(y 1,j , y 2,j , ..., y n j ,j )

(1)

P. Ailliot

2 novembre 2010

Exercice 1 (examen2007-2008)

Ons'intéressedanscet exercice àl'analysede la variance àunfacteur.On reprendles notations

ducours,eton cherche àdémontrer certainsrésultatsqui ontétéadmisdanslecours(il estdonc

interditd'utiliserlesrésultatsducourssurl'analysede lavarianceàunfacteurdanscetexercice).

Onconsidèredonc unensemblede

n

observations réparties en

p

^groupes. ^On^note

n j

^le^nombre

d'observationsdanslegroupe

j

^,

(y 1,j , y 2,j , ..., y n j ,j )

^lesobservations danslegroupe

j

^et

¯

y _j = _n ¹ _j _n _j

i=1 y _i,j

^la ^moyenne^empiriquecorrespondante.On aalors

n = n ₁ + n ₂ + ... + n _p

^.

Atitred'exemple, onconsidérerales donnéesdutableau1qui décriventla productivité de trois

variétésde blé (mesuréeen tonnes par hectare) dansdesconditionsclimatiques identiques. Pour

chaquevariété, cinqobservationsont étéeectuéessurdeslotsde terre diérents.

Variété 1 2 3

3 6 3

6 8 3

5 7 2

6 8 2

5 6 5

Moyenne 5 7 3

Tab.1Productivitédetrois variétésdeblé

Onsupposeque lesobservations

(y 1,j , y 2,j , ..., y n j ,j )

^du^groupe

j

^sont ^desréalisations de variables aléatoires

(Y 1,j , Y 2,j , ..., Y n j ,j )

indépendantesqui suiventune même loi

N (µ j , σ ² )

^. ^On^supposera

égalementl'indépendance entrelesdiérentsgroupes. L'objectif de l'analysede la variance àun

facteurest detester l'hypothèse:

H ₀ : µ ₁ = µ ₂ = ... = µ _p

contre l'hypothèse alternative:

H ₁ : ∃i = j

^tel^que

µ _i = µ _j

1. Onnote

Y ¯ j = _n ¹ _j _n _j

i=1 Y i,j

^.^Montrer,^en ^utilisant^le ^théorème ^de ^Cochran,^que

Y ¯ j

^est^une

variable aléatoiregaussienne, dontonprécisera lesparamètres, indépendantede

SC j = _n _j

i=1

Y i,j − Y ¯ j ₂

etque

SC j

σ ²

^suit^une ^loi^du

χ2

^dont^on ^précisera^le^degré ^de^liberté.

2. Onnote

Y ¯ = _n ¹ _p

j=1

_n _j

i=1 Y _i,j

^.

(a) Que représente

Y ¯

^?^Montrer ^que

Y ¯ = _n ¹ _p

j=1 n j Y ¯ j

^.

(b) Montrerque

SC ent = _p

j=1 n j ( ¯ Y j − Y ¯ ) ²

^est indépendantde

SC int = _p

j=1 SC j

^.

(c) Montrerque

SC _int

^suit^une ^loi^du

χ2

^dont^on ^précisera^le^degré ^de ^liberté.

(2)

3. Montrerque

SC ent + SC int = SC tot

^avec

SC tot = _p

j=1

_n _j

i=1 (Y i,j − Y ¯ ) ²

^.^Comment

peut-oninterpréterlesquantités

SC ent

^,

SC int

^et

SC tot

^?

4. Onnote

Z j = √ n j Y ¯ j

^pour

j ∈ {1...p}

^.^Quelle^est^la ^loi^de

Z j

^?^Montrer^que

Z = ^t (Z 1 , ..., Z p )

êstûn^vecteur ^gaussien^dontôn ^précisera^lesparamètres.

5. Onsupposedanscettequestion quel'hypothèse

H 0

^est^vériée.

(a) Montrer,en utilisantlethéorèmede Cochran,que

SC ent

σ ²

^suit^une^loi ^du

χ ²

^dont^on

préciseraledegré deliberté.

(b) Endéduireque

F _c = ^n−p _p−1 ^SC _SC ^ent _int

^suit^une ^loi^de ^Fisher^à

p − 1

^et

n − p

^degrés ^de^liberté.

6. Endéduire untest de l'hypothèse

H ₀

^basé^sur^la statistiquede test

F _c

^.

7. Application numérique : peuton supposerque lestrois variétésde blé ont lemême

rendement?On fera l'application numériqueavec Ret ondonnerales commandesutilisées.

Exercice 2 (examen2010) Lesdonnéesutiliséesdanscetexerciceconcernent237enfants,

décrits par leursexe, leurâge enmois, leurtailleen inch (1inch=2.54 cm),etleur poidsen

livres (1livre=0.45kg). Lesdonnéessontdisponibles danslechier "enfants.dat" surla page

webducours

1. Oncherche toutd'abord àexpliquer lavariable "poids"àpartirde la variable "âge"àl'aide

d'unmodèle derégressionlinéaire simple.

(a) Ecrire lemodèlede régressionlinéairecorrespondant enexplicitant lesdiérentes

hypothèses.Cesdiérentes hypothèsesvoussemblent-ellesêtrevériées pour les

donnéesconsidérées ici?

(b) Donnerune estimationdesdiérents paramètresdumodèle.Lavariable "âge" a-t-elle

uneetsignicatifsurla variable "poids"?Onrépondraàl'aided'unteststatistique.

2. Oncherche maintenantàexpliquer lavariable "poids" àpartir de lavariable "taille" à

l'aided'unmodèlede régressionlinéairesimple.

(a) Donnerune estimationdesdiérents paramètresdumodèle.

(b) Lavariable"taille"a-t-elleuneetsignicatifsurla variable "poids"?Cemodèle

est-ilmeilleurque celuide la question précédente?

3. Oncherche maintenantàexpliquer lavariable "poids" àpartir desvariables "âge" et

"taille" àl'aide d'unmodèlede régressionlinéairemultiple.

(a) Décrirelemodèle etdonnerune estimationdesdiérents paramètres.

(b) Ce modèleest-il meilleurquecelui desquestionsprécédentes?

4. Lavariable "sexe"at'elleuneetsurlavariable "poids"?Ondécriraune méthode

permettantde répondreàcettequestion etonla mettraenoeuvreàl'aidede R.

5. Lesvariables "âge" et"sexe" ont-elles uneetsimultané surla variable "poids"?On

décriraune méthode permettant derépondreàcettequestion etonla mettraenoeuvreà

l'aidede R.

Exercice 3 Onconsidèredanscetexercicedesdonnéesqui décrivent lesfraisde santé d'un

groupede salariés. Nousdisposons, pour

n = 17301

^actes^médicaux, ^des⁶^variables ^suivantes^:

"MontantFraisReel":montant desfrais desanté eneurosde l'actemédical

(3)

"Sexe" :sexedupatient

"Zone":zonegéographique de résidence

"CSP" :catégorie socio-professionelle

"NbEnfant" :nombred'enfants de l'assuré

L'objectifde ceTD estd'analyser l'eetéventueldesdiérentesvariables ("tranche_âge",

NbEnfant, "Zone","Sexe","CSP") surlemontantdesfrais de santé.

Les donnéessont disponiblessurla page webducours.

1. Importation/nettoyage des données

(a) Importerlesdonnées àl'aidede la commande

>z=read.table("nonfichier.txt",header=TRUE)(l'option header=TRUEsignaleque

la premièreligne duchier contientlenom desvariables)

(b) Taperla commande

>summary(z)

Avantde continuerl'analyse, on proposede nettoyer lesdonnées. Parexemple, on

pourraretirerlesindividus pourlesquels

lesfrais de santésont négatifs(on pourraparexemple utiliserlescommandes

>ext=(z$MontantFraisReel>=0);

>z=z[ext,])

lesexeprend lavaleur '0'

la zonegéographique est'Etranger+Outre-Mer' (faible eectif)

l'âgeestinférieur à20 ans(faible eectif)

2. (a) Taperles commandessuivantes:

>attach(z)

>boxplot(MontantFraisReel

∼

^Zone)

>fit=lm(MontantFraisReel

∼

^Zone)

>summary(fit)

>plot(fit)

>anova(fit)

Quelest lemodèleajusté parcescommandes?Est-cequela zonegéographique aun

eetsignicatifsurlesfrais de santé(on remplirauntableaud'analysede la variance

à1facteur)?Dans quellerégion lesfraissont-ilslesplusélevés/faibles?Est-cequeles

diérenteshypothèses dumodèlede l'analysedelavarianceàunfacteursontvériées?

(b) Taperles commandessuivantes:

∼

^Zone-1)

>summary(fit)

Quelest lemodèleajusté parcescommandes?Comparer avec la questionprécédente

(onregarderaen particulierla valeur du

R ²

⁾^et^discuter ^les^résultats^obtenus.

(c) Taperles commandessuivantes:

>fit=lm(MontantFraisReel Zone,contrasts=list(Zone="contr.sum"))

>summary(fit)

Quelest lemodèleajusté parcescommandes?Comparer avec lesquestion précédentes

etdiscuter lesrésultatsobtenus.

(d) Taperles commandessuivantes:

>Zone3=relevel(Zone,ref="Nord-Ouest")

∼

^Zone3)

>summary(fit)

Quelest lemodèleajusté parcescommandes?Comparer avec lesquestion précédentes

etdiscuter lesrésultatsobtenus.

(4)

disponibles etdiscuter lesrésultatsobtenus. Avecquelvariable obtient-onlemeilleur

modèle?

3. Taper lescommandessuivantes:

∼

tranche_âge+Sexe+Zone+CSP+NbEnfant)

>summary(fit)

>plot(fit)

Quel estlemodèle ajustéparces commandes?Quellesvariables ontuneetsignicatif sur

lesfrais de santé?Est-cequelesdiérentes hypothèses permettantde réaliser l'inférence

statistiquedanslemodèle ajustésont vériées?

4. (a) Taperles commandessuivantes:

>fit1=lm(MontantFraisReel

∼

Zone+CSP+Zone*CSP)

>summary(fit1)

∼

^Zone+CSP)

>summary(fit2)

∼

^Zone ^:CSP)

>summary(fit3) >fit4=lm(MontantFraisReel

∼

^Zone ⁺ ^Zone ^:CSP)

>summary(fit4)

Quelsont lesmodèles ajustésparcescommandes?Quel estlemeilleur modèle?

(b) Taperles commandessuivantes:

>anova(fit2,fit1)

Queltest réalise cettecommande?Onécriraleshypothèses correspondantes, la

statistiqusde testetla règlesde décision. Quelleestla conclusion dutest?Interprétez

lesrésultatsobtenus.

(c) Reprendrelesquestionsprécédentes enremplaçantla variable "CSP" parla variable

"SEXE"

5. Calculer, pourchaqueadhérent, lemontant totaldesfrais ainsiquelenombred'actes

consommés.Refairelesanalysesprécédentesenremplacant lavariable MontantFraisReel

parlemontant totaldesfrais.On discuteraégalementl'intérêtéventuelde remplacerle

montant totaldesfrais parsonlogarithme.

6. Créer unevariable numérique age quiprendlesvaleurs

25

^si^la ^variable tranche_âge prend lavaleur '[20,30['

35

^si^la ^variable tranche_âge prend lavaleur '[30,40[' ...

(a) Taperles commandes:

> fit1=lm(MontantFraisReel

∼

tranche_âge)

> summary(fit1)

∼

^age)

> summary(fit2)

Quelssont lesmodèles ajustés par cescommandes?Quel estlemeilleur modèle?

Discuter.

(b) Taperles commandes:

> fit=lm(MontantFraisReel

∼

^age*Zone)

> summary(fit)

∼

^age+Zone)

> summary(fit2)

∼

age*Zone-Zone)

> summary(fit3)

∼

age*Zone-Zone-1)

> summary(fit4)

(5)

∼

^age+age ^:Zone)

> summary(fit5)

Quelssont lesmodèles ajustés par cescommandes?Quel estlemeilleur modèle?

Discuter.

(c) Taperles commandes:

> anova(fit2,fit)

> anova(fit3,fit)

Quelssont lestestsréalisés par cescommandes?Onécriraleshypothèses

correspondantes, lesstatistiquesde testetles règlesde décision. Interprétezles

résultatsobtenus.

7. Finalement,quellessontles variables quiinuent leplussurlesfrais desanté?Quelserait

lemodèle quevouschoisiriezan d'expliquer/prévoir aumieuxlesfrais desanté?On

pourrarépondreen s'appuyantsurlesfonctionsde sélection de modèlevues dansleTD

précédent.

8. Taper lescommandes:

> fit=glm(Sexe

∼

age,family=binomial)

> summary(fit)

> fit=glm(Sexe

∼

CSP,family=binomial)

> summary(fit)

> fit=glm(CSP

∼

Sexe,family=binomial)

> summary(fit)

> fit=glm(NbEnfant

∼

Zone,family=poisson)

> summary(fit)

> fit=glm(NbEnfant

∼

Zone,family=gaussian)

> summary(fit)

> fit=glm(CSP

∼

Zone,family=gaussian)

> summary(fit)

Décrireprécisémentles modèlesqui sont ajustésparces commandes, donnerla fonctionde

vraisemblance, etinterprétezlesrésultatsobtenus.

(y 1,j , y 2,j , ..., y n j ,j )

n

p

n j

j

(y 1,j , y 2,j , ..., y n j ,j )

j

¯

y j = n 1 j n j

i=1 y i,j

n = n 1 + n 2 + ... + n p

(y 1,j , y 2,j , ..., y n j ,j )

j

(Y 1,j , Y 2,j , ..., Y n j ,j )

N (µ j , σ 2 )

H 0 : µ 1 = µ 2 = ... = µ p

H 1 : ∃i = j

µ i = µ j

Y ¯ j = n 1 j n j

i=1 Y i,j

Y ¯ j

SC j = n j

i=1

Y i,j − Y ¯ j 2

SC j

σ 2

χ2

Y ¯ = n 1 p

j=1

n j

i=1 Y i,j

Y ¯

Y ¯ = n 1 p

j=1 n j Y ¯ j

SC ent = p

j=1 n j ( ¯ Y j − Y ¯ ) 2

SC int = p

j=1 SC j

SC int

χ2

SC ent + SC int = SC tot

SC tot = p

j=1

n j

i=1 (Y i,j − Y ¯ ) 2

SC ent

SC int

SC tot

Z j = √ n j Y ¯ j

j ∈ {1...p}

Z j

Z = t (Z 1 , ..., Z p )

H 0

SC ent

σ 2

χ 2

F c = n−p p−1 SC SC ent int

p − 1

n − p

H 0

F c

n = 17301

∼

∼

∼

R 2

∼

∼

∼

∼

∼

∼

25

35

∼

∼

∼

∼

∼

∼

y _j = _n ¹ _j _n _j

i=1 y _i,j

n = n ₁ + n ₂ + ... + n _p

N (µ j , σ ² )

H ₀ : µ ₁ = µ ₂ = ... = µ _p

H ₁ : ∃i = j

µ _i = µ _j

Y ¯ j = _n ¹ _j _n _j

SC j = _n _j

Y i,j − Y ¯ j ₂

σ ²

Y ¯ = _n ¹ _p

_n _j

i=1 Y _i,j

Y ¯ = _n ¹ _p

SC ent = _p

j=1 n j ( ¯ Y j − Y ¯ ) ²

SC int = _p

SC _int

SC tot = _p

_n _j

i=1 (Y i,j − Y ¯ ) ²

Z = ^t (Z 1 , ..., Z p )

σ ²

χ ²

F _c = ^n−p _p−1 ^SC _SC ^ent _int

H ₀

F _c

R ²