TES3 Devoir Surveillé no5 le 7 février 2012
Nom : . . . Prénom : . . . .
Le soin et la rédaction prendront une part importante dans la notation des copies. Le sujet est à rendre obligatoirement avec la copie. Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1 (6 points).
Lors d’une enquête sur les logements réalisée auprès des familles d’une région, on apprend que 40 % des familles interrogées habitent en ville, 45 % habitent en banlieue proche et 15 % en milieu rural. De plus toutes les familles interrogées habitent soit une maison individuelle, soit un appartement. 60 % des citadins habitent un appartement, 80 % des banlieusards habitent un appartement et enfin 90 % des ruraux habitent une maison individuelle.
On interroge au hasard une famille de cette région. On note : – A l’événement « la famille habite un appartement » ; – V l’événement « la famille habite en ville » ;
– B l’événement « la famille habite en banlieue » ; – R l’événement « la famille habite en milieu rural ».
1. a. Recopier dans la copie la proposition précise de l’énoncé permettant d’indiquer la valeur de chacune des probabilités suivantes :
pR(A), pV(A); pB(A)
b. Construire un arbre pondéré résumant la situation.
2. Calculer la probabilité de l’événement « la famille est citadine et habite un appartement ».
3. Montrer que la probabilité de l’événement A est égale à 0,615.
4. On interroge au hasard une famille habitant un appartement. Calculer la probabilité qu’elle habite en ville. Arrondir à 10−3.
Exercice 2 (7 points).
Soit f la fonction définie sur R∗+ par f(x) = 5 ln(x)x3 .
1. Déterminer la limite def(x) en 0 et en +∞. Quelles conséquences graphiques peut-on en tirer ?
2. Montrer que la dérivée f0 def est donnée par f0(x) = 5(1−3 ln(x)) x4 .
3. Montrer que l’équationf0(x) = 0 admet une unique solution proche de 1,40.
4. Étudier le signe de la dérivée et dresser le tableau de variation de la fonction f.
5. Montrer que l’équationf(x) = 0,5 admet une unique solution sur l’intervalle [32; 10]. On notera α cette solution.
6. Déterminer une valeur approchée par défaut à 10−2 deα.
7. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative def en 1.
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Exercice 3 (d’après le Bac ES - 2006 – 7 points).
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [2 ; 20] parf(x) = (x−2)e−0,5x+5.
La courbe (C) tracée ci-dessous représente cette fonction dans un repère orthogonal.
1 5 10 15 20
5 25 50 75 100
C
Partie A :
1. Montrer que, pour toutx de l’intervalle [2 ; 20], f0(x) = (−0,5x+ 2)e−0,5x+5.
2. En déduire le sens de variation def et dresser le tableau de variations def sur l’intervalle [2 ; 20].
3. Montrer que la fonction F définie par F(x) = −2xe−0,5x+5 est une primitive de f sur l’intervalle [2 ; 20].
Partie B :
Une entreprise commercialise des ordinateurs.
Le prix de revient d’un ordinateur est de 200 e.
On suppose que le nombre d’acheteurs d’un ordinateur est donné par N = e−0,5x+5 , où x est le prix de vente d’un ordinateur exprimé en centaines d’euros.
1. Montrer que la fonction f de la partie A donne le bénéfice réalisé par l’entreprise, en centaines d’euros.
2. À quel prix l’entreprise doit-elle vendre un ordinateur pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l’euro près ? Donner une interprétation graphique de ces résultats.
3. Calculer le bénéfice réalisé pour x= 10. On donnera le résultat à l’euro près.
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Corrigés des exercices
Corrigé de l’exercice 1.
1. a. En relisant l’énoncé :
– « 60 % des citadins habitent un appartement » donc pV(A) = 0,6 ; – « 80 % des banlieusards habitent un appartement » donc pB(A) = 0,80 ;
– « et enfin 90 % des ruraux habitent une maison individuelle » donc pR(A) = 0,9.
b. L’arbre avec uniquement les probabilités données dans l’énoncé :
Ω
R
A 0,9
A pR(A)
0,15
B
A pB(A)
0,8 A 0,45
V
A pV(A)
0,6 A
0,4
2. On cherche p(V ∩A) =pV(A)×p(V) = 0,6×0,4 = 0,24.
3. On calculep(A) = p(A∩V) +p(A∩B) +p(A∩R) car les événements V,B etRforment une partition de l’univers. Et en calculant les probas comme dans la question précédentes on obtientp(A) = 0,24 + 0,45×0,8 + 0,15×0,1 = 0,615.
4. On calcule pA(V) = p(A∩Vp(A)) = 0,6150,24 ≈0,390.
Corrigé de l’exercice 2.
1. limx→05 ln(x) = −∞ et limx→0+x3 = 0+ donc par quotient limx→0+f(x) = −∞, donc l’axe des ordonnées est asymptote verticale à Cf.
limx→+∞x52 = 0 et limx→+∞ln(x)x = 0 donc par produit limx→+∞f(x) = 0, donc l’axe des abscisses est asymptote horizontale à Cf en +∞.
2. Pour x >0 on a f0(x) = 5(1x×x3−ln(x)×3x2)
(x3)2 = 5x2(1−3 ln(x))
x6 = 5(1−3 ln(x)) x4 .
3. Pourx >0 l’équationf0(x) = 0 équivaut à 1−3 ln(x) = 0 soit ln(x) = 13 d’où x= e1/3 ≈ 1,40.
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4.
x 0 e1/3 +∞
f0(x) + 0 −
f −∞%
5
3e & 0
5. Sur [32; 10] la fonction f est continue (car dérivable), strictement décroissante et f(32) ≈ 0,6> 0,5 > f(10) ≈ 0,01 donc d’après le théorème de la valeur intermédiaire l’équation f(x) = 0,5 admet une unique solution α ∈[32; 10].
6. À la calculatrice on obtient α≈1,81.
7. On a f(1) = 0 et f0(1) = 5 donc T1 :y=f0(1)(x−1) +f(1) donc T1 :y= 5x−5.
Corrigé de l’exercice 3.
Cet exercice est inspiré d’un extrait du sujet du bac ES pour les candidats du Liban en mai 2006.
Partie A :
1. Pourx∈[2; 20] on af0(x) = 1×e−0,5x+5+ (x−2)×(−0,5e−0,5x+5) = (−0,5x+ 2)e−0,5x+5. 2. Le signe de f0(x) est donc celui de 0,5x+ 2. On a donc :
x 2 4 20
f0(x) + 0 −
f 0%
2e3
&18e−5 3. Pour x∈[2; 20] on a :
F0(x) =−(2×e−0,5x+5+ 2x×(−0,5e−0,5x+5)) = (x−2)e−0,5x+5 =f(x). Donc F est une primitive def sur [2; 20].
Partie B :
1. Le bénéfice est N ×(x−2) = (x−2)e−0,5x+5 =f(x).
2. Le bénéfice est maximal lorquefatteint son maximum c’est-à-dire lorsquex= 4 centaines d’euros soit pour un prix de vente de 400e. Le bénéfice maximal est alors de 2e3 centaines d’euros soit 4 017 e. Graphiquement il s’agit des coordonnées du sommet de la courbe représentative de f.
3. Pour x = 10 on a f(10) = 8. Ainsi pour un prix de vente de 1 000 e, le bénéfice est de 800 e.
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