Statistique spatiale
TD1 : régression linéaire
L’objectif est d’analyser avec le logiciel R les données utilisées dans l’article de Guilmoto (publié dans Population en 2008). On analysera l’autocorrélation spatiale du sex-ratio juvénile et du pourcentage de Sikhs dans les différents districts de l’Inde. Puis, on utilisera des régressions linéaires multiples pour expliquer le sex-ratio juvénile en Inde, à partir des variables numériques présentes dans la table de données TD1.dbf. L’utilisation des auto-régressions spatiales sera vue plus tard en cours. Le but principal du TP est d’utiliser certaines possibilités de R (cartographie, analyse de l’autocorrélation spatiale, régression . . . ) et de voir les limites de la modélisation classique pour des données spatialement corrélées.
1 Cadre mathématique
1.1 Modèle
Les valeurs du sex-ratio juvénile dans les591districts de l’Inde sont représentées par un vecteurx∈R591. On suppose que c’est la réalisation d’un vecteur aléatoire X = (X1, . . . , X591)0 dont la loi est donnée par les relations suivantes, qui sont équivalentes:
Xi=µi+σεi o˘ εi sont i.i.d. de loiN(0,1), Xi sont indépendantes de loiN(µi, σ2),
X est un vecteur Gaussien de loiN[
µ1
... µ590
,
σ2 . . . 0 ... . .. ... 0 . . . σ2
].
Ci-dessus, les coefficients µ = (µ1, . . . , µ590)0 et σ2 sont inconnus, et on suppose que les µi sont des combinaisons linéaires de certaines variables spatiales ou sociologiques présentes dans la base de données, avec des coefficients inconnus. Ainsi:
µ=Zβ,
où β ∈ Rp est inconnu (p étant le nombre de variables explicatives) et Z est la matrice connue des variables explicatives.
1.2 Estimation
Ecrire la fonction de vraisemblance. Trouver l’estimateur du maximum de vraisemblance.
Donner le test statistique permettant de tester si une variable explicative est significative.
2 Etude préliminaire
2.1 Importation
Ouvrir le logiciel R. Télécharger le package foreign et utiliser la fonction read.dbf() pour importer les données présentes dans le fichier TD1.dbf. Créer deux nouvelles variables, le sex ratio dans sa définition internationale (nombre de garçons pour 100 filles) et le rapport des taux d’alphabétisation homme/femme. Etudier la structure du fichier.
2.2 Cartographie
En utilisant la fonction cut(), découper en classes la variable de sex ratio des enfants précédemment créée et le pourcentage de Sikhs (SIKH). On utilisera par exemple la méthode des percentiles (regroupe- ment en 6 catégories : <10%, [10%,50%[, [50%,90%[, [90%,99%[, >99%) et on utilisera la fonction quantile()qui permet de calculer les quantiles d’une série.
Télécharger les packages spdep, maptools, coda et utiliser la fonction readShapeSpatial() pour lire le fichier de formes TD1.shp. A l’aide de la fonction plot() appliquée à ce fichier, cartographier la variable de sex ratio des enfants (SR0601) et le pourcentage de Sikhs (SIKH) (plot(fichierforme, col=cols[decoupage])). Comparer les répartition et étudier notamment la polarisation Nord-Sud.
3 Etude de l’autocorrélation spatiale
3.1 Tests globaux
Effectuer un test de Moran sur le sex ratio. On téléchargera le fichier de poids "TD1.gal" (voisinage de type queen) en utilisant la fonction read.gal(), que l’on transformera en matrice de poids avec la fonction nb2listw() (avec l’option zero.policy pour autoriser les régions sans voisins) puis on utilisera les fonction moran.test() et moran.mc() pour effectuer des tests de Moran, sous l’hypothèse de randomisation et en simulant les quantiles par la méthode de Monte-Carlo.
Tracer et interpréter l’autocorrélogramme de Moran 3.2 Tests locaux
Effectuer un test de Moran local (fonction localmoran()) sur le sex ratio, tracer le diagramme de Moran (fonctionmoran.plot())
Cartographier les "slots" (HH, LH, HL, LL) du diagramme de Moran.
4 Régression sur variables quantitatives
Retrouver les résultats de Guilmoto (modèles A, B, C, D) par des régressions linéaires (la variable
"indice de confort" est manquante).
Afin de prendre en compte la dimension spatiale des données, on rajoute dans le modèle une variable spatiale mesurant la distance de chaque district à la ville de Amritsar (capitale religieuse du sikhisme située dans un district occidental du Penddjab et proche de la frontière Pakistanaise). Que pensez-vous de ce choix? Construire cette variable et la rajouter dans le modèle de régression linéaire multiple D (modèle H de Guilmoto)
Etudier l’ajustement aux données du modèle H. En particulier, on analysera la variabilité des estima- teurs. Il existe deux sources essentielle d’instabilité des estimations : la multicollinéarité et l’excès de variables explicatives.
Repérer les problèmes éventuels de multicollinéarité dans le modèle précédent (on pourra calculer la matrice de corrélation des variables explicatives, et les facteurs d’inflation de la variance (VIF) en utilisant la fonction vif() du package car à télécharger). Puis rendre le modèle précédent le plus parcimonieux possible, en utilisant :
• Une sélection de variables manuelle par élimination
• les algorithmes automatiques de sélection de variables ( fonction step())
• une régression sur composantes principales
• une régression PLS
Les deux derniers points sont optionnels.
Que pensez-vous de la qualité du modèle sélectionné? On étudiera les résidus et résidus réduits (fonction rstudent()) : les résultats sont-ils conformes aux hypothèses de départ?
NB: le graphe des résidus et des résidus réduits versus valeurs prédites et le qqplot, sont accessibles par la fonction plot(). On peut aussi tracer l’autocorrélogramme, accessible par la fonctionacf()).
