Mémoire d'actuariat

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Développement et utilisation d’un ESG risque réel dans la gestion d’un fonds de rentes fermé

Mémoire d'actuariat présenté pour l'obtention du

Master professionnel Sciences de gestion, mention finances de marché Spécialité Actuariat du CNAM

Et l'admission à l'Institut des Actuaires

Mémoire soutenu le par Alix BAKHOS

Caractère confidentiel : oui Jury

Président :

M. Alexis COLLOMB

Membres du Jury de l’Institut des Actuaires : Mme Florence PICARD

M. Pierre PETAUTON Mme Edith BOCQUAIRE M. Pierre MATHOULIN Membres du Jury de la Chaire d’actuariat :

M. François WEISS M. David FAURE

M. Nathanaël ABECERA M. Olivier DESMETTRE Tuteur et Directeur opérationnel de Mémoire :

M. Jean-Christophe BAROU Responsables opérationnels :

M. Serge WERLE Mme Valérie DEPPE M. Guillaume VILLE

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RESUME ... 7

ABSTRACT ... 8

REMERCIEMENTS ... 9

1. ROLE DES GENERATEURS DE SCENARIOS DANS LA GESTION DES RISQUES ... 10

1.1. La génération de scénarios économiques en assurance ... 10

1.2. Générateurs en Risque Réel et Générateurs en Risque Neutre ... 11

1.2.1. Les Générateurs de scénarios en risque neutre ... 11

1.2.2. Les Générateurs de scénarios en risque réel ... 13

2. DEVELOPPEMENT DE L’ESG EN RISQUE REEL A.L.A.M.O. ... 16

2.1. Présentation générale de l’environnement de simulation ... 16

2.1.1. Définition de la période de référence et des hypothèses générales de projection ... 16

2.1.2. Présentation des actifs à projeter ... 16

2.1.3. Focus sur les actions ... 17

2.1.4. Focus sur les taux ... 18

2.1.5. Calcul des moments caractéristiques des indices présentés... 19

2.2. Définition du cahier des charges de l’ESG A.L.A.M.O. ... 21

2.2.1. Introduction ... 21

2.2.2. Interprétation des moments au travers de l’analyse des distributions ... 22

2.2.3. Impact du Skewness et de l’Excess Kurtosis sur les distributions ... 26

2.2.4. Rôle du drift et de la volatilité dans la valorisation des indices actions ... 26

2.2.5. Importance de l’autocorrélation sur les taux d’intérêt ... 30

2.2.6. Impact des corrélations sur la solvabilité d’un fonds ... 32

2.2.7. Récapitulatif du cahier des charges attendu pour l’ESG ALAMO ... 35

2.3. Génération de Browniens Gaussiens centrés réduits ... 36

2.3.1. Introduction ... 36

2.3.2. Structure de l’ESG A.L.A.M.O. ... 36

2.3.3. Tirage des nombres aléatoires constitutifs de la graine de l’ESG ... 36

2.3.4. Convergence des moments d’ordre 1 et 2 ... 37

2.3.5. Calcul des moments ... 38

2.3.6. Limites et conclusions du processus de Wiener ... 38

2.4. Simulation de queues épaisses de distribution (Leptokurtiques) ... 39

2.4.1. Introduction ... 39

2.4.2. Méthodologies testées pour simuler une distribution Leptokurtique ... 39

2.4.3. Analyse du phénomène à l’origine de la Leptokurticité des actions ... 40

2.4.4. Implémentation du modèle de GARCH ... 42

2.4.5. Calcul des moments ... 46

SOMMAIRE

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2.4.6. Limites et conclusions... 46

2.5. Réplication de distributions asymétriques ... 47

2.5.1. Introduction ... 47

2.5.2. Analyse empirique de l’origine des distributions asymétriques ... 47

2.5.3. Présentation du modèle AMIGARCH ... 48

2.5.4. Calcul des moments ... 49

2.5.5. Limites et conclusions... 49

2.6. Construction de mouvements browniens corrélés ... 50

2.6.1. Introduction ... 50

2.6.2. Présentation du processus de Cholesky... 51

2.6.3. Mise en œuvre du processus de Cholesky ... 51

2.6.4. Formalisation de l’algorithme de Triangularisation de Cholesky ... 52

2.6.5. Exemple numérique... 53

2.6.6. Conséquence de l’algorithme de Cholesky sur le CAC 40 et le DJIA ... 54

2.6.7. Calculs des moments ... 55

2.6.8. Limites et conclusions... 55

2.7. Modélisation de l’autocorrélation ... 58

2.7.1. Introduction ... 58

2.7.2. Implémentation d’un modèle autorégressif dérivé de Yuke Walker ... 59

2.7.3. Conditions aux limites ... 60

2.7.4. Exemple numérique... 61

2.7.5. Calcul des moments ... 62

2.7.6. Limites et Conclusion ... 63

2.8. Intégration des contraintes de Drift et de Volatilité ... 64

2.8.1. Introduction ... 64

2.8.2. Construction d’une transformation de type homothétie / translation ... 64

2.9. Conclusions et observations ... 65

2.9.1. Calcul des moments définitifs ... 65

2.9.2. Interprétation des résultats ... 66

2.9.3. Cartographie des transformations dans le calcul des moments ... 67

2.9.4. Quelles conséquences concrètes sur les scénarios générés ? ... 67

3. BENCHMARKING DE L’ESG A.L.A.M.O... 68

3.1. Problématique ... 68

3.2. Analyse graphique des scénarios de l’ESG A.L.A.M.O. ... 68

3.2.1. Introduction ... 68

3.2.2. Analyse graphique des performances générées sur les actions... 68

3.2.3. Backtesting des indices actions ... 70

3.2.4. Analyse graphique des corrélations entre les performances actions ... 73

3.2.5. Analyse graphique des taux générés ... 75

3.2.6. Backtesting des indices de taux ... 76

3.2.7. Analyse graphique des corrélations entre les séries de Taux ... 79

3.3. Analyse statistique descriptive des scénarios de l’ESG A.L.A.M.O. ... 82

3.3.1. Introduction ... 82

3.3.2. Présentation générale du test statistique du χ² ... 82

5

3.3.3. Construction du test du χ² sur les indices ... 83

3.3.4. Résultat du test sur les indices action ... 85

3.3.5. Résultat du test sur les indices taux ... 87

3.3.6. Construction d’une relation liant les OAT 2, 10 et 30 ans ... 90

3.3.7. Construction d’une ACP sur l’historique ... 93

3.3.8. Position des scénarios d’actifs sur le cercle factoriel de l’ACP ... 95

3.3.9. Conclusions ... 96

3.4. Limites de l’ESG A.L.A.M.O ... 97

3.4.1. Introduction ... 97

3.4.2. Réplication exacte des Skewness et Excess Kurtosis ... 97

3.4.3. Réplication des autocorrélations proches de 1 ... 100

3.4.4. Respect des corrélations dans le cas d’actifs auto corrélés ... 103

3.4.5. Gestion du régime transitoire sur les scénarios de taux ... 105

3.4.6. Limites du raccordement ... 107

3.4.7. Limites de la calibration historique ... 109

3.4.8. Conclusions et recommandations ... 110

3.5. Benchamrking d’A.L.A.M.O. avec les autres ESG ... 111

3.5.1. Grilles d’analyse des générateurs étudiés ... 111

3.5.2. Caractéristiques principales des ESG étudiés ... 111

3.5.3. Comparaison des ESG dans l’univers « Risque Réel » ... 112

3.5.4. Conclusions et recommandations ... 113

3.6. Conclusions relatives au rôle d’A.L.A.M.O. ... 114

4. UTILISATION D’A.L.A.M.O. SUR UN FONDS DE RENTES FERME... 115

4.1. Présentation du contexte et de l’Appel d’Offres ... 115

4.1.1. Introduction générale ... 115

4.1.2. Contexte et problématique ... 116

4.1.3. Présentation de l’Appel d’Offres ... 116

4.2. Présentation des classes d’actifs utilisées ... 120

4.2.1. Introduction et problématique ... 120

4.2.2. Le Cash ... 120

4.2.3. Le Monétaire ... 120

4.2.4. Les Obligations Gouvernementales de maturité courte ... 121

4.2.5. Les Obligations Gouvernementales de maturité longue ... 122

4.2.6. Les Obligations d’Entreprise de maturité courte ... 122

4.2.7. Les Obligations d’Entreprise de maturité longue ... 123

4.2.8. Les Actions Européennes ... 123

4.2.9. Les Actions Internationales ... 124

4.3. Hypothèses de taux de rendement monétaire ... 125

4.3.1. Hypothèses de croissance réelle ... 125

4.3.2. Hypothèses d’inflation et de croissance nominale ... 125

4.3.3. Hypothèses de politique monétaire ... 125

4.4. Définition des hypothèses de rendement des actifs ... 126

4.4.1. Position du problème ... 126

4.4.2. Limites de l’approche historique ... 126

4.4.3. Présentation de l’approche par Primes de Risques ... 128

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4.4.4. Calcul des rendements moyens d’évolution des actifs ... 132

4.4.5. Construction du tableau des moments de projection ... 132

4.5. Génération des scénarios stochastiques avec l’ESG A.L.A.M.O. ... 133

4.5.1. Génération des Scénarios ... 133

4.5.2. Audit des Moments ... 136

4.6. Construction de l’allocation d’actifs optimale ... 141

4.6.1. Détermination des facteurs de risques ... 141

4.6.2. Allocation retenue ... 141

4.7. Analyse du comportement de l’Allocation retenue ... 142

4.7.1. Problématique ... 142

4.7.2. Analyse du scénario Médian ... 142

4.7.3. Distribution des scénarios d’actif net ... 143

4.7.4. Relation Solvabilité / Performance des Actions ... 144

4.7.5. Relation Solvabilité / Performances obligataires ... 146

4.7.6. Relation Solvabilité / Variations de l’Inflation ... 148

4.8. Bilan général du comportement du Fonds sur les scénarios ... 150

CONCLUSION ... 151

BIBLIOGRAPHIE... 153

ANNEXES ... 154

Annexe I – Table présentant les relations entre les paramètres α, β, γ et H avec l’Excess Kurtosis ... 154

Annexe II – Table reliant Skewness, Excess Kurtosis et le paramètre q ... 155

Annexe III – Table de passage des ωi aux coefficients d’autocorrélation ... 156

Annexe IV – Présentation sommaire d’autres ESG alternatifs à A.L.A.M.O. ... 157

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Résumé

Prédire l’avenir a toujours constitué un grand défi pour l’être humain : Dans tous les domaines nous cherchons toujours à anticiper le futur afin de pouvoir soit mieux connaitre nos origines (Big Bang, Formation du Système Solaire, Théorie de l’Evolution, …) soit prédire des évènements adverses et prendre les mesures nécessaires pour atténuer leurs effets voir les prévenir (pandémies, tremblements de terre, changement climatique, krach financiers, sondages en vue d’une élection politique…). La construction de scénarios d’évolution n’est donc pas propre au monde actuariel et financier mais constitue un défi mathématique commun à plusieurs disciplines scientifiques et humaines.

Dans le cadre de ce mémoire d’actuariat, les univers qui nous intéresseront seront les secteurs de l’assurance vie et de la finance. Les différentes crises ayant secoué le monde de la finance et de l’assurance ont démontré que les performances passées ne prédisent pas les performances futures. S’il est impossible de prévoir le sens d’évolution des marchés, nous pouvons en revanche probabiliser leur évolution et projeter des scénarios d’évolutions qui soient réalistes.

Il n’existe pas sur le marché un Générateur de Scénarios Economiques (ESG) universel : chaque assureur, en fonction de ses problématiques va développer son propre ESG. L’objectif de ce mémoire est de présenter un ESG que j’ai développé chez BNP Paribas Cardif et qui a pour objectif d’accompagner les équipes d’ingénierie financière à optimiser leur allocation d’actifs dans la gestion des fonds de rentes fermées. Aussi dans la quatrième partie de ce mémoire nous présenterons une application numérique au travers de la réponse à un Appel d’Offres auquel a dû répondre BNP Paribas Cardif. Nous ne nous attarderons pas sur la méthodologie de construction de l’allocation d’actifs (cela peut faire l’objet d’un autre sujet de mémoire) mais détaillerons en revanche la manière dont le portefeuille retenu se comportera face à différents scénarios extrêmes.

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Abstract

Predict the future has always been a big challenge fur human being: in all domains we are always trying to predict the future in order to learn more about our origins (Big Bang, Solar System creation, evolution theory) or to anticipate adverse events and take necessaries measures to impeach them (pandemics risks, earthquakes, climate change, politics elections polls…).

Construction of evolution scenarios is not specific to financial and actuarial world but constitute a common challenge for many scientific and human disciplines.

In this Actuary thesis, universes which will interest us will be life insurance and finance ones.

Different crisis which stroked life insurance and finance worlds showed that past performances don’t predict future ones. If it is not possible to predict market evolutions, we can however build a distribution which will affect to each scenario a realization probability.

In the market there isn’t a universal Economic Scenario Generator (ESG): each insurance company, will develop its own ESG function of its specific problematics. In this thesis we will describe the construction of the ESG I developed at BNP Paribas Cardif. This ESG shall aim at supporting financial engineering teams to build asset allocations strategies for the closed rents funds. Hence in the fourth part of this thesis we will describe a numerical application through an invitation to tender for which addressed to BNP Paribas Cardif. We will not expose the methodology to build the asset allocation (it can be the object of another thesis subject) but will detail the different portfolios ‘behaviour types face to different extreme scenarios.

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Remerciements

Le développement du sujet objet de ce mémoire s’étant étalé sur près de 10 ans j’aurai de nombreuses personnes à remercier.

Au niveau pédagogique, je commencerai par le Professeur Michel Fromenteau qui en plus d’avoir été un actuaire de renom ayant apporté beaucoup à l’Institut des Actuaires a aussi été un brillant pédagogue qui a donné goût à l’actuariat à des milliers d’étudiants dont je fais partie.

Je profite de l’occasion pour lui rendre un vibrant hommage. Si Monsieur Fromenteau fut incontournable dans mon cursus d’Actuariat je n’oublie pas le rôle majeur joué par François Weiss qui a dû reprendre en 2018 la coordination de mon mémoire dans des conditions très difficiles suite à la disparition brutale de Monsieur Fromenteau. François Weiss par ses observations critiques et justes m’a permis d’améliorer sensiblement mon Mémoire tant sur la forme que sur le fond : ses analyses m’ont amené à prendre du recul sur mon sujet en réalisant un gros travail technique et organisationnel pour le rendre soutenable.

Sur le plan opérationnel, je remercie très vivement mon ancien responsable de BNP Paribas Cardif, Jean-Christophe Barou qui m’a proposé le challenge de développer en interne au sein de la Direction des Gestions d’Actifs une première version de Générateurs de Scénarios Stochastiques (ESG) afin de pallier les carences du modèle existant développé par un prestataire externe. Au-delà du défi proposé, son soutien technique lorsque j’ai dû relever le challenge de générer des scénarios corrélés, auto corrélés et présentant des distributions non gaussiennes. Je remercierai aussi mon ancien collaborateur Serge Werlé qui a grandement contribué à transformer A.L.A.M.O. en l’industrialisant pour en faire un véritable Progiciel de calculs alliant ergonomie et vitesse d’exécution.

Toujours chez BNP Paribas je voudrais également remercier Valérie Deppe et Philippe Bienaimé qui ont permis à l’ESG de sortir du cadre de la Gestion d’Actifs pure. Valérie Deppe qui était alors responsable ALM a fait appel à cet outil pour qu’il soit utilisé dans les études ALM en risque réel : son intervention m’a permis d’utiliser l’outil devenu alors A.L.A.M.O.

pour le compte de clients internes situés en Asie, au Royaume Uni, au Luxembourg et en Amérique du Sud. De son côté Philippe Bienaimé alors Responsable des Risques Assurantiels au sein du Groupe BNP Paribas (département GRM) qui a diligenté un audit détaillé de l’outil A.L.A.M.O. afin de répondre aux exigences réglementaires en matière de robustesse des ESG m’a donné l’occasion de comparer mes développements avec les réalisations effectuées par d’autres acteurs du marché. Cela a grandement contribué à faire connaître A.L.A.M.O. au sein du Groupe BNP Paribas.

En dehors du Groupe BNP Paribas, je remercie particulièrement Jimmy Zou et Guillaume Ville qui m’ont donné la possibilité de tester A.L.A.M.O. sur des sujets en rapport à Solvabilité II. Aussi, chez PwC, Jimmy Zou m’a permis au travers de nombreuses missions d’utiliser l’ESG sur des situations concrètes comme par exemple l’évaluation de l’impact de Solvabilité II sur l’ALM des Assureurs et l’allocation d’actifs des Gestionnaires d’Actifs. Ces réalisations m’ont permis de publier dans l’Argus de l’Assurance et d’être invité à une table ronde animée par le journal « Les Echos » pour débattre autour de Solvabilité II. Guillaume VILLE quant à lui a pu porter un regard externe critique sur ce mémoire en me suggérant d’introduire différents tests statistiques pour mieux mettre en valeur cet outil sur le plan académique.

Je ne peux finir cette partie sans remercier ma femme et ma famille de m’avoir soutenu psychologiquement aussi bien durant mes années d’études actuarielles au CNAM que durant la rédaction de ce mémoire. Je me permets aussi de rendre un hommage à ma mère adoptive qui a toujours été à mes côtés malgré sa maladie

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1. Rôle des générateurs de scénarios dans la gestion des risques

1.1. La génération de scénarios économiques en assurance

Avant de présenter les Générateurs de Scénarios Economiques, rappelons tout d’abord la définition d’un scénario économique introduite par Frédéric Planchet : « Un scénario économique correspond à une projection de grandeurs économiques et financières sur un horizon d’intérêt ». Autrement dit, la génération aléatoire de scénarios économiques permet de projeter à plus ou moins long terme des valeurs de marchés de différents actifs financiers ainsi que des variables macroéconomiques pertinentes.

Une des principales problématiques de la mise en place d’un ESG est le choix des éléments composant le modèle : l’économie est représentée par un certain nombre de variables fondamentales. L'objectif d'un ESG est alors de modéliser ces différentes variables, tout en tenant compte de leur dépendance, afin de décrire les états du monde plus ou moins probables sur lesquels l’économie pourra aboutir au terme d’un horizon de temps donné. Dans le cas de compagnies d’assurance, il s’agit notamment des variables affectants différents postes du Bilan : taux d’intérêt, performance des actions ou de l’immobilier, inflation ou encore taux de mortalité.

Un ESG peut avoir plusieurs utilisations, à savoir la prévision, la valorisation de produits financiers ou encore l’analyse des risques. Remarquons alors qu’un bon outil de génération aléatoire de scénarios remplit au moins l’une des deux applications suivantes :

- Dans le cas de projections à court terme, il permet l’évaluation des prix d’équilibre de produits financiers, autrement dit le pricing (Risque Neutre ou Market Consistant)

- Lorsqu’il s’agit de projections à un horizon plus long terme, l’ESG s’apparente à un outil d’aide à la décision dans le cadre de la gestion des risques (Risque Réel ou Historique).

Avec la mise en place de Solvabilité II qui est entré officiellement en place le 1^er Janvier 2016, les ESG voient leur importance augmenter auprès des Assureurs afin de mesurer les risques inhérents à leurs activités. De plus un ESG permet de tenir compte de l’horizon long terme ce qui constitue un atout très précieux pour certains Assureurs en particulier les Assureurs Vie devant faire face à des Provisions Mathématiques de duration élevée (souvent supérieure à 10 ans).

La littérature sur les ESG est abondante mais la crise financière de 2007 qui a débuté par une crise de liquidité a mis en évidence certaines lacunes de ces générateurs. Les remises en cause portent principalement sur la prise en compte des risques de liquidité et de crédit ainsi que sur la modélisation des dépendances entre les différentes variables choisies en particulier durant les phases de stress de marché (cluster de volatilité et de corrélations). Ainsi le choix des variables économiques, financières et actuarielles que nous souhaitons modéliser, ainsi que la mise en œuvre de l‘outil, dépendent principalement de la finalité du générateur.

La construction d’un ESG passe par plusieurs étapes : Avant de nous concentrer sur le développement d’A.L.A.M.O. nous allons dans la section suivante décrire les deux principaux types d’ESG qui sont utilisés et dont les objectifs divergent : Les ESG en Risque Neutre (Market Consistant) et les ESG en Risque Réel (ou Historique)

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1.2. Générateurs en Risque Réel et Générateurs en Risque Neutre

1.2.1. Les Générateurs de scénarios en risque neutre

L'univers risque neutre est un univers dans lequel tous les agents économiques sont neutres face au risque, ce qui revient à dire qu'ils n'exigent pas de compensation pour le risque pris. Dans un tel univers, la rentabilité espérée µ est alors celle du taux sans risque r.

Evaluer un actif dans cet univers revient donc à prévoir les flux futurs que génère cet actif et à l'actualiser au taux sans risque. Pour une option européenne, cela revient à calculer l'espérance de son payoff (unique flux à recevoir à la date T) et à l'actualiser au taux sans risque annuel r.

C'est pour cette raison que l'on a:

Valeur du Call (c) à la date 0 = E[ max(ST-K;0) ] * exp( -rT) où E désigne l'espérance.

En risque neutre l’objectif n’est pas de produire des scénarios réalistes en rapport avec l’historique mais de fournir un jeu de scénario dont les caractéristiques moyennes permettent de pricer la valeur de rachat des options au même prix que les prix de marché. Il s’agit en premier lieu de donner des prix qui préviennent tout risque d’arbitrage. De ce fait si dans un jeu de 1000 scénarios de taux 10 ans, la moyenne des 1000 taux générés converge vers le taux forward 10 ans associé, le jeu est « validé » en univers « Risque Neutre » même si on a par exemple 10% des scénarios qui voient le taux 10 ans prendre des valeurs « aberrantes » (valeurs explosives de l’ordre de 100% ce qui sort de l’ordre de grandeur d’un « taux 10 ans core zone euro » ou valeur qui reste bloqué à 0% durant des périodes de plusieurs dizaines d’années).

Chez les Assureurs, Mutuelles et Instituts de Prévoyances, les ESG en Risque Neutre sont utilisés à deux fins :

- Le calcul de l’Embedded Value : Apparue dans les années 1980, l’embedded value ou valeur intrinsèque, est la méthode classique d’évaluation des portefeuilles d’assurance vie. Ce calcul permet d’informer les actionnaires sur la performance financière des entreprises d’assurance vie et a pour fin la transaction ou la communication. L’embedded value est la valeur actualisée des flux (ou des résultats) futurs distribuables aux actionnaires. Il s’agit de la valeur des intérêts des actionnaires dans les revenus distribuables issus des actifs alloués au business couvert après prise en compte de l’ensemble des risques liés au business couvert.

L’embedded Value permet de prendre ainsi en compte l’actif net ou « part de l’acif revenant aux actionnaires en date d’évaluation » et la Value In Force ou « Valeur actuelle des profits futurs à destination des actionnaires et relatifs aux contrats d’assurance présents dans le portefeuille ». La baisse des cours boursiers à la fin des années 1990 a remis en cause le calcul d’un Embedded Value déterministe. Il est apparu plusieurs variantes de cette méthode, notamment l’European Embedded Value (EEV) en 2004. Cette dernière se base sur une variation stochastique.

L’approche Market Consistent Embedded Value (MCEV) est par la suite devenue un standard de la valorisation des sociétés d’assurance vie avec la publication en juin 2008 des « CEV Principe & Guidance ». La MCEV avait alors pour but de pallier le manque d’harmonisation du calcul de l’EEV au sein des sociétés d’assurance. Depuis fin 2009, l’approche MCEV constitue le nouveau référentiel de publication et cherche à évaluer de manière explicite les risques impactant les compagnies d’assurance. Ces calculs nécessitent la génération aléatoire de scénarios économiques en risque neutre.

12 - Le calcul des Provisions Mathématiques en Best Estimate : L’autre usage des ESG en Risque neutre est le calcul des Provisions Mathématiques en Best Estimate (BE). Il s’agit en particulier de déterminer la valeur des options de rachat par les assurés des contrats d’assurance vie. Dans le dispositif Solvabilité II, le principe de calcul des provisions techniques repose sur la distinction entre deux catégories de risques:

o les risques couvrables : la provision technique correspond au prix de la couverture financière, construite à partir d’instruments financiers issus d’un marché profond, liquide et transparent, répliquant les flux futurs d’assurance.

o les risques non couvrables : la provision technique est évaluée par la somme du best estimate et de la marge pour risque.

L’EIOPA retient comme définition du best estimate la moyenne pondérée en fonction de leur probabilité des futurs flux de trésorerie compte tenu de la valeur temporelle de l’argent, laquelle est estimée sur la base de la courbe des taux sans risque pertinente. La directive européenne stipule que le best estimate doit être calculé brut de réassurance, en contrepartie un actif de réassurance, tenant compte des probabilités de défaut du réassureur, est reconnu à l’actif. Les hypothèses de calcul des provisions best estimate reposent sur des informations actuelles et crédibles. Ces hypothèses doivent présenter un caractère réaliste. Selon les normes réglementaires, la courbe retenue pour l’actualisation doit vérifier 4 critères à savoir:

o pas de risque de crédit

o présenter des taux réalistes

o estimer via une méthode robuste

o être très liquides

En pratique, l’EIOPA insiste sur l’utilisation de la courbe construite à partir des obligations d’Etats notées AAA. En assurance de personne, le calcul du best estimate nécessite de prendre en compte l’expérience du portefeuille lorsque qu’il s’agit d’évaluer la probabilité de versement de flux futurs. En outre, le best estimate présente d’autres difficultés de calcul liées à l’évaluation des garanties financières.

En effet, du fait de l’interaction forte entre l’actif et le passif, notamment en présence de rachats ou de dispositif de participation aux bénéfices, l’utilisation de techniques stochastiques est inévitable pour tenir compte de la «valeur temps» de ces garanties.

L’EIOPA définit les règles à retenir en termes de segmentation qui doivent permettre d’aboutir à des groupes de risques homogènes.

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1.2.2. Les Générateurs de scénarios en risque réel

En risque réel, l’objectif n’est pas de pricer au plus juste en moyenne le prix des options de rachat mais de générer un univers de scénarios « réalistes » au regard de ce qui a pu être observé dans l’historique. L’objectif des ESG risque réel est de pouvoir simuler l’évolution future réelle d’un certain nombre d’actifs, c’est-à-dire une évolution cohérente sur la base des mouvements observés par le passé. Les ESG risque-réel s’opposent aux ESG risque-neutre. Ces derniers ont un objectif tout autre : celui de pouvoir retrouver, à partir d'un jeu de scenarios générés et par la méthode de Monte-Carlo, les prix de marché des produits dérivés de taux (pour un générateur de taux) ou actions (pour un générateur actions). Les scenarios issus de tels générateurs n'ont pas vocation à être cohérents avec le passée, et peuvent tout à fait présenter des évolutions aberrantes (comme des taux explosifs).

Les ESG en Risque Réel sont utilisés principalement pour les applications suivantes :

- Allocation Stratégique d’Actifs : Entre l’entrée en vigueur de Solvabilité 2 et l’environnement de taux bas, les assureurs sont amenés à repenser leurs politiques d’allocation d’actifs pour préserver le rendement. Les asset managers ont identifié trois leviers possibles pour y parvenir : poursuite de la diversification des titres obligataires, recherche d’actifs illiquides et regain d’appétit pour les actions.

Comment gérer l’environnement de taux bas dans le contexte de Solvabilité 2 ? Telle est devenue la nouvelle donne des « chief investment officer » des compagnies d’assurance de toutes tailles en Europe avec l’entrée en vigueur du nouveau régime prudentiel. Il s’agit alors de construire l’Allocation Stratégique qui va permettre de maximiser le rendement financier sous contraintes de SCR. Or une telle approche dans la mesure où le SCR est homogène à une VaR à 99,5% s’apparente à une modélisation de type Markowitz avec une complexité supplémentaire puisqu’elle fait intervenir le Passif. Dans cet environnement, les ESG en Risque Neutre ne sont pas efficaces dans la mesure où ils ne reflètent pas la situation réelle et peuvent provoquer des erreurs stratégiques en matière de construction de l’Allocation Actif / Passif. Les ESG en risque réel sont dans ce contexte pertinents dans la mesure où en simulant au plus juste le comportement des actifs particulièrement en période de crise ils permettent au Responsable ALM de piloter au plus juste l’Allocation Stratégique suivant des axes relatifs au rendement (Performance financière, PPE,

…) ou au risque (VaR99,5% , PRE, PDD, …)

- Pilotage de l’ORSA : L’ORSA (Own Risk and Solvency Assessment ou Évaluation interne des risques et de la solvabilité) est un processus interne d’évaluation des risques et de la solvabilité par l’organisme. Il doit illustrer la capacité de l’organisme ou du groupe à identifier, mesurer et gérer les éléments de nature à modifier sa solvabilité ou sa situation financière. Aussi, sa déclinaison opérationnelle en fait- elle un outil stratégique de premier plan. Sur le plan quantitatif il s’agit pour le Régulateur de pousser les Assureurs à « challenger » leurs calculs de SCR au moyen d’une évaluation au plus juste des risques réels pris. Par exemple dans le cas des Actions cotées Zone Euro, le régulateur en formule standard considère ces actifs comme « Equity Type I » et sont affectés d’un SCR de 39%. Avec l’ORSA les Assureurs devront modéliser au plus juste le comportement de ces actifs en portefeuilles suivant des critères qui soient le plus fidèles que possible au risque réel

14 c’est-à-dire au risque historique. Dans ces circonstances un ESG en risque réel constituera un atout décisif pour l’assureur car à contrario de l’ESG Risque Neutre qui modélise suivant des distributions Gaussienne, l’ESG en risque réel se doit à priori de bien matérialiser les queues de distribution des différents actifs.

ALAMO est un générateur de scénarios économiques et financier (« ESG ») en « risque réel » dont le développement s’est étalé sur plusieurs années qui ont alterné avancées rapides et contre temps aussi bien techniques (résolution du problème de l’autocorrélation et des queues de distribution) qu’administratifs (Audit interne de la Direction des Risques, Audit externe effectué par l’ACPR). Néanmoins ces contres temps administratifs ont été à l’origine de bonds techniques significatifs du Générateur de Scénarios. En effet, ce dernier a connu des améliorations sensibles aussi bien techniques (résolution des problèmes de clusters de volatilité et de corrélations) qu’informatiques (division par 3 du temps d’exécution et multiplication par 1000 du nombre de scénarios générés).

Le générateur en risque réel A.L.A.M.O. qui fait l’objet de la partie II de ce mémoire a pour objectif de projeter des scénarios qui soient cohérents par rapport au comportement historique des actifs.

Afin de simuler le comportement d’un ensemble d’actifs qui soit en « adéquation » avec l’historique, nous suivront les moments suivants :

- La moyenne (ou drift) - La volatilité

- La Skewness - L’Excess Kurtosis

- L’autocorrélation d’ordre 1 - Les corrélations entre actifs

L’ESG ALAMO dont on détaillera le développement dans ce mémoire n’est pas un modèle « a proprement parlé » académique. L’objectif de cet ESG est de reproduire certaines propriétés de l’historique en vu de répondre à des Appels d’Offres nécessitant de gérer des fonds de rentes fermés.

Nous détaillerons dans la prochaine partie le cahier des charges auquel devra satisfaire ALAMO en analysant le comportement des actifs représentatifs (actions et obligations qui représentent plus de 90% des engagements à l’actif) que nous souhaitons répliquer.

Une fois le cahier des charges explicité, nous décrirons les principales étapes du développement de l’outil. L’ESG ALAMO ne repose pas sur un modèle académique, mais sur une analyse avant tout basée sur une observation et une connaissance des marchés financiers

Néanmoins si l’outil en lui-même n’est pas « académique », les modèles qui le composent (Cholesky, GARCH, …) font l’objet pour la plupart d’entre eux, d’une littérature abondante.

La difficulté de l’exercice a consisté à faire cohabiter ces modèles afin de répondre aux besoins

15 spécifiques de la réponse aux Appels d’Offres dont nous étudierons un exemple détaillé dans la partie 4.

La nécessité de devoir satisfaire aux contraintes sera aussi à l’origine de nombreuses limites de l’outil (séries fortement auto corrélées, Excess-Kurtosis très élevée…) que nous expliciterons dans la partie 3.

Dans la partie 4, nous détaillerons un exemple de réponse à un Appel d’Offres qui permettra de montrer comment l’ESG ALAMO est utilisé sur des problématiques d’Allocation Actif / Passif.

Cette partie nous donnera aussi l’occasion de nous attaquer sur une des limites d’ALAMO à savoir le calage des moments à respecter et de proposer une méthodologie de calibration cohérente avec l’historique et les conditions macroéconomiques au moment de la simulation.

16

2. Développement de l’ESG en Risque Réel A.L.A.M.O.

2.1. Présentation générale de l’environnement de simulation

2.1.1. Définition de la période de référence et des hypothèses générales de projection

Nous prendrons comme période de référence des observations historiques, la période allant de 1994 à 2017 pour les deux raisons suivantes :

- Nous disposons d’un historique commun pour tous ces actifs

- Le milieu des années 1990 marque le début de l’intégration Européenne des différents pays de la Zone Euro : En effet simuler des tirages conformes à un historique n’a de sens que si les conditions économiques et politiques qui régissent ce dernier est en phase avec la situation qui prévaut à la date à partir de laquelle se feront les projections. Si par exemple on souhaite projeter à partir du 31 Décembre 2017 les taux Allemands sur la période de référence 1920 – 1925, ça serait possible mais cela n’aurait aucun sens macroéconomique dans la mesure où le modèle Allemand actuel n’a rien à voir avec celui qui prévalait dans les années 20 (Hyperinflation, système bancaire en quasi faillite, …)

Nous projetterons ces actifs sur 30 ans en pas trimestriel :

- Une projection sur 30 ans est en phase avec la vision «long terme» des Assureurs Vie

- L’utilisation d’un pas trimestriel est réaliste par rapport aux échéances que doivent respecter les Assureurs Vie (Paiement des rentes, encaissement des primes, production des états QRT)

2.1.2. Présentation des actifs à projeter

Afin d’aider le lecteur à suivre les grandes étapes du développement de l’ESG A.L.A.M.O., nous allons illustrer celles-ci avec la simulation des 5 actifs suivants :

- Taux 2 ans gouvernemental Français (OAT 2 ans) - Taux 10 ans gouvernemental Français (OAT 10 ans) - Taux 30 ans gouvernemental Français (OAT 30 ans) - Actions Françaises (CAC 40)

- Actions Américaines (DJIA)

Cet exemple a été choisi pour être suffisamment simple en vue d’aider le lecteur à comprendre les transformations implémentées dans l’ESG ALAMO tout en présentant des situations suffisamment variées pour lui permettre d’en comprendre les enjeux.

Nous modéliserons par ailleurs les actifs avec des lois Normales et Lognormales en y introduisant des coefficients d’asymétrie et d’aplatissement. Cette hypothèse forte est certes réductrice (d’autres lois peuvent être testées comme la loi de Poisson, la loi de Pearson) mais représente une belle avancée par rapport aux modèles académiques implémentés en salles de marchés pour pricer les dérivés et qui reposent sur des Gaussiennes.

17

2.1.3. Focus sur les actions

L’univers des actifs présentés dans le paragraphe ci-dessus comporte 2 indices actions : l’indice phare de la bourse de Paris (CAC 40) et l’indice phare de la bourse de New York (Dow Jones – DJIA)

Le graphique ci-dessous présente les évolutions respectives de ces indices du 31 Décembre 1994 au 21 Décembre 2017.

Source : Bloomberg

Le suivi de la valorisation des indices est intéressant mais dans l’optique d’effectuer des simulations, les performances des indices sur chaque pas de projection sont plus pertinents à analyser. Si on note Pt la valeur de l’indice à la date t, alors la performance discrétisée à cette même date t s’obtient simplement :

Le graphique ci-dessous représente l’évolution des performances trimestrielles qui se déduisent des valorisations :

𝑟

_𝑡

= 𝑃

_𝑡

𝑃

_𝑡−1

− 1

18

2.1.4. Focus sur les taux

L’univers des actifs présentés dans le paragraphe 2.1.2. comporte trois séries de taux d’intérêts : Le taux gouvernemental français à 2 ans (OAT 2 ans), le taux gouvernemental français à 10 ans (OAT 10 ans) et le taux gouvernemental français à 30 ans (OAT 30 ans).

Le graphique ci-dessous présente les évolutions respectives de ces indices du 31 Décembre 1994 au 21 Décembre 2017.

Source : Bloomberg

Contrairement aux indices actions dont nous calculons les performances entre deux périodes, pour ce qui concerne les niveaux de taux d’intérêts, les variations de taux d’intérêts sur une période dt ne nous intéresseront pas dans la mesure où ALAMO comme nous le verrons plus loin ne simule pas les taux suivant les modèles académiques standards de diffusion (Black, Vacisek, Cox-Ingersoll-Ross, Hull & White,…)

19

2.1.5. Calcul des moments caractéristiques des indices présentés

Les graphiques présentés dans les paragraphes 2.1.3 et 2.1.4 font apparaître des propriétés visuelles qui seront quantifiés au travers des moments que nous allons définir.

- Drift (μ) : Nous définirons le drift comme étant la moyenne arithmétique des rendements ri observés. Si on note n, le nombre d’observations, le Drift sera défini comme suit :

𝜇 =1 𝑛∑ 𝑟_𝑖

𝑛

𝑖=1

En pratique, si on note X, le vecteur des performances ri, dans le développement d’ALAMO, la fonction Excel/VBA utilisée sera « MOYENNE (X) »

- Volatilité (σ) : Nous définirons la volatilité comme étant l’écart type des rendements ri observés. La volatilité sera définie comme suit :

𝜎 = √ 1

𝑛 − 1∑(𝑟_𝑖

𝑛

𝑖=1

− 𝜇)²

En pratique, dans le développement d’ALAMO, la fonction Excel/ VBA utilisée sera

« STDEVA (X) »

- Skewness (S) : Ce moment désigne le Coefficient d’Asymétrie (S) d’une distribution par rapport à la loi normale qui aura par définition un Coefficient d’Asymétrie nul : Nous définirons la Skewness comme suit :

S = n

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)∑(𝑟_𝑖 − 𝜇)³ σ³

𝑛

𝑖=1

En pratique, dans le développement d’ALAMO, la fonction Excel/VBA qui sera utilisée sera « COEFFICIENT.ASYMETRIE (X) »

- Excess Kurtosis ou Coefficient d’Aplatissement (K) : Ce moment mesure l’épaisseur de la queue de distribution relativement à la loi normale dont l’Excess Kurtosis sera égale à 0 par construction. On rappelle que la Kurtosis d’une loi normale vaut 3.

K = (n + 1)n

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)∑(𝑟_𝑖− 𝜇)⁴ σ⁴

𝑛

𝑖=1

− 3 (n − 1)² (𝑛 − 2)(𝑛 − 3)

En pratique, dans le développement d’ALAMO, la fonction utilisée sera

«KURTOSIS(X)». Il s’agit d’un «abus de notation» car la fonction

«KURTOSIS (X)» ne mesure pas la Kurtosis en absolue mais l’Excess Kurtosis.

La distribution peut prendre deux formes suivant la valeur de K :

20 o Lorsque -3 < K < 0, la distribution est dite platikurtique : les phénomènes

extrêmes sont moins représentés que dans le cas de la loi normale.

o Lorsque K > 0, la distribution est dite leptokurtique : les phénomènes extrêmes sont plus représentés que la loi normale. C’est le cas le plus fréquent dans le monde de la finance.

- Coefficient de Corrélation entre 2 actifs « X » et « Y » (

ρ

^X,Y) : Dans ce mémoire, on s’intéressera au coefficient de corrélation linéaire (que l’on appellera par abus de langage coefficient de corrélation) qui mesure l'intensité affine de la liaison qui peut exister entre ces variables « X » et « Y ». Deux variables aléatoires peuvent en effet avoir un coefficient de corrélation linéaire égal à 0 et être « parfaitement corrélées » (exemple X et Y = X²). De ce fait par abus de langage, lorsque deux actifs ont un coefficient de corrélation linéaire proche de 0, on dira que ceux-ci ne sont pas corrélés. Si on note ri la performance de l’actif X à la date Ti et r’i la performance de l’actif Y à la date Ti, le coefficient de corrélation s’écrit :

𝜌_𝑋,𝑌= ∑^𝑛_𝑖=1(𝑟_𝑖− 𝜇)(𝑟′_𝑖− 𝜇′)

√∑ (𝑟_𝑖

𝑛 𝑖=1

− 𝜇)² ∑ (𝑟^′_𝑖

𝑛 𝑖=1

− 𝜇′)²

En pratique, dans le développement d’ALAMO, la fonction Excel/VBA qui sera utilisée sera « COEFFICIENT.CORRELATION (X ; Y) »

- Coefficient d’Autocorrélation d’ordre 1 (ρ) : Il s’agit du coefficient de corrélation entre une série temporelle caractérisant l’évolution de l’actif avec cette même série temporelle translatée d’une période.

Les expressions des moments présentés ci-dessus nous permettent d’en déduire leurs valeurs numériques pour les différents actifs présentés dans le paragraphe 2.1.2.

μ σ S K ρ

CAC 40 1,02% 10,32% -0,79 1,06 0,18

DJIA 30 1,65% 8,49% -0,90 1,00 0,12

OAT 2 Ans 2,46% 2,00% 0,14 -0,71 0,98 OAT 10 Ans 3,78% 1,82% -0,05 -0,14 0,98 OAT 30 Ans 4,17% 1,32% -0,75 -0,21 0,97

ρ

^{i,j CAC 40 DJIA 30} OAT 2 Ans OAT 10 Ans OAT 30 Ans

CAC 40 1,00 0,69 -0,05 -0,02 0,00

DJIA 30 0,69 1,00 -0,09 -0,02 -0,08

OAT 2 Ans -0,05 -0,09 1,00 0,95 0,82

OAT 10 Ans -0,02 -0,02 0,95 1,00 0,89

OAT 30 Ans 0,00 -0,08 0,82 0,89 1,00

21

2.2. Définition du cahier des charges de l’ESG A.L.A.M.O.

2.2.1. Introduction

Dans la partie 2.1, nous avons présenté l’environnement général de simulation au travers : - De la définition de l’horizon de simulation

- Du pas de projection

- De l’identification des principaux actifs à simuler

- De l’analyse des propriétés mathématiques de ces actifs au travers du calcul des moments

Cette partie a pour objet de mettre en lumière les moments calculés précédemment avec le comportement historique observé de ces actifs et de répondre à des questions très pratiques du type :

- Quel est l’impact d’une différence de Drift de 63 Bps (1 Bp = 0,01%) sur l’évolution respective des actions Américaines et Françaises ?

- Comment un écart de près de 2% entre la volatilité des actions Américaines et celle des actions Françaises impacte t’il non seulement les distributions des performances mais aussi le trend de long terme pris par chacun des indices respectifs (CAC 40 et DJIA) ?

- Comment se traduit concrètement une leptokurticité (Excess Kurtosis K > 0) conjuguée à asymétrie négative (Skewness S < 0) sur les distributions des performances des actions Françaises et Américaines ?

- Comment traduire au travers d’un indicateur mathématique simple le fait que les séries temporelles des performances actions sont « accidentées » alors que celles des valorisations de taux sont « lisses » ?

- Comment le coefficient de corrélation linéaire impacte il les distributions jointes DJIA / CAC 40, OAT 10 ans / OAT 30 ans, CAC 40 / OAT 10 ans ?

- Comment se traduit concrètement un coefficient de corrélation de 0,69 qui existe entre le DJIA et le CAC 40 sur la VaR à 95% (performance qui sépare les 5 plus mauvaises performances observées des 95 autres) d’un portefeuille composé de 50%

d’actions Françaises et 50% d’actions Américaines ?

La VaR (Value at Risk) sera un indicateur très important pour évaluer la probabilité de faillite d’un fonds de rentes fermé car il permet de définir la frontière entre les scénarios permettant au fonds d’honorer les rentes (et même de verser de la participation aux bénéfices aux assurés) et ceux (que l’on étudiera plus en détail dans l’application pratique) pour lesquels l’Entreprise qui a délégué la gestion du fonds devra verser des capitaux supplémentaires pour honorer ses engagements.

22

2.2.2. Interprétation des moments au travers de l’analyse des distributions - Distribution des performances du CAC 40

Le graphique ci-dessous permet de visualiser la distribution des performances trimestrielles historiques observées sur le CAC 40.

On observe que :

o Les performances relativement à d’autres actifs (taux) que nous verrons plus loin s’écartent sensiblement de la performance moyenne : Cette observation empirique est matérialisée par la volatilité (σ = 10,32%) qui mesure la dispersion des performances par rapport au drift.

o Relativement à la loi normale de paramètres μ et σ, N(μ,σ), on observe une surpondération des performances « fortement négatives ». Cela se matérialise mathématiquement par une Skewness négative (S = - 0,79) et un Excess Kurtosis positif (K = + 1,06)

o On observe une surpondération des rendements inférieurs à μ – σ (15 observations dans l’histogramme rouge) par rapport aux rendements supérieurs à μ + σ (13 observations dans l’histogramme vert).

23 - Distribution des performances du DJIA

Le graphique ci-dessous permet de visualiser la distribution des performances trimestrielles historiques observées sur le DJIA.

On observe que :

o Les performances relativement à d’autres actifs (taux) que nous verrons plus loin s’écartent sensiblement de la performance moyenne : Cette observation empirique est matérialisée par la volatilité (σ = 8,49%) qui mesure la dispersion des performances par rapport au drift.

o Relativement à la loi normale de paramètres μ et σ, N(μ,σ), on observe une surpondération des performances « fortement négatives ». Cela se matérialise mathématiquement par une Skewness négative (S = - 0,90) et un Excess Kurtosis positif (K = + 1,00).

o On observe une surpondération des rendements inférieurs à μ – σ (14 observations dans l’histogramme rouge) par rapport aux rendements supérieurs à μ + σ (13 observations dans l’histogramme vert).

24 - Distribution des taux de l’OAT 2 ans

Le graphique ci-dessous permet de visualiser la distribution des taux sur l’OAT 2 ans.

On observe que :

o Les niveaux de taux relativement aux performances d’autres actifs (actions) que nous avons vu plus haut s’écartent peu du taux moyen : Cette observation empirique est matérialisée par la volatilité (σ = 2%) qui mesure la dispersion des performances par rapport au drift.

o Relativement à la loi normale de paramètres μ et σ, N(μ,σ), on observe une sous pondération des valeurs extrêmes. Cela se matérialise mathématiquement par une un Excess Kurtosis négatif (K = - 0,71).

o On observe une surpondération des rendements supérieurs à μ + σ (25 observations dans l’histogramme vert) par rapport aux rendements inférieurs à μ - σ (14 observations dans l’histogramme vert). Cela se matérialise mathématiquement par une Skewness positive (S = + 0,14).

- Distribution des taux de l’OAT 10 ans

Le graphique ci-dessous permet de visualiser la distribution des taux sur l’OAT 10 ans.

25 On observe que :

o Les niveaux de taux relativement aux performances d’autres actifs (actions) que nous avons vu plus haut s’écartent peu du taux moyen : Cette observation empirique est matérialisée par la volatilité (σ = 1,82%) qui mesure la dispersion des performances par rapport au drift.

o Relativement à la loi normale de paramètres μ et σ, N(μ,σ), on observe une sous pondération des valeurs extrêmes. Cela se matérialise mathématiquement par une un Excess Kurtosis négatif (K = - 0,14).

o On observe une très légère surpondération des rendements inférieurs à μ - σ (13 observations dans l’histogramme rouge) par rapport aux rendements supérieurs à μ + σ (12 observations dans l’histogramme vert). Cela se matérialise mathématiquement par une Skewness très légèrement négative (S = - 0,05).

- Distribution des taux de l’OAT 30 ans

Le graphique ci-dessous permet de visualiser la distribution des taux sur l’OAT 30 ans.

On observe que :

o Les niveaux de taux relativement aux performances d’autres actifs (actions) que nous avons vu plus haut s’écartent peu du taux moyen : Cette observation empirique est matérialisée par la volatilité (σ = 1,32%) qui mesure la dispersion des performances par rapport au drift.

o Relativement à la loi normale de paramètres μ et σ, N(μ,σ), on observe une sous pondération des valeurs extrêmes. Cela se matérialise mathématiquement par une un Excess Kurtosis négatif (K = - 0,21).

o On observe une surpondération des rendements inférieurs à μ - σ (34 observations dans l’histogramme rouge) par rapport aux rendements supérieurs à μ + σ (15 observations dans l’histogramme vert). Cela se matérialise mathématiquement par une Skewness négative (S = - 0,75).

26

2.2.3. Impact du Skewness et de l’Excess Kurtosis sur les distributions L’analyse des distributions de taux nous montrent que :

o Lorsque la volatilité des actifs est faible, l’impact du Skewness et de l’Excess Kurtosis sont à relativiser dans la mesure où ces quantités sont normalisées par la volatilité.

o Lorsque l’Excess Kurtosis est négative, c’est-à-dire lorsque l’on observe une sous pondération des valeurs extrêmes par rapport à la loi Normale, le rôle de la Skewness devient minime dans la mesure où même si par exemple on observe une asymétrie négative, le poids de ces valeurs restera plus faible que ce qui prévaut dans le cas d’une loi Normale.

En conclusion, plus la volatilité et l’Excess Kurtosis tendent à être élevés et plus le Skewness revêt son importance. C’est le cas des indices actions : ces derniers ont une volatilité importante et présentent des queues épaisses : de ce fait plus la Skewness est négative et plus on enregistre une probabilité d’avoir des performances extrêmement mauvaises (de l’ordre de -20% ou -30%) est importante. Cela a un impact non négligeable en matière de gestion des risques :

o Lorsque un actif perd 20 % entre T et T + 1, il lui faut enregistrer une performance égale à 1 / (1 – 20%) soit +25% entre T + 1 et T + 2 pour revenir à l’équilibre.

o Lorsque un actif perd 30 % entre T et T + 1, il lui faut enregistrer une performance égale à 1 / (1 – 30%) soit +42,85% entre T + 1 et T + 2 pour revenir à l’équilibre

2.2.4. Rôle du drift et de la volatilité dans la valorisation des indices actions - Impact du drift dans sur l’évolution de la valeur de l’indice actions

Nous avons observé dans le paragraphe 2.1.5 que les performances trimestrielles arithmétiques moyennes (ou Drift) du CAC 40 et du DJIA s’élèvent respectivement à 1,02% et 1,65%. Il en résulte une sur performance du DJIA de 0,63% par rapport au CAC 40. Mais concrètement que traduit cet écart de performance sur le long terme dans la valorisation d’un fonds composé soit de produits financiers indexés sur le CAC 40 soit de produits financiers indexés sur le DJIA ? Pour effectuer la comparaison, il nous faut se mettre au début de la période historique d’observations (31/12/1994) et « re baser » (en base 100 par exemple) les deux courbes représentatives de ces indices.

27 On obtient ainsi le graphique suivant :

Un écart de 0,63% sur le drift trimestriel se traduit après 23 ans d’observations par un écart de valorisation de près de 166 points !

En partant de 100 au 31/12/2014, l’Indice CAC 40 coterait 160,49 au 31/12/2017 tandis que le DJIA coterait 326,35. En pourcentage, le DJIA enregistrerait une surperformance cumulée de plus de 100 % par rapport au CAC 40.

Cet exemple simple démontre à quel point le drift est primordial dans la valorisation d’un portefeuille et qu’un écart même minime peut avoir de très grosses conséquences en raison de la composition des performances.

- Impact de la volatilité sur l’évolution de la valeur de l’indice actions Les paragraphes précédents ont montré que :

o Le drift avait un impact considérable sur l’évolution de la valorisation des indices o La volatilité, jouait un rôle déterminant dans la forme des distributions et donc dans

le calcul de la VaR

o La Skewness et l’Excess Kurtosis jouaient un rôle plus ou moins important dans la forme des distributions en fonction de l’importance de la volatilité

Les rôles joués par le drift sur la valorisation des indices et par la volatilité sur la forme de la distribution sont intuitifs.

Nous allons maintenant quantifier un impact qui est moins intuitif à savoir celui de la volatilité sur la tendance de long terme des indices actions. Pour ce faire nous allons reprendre les exemples du DJIA et du CAC 40. Nous avons observé qu’en base 100, le DJIA surperformait le CAC 40 de plus de 100% sur une période d’observations de 23 ans.

28 Reprenons les séries temporelles des performances de ces deux indices en les centrant autour de 0%. De ce fait les performances trimestrielles du CAC 40 seront diminuées de 1,02% et celles du DJIA de 1,65%. Nous obtenons ainsi 2 nouvelles séries temporelles centrées en 0. En les appliquant à chacun des indices du DJIA et du CAC 40 valorisés à 100 au 31/12/1994, on obtient le graphique suivant :

Sur le graphique de gauche, on n’observe pas de différence notable entre les valeurs prises par le DJIA et le CAC 40 au 31/12/2017. Néanmoins, l’échelle est « écrasée » en raison des grandes variations qu’ont connu ces deux indices lors des crises de 2001 / 2002 et 2007 / 2008. En zoomant les variations intervenues sur les 2 dernières années, on obtient le graphique de droite.

On observe sur ce graphique de droite un écart de valorisation au 31/12/2017 non négligeable avec un CAC 40 qui vaut 62,46 contre un DJIA qui en vaut 71,59 soit presque 15% de plus.

Si on note Δ, la surperformance annuelle du DJIA relativement au CAC 40 sur les 23 ans d’observations, on a la relation suivante :

62,46 ∗ (1 + Δ)²³= 71,59 Ce qui nous donne :

Δ = (71,59 62,46)

1/23

− 1 Soit Δ = 0,60%

En d’autres termes, même en centrant les performances du DJIA et du CAC 40 afin d’obtenir un drift égal à 0 pour les 2 indices, la différence de volatilité trimestrielle (10,32% pour le CAC 40 et 8,49% pour le DJIA) engendre sur cette période de 23 années d’observations une surperformance annualisée du DJIA relativement au CAC 40 de 0,60 % !!

En d’autres termes, la volatilité agit non seulement sur la forme de la distribution des performances et donc de la VaR mais aussi sur la tendance d’évolution de l’indice !

0 50 100 150 200 250 300

déc.-1994 mai-1996 oct.-1997 mars-1999 août-2000 janv.-2002 juin-2003 nov.-2004 avr.-2006 sept.-2007 févr.-2009 juil.-2010 déc.-2011 mai-2013 oct.-2014 mars-2016 août-2017 Evolutions respectives du CAC 40 et du DJIA centrés et valorisés en base 100 au 31/12/2014

CAC 40 centré Base 100 au 31/12/2014 DJIA centré Base 100 au 31/12/2014

50 55 60 65 70 75