOBEL

Soit f la fonction dénie sur Rparf(x) = ¹₂x²−2x+ 3.

1. À l'aide de l'outil tangentes de GéoGébra, compléter le tableau suivant :

a −2 −1 0 2 4 6

f(a) f⁰(a)

2. Vérier les résultats en faisant acher la colonne Y' dans la table de la calcula- trice. (Sur Casio : activer le mode Derivative dans le Setup.)

3. En déduire le tracé (précis) des tangentes à Cf aux points A, B, et C :

−2 −1 1 2 3 4 5 6 x

y

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 A 9

B

C Cf

Soit f la fonction dénie sur Rparf(x) = ¹₂x²−2x+ 3.

1. À l'aide de l'outil tangentes de GéoGébra, compléter le tableau suivant :

a −2 −1 0 2 4 6

f(a) f⁰(a)

2. Vérier les résultats en faisant acher la colonne Y' dans la table de la calcula- trice. (Sur Casio : activer le mode Derivative dans le Setup.)

3. En déduire le tracé (précis) des tangentes à Cf aux points A, B, et C :

−2 −1 1 2 3 4 5 6 x

y

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 A 9

B

C Cf

Exercice 1

Voici la courbe d'une fonction f.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y

−1 1 2 3 4 5

Cf

1. Donner les valeurs de : f(−3),f(−1),f(1),f(3) etf(5). 2. Donner les valeurs de : f⁰(−3),f⁰(−1),f⁰(1),f⁰(3)etf⁰(5).

3. Déterminer une équation de chacune des tangentes représentées ci-dessus.

Voici la courbe d'une fonction f.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y

−1 1 2 3 4 5

Cf

1. Donner les valeurs de : f(−3),f(−1),f(1),f(3) etf(5). 2. Donner les valeurs de : f⁰(−3),f⁰(−1),f⁰(1),f⁰(3)etf⁰(5).

3. Déterminer une équation de chacune des tangentes représentées ci-dessus.

Exercice 2

Ip.113 ex 12, 13, 15, 16, 17

Il est intéressant de mémoriser la propriété suivante pour raccourcir les calculs d'équations de tangentes.

La tangente¹àCf au pointA d'abscisseaa pour équation : y =f⁰(a)(x−a) +f(a).

Propriété 1.

Preuve

Refaire la question3de l'exercice2en utilisant la formule de l'équation d'une tangente.

Refaire la question3de l'exercice2en utilisant la formule de l'équation d'une tangente.

Exercice 3

Il devient nécessaire de pouvoir obtenir les nombres dérivés autrement que par simple lecture graphique. Nous allons voir maintenant comment faire.

Ip.114 ex 20, 21, 22, 23

3 F

Soit f la fonction dénie sur Rparf(x) = ¹₃x³.

1. Compléter la table des valeurs de f⁰(x) ci-dessous :

x −2 −1 0 1 2 3 4

f⁰(x)

2. Conjecturer une formule : il semble que f⁰(x) =... pour tout x∈R.

3. Vérier cette conjecture à l'aide d'un logiciel de calcul formel²(Wiris, XCas, ...).

4. Vérier que la formule obtenue fonctionne encore pour d'autres valeurs comme par exemple pour x= 1,5,x=π ou encorex=√

2, etc.

5. Reprendre les mêmes questions avec la fonctiongdénie surRparg(x) =x²+ 4.

Soit f la fonction dénie sur Rparf(x) = ¹₃x³.

1. Compléter la table des valeurs de f⁰(x) ci-dessous :

x −2 −1 0 1 2 3 4

f⁰(x)

2. Conjecturer une formule : il semble que f⁰(x) =... pour tout x∈R.

3. Vérier cette conjecture à l'aide d'un logiciel de calcul formel²(Wiris, XCas, ...).

4. Vérier que la formule obtenue fonctionne encore pour d'autres valeurs comme par exemple pour x= 1,5,x=π ou encorex=√

2, etc.

5. Reprendre les mêmes questions avec la fonctiongdénie surRparg(x) =x²+ 4.

Exercice 4

Ainsi, grâce à un logiciel de calcul formel par exemple, on peut obtenir une formule générale qui donne automatiquementf⁰(x) pour n'importe quel xd'un intervalle I.

On appelle fonction dérivée def la fonction donnée par cette formule, et on la notef⁰. Vocabulaire

Nous verrons ultérieurement comment obtenir la fonctionf⁰ sans avoir recours à l'ordina- teur.

1. lorsqu'elle existe et n'est pas verticale.

2. Wiris :http://www.wiris.net/demo/wiris/fr/index.htmlou X-cas :http://www.xcasenligne.fr

Donner, grâce à un logiciel de calcul formel, la fonction dérivée de chacune des fonc- tions suivantes, puis vérier les formules obtenues à l'aide de l'outil tangentes de GeoGebra :

1. f(x) =x 2. g(x) =x²

3. h(x) =x³ 4. k(x) = 5

5. l(x) =√ x 6. m(x) = ¹_x

Donner, grâce à un logiciel de calcul formel, la fonction dérivée de chacune des fonc- tions suivantes, puis vérier les formules obtenues à l'aide de l'outil tangentes de GeoGebra :

1. f(x) =x 2. g(x) =x²

3. h(x) =x³ 4. k(x) = 5

5. l(x) =√ x 6. m(x) = ¹_x Exercice 5

Ip.115 ex 25 à 30 ; p.116 ex 60 à 64 ; p.121 ex 75

4 V

’

SoitCf la courbe d'une fonctionf inconnue. On connait cependant plusieurs tangentes à Cf :

la droiteTA, tangente au pointA(−2,5 ; 4,75)de coecient directeur (−4); la droiteT_B, tangente d'équation y=−3x−3;

la droiteT_C, tangente au point C(−1,5 ; 1,75)de coecient directeur (−2); la droiteTD, tangente d'équationy =−x;

la droiteT_E, tangente horizontale à Cf au pointE(−0,5 ; 0,75); la droiteT_F, tangente au pointF(0,5 ; 1,75)de coecient directeur 2; la droiteTG, tangente d'équation y=x+ 1;

la droiteT_H, qui passe par l'origine du repère et par le point de contactH(1 ; 3). 1. Tracer chacune des droites dénies ci-dessus :

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y

−1 1 2 3 4 5

2. En déduire un tracé approximatif de Cf sur l'intervalle

−3 ; 1 .

SoitCf la courbe d'une fonctionf inconnue. On connait cependant plusieurs tangentes à Cf :

la droiteTA, tangente au pointA(−2,5 ; 4,75)de coecient directeur (−4); la droiteT_B, tangente d'équation y=−3x−3;

la droiteT_C, tangente au point C(−1,5 ; 1,75)de coecient directeur (−2); la droiteTD, tangente d'équationy =−x;

la droiteT_E, tangente horizontale à Cf au pointE(−0,5 ; 0,75); la droiteT_F, tangente au pointF(0,5 ; 1,75)de coecient directeur 2; la droiteTG, tangente d'équation y=x+ 1;

la droiteT_H, qui passe par l'origine du repère et par le point de contactH(1 ; 3). 1. Tracer chacune des droites dénies ci-dessus :

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y

−1 1 2 3 4 5

2. En déduire un tracé approximatif de Cf sur l'intervalle

−3 ; 1 . Exercice 6

Soit f une fonction de votre choix.

1. TracerCf dans GeoGebra (en bleu).

2. Dans la ligne de saisie de GeoGebra, taper f'(x) pour obtenir la fonction dérivée et sa courbe (que vous acherez en rouge).

3. Quel lien observez-vous entre les variations de la courbe bleue et le signe de la courbe rouge?

Soit f une fonction de votre choix.

1. TracerCf dans GeoGebra (en bleu).

2. Dans la ligne de saisie de GeoGebra, taper f'(x) pour obtenir la fonction dérivée et sa courbe (que vous acherez en rouge).

3. Quel lien observez-vous entre les variations de la courbe bleue et le signe de la courbe rouge?

Exercice 7

Sif⁰(x) est de signe + sur I, alorsf est strictement croissante sur I.

Sif⁰(x) est de signe − sur I, alorsf est strictement décroissante sur I.

Sif⁰(x) = 0 sur I, alorsf est constante sur I.

Théorème 2 (Signe def⁰ et variations def).

Admis

Compléter les tableaux de variations à trous ci-dessous.

x

Signe de f⁰(x)

Variations def(x)

2 3 7

+ 0 −

x

Signe de g⁰(x)

Variations deg(x)

−2 0 1 5

+

−4

−4

11

−2

−2

x

Signe de

Variations de4x³−3x² −6x+ 1

−∞ ? ? +∞

+ 0 0

Compléter les tableaux de variations à trous ci-dessous.

x

Signe de f⁰(x)

Variations def(x)

2 3 7

+ 0 −

x

Signe de g⁰(x)

Variations deg(x)

−2 0 1 5

+

−4

−4

11

−2

−2

x

Signe de

Variations de4x³−3x² −6x+ 1

−∞ ? ? +∞

+ 0 0

Exercice 8

Lorsqu'on obtient le tableau de variations d'une fonction, on obtient aussi ses éventuels maxima ou minima.

Ip.135 ex 1 à 5

Lorsqu'on demande de dresser le tableau de variations d'une fonctionf : 1. on dérive la fonction f;

2. on cherche les valeurs de x qui annulent la dérivée ; 3. on étudie le signe de la dérivée ;

4. on en déduit grâce au théorème précédent les variations de la fonctionf; 5. on complète le tableau avec les valeurs des extrema (maximum, minimum).

Méthode 3 (Comment dresser un tableau de variations).

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes : 1. u dénie sur Rparu(x) =x²−4x+ 3.

2. v dénie sur Rparv(x) =−¹₃x³+x²+ 4x−1. 3. sdénie sur R− {−4} pars(x) = 2x−1

x+ 4 . 4. t dénie surR part(x) = x

x²+ 1.

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes : 1. u dénie sur Rparu(x) =x²−4x+ 3.

2. v dénie sur Rparv(x) =−¹₃x³+x²+ 4x−1. 3. sdénie sur R− {−4} pars(x) = 2x−1

x+ 4 . 4. t dénie surR part(x) = x

x²+ 1.

Exercice 9 Utiliser le point méthode ci-dessus

Ip.136 ex 6, 8 ; p.137 ex 16, 21

On veut construire une cuve métallique à partir d'une plaque carrée de 3 m de côté.

À chaque coin de cette plaque, on découpe un carré de côté xmètres. En pliant et en soudant, on obtient une cuve de volume V(x) en m³.

1. Quelles sont les valeurs possibles pour x? 2. Déterminer le volume de cette cuve en

fonction de x.

3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, don- ner la fonctionV⁰.

4. Étudier les variations de la fonction V. 5. Décrire la cuve qui aura le volume maxi-

mal.

x 3

On veut construire une cuve métallique à partir d'une plaque carrée de 3 m de côté.

À chaque coin de cette plaque, on découpe un carré de côté xmètres. En pliant et en soudant, on obtient une cuve de volume V(x) en m³.

1. Quelles sont les valeurs possibles pour x? 2. Déterminer le volume de cette cuve en

fonction de x.

3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, don- ner la fonctionV⁰.

4. Étudier les variations de la fonction V. 5. Décrire la cuve qui aura le volume maxi-

mal.

x 3

Exercice 10 Un problème d'optimisation

Le gardien d'un phare (point A) doit rejoindre le plus rapidement possible la maison côtière (point B). Il se déplace en canot à la vitesse de 4 km/h et à pieds à la vitesse de 5 km/h.

Les données complémentaires sont portées sur la gure ci-dessous ; la côte est supposée rectiligne (droite ∆).

Où doit-il accoster pour que le temps de parcours soit minimal ?

H ∆

A

M B

9 km

15 km

1. On pose x=HM. Dans quel intervalle variex?

2. Exprimer le temps de parcours³en fonction dex. On le notera t(x).

3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, donner la dérivée de la fonction t. On l'écrira sous forme d'un quotient.

4. Chercher les valeurs de xqui annulent t⁰(x)et étudier son signe.

Indication :

Pourc ela,multiplier d'abor

dle numér ateuret ledénominateur de

0 t

par (x)

√ 4

2 x

+81 +5 . x

5. En déduire le tableau de variations de tet répondre au problème.

Le gardien d'un phare (point A) doit rejoindre le plus rapidement possible la maison côtière (point B). Il se déplace en canot à la vitesse de 4 km/h et à pieds à la vitesse de 5 km/h.

Les données complémentaires sont portées sur la gure ci-dessous ; la côte est supposée rectiligne (droite ∆).

Où doit-il accoster pour que le temps de parcours soit minimal ?

H ∆

A

M B

9 km

15 km

1. On pose x=HM. Dans quel intervalle variex?

2. Exprimer le temps de parcours³en fonction dex. On le notera t(x).

3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, donner la dérivée de la fonction t. On l'écrira sous forme d'un quotient.

4. Chercher les valeurs de xqui annulent t⁰(x)et étudier son signe.

Indication :

Pourc ela,multiplier d'abor

dle numér ateuret ledénominateur de

0 t

par (x)

√ 4

2 x

+81 +5 . x

5. En déduire le tableau de variations de tet répondre au problème.

Exercice 11 Un autre problème d'optimisation

Ip.147 ex 66 ; p.143 ex 58 ; p.144 ex 59

3. On doit trouvert(x) =¹₄√

x²+ 81 +¹₅(15−x).

5 P

Preuve de 1.

SiCf a une tangente T non verticale au point d'abscisse a, alors d'après le cours de Seconde, T a une équation de la formey=mx+p.

calcul dem: par dénition, on sait quef⁰(a)est le coecient directeur de T. Doncm=f⁰(a).

T a donc pour équation :y=f⁰(a)×x+p.

calcul dep: le pointA(a;f(a))est le point de contact deCf avec T ; il appartient donc à T. On remplace xparadans l'équation ci-dessus pour trouverp. On a alors :

yA=f⁰(a)×xA+p f(a) =f⁰(a)×a+p

p=f(a)−f⁰(a)×a Ainsi T a pour équation

y=f⁰(a)×x+f(a)−f⁰(a)×a

| {z }

p

ou encore, en factorisant :

y=f⁰(a)(x−a) +f(a).