²La presse quotidienne ou hebdomadaire et les journaux télévisés contiennent souvent dans leurs sujets économiques des informations sous la forme de pourcentages, de taux ou d'indices.
Il est important de savoir les lire et les interpréter pour éviter des contresens ou des fausses interprétations.
Lorsque nous faisons nos courses nous sommes sans cesse confrontés à des diminutions de prix ou à des graphiques donnant l'indice du prix d'un chariot type.
Dans ce chapitre, nous allons aborder les notions de taux d'évolution et d'indice.
E1 Activité avec des puissances.
N ° 1
1. Si l'aire d'un carré de côté a est égale à 16 cm² alors a vérifie a² = 16.
Et pour calculer a on écrit a² = 16 a = car a > 0.
Mais on pourrait aussi écrire a² = 16 a = 16 . Ce qui se lit a est égal à 16 exposant un demi. 12 Ecrire sur votre calculatrice 16 et constater que cela fait bien 4.21
2. Si le volume d'un cube de côté a est égal à 8 cm3 alors a vérifie a3 = 8.
Et pour calculer a on écrit a3 = 8 a = 38 = 2 car 23 = 8 et car a > 0.
Mais on pourrait aussi écrire a3 = 8 a = 8 . Ce qui se lit a est égal à 8 exposant un tiers. 31 Ecrire sur votre calculatrice 8 et constater que cela fait bien 2.31
1 Exposants fractionnaires.
Soient a et b deux nombres réels positifs.
Soit n un entier naturel supérieur à 1.
Alors an = b a = b .n1
Ce qui se lit " a puissance n égal b équivaut à a égal b exposant un sur n. "
On dit que a est la racine n-ième de b.
Pour calculer b , on tape sur la calculatrice b ^ ( 1 / n ) = n1
Exemple : cherchons t tel que t = 0,98121 1.
Sur la CASIO graph 25 taper 0.98 ^ ( 1 / 12 ) 1 La calculatrice répond - 0,001682143
Sur la copie, on arrondi à - 0,17 % c'est à dire une baisse de 0,17 %.
E2 Critique d'une déclaration.
N ° 2 Le chiffre d'affaires de l'entreprise de Monsieur Taux a augmenté de 52 % en 3 ans.
Monsieur taux affirme que la croissance annuelle de son entreprise est d'environ 15 %.
Etes vous d'accord ? Justifiez votre réponse.
2 Taux d'évolution moyen.
Soient y1 et y2 deux nombres réels strictement positifs.
On appelle variation relative de y1 à y2 ( ou bien taux d'évolution de y1 à y2 ) le nombre t =
1 1 2
y y
y
.
Soient y1 et y2 deux nombres réels strictement positifs.
Soit t le taux d'évolution de y1 à y2.
Alors le coefficient multiplicateur de y1 à y2 est le nombre 1 + t.
Et on a y2 = ( 1 + t ) y1.
Si une quantité subit deux évolutions successives à des taux respectifs t1 et t2 , Alors le taux global est T et T vérifie 1 + T = ( 1 + t1 ) ( 1 + t2 ).
On appelle taux moyen d'évolution le taux unique t qui répété deux fois fournit le même résultat que les deux évolutions successives c'est à dire 1 + T = ( 1 + t )²
Autrement dit ( 1 + t )² = ( 1 + t1 ) ( 1 + t2 ).
Le taux global d'évolution correspondant à n évolutions successives de taux respectifs t1 , t2 , … , tn est le réel T tel que 1 + T = ( 1 + t1 ) ( 1 + t2 ) … ( 1 + tn ).
Le taux d'évolution moyen correspondant à n évolutions successives de taux respectifs t1 , t2 , … , tn est le réel t qui répété plusieurs fois fournit le même résultat que les n évolutions successives précédentes.
t vérifie 1 + T = ( 1 + t )n = ( 1 + t1 ) ( 1 + t2 ) … ( 1 + tn ).
Schéma explicatif : voir feuille annexe.
Exemple : le nombre de chômeurs du pays Imaginaire a baissé de 2 % en un an.
Calculer le taux d'évolution mensuel moyen du nombre de chômeurs. Voir feuille annexe.
E3 Savoir trouver le taux moyen connaissant le taux global.
N ° 3
Le prix d'une calculatrice a successivement baissé de 20 %, augmenté de 20 % puis baissé de 10 % et augmenté de 10 %. Calculer le taux d'évolution moyen des quatre évolutions successives du prix de cette calculatrice.
N ° 4
Le SMIC horaire a augmenté de 5,2 % en 2001 par rapport à l'année 2000, de 3,2 % en 2002 puis de 3,8 % en 2003. Déterminer le taux moyen annuel d'augmentation du SMIC horaire.
N ° 5
Le premier janvier 2006 un employé de l'entreprise de Monsieur Taux gagne 1 200 € par mois.
Le premier mai son salaire est augmenté de 5 %. Le premier août il est augmenté de 10 %.
1. Quel sera le salaire de cet employé en décembre 2006 ?
Quel est le taux d'augmentation de ce salaire entre les mois de janvier et de décembre ?
2. Si le salaire avait été augmenté tous les mois de t %, quelle serait la valeur de t pour obtenir le même salaire au mois de décembre ?
3 Moyenne géométrique.
On appelle moyenne géométrique de n nombres réels x1, x2, …, xn strictement positifs le nombre
n1 2 n
1x x ) x
( .
Exemple : voir feuille annexe.
Remarque : lien avec le taux d'évolution moyen.
Le taux d'évolution moyen correspondant à n évolutions successives de taux respectifs t1 , t2 , … , tn est le réel t qui répété plusieurs fois fournit le même résultat que les n évolutions successives précédentes.
t vérifie donc ( 1 + t )n = ( 1 + t1 ) ( 1 + t2 ) … ( 1 + tn ) 1 + t =
(1t1)(1t2)...(1tn)
n1 .Autrement dit le coefficient multiplicateur moyen 1 + t est la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs successifs.
E4 Savoir calculer la moyenne géométrique de plusieurs nombres réels positifs.
N ° 6 Déterminer les moyennes géométriques des réels suivants :
a. 40 et 0,4 b. 15 ; 3 et c. 2 ; 7 ; 20 et 25 d. 0,2 ; 0,7 ; 0,5 ; 4 et 2.
E5 Savoir calculer le taux moyen de n évolutions successives.
N ° 7
Au cours de l'année 2005, le prix d'un cartable a successivement augmenté de 10 % puis de 5 % et enfin baissé de 7 %. Calculer le taux d'évolution moyen des trois évolutions successives du prix.
N ° 8
Un commerçant a pour habitude de baisser ses prix de 10 % une heure avant la fermeture de la braderie puis encore de 50 % une demi-heure avant la fermeture. Calculer le taux d'évolution moyen des deux évolutions successives des prix. Donner une valeur arrondie à 0,1 % près du résultat.
N ° 9
Monsieur Taux consulte les cours de la bourse. Il constate que le cours de l'action sur le sucre a augmenté successivement de 1,4 % et 0,5 % puis a baissé de 0,8 % et de 0,2 %. Calculer le taux d'évolution moyen des quatre évolutions successives et en donner une valeur arrondie à 0,01 %.
E6 Vers la notion d'indice.
N ° 10
1. Gwendoline a placé 5 200 €. Le capital au bout d'un an s'élève à 5980 €. Sans calculer le taux d'intérêt annuel, calculer le capital qu'aurait acquis sa petite sœur si elle avait placé 100 € dans les mêmes conditions.
2. Gwaennael a placé 2 500 €. Le capital au bout d'un an s'élève à 2875 €. Sans calculer le taux d'intérêt annuel, calculer le capital qu'aurait acquis sa petite sœur si elle avait placé 100 € dans les mêmes conditions.
3. Lequel de ces deux placements est le plus avantageux ? 4 Indice.
Soient y1 et y2 deux nombres réels strictement positifs.
On appelle indice simple de y2 par rapport à y1 le nombre I = 100
1 2
y y .
Remarques
On dira indice au lieu de indice simple.
Un indice est un nombre réel strictement positif.
Un indice supérieur à 100 correspond à une hausse ( y2 > y1 ).
Un indice inférieur à 100 correspond à une baisse ( y2 < y1 ).
Un indice égal à 100 correspond à une stabilité ( y2 = y1 ).
Un indice traduit une évolution par rapport à une quantité prise comme référence.
Tableau pour retenir : voir feuille annexe.
Passage de l'indice au taux d'évolution et réciproquement.
L'indice I de y2par rapport à y1 et le taux d'évolution t de y1 à y2 sont reliés par les égalités : I = 100 ( 1 + t ) et t =
100 100 I
.Démonstration : voir feuille annexe.
E7 Savoir calculer l'indice de y2 par rapport à y1. N ° 11
Considérons l'entreprise de Monsieur Taux. Son chiffre d'affaires après trois ans d'activité est égal à y1 = 9,2 millions d'euros. Son chiffre d'affaires après 4 ans d'activité est égal à y2 = 8,51 millions d'euros.
Calculer l'indice de y2 par rapport à y1. N ° 12
Voici en millions de tonnes, la consommation de pétrole pour la France.
1978 2000 2001 2002
France 119 97 97 94
On choisit l'année 1978 comme année de référence ( indice 100 ).
Calculer l'indice de consommation pour les autres années.
N ° 13
Monsieur Taux possède une voiture qui consomme 8 litres de super sans plomb aux 100 km.
En 2003, il a parcouru 20 000 km et l'essence valait 1,08 € le litre.
En 2004, il a parcouru 15 000 km et l'essence valait 1,20 € le litre.
En prenant comme année de référence 2003, calculer : A ) l'indice du prix d'un litre d'essence en 2004.
B ) l'indice du nombre de kilomètres parcourus par Monsieur Taux en 2004.
C ) l'indice de la dépense de carburant de Monsieur taux.
E8 Savoir passer de l'indice au taux d'évolution et réciproquement.
N ° 14
Considérons l'entreprise de Monsieur Taux et ses chiffres d'affaires en millions d'euros.
2001 2002 2003 2004
Chiffre d'affaires y1 = 6,8 y2= 8,364 y3 = 9,2 y4 = 8,51
A ) Sachant que l'indice de y2 par rapport à y1 est égal à 123, calculer le taux d'évolution t de y1 à y2. B ) Sachant que le taux d'évolution de y3 à y4 est égal à 7,5 %, calculer l'indice de y4 par rapport à y3.
N ° 15
En 1973, la consommation française de carburant automobile était de 15,8 millions de tonnes.
On choisit 1973 comme année de référence.
En 1985, l'indice de consommation était de 114.
En 2002, l'indice de consommation était de 83.
A ) Calculer la consommation de carburant en 1985 puis en 2002.
B ) En utilisant les indices, calculer le taux d'évolution de 1985 à 2002.
N ° 16
L'indice du nombre d'élèves du lycée Saint Antoine en septembre 2006 par rapport au nombre d'élèves en septembre 2005 est égal à 95,3.
S'agit il d'une augmentation ou d'une diminution du nombre d'élèves entre septembre 2005 et septembre 2006 ? Quel est le taux d'évolution du nombre d'élèves entre la rentrée 2005 et la rentrée 2006 ?
E9 Activité pour approcher des taux…
N ° 17 Taux réciproque
Soient deux nombres réels strictement positifs y1 et y2. Soit t le taux d'évolution de y1 à y2.
Soit t ' le taux d'évolution de y2 à y1.
On passe de y1 à y2 par une évolution puis on revient à y1 par l'évolution réciproque.
Cette situation peut être visualisée par le schéma suivant : ( 1 + t ) ( 1 + t ' )
y1 y2 y1
Alors le coefficient multiplicateur réciproque de y2 à y1 est l'inverse du coefficient multiplicateur de y1 à y2. Autrement dit 1 + t ' =
t 1 1
.Le taux d'évolution réciproque de y2 à y1 est donc t ' =
t 1 1
1.A ) Recopier et compléter le tableau suivant :
Taux t
Calcul de
t 1 1
Calcul de 1 t Calcul de la différence 20 %15 % 10 % 5%
2 % 1 %
B ) Que pouvez vous conclure de ce tableau ?
N ° 18 Evolutions successives
A ) Sur votre calculatrice rentrer la fonction f ( x ) = ( 1 + x )² et g ( x ) = 1 + 2x.
B ) Aller dans TABLE et demander les tableaux de valeurs pour x = 0 jusqu'à x = 0,2 avec un pas de 0,01.
C ) Comparer les résultats des deux fonctions.
D ) Que pouvez vous en conclure si l'on applique un taux x deux fois de suite ? 5 Approximation d'un taux d'évolution.
Soit t un petit taux d'évolution. ( autrement dit t est proche de 0. )
Alors le taux d'évolution global T de deux évolutions successives de taux t peut être approché par 2t.
Schéma et exemple : voir feuille annexe.
Soit t un petit taux d'évolution. ( autrement dit t est proche de 0. )
Alors le taux d'évolution réciproque t ' de l'évolution de taux t peut être approchée par t.
Schéma et exemple : voir feuille annexe.
E10 Savoir déterminer une valeur approchée du taux d'évolution global de deux évolutions successives.
N ° 19
En 2005, la prix de la calculatrice a subi deux évolutions successives de même taux - 0,7 %.
En justifiant votre démarche, déterminer une valeur approchée du taux d'évolutions global du prix de cette calculatrice au cours de l'année 2005.
N ° 20
Un étudiant loue un appartement proche de son école.
Son loyer augmente de 0,4 % par an.
En justifiant votre démarche, déterminer une valeur approchée du taux d'évolution global du montant de son loyer sur ses deux années d'études pour obtenir son diplôme.
E11 Savoir déterminer une valeur approchée du taux d'une évolution réciproque.
N ° 21.
Le taux d'évolution du prix d'un graveur au mois d'août 2006 est de t = -0,7 %.
En justifiant votre démarche, déterminer une valeur approchée du taux t ' de l'évolution réciproque.
N ° 22.
En Espagne, le taux d'évolution du prix HT au prix TTC est t = 0,4 %.
En justifiant votre démarche, déterminer une valeur approchée du taux d'évolution du prix TTC au prix HT.
