D.S. DE MATHEMATIQUES (7)

D.S. DE MATHEMATIQUES (7)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 1

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l'épreuve. DUREE : 2 H 00 Exercice 1 :Déterminer toutes les primitives des fonctions f, g et h définies par :

f x=3x²−1 4 x1

5 gx=e^2x−1 hx= x−2

x²−4x6 Exercice 2 :

1. Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par : gx= 1

xx²−1.

Déterminer les nombres réels a, b et c tels que l’on ait, pour tout x > 1 : gx=a

x b

x1 c x −1 . 2. Trouver une primitive G de g sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

3. En déduire le calcul de I=

∫

2 3

gxdx Exercice 3 :

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f x=lnx3

x3 .

1. Démontrer que f est dérivable sur [0 ; +∞[. Étudier le signe de sa fonction dérivée f ′, sa limite éventuelle en +∞, et dresser le tableau de ses variations.

2. On définit la suite un_n0 par son terme général u_n=

∫

n n1

fxdx. a . Justifier que, si nxn1, alors f n1fxfn.

b . Démontrer, sans chercher à calculer u_n, que, pour tout entier naturel n, f n1u_nf n.

c . En déduire que la suite u_n est convergente et déterminer sa limite.

3. Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : Fx=[lnx3]².

a . Justifier la dérivabilité sur [0 ; +∞[ de la fonction F et déterminer, pour tout réel positif x, le nombre F′(x).

b . On pose, pour tout entier naturel n, I_n=

∫

0 n

fxdx. Calculer ^In. 4. On pose, pour tout entier naturel n, ^Sn=u₀u₁ u_{n −1}.

Calculer ^Sn. La suite S_n est-elle convergente ? Exercice 4 :

Le graphique de l’annexe sera complété et remis avec la copie.

Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 2] par : fx=2x1 x1 . 1. Étudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 2].

Démontrer que si x∈[1;2]alors f x∈[1;2]. 2. un et vn sont deux suites définies sur ℕ par :

u₀=1 et pour tout entier naturel n, u_n1=fu_n. v₀=2 et pour tout entier naturel n, v_n1=f v_n.

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a . Le graphique donné en annexe représente la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].

Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites u_n et v_n en laissant apparents tous les traits de construction.

À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites u_n et v_n?

b . Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que : Pour tout entier naturel n, 1v_n2.

Pour tout entier naturel n, ^vn1v_n.

On admettra que l’on peut démontrer de la même façon que : Pour tout entier naturel n, 1u_n2

Pour tout entier naturel n, ^unu_n1.

c . Démontrer que pour tout entier naturel n, ^vn− u_n0 et : v_n1−u_n1= v_n−u_n

v_n1u_n1 . En déduire que pour tout entier naturel n, ^v_n1^−u_n11

4v_n−u_n. d . Démontrer que pour tout entier naturel n, v_n− u_n





e . Démontrer que les suites un et vn convergent vers un même réel . Déterminer la valeur exacte de .

Annexe

Bon courage

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