BCPST2
95 2 4 Dénombrement
I Cardinal d'un ensemble
Proposition :
Deux ensembles nis E et F ont le même cardinal si et seulement si, il existe une bijection entreE et F.
Proposition :
Soit A et B deux ensembles nis. On a :
card(A∩B) = card(A) + card(B)−card(A∪B)
Proposition :
Soit E et F deux ensembles nis. On a : â card(E×F) = card(E).card(F)
â Le nombre de sous-ensemble de E, noté P(E) vérie :card(P(E)) = 2card(E)
II p -liste
Dénition :
Soit p∈N etE un ensemble ni.
On appelle p-liste un élément de Ep. Proposition :
Si card(E) =n. Il y a np p-listes.
C'est le nombre de façons de choisir successivement p objets parmi n avec d'enventuelles répétitions.
Dénition :
Une p-liste est dite sans répétition lorsque ses éléments sont distincts deux à deux.
Proposition :
Il y a n(n−1). . .(n−p+ 1) p-liste sans répétition.
C'est le nombre de façons de choisir successivement pobjets parmi n sans répétition.
Dénition :
Une liste deE contenant exactement une fois chaque élément de E est appelée permutation.
Proposition :
Il y a n! permutations.
2014-2015 C. Courant page 1
III Combinaisons
Dénition :
Soit E un ensemble de cardinal n et soit p∈J0, pK. Une p-combinaison est une partie de E dep élements.
Proposition : Il y a
n p
= n!
p!(n−p)! combinaisons.
C'est le nombre de façons de choisir simultanément p objets parmi n. Pour p <0 oup > n, on pose par convention
n p
= 0
Proposition :
On a les formules suivantes : â ∀n∈N,∀p∈N,
n p
= n
n−p
â ∀n∈N∗,∀p∈N, n
n−1 p−1
=p n
p
â ∀n∈N,∀p∈N,
n+ 1 p+ 1
= n
p
+ n
p+ 1
2
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95 2 4 Exercices
Ernt Eduard Kummer (1810-1893) est un algébriste allemand mais était très mauvais en calcul mental. Pour faire 7×9 : Le produit ne peut pas donner 61 car 61 est premier, 65 est un multiple de 5, 67 est premier, 69est trop gros. . .Il ne reste que 63.
©Exercice 1: /home/carine/BCPST/Basexo/Proba/Denombrement/Denom01.tex
Soit a, b, n∈N∗
1◦) En considérant un ensemble Ω de cardinal n et A et B une partition de Ω, démontrer la formule de Vandermonde :
a+b n
=
n
X
0
a k
b n−k
2◦) Préciser pour quels indices k les termes de la somme précédente sont non nuls.
3◦) Calculer la valeur de
n
X
k=0
n k
2
©Exercice 2: /home/carine/BCPST/Basexo/Proba/Denombrement/Denom02.tex
On appellera mot toute suite de lettres, qu'elle ait un sens ou non. On rappelle que la lettre y est une voyelle.
1◦) Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les 26 lettres de l'alphabet latin, dans lesquels toute consonne est suivie d'une voyelle et toute voyelle d'une consonne ?
2◦) Ecrire un programme en python qui génère toutes les possibilités.
©Exercice 3: /home/carine/BCPST/Basexo/Proba/Denombrement/Denom03.tex
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. La boule 1 est jaune, les boules 2 et 3 sont bleues, les boules 4,5 et 6 sont rouges et les 7,8,9,10 sont vertes. On tire dans l'urne successivement et avec remise 5 boules. Le résultat est donc la liste ordonnée des cinq numéros des boules tirées. Déterminer le nombre de résultats :
1◦) en tout
2◦) pour lesquels les cinq boules sont toutes de la même couleur.
3◦) pour lesquels les quatre couleurs apparaissent parmi les cinq boules
4◦) pour lesquels la boule 8 a été tirée et exactement deux des boules tirées sont rouges.
©Exercice 4: /home/carine/BCPST/Basexo/Proba/Denombrement/Denom04.tex
Soit E un ensemble de cardinale 2n. On appelle partition par paire la donnée de n sous- ensembles de E, chacun de cardinal n tels que ces sous-ensemble forme une partition de E. Ainsi, siE ={1,2,3,4} {{1,2},{3,4}} est une partition par paires.
Dénombrer le nombre de partitions par paires.
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