MATh.e .JEANS

MATh.e .JEANS

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Eta lisse e ts Coll ge et L e Gasto F us O thez page

Cet article est rédigé par des élèves. Il peut comporter des oublis et imperfections, autant que possible signalés par nos relecteurs dans les notes d'édition.

Mathé ati ues et Musi ue

A e –

Jane Arrouzet ; Floriane Bart

-

Keita ; Thomas Chombart ; Juliette Marsan ; Clémence Pouyanne : élèves

de seconde.

Alice Cazot ; Stella Cornu ; Hugo Doppler ; Jonas Faoro ; Axel Pascault ; Thibault Pouyanne ; Charlotte Solt : élèves de troisième.

Encadrés par Barneix Chantal, Goyhetche Alain

Établissements : Collège Gaston Fébus, Orthez / Lycée Gaston Fébus, Orthez Chercheur : M Cresson Jacky, Université de Pau et des Pays de l’Adour

.

1. P ése tatio du sujet

Dans cet article, nous allons tout d’abord essayer de répondre à trois questions: - Comment crée-t-on des sons consonants puis une gamme?

- Est-ce qu’au bout d’un certain nombre de quintes, on retrouvera la fréquence initiale?

- Si ce n’était pas le cas, existe-t-il des outils mathématiques pour déterminer le nombre optimal de notes d’une gamme?

- Par quel outil mathématique, pourra-t-on sélectionner des notes pour construire la gamme Pythagoricienne?

2. A o e des o je tu es et ésultats o te us

Nous allo s p se te deu t pes de so s o so a ts; l’o tave et la ui te. Nous e pli ue o s o e t ous t ouvo s es f ue es ui fo t i te ve i les puissa es.

Nous allo s ai si o st ui e des les de otes o so a tes, appel es aussi des ui tes.

Nous e pou o s ja ais « eto e » su la f ue e de d pa t. E utilisa t les outils ath ati ues du loga ith e et des f a tio s o ti ues, ous ve o s ue deu app o i atio s opti ales du o e de ui tes da s u e ga e so t et su tout . O et ouve a ai si les otes de la ga e P thago i ie e h o ati ue.

E fi , e utilisa t u de ie outil ath ati ue, la hauteu d’u e ote, ous pou o s e u e app o i atio de la ga e p thago i ie e histo i ue asso ia t des otes issues des les de ui tes as e da ts et des e da ts .

3. Texte de l’a ti le

P e i e pa tie: Co st u tio s de ga es

Pou o e e et pou ie o p e d e, il faut savoi e u’est u e ga e: ’est u e suite de so s o so a ts, de so s ui vo t ie e se le.

So s o so a ts :

O a do voulu t ouve , à pa ti d’u e ote, des so s o so a ts.

Lo s ue l’o utilise u e guita e, le so o te u, e pi ça t la o de à sa oiti est la e ote ue la o de à vide ais plus aigüe, o appelle ette ote l’o tave.

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Si la ote de d pa t a u e f ue e de , alo s la ote à l’o tave a u e f ue e de . E effet, la f ue e est i ve se e t p opo tio elle à la lo gueu de la o de.

E suite, ous avo s voulu o te i d’aut es so s o so a ts.

Lo s ue l’o pi e la o de au de sa lo gueu , o o tie t u e ote do t la f ue e est gale à . O appelle ette ote la ui te.

Ga e as e da te :

Nous avo s e suite d te i , pa u e su essio de ui tes, des so s o so a ts de f ue es o p ises e t e P e i e ote de f ue e .

P e i e ui te: ; Se o de ui te: × = .

Cette f ue e est sup ieu e à do o al ule la e ote à l’o tave au-dessous: × = E pou suiva t ai si, o o tie t alo s la ga e suiva te:

O e a ue ue la ^e ui te est t s p o he de la f ue e d’o igi e.

Ga e des e da te :

O peut aussi e u le de ui tes, ais ette fois- i e utilisa t les ui tes des e da tes:

Au lieu de ultiplie les f ue es pa , o va divise pa , e ui evie t à ultiplie pa . A ha ue fois ue la f ue e se a i f ieu e à , o ultiplie a la f ue e pa pou o te i la e ote ais à u e f ue e plus aigüe.

O o tie t le le à otes suiva ts:

Fo da e tale ° ui te ° ui te ° ui te ° ui te ° ui te ° ui te

Ces ga es o t t utilis es à l’a ti uit . Ga es va ia tes :

Pou t ouve d’aut es ga es, les usi ie s o t i agi d’aut es possi ilit s lo s ue l’o la geait les p e i es otes des ga es as e da te et des e da te da s l’o d e de atio .

Pa e e ple, o peut s le tio e les uat e p e i es otes, da s l’o d e de atio , de la ga e des e da te et les deu p e i es otes de la ga e as e da te. Puis ous lasso s es otes da s l’o d e oissa t. O o tie t ai si u e ouvelle ga e.

Les odes o te us so t les suiva ts :

Notes as e da tes Notes des e da tes No de la ga e H pol die

L die

H poph gie Ph gie H podo ie Do ie Mi ol die . P o l e :

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Toutes les ui tes so t de la fo e . La uestio est: e iste t-ils deu e tie s et tels ue = ?

La po se est o a est u o e i pai , pou tout et est pai et o sait u’u o e i pai divis pa u o e pai ’est ja ais gal à .

Pou ait-o alo s t ouve des ouples d’e tie s ; ui app o i e t l’ uatio ?

Se o de Pa tie: Les outils ath ati ues pou soud e e p o l e Le loga ith e

Nous so es a iv s à l’ uatio = ui est u e uatio o pli u e à soud e. Nous allo s do utilise u e des p op i t s des loga ith es ui « e pla e t» les ultipli atio s e additio s. Voi i la fo ule:

Nous avo s o se v la p e i e p op i t : pou deu o es positifs o uls: ln ×฀ = ln + ln Nous pouvo s e d dui e l’ galit ln = ln × = ln + ln = ln

De la e faço : ln = ln

Nous pouvo s g alise la p op i t : ln = ln L’ uatio e sulta t

Nous allo s ai te a t pouvoi si plifie ot e uatio de d pa t:

= ; = ; ln = ln � ln = ln ; =ln ln Les f a tio s o ti ues

Les f a tio s o ti ues so t u e a i e d'app o he u o e x pa u e p essio de la fo e:

0 1

2

1 1

1 ...

x a a

a

 





, ue x soit u o e d i al, atio el f a tio ou i atio el a i e a .

O le ote [a, a, a,….,ak,…]

L’algo ith e

Méthode Exe ple

-O s pa e la pa tie e ti e d’u o e et so este

- O it e suite le este sous la fo e _…. e al ula t l’i ve se de l’i ve se

- Le d o i ateu de ette f a tio ta t sup ieu à , o e o e e la p o du e jus u’à e ue le este soit de la fo e _…..

, = + ,

, = + .

, = + .

= + = +

+

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La d o st atio :

O appelle duites les f a tio s du t pe: ^k



0, , 1 2,... _k



k

p a a a a

q 

E al ula t les es duites d'u e f a tio o ti ue il se le ait ue l'o puisse d gage u e fo ule ui pe ett ait alo s d' i e u algo ith e du al ul des duites; e effet si u o e se d veloppe e u e f a tio

o ti ue de la fo e [a , a ; a ; … ; a ;….] alo s o a:

p

₀

q

₀

= a

₀

1 ; p

₁

q

₁

= a

₀

+ 1

a

₁

= a

₀

a

₁

+ 1

a

₁

donc p

₁

= a

₀

a

₁

+ 1 et q = a

₁

p

₂

q

₂

= a

₀

+ 1 a

₁

+ 1

a

₂

= a

₀

+ 1 a

₁

a

₂

+ 1

a

₂

= a

₀

+ a

₂

a

₁

a

₂

+ 1 = a

₀

( a

₁

a

₂

+ 1) + a

₂

a

₁

a

₂

+ 1

= a

₂

(a

₀

a

₁

+ 1) + a

₀

a

₁

a

₂

+ 1 = a

₂

p

₁

+ p

₀

q

₁

a

₂

+ q

₀

avec p

₂

= a

₂

p

₁

+ p

₀

et q

₂

= q

₁

a

₂

+ q

₀

Il se le ait do ue la fo ule des duites soit, de a i e g ale :

^{1 2}

1 2

n n n n

n n n n

p a p p

q a q q

 

 

 



O appelle e ge e de fo ule u e elatio de u e e, 'est-à-di e u e elatio où la fo ule d pe d, i i, des deu duites p de tes.

Pou o t e u'elle o vie t pou toutes les duites, o utilise u aiso e e t appel aiso e e t pa u e e.

O a is la fo ule e vide e pou les t ois p e i es duites. O suppose ue la fo ule est vala le pou ⁿ

n

p q ^. O va o t e u'elle se v ifie aussi pou la duite suiva te: ¹

1 n n

p q





Pou al ule la duite ¹

1 n n

p q





, o e pla e da s [a , a ; a ; …., a ] a pa

1

1

n n

a a _ Ai si o a:

1 1 2 1 1 1 2

1 2 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 2

1 1 1 2

1 2 1

1 1

1 1 1

1 1 ( 1)

( 1)

1 1

n n n n n n n n n

n n n n

n n n

n n n

n n n n n

n n n n n

n n n n

n n

n n n

a a a p a a p a p

a p p p

a a a

p a a

a a q a q

q a a a q

a q q q

a a

a a a

      

  

  

  

   

   

  

 

  

         

   

   

                

   

1 1 1 2

1 1 1 2 1 1 1 1 2

1

1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2

1

1 1 2 1

1 1

( 1)

( 1)

( 1) ( 1)

( )

(

n n n n n

n n n n n n n n n n n

n

n n n n n n n n n n n n n n n n

n

n n n n n

n n n

a a p a p

a a p a p a a p p a p

a

a a q a q a a q a q a a q q a q

a

a a p p p

a a q q

   

        



            



   

 

 

   

        

 

 

_n2

)  q

_n1

O :

a p

n n_1

 p

n_2

 p

n

a q

n n_1

 q

n_2

 q

n

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D'où: p_n+1

q_n+1 =a_n+1p_n+p_n-1 a_n+1q_n+q_n-1

Do o et ouve la e fo ule pou ¹

1 n n

p q





Des exe ples P e ie exe ple : ^�

O o e e pa d o pose la f a tio

Pa tie e ti e + este. = +

L’i ve se est gal à l’i ve se de so i ve se.

Le d o i ateu est sup ieu à = + = +

O peut d o pose e d o i ateu

E tie + este. + = +

+ O o ti ue e p o d jus u’à o te i u u ateu

gal à , u d o i ateu e tie +

+ = +

+ = +

+ +

Se o d exe ple : √ ∶

O se pose alo s la uestio : o e t d veloppe-t-o des adi au e f a tio o ti ue ? Est- e ue e d veloppe e t s’a te a ?

O va t aite le as de 2.

Tout d'a o d, o sait ue ² 'est pas la a i e a e d'u a pa fait, et ue e 'est pas u o e atio el ais u o e i atio el.

U e valeu app o h e est : ² ≈ , ….. à ^- p s pa d faut La pa tie e ti e est alo s

O a ai si: ² = + ²− pa tie e ti e + este

1

2 1

1 2 1

 



e i ve sa t le este

1

2 1

1( 2 1) ( 2 1)( 2 1)

  

 

o ultiplie pa l'e p essio o jugu e afi de supp i e le adi al au

d o i ateu

O o tie t:

1

2 1

1 2

  

. puis e e plaça t 2 pa

1 1

1 2

 

^{o a:}

1 1 1

2 1 1 1

1 1 1

1 1 2 2

1 1

1 2 1 1 2

1 2 1 1 1

...

     

   

   

  

O o se ve alo s u d veloppe e t e ou le, et do i fi i, ave u e p iode gale à . O ote alo s : ² 



1 ; 2 ; 2 ; 2 ; ...



 1 ; 2

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T oisi e exe ple : Le o e d’O

O a voulu app o i e le o e d’o � pa u e f a tio o ti ue. O sait ue � = ^+√ et il e iste u e galit selo la uelle � = � + . Nous allo s d o t e ette galit

D’u e pa t:

� = + √

� = + √ +

� = +√

= +√

D’aut e pa t:

� + = + √

+ = +√

L’ galit est v ifi e, o peut l’utilise :

� = � +

�

� =

� +

�

� = + �

O utilise l’ galit d o t e O divise ha ue e e pa �

O o tie t u e ouvelle galit .

E suite, o peut o ti ue e e plaça t � au d o i ateu pa l’e p essio « e ti e » +_� Do � = +_�= + ₊

�

= + ₊

+�

= ⋯

O e a ue ue ’est u e f a tio o ti ue i fi ie ave o e oeffi ie t. � = [ ; ; ; … ] = [̅]

U e e a ue :

G â e à des e e ples, ous avo s e a u deu hoses:

-Les d o positio s e f a tio s o ti ues de o es d i au et de f a tio s «s’a te t», au out d’u e tai s te ps, le este est ul

-Pa o t e, elles des a i es a es e s’a te t pas il a toujou s u este et elles se le t t e p iodi ues p titio d’u e s ie d’e tie s

Les app oxi atio s t ouv es pou ot e uatio Nous avo s o t ue he he les e tie s et tel ue

3

2 1

n

m



evie t à he he et tel ue ln 3 ln 2 m n 

Cette uatio 'a pas de solutio a est u e tie i pai et est u e tie pai do le appo t des deu e peut pas t e gal à .

Nous allo s app o he ln 3

ln 2 à pa ti de sa valeu app o h e à l'aide d'u d veloppe e t e f a tio o ti ue, ui pe et de do e u e o e app o i atio de e o e i atio el pa des o es atio els.

O p e d la valeu app o h e do e pa la al ulat i e.

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ln 3

ln 2» 1,584 962 501

1,584 962 501 = 1+0,584 962 501 = 1+ 1 1 0,584 962 501

= 1+ 1

1,709511291 = 1+ 1

1+0,709511291 = 1+ 1

1+ 1

1 0,709511291 =1+ 1

1+ 1

1,40942084

= 1+ 1

1+ 1

1+ 1

2,442474594

= 1+ 1

1+ 1

1+ 1

2+ 1

2,260016764

= 1+ 1

1+ 1

1+ 1

2+ 1

2+ 1

3,845905874

= 1+ 1

1+ 1

1+ 1

2+ 1

2+ 1

3+ 1

1+0,182164625 O a a t au out de tapes, le d veloppe e t est pou e o e i fi i.

O utilise l'algo ith e du al ul des duites à l'aide des fo ules ises e pla e p de e t et du ta leau i- dessous:

p = a p− + p− q = a q− + q−

a p q

O et ouve:

- La ga e à otes ou ga e pe tato i ue - La ga e à so s : la ga e p thago i ie e.

La ga e p thago i ie e h o ati ue

Nous pouvo s do e u e ga e de otes. Mais il e a deu possi les.

Au d pa t, les ga es as e da tes et des e da tes so t de otes.

Si l’o « o ti ue» le le des ui tes as e da tes, o o tie t les di ses # Si l’o « o ti ue» le le des ui tes des e da tes, o o tie t les ols b Voi i les deu ga es o te ues:

Ga e as e da te

No � �^{# #} � � �^# � � ^# � �^# SI

F ue e

Ga e des e da te:

No � ^b �^� � � � ^� � �^� � �^� SI

F ue e ⁴

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Co e t alo s hoisi , pou ha ue ote, e t e la ote de la ga e as e da te et elle de la ga e des e da te? Pa e e ple, doit-o hoisi e t e le �^{# �} ?

Pou hoisi , ous allo s utilise la hauteu 5 d’u e ote.

La hauteu est le a i u e t e le u ateu et le d o i ateu d’u e f ue e. Sa ha t ue toutes les f ue es so t sup ieu es à , la hauteu se a auto ati ue e t gale au u ateu .

De deu otes, o ga de a la ote a a t la plus petite hauteu . Da s ot e e e ple:

La hauteu de �^# est ta dis ue la hauteu de ^� est ; < do o s le tio e a la ote ^� O o tie t do u e ga e o te ue pa u t i ath ati ue:

� ^b �^� � � �^# � �^� � �^� SI

O peut alo s o pa e ave la ga e «histo i ue», utilis e e usi ue:

� �^# �^� � � �^# � � ^# � �^� SI

O peut e a ue deu diff e es ases g is es ave la ga e « ath ati ue » ais ous e savo s pas les e pli ue .

Etude de la ga e histo i ue: Les diff e ts i te valles

O al ule u i te valle e t e deu otes e p e a t le sultat de la divisio de la ote de f ue e sup ieu e pa la ote de f ue e i f ieu e.

Nous avo s e a u u’il a deu t pes d’i te valles do t voi i deu e e ples:

4. Co lusio

E utilisa t diff e ts outils ath ati ues, ous avo s do e o stitu des ga es as e da tes et des e da tes:

- à otes ga es utilis es da s l’a ti uit ai si ue des va ia tes. Ces ga es se o t à l’o igi e des odes ajeu s et i eu s

- à otes: la ga e P thago i ie e h o ati ue. Nous avo s pu od lise g â e à u aut e outil la hauteu d’u e ote u e ga e. Mais ette de i e diff e de la ga e histo i ue de deu otes, et

ous e savo s pas pou uoi.

Mais es ga es e so t pas les seules ue l’o pouvait tudie . Nous avo s o e à tudie la ga e de )a li o, usi ie v itie ui, p f a t p ivil gie les a o ds fo da e tale-tie e- ui te a t ouv d’aut es f ue es et e fi , la ga e te p e ui a pou pa ti ula it de ’avoi u’u seul t pe d’i te valle.

Notes d’ ditio ÷ =

Intervalle − �^�

Cet intervalle se nomme le Limma

÷ =

Intervalle �^�− �

Cet intervalle se nomme l’Apotome

MATh.e .JEANS

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(1) On remarque que la flèche verte marquant la 7e quinte est un peu trop proche de 1, en toute rigueur, la flèche verte devrait se situer au moins au 2/3 de la première graduation correspondant à 1,1. Il est un peu excessif de dire que la 7^e quinte est « très proche » de la f ue e fo da e tale. La p o i it des f ue e s’ value e esti a t leur rapport. On peut ainsi dire que la 5^e ui te a u e f ue e plus p o he de l’o tave : 2/(3⁵/2 ≈ , ue la ^e quinte de la fondamentale : (3 /2¹¹/ ≈ ,

(2) On trouve aussi les noms de mode ionien pour le mode hypolydien, mode locrien pour hypophrygien, mode olie pou h podo ie . U e aut e a i e de o st ui e es odes est d’utilise le e p o d du le des quintes ascenda t ais e pa ta t d’u e ote de la ga e o igi al as e da te. Ils so t alo s d sig s pa la ote fondamentale (ou le degré I) de la gamme originale ascendante. Ainsi, partant de la quinte (3/2), on crée le mode de sol (ou mode mixolydien), partant de la seconde (3²/2³), on crée le mode de ré (ou mode dorien). La gamme

originale ascendante correspond au mode de do.

(3) Il manque des justifications pour les calculs des « réduites » des approximations par fraction continue ni même pou uoi e p o d fou it ie des app o i atio s atio elles, ’au ait-o pu e visage d’aut es thodes ? Pour en savoir plus on peut consulter les articles « MATh.en.JEANS » u’o t ouve su le site au ad esses suiva tes http://www.mathenjeans.fr/sites/default/files/nombres_reels_fractions_continues_andredoucet_victorhugo_93.pd f

http://www.mathenjeans.fr/sites/default/files/pavagedurectangle_sudmedoc_2007.pdf

(4) E ad etta t ue l’algo ith e des f a tio s o ti ues do e ie des app o i atio s atio elles de l /l , le tableau donne les approximations suivantes : p/q= 3/2 ; 8/5 ; 19/12 ; 65/41 ; 84/53. Cela signifie donc que les fréquences associées aux réduites (2^p/3^q so t p o hes de la f ue e fo da e tale, ’est-à-dire de 1. Si on calcule les fréquences, on trouve en effet : / ≈ , , /3⁵≈ , , ¹⁹/3¹²≈ , ⁶⁵/3⁴¹≈ , , ⁸⁴/3⁵³≈ , . O peut e a ue ue l’e posa t de la puissa e de la valeu de est di e te e t le o e de ui te u’il a fallu parcourir pour retrouver cette approximation de la fondamentale. On en déduit donc que au bout de 5 quintes ou 12 quintes on retrouve déjà de bonnes approximations de la fréquence fondamentale. Cela incite à considérer les gammes obtenues ainsi : la gamme pentatonique (5 quintes donc 5 sons) ou la gamme pythagoricienne (à 12 quintes donc 12 sons). Au bout de 12 quintes, on trouve ainsi le SI# : quinte juste de FA, note obtenue au bout du cycle des 12 quintes et identifiée à la fondamentale, appelé DO, dans la gamme pythagoricienne. Pour trouver encore de meilleures approximations, il faudrait faire des cycles de 41 voire 53 quintes qui donneraient alors des gammes de

ou de so s. Da s la p ati ue, l’o eille faisa t diffi ile e t la diff e e e t e le DO et le SI#, u e ga e à notes serait impraticable car contiendrait de tels micro-intervalles inaudibles. On pourrait cependant regrouper ces micro-i te valles pou e o st ui e d’aut es ga es ave oi s de deg s.

(5) La d fi itio de la hauteu ’est pas t s lai e et se le t s a it ai e, et pa e e ple, e t e le MI o te ue e quinte montante ou en quinte descendante, la fréquence est différente, comment est fait ce choix aussi ? Peut-être les auteurs voulaient-ils di e ue l’o va s le tio e pou ha u e des douze otes de la ga e, elle ue l’o obtient par le plus petit nombre de cycle de ui tes o ta te ou des e da te depuis la fo da e tale DO , ’est- à-dire celle avec la plus petite puissance de 3 ?

(6) Il aurait été utile de définir spécifiquement ce que les auteurs entendent par la gamme « historique » pour pouvoi fai e la o pa aiso ave la ga e u’ils o st uise t.