GMP - Maths S2- Séance 3. ED du 1er ordre : cas général.
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Exercice 1 -
Résoudre l’équation différentielle suivante : xy′ −2y=x3ex
Exercice 2 -
1) Résoudre en utilisant la formule de Lagrange : x y2 ′ + =y 1
2) Parmi les solutions, déterminer l’expression exacte de celle qui vérifie y
( )
1 = −1.3) Déterminer alors pour quelle(s) valeur(s) exacte(s) de x cette fonction s’annule.
Exercice 3 -
Résoudre l’équation y′cost−ysint=sin
( )
2t .Exercice 4 -
On donne l’équation différentielle suivante : x y3 ′ + =xy e1x (E).
1) a. Donner la forme générale des solutions de l’équation homogène (sans second membre) associée.
On raisonnera par séparation des variables.
b. Donner une solution particulière de (E).
c. Donner alors l’écriture générale des solutions de (E).
2) On recherche ici une de ces solutions qui soit conforme à une condition particulière : si x = 1, y doit valoir e.
Ajuster ainsi la valeur de la constante présente dans l’expression trouvée à la question 1)c et don- ner l’expression de la fonction correspondant à cette condition particulière.
Exercice 5 -
Résoudre en utilisant la variation de la constante ou la formule de Lagrange :
; ) cos ; ) sin cos
y+ =y′ x2 y′+ =y x y′+ y= x+ x
a) b 2 c 3 4
Exercice 6 -
Soit à résoudre l’équation différentielle suivante : x x
(
2−1)
y′+2y= −x 2( )
E où y désigne une fonc- tion de variable x, définie sur ]1 ; +∞[.1) Résoudre l'équation homogène associée ; on aura besoin de transformer l'écriture
(
22 1)
x x
−
− en une forme a bx
x+ x
−
2 1 où a et b sont des coefficients réels à déterminer.
2) Déterminer une solution particulière de
( )
E sous la forme( )
2P 2 1
C x x y = x
− où il s'agit de déterminer l’expression C x
( )
.3) Donner alors la forme générale des solutions de
( )
E .Exercice 7 -
Résoudre l'équation différentielle suivante : y 6
(
x 1)
y x 1x
′− + = + .
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Exercice 8 -
1) Résoudre l’équation différentielle suivante : 2 3 2 1
( )
x y′ + =y x +x +2x E .
On en cherchera une solution particulière par identification à un polynôme du second degré.
2) Parmi ces solutions, laquelle prend la valeur 0 lorsque x = 1 ?
Exercice 9 -
Résoudre l’équation différentielle linéaire suivante : xy′ − =y lnx
