E CE 2
Informatique aux concours ECE (session 2016)
Manipulations matricielles Méthodes itératives (suites
récurrentes et calcul de sommes) Simulation d’une expérience Illustration de la LFGN Conjecture Simulation d’une v.a.r.
ECRICOME
• Être à l’aise avec les fonctions ayant plusieurs paramètres de sortie (le squelette et les appels sont donnés).
• Mise à jour de matrices 1 × 2, d’une matrice 2×2 dans le corps d’une boucle.
• Simulation du tirage d’une boule dans une urne contenant n boules noires et b boules blanches.
• Plus précisément, on simule la v.a.r. X qui vaut 1 si la boule tirée est noire et 2 si blanche.
• Répétition N fois (for) de l’ex- périence aléatoire consistant à eff le tirage précédent.
• Ces N observations donnent une approximation des lois des v.a.r. X, Y (définie en fonction de X) et du couple (X, Y ).
• Commentaire des résultats d’exécution. Conjectures à émettre sur le caractère indé- pendant et « échangeable » (cf énoncé) des v.a.r. X et Y .
• La simulation des v.a.r. X et Y (qui donne le résultat du 2ème ti- rage) est construite à l’aide de rand et d’un raisonnement à base de conditionnelles.
'→ fonction a deux sorties [x, y]
EDHEC(1
)
• Calcul du 1er entier n qui vérifi une propriété donnée.
Plus précisément, le 1√ er n tel que e− n ::( 10−4.
'→ while, affichage avec disp
• v.a.r. suivant des lois classiques : U=grand(1,1,'unf',-3,1) V=grand(1,1,'unf',-1,3) T=grand(1,1,'bin',1,p)
• v.a.r. Z de même loi que 2T − 1 : Z=2 T-1
1+Z 1−Z
• v.a.r. X = U 2 + V 2 : X=U (1+Z)/2+V (1-Z)/2
• v.a.r. S somme de n v.a.r. : S=sum(grand(1,n,'geom',p))
EML
• Calcul du 1er entier N qui véri- fie une condition donnée.
Plus précisément, le 1er N tel que 1 − uN < 10−4 où (un) est une suite récurrente d’ordre 1.
'→ while, affichage avec disp
ESSEC I
• Calcul approché d’une espé- rance : on simule successive- ment (for) n v.a.r. suivant la loi souhaitée et on renvoie la moyenne de ces simulations (méthode de Monte-Carlo).
'→ size, appel et écriture de fonction, calcul de moyenne
• Il s’agit ici d’obtenir un calcul ap- prochée d’une valeur rβ (X) dé- pendante d’une v.a.r. X. Ce calcul se fait par simulation de Yn esti- mateur convergent de rβ (X).
'→ size, floor, appel et écriture de fonction
ESSEC II
• Définition d’une suite récur- rente dont les termes sont défi- nis à l’aide de TOUS les termes précédents.
'→ for, mème élément
HEC
• Partie statistiques descriptives bivariées. Nuage de points, droites de régression, covariance empirique, coeffi t de corré- lation empirique.
'→ variance, corr
E CE 2
Informatique aux concours ECE (session 2015)
Manipulations matricielles Méthodes itératives (suites
récurrentes et calcul de sommes) Illustration de la LFGN Simulation d’une expérience Conjecture Simulation d’une v.a.r.
ECRICOME
• Création d’un vecteur rempli de 0 (U=zeros(1,100)).
• Utilisation de la fonction cumsum pour créer le vecteur S contenant les 100 premières sommes partielles de la série ), un.
S=cumsum(U)
• Calcul et stockage dans un vecteur U des 100 premiers éléments d’une suite de type un+1 = f (un).
• Répétition 10000 fois (à l’aide d’une boucle for) d’une expé- rience aléatoire qui consiste à déterminer le rang d’apparition d’une boule noire (à l’aide d’une boucle while).
• Monotonie d’une suite à l’aide du graphe de ses 100 premiers éléments.
• Nature d’une série à l’aide du graphe 100 premières sommes partielles.
• Reconnaître l’histogramme d’une loi uniforme discrète tracé à l’aide de bar.
• Savoir simuler le tirage dans une urne contenant M boules (on les numérote de 1 à M ).
grand(1,1,'uin',1,M) renvoie le numéro d’une boule ti- rée au hasard dans l’urne.
EDHEC
1
• Création d’une matrice par blocs à l’aide des fonctions zeros et ones.
• Comparaison de deux vecteurs : t >= v renvoie un vecteur de même taille que t (et v) dont le ième cœff t vaut %t si t(i)
>= v(i) et %f sinon.
• Approx. de P(T V ) : on com- pare un vecteur t (simulation de n v.a.r. indépendantes sui- vant la loi de T ) et un vecteur v et on compte la moyenne des
« succès » obtenus : mean(t >= v) ou sum(t >= v) / n
• Lancer de pièce avec stockage du rang d’apparition du premier
« pile »
N=grand(1,1,'geom',p) suivi du tirage aléatoire d’un nombre compris entre 1 et N X=grand(1,1,'uin',1,N)
• Conjecturer la valeur d’un pa- ramètre p sachant que la valeur simulée est comprise entre 0.66 et 0.67.
• n v.a.r. suivant U ([0, 1[) : x=grand(1,n,'unf',0,1)
• Loi d’un max/min/somme : u=min(x,y);v=max(x,y);t=u+z
• v.a.r. N tq N '→ G (p) : N=grand(1,1,'geom',p)
• v.a.r. X tq X '→ U ( 1, N [ ] ) : X=grand(1,1,'uin',1,N)
EML
• Valeur approchée à 10−4 près d’une somme S sachant que :
|S − Sn| 1 = errn.
en (e1−1)
On détermine N tq errN 10−4 et on calcule SN à l’aide d’une boucle for.
• Simulation de la loi exponentielle par la méthode d’inversion.
V = − 1 ln(1 − U )
λ
où U '→ U ([0, 1[)
ESSEC I
• Sème élément de (ϕn) et (Rn) sachant que :
ϕn = ϕn−1 + v Rn − (k + c) Rn+1 = Rn − pn
où la fonction de calcul de pn est fournie (savoir réaliser l’appel à une fonction !).
• Approx. de P(R(X) k+c ) méthode itérative consistant à v
compter le nombre compt de fois où la simulation de X X=grand(1,1,"exp",1) est su- périeure à k+c v . On renvoie compt/1000 (fréquence).
HEC
• Connaissance précise de la fonc- tion linspace.
• Calcul approché de E(T ) : on simule successivement (boucle for) n v.a.r. indépendantes sui- vant la loi de T . On ren- voie la moyenne de ces simula- tions : c’est une approximation de E(T ) (méthode de Monte- Carlo).
• Simulation de la loi de Gümbel par la méthode d’inversion.
V = − ln(− ln(U )) où U '→ U (]0, 1[)
1 Question supplémentaire (qui ne rentre pas dans le découpage choisi) : comment tester informatiquement si un nombre m est pair ? Réponse : 2*floor(m/2) == m.
Informatique aux concours ECE (session 2017)
Manipulations matricielles
Méthodes itératives (suites récurrentes et calcul de sommes) Écriture de fonction
Simulation d’une expérience Illustration de la LFGN Conjecture Simulation d’une v.a.r.
ECRICOME
. Loi uniforme
Simuler (T_n)qui CV en loi vers Y Dire ce que fait :
freqT=fréquence observée (diagramme en batons)
LoitheoY(n)=loi théorique, loi de Y
EDHEC
Compléter un script pour avoir A^n :
écriture de A et afficher A^n.
Chaîne de Markov :
Compléter un script pour avoir le nombre de fois où 1 apparait dans la matrice x
X=grand(100,’markov’,A,1) N=sum(x==1)
Écriture d’une fonction à deux variables :
Compléter un script : z=….
Lecture courbe function à deux variables (trouver les extrema)
Chaîne de Markov : interpreter la limite quand n tend vers +infini de P(Xn=1)=1/4 (résultats cohérents)
Loi du max :completer un script function : Z=max(X)-log(n)
EML
Algorithme de seuil:
Programme donnant le plus petit entier N tel que u_N >=A (suite récurrente, A donné)
Simulation experience : nombre de boules rouges obtenues lors de n tirages
if x <b/b+r then b=b+1 else s=s+1, r=r+1
Interprétation d’un résultat scilab:
On effectue 1000 tirages et on en fait la moyenne
ESSEC I
Simulation de la loi de Laplace
ESSEC II HEC
Lecture de valeurs propres, de vecteurs propres associés : B=, P= , inv(P)*B*P=diag(…)
Boucle for for k=1:6
mean(grandlinexp(0,1,10,…)) calcul d’espérance
méthode de monte-carlo
Simulation de la loi exponentielle linéaire :
Signification de rand(n,1) Y=-log(1-U) où U suit la loi uniforme sur [0,1[
Informatique aux concours ECE (session 2018)
Manipulations matricielles
Méthodes itératives (suites récurrentes et calcul de sommes) Écriture de fonction
Simulation d’une expérience Méthode de Monte-Carlo Conjecture Simulation d’une v.a.r.
ECRICOME
Compléter un script pour avoir une matrice X_n : boucle for, suite itérative avec variable auxilliaire.
Aux = formule de récurrence Xold=Xnew
Xnew=Aux Disp(Aux)
Écrire une fonction d’en tête : function y=u(n), renvoyant la valeur de u_n
Boucle for ou utilisation de sum Expliquer l’intérêt et le fonctionnement d’un script : valeur approchée de la limite
A partir du graphique, reconnaître les suites ; lien avec les limites des suites
EDHEC
Compléter script simulant X :
grand(1,1,’uin’,0,m), boucle while, if then else…
Compléter script afin qu’il affiche et calcule à l’aide de la méthode de Monte-Carlo, valeur approchée de f(1) :
U=grand(1,100 000,’unf’,0,1) V=log(1+U.^2)
f=mean(V) disp(f)
Écrire un script scilab simulant X= sqrt(2*a*Y), avec
Y=grand(1,1 ,’exp’,1)
EML
E"crire une fonction Scilab d’en-tête function u = suite(n) renvoyant la valeur de u_n : boucle for.
Recopier et compléter la ligne 3 de la fonction Scilab pour obtenir valeur approchée de b : boucle while (1/2)^(n- 1) > epsilon
Écrire une fonction d’en tête function x=simule(X) simulant X (boucle while ; if
rand()<2/3…)
Explication script : calcul de fréquence sur 10000 simulations
Conjecturer la valeur de p pour que le jeu soit équilibré à partir d’un graphique scilab : on cherche p tel que la fréquence =50%
ESSEC I
Écrire function s=sigma(x,n)
N = 10000 Y = zeros(N) for k=1:N X = simulX(n-1) Y(k) = max(X) end
E = sum(Y(Y<=x))/N P = sum(Y<=x)/N s = E/P endfunction
Compléter script pour avoir le couple (Y_n(w),Z_n(w)) avec X=simulX(n)
function [y,z] = DeuxPlusGrands(n) X = simulX(n)
if X(1) > X(2) y = X(1); z = X(2) else
z = X(1); y = X(2) end
for k=3:n if X(k) > y
z = y; y = X(k) else if X(k) >z z=X(k)
Lecture de courbe pour vérifier la loi de X :
Pour la loi puissance de
paramètres α = 50 et λ = 0, 2, avec n = 6 : sigma(x)=x/2 ; (n-
1)lambda=1
ce qui correspond bien au dessin obtenu.
ESSEC I
I
HEC
Compléter script pour calculer qmatrix(n) :
If (K<L) then q(L,K)= q(L-1,K) else if (K==L) then q(L,K)=Q(L- 1,L)+1
A partir de la function qmatrix(n), ecrire un script donnant p(n) (intersection de la ligne n et de la colonne n) : n=input(‘n=’)
T=qmatrix(n) disp(T(n,n))
Compléter script pour simuler deux var X_1, X_2 :
Function x=randbetabin(a,b) X=zeros(1,2), u=(a+b)*rand(), v=(a+b+1)*rand()
If (u< a) then x(1,1)=1 , if v <a+1 then x(1,2)=1 end
Else if v<a then x(1,2)=1
Conjecturer formule générale de q(2,k) : ligne 2 du tableau donne 1,2,2,3,3,4,4,5,5
q (2, k ) = partie entière ((k+2)/2)
Préciser la loi simulée ligne 3 d’un script : u=(a+b)*rand() (loi uniforme à densité sur [0, a+b])
Expliquer comment utiliser une fonction randbetabin (donnée) pour simuler 2 var suivant loi de Bernoulli (B(p)) avec coeff corré=r : on prend a=p*(1-r/)r et b=(1-p)*(1- r)/r
Informatique aux concours ECE (session 2019)
Manipulations matricielles
Méthodes itératives (suites récurrentes et calcul de sommes)
Écriture de fonction Illustration de la LFGN
Méthode de Monte-Carlo Conjecture Simulation d’une v.a.r.
ECRICOME
Ecrire une fonction a=D(n), qui renvoie une matrice ligne contenant n réalisations d’une var D.
Compléter script avec la méthode de dichotomie.
A partir du tracé de lignes de niveau, conjecturer l’existence d’un extremum local, donner la nature, une valeur approchée et les coordonnées du point où il est atteint.
A partir d’un script et d’un graphique, expliquer et conjecturer ce qui est affiché.
On donne un script, de quelle var les coeffs du vecteur c sont-ils une simulation ? Pour n grand, quelle sera la valeur affichée ? n=input(‘entrer n ‘) a=D(n) b=rand(1,n) c=a/sqrt(1-b)
disp(sum(c)/n)
EDHEC
Compléter un script afin qu’il calcule et affiche la valeur de u_n en utilisant une fonction donnée prod(x).
Compléter un script scilab simulant L’expérience et donnant le support de X : commande grand pour la loi uniforme discrète
Compléter un script donnant la valeur de Y
Simulation de X avec grand et loi exponentielle
EML
Compléter une fonction Scilab d’en-tête function u = suite(n) renvoyant la valeur de u_n : boucle for.
Ecrire une fonction Scilab qui renvoie une valeur approchée de l : boucle while 1/(p-1) > 10^-4
Conjecturer la valeur de p pour que le jeu soit équilibré à partir d’un graphique scilab : on cherche p tel que la fréquence =50%
ESSEC I
I Compléter une fonction scilab
qui renvoie l’entropie d’une var X
HEC-ESSEC
Compléter script pour donner deux fonctions addlig et echlig (opérations élémentaires lignes et échanger lignes)
Expliquer la fonction multigmat
Modification script, quelles valeurs numériques approchées de la LFGN donnet-elle pour p1 et p2 ?
On donne un script simulant une var Y : expliquer X et S après exécution des 4 lignes du prgme
Expliquer pourquoi après exécution des 6 lignes , les coeffs de Z1 et Z2 contiennnent une simulation de Y2.
Informatique aux concours ECE (session 2020)
M a n i p u l a t i o n s m a t r i c i e l l e s
Méthodes itératives (suites récurrentes et calcul de sommes) Écriture de fonction
I l l u s t r a t i o n d e l a L F G N
M é t h o d e d e M o n t e - C a r l o
Conjecture Simulation d’une v.a.r.
ECRICOME Function Y=simulX(a,m,n)
Script à completer pour vérifier résultat Fonction simualations de m variable V_n
et tracés de graphiques à partir de graphique donné
EDHEC
Simulation de loi uniforme, et loi binomiale avec grand
EML
Valeur approchée de u_n par dichotomie
Conjecture sur u_n monotonie, cv et limite éventuelle à partir de la représentation de u_n
Fonction mystère : liste L et interprétation des résultats
ESSEC II
Simulation d’une loi uniforme avec partie entière : fonction uniforme
fonction selection : commande length(V)
Fonction choix renvoie un vecteur R
HEC-ESSEC
Simulation des coefficients binomiaux : fonction scilab Script Scilab donnant le plus petit entier n tel que …
.Simulation de jeu et afficher des valeurs et S_n (sum(U)
