I. Sphère et boule 1. Définition
O est un point donné de l’espace et R est un nombre positif donné.
▪ La sphère de centre O de rayon R est l'ensemble des points de l'espace qui sont à la distance R de O.
▪ La boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace dont la distance à O est inférieure ou égale à R.
▪ Un grand cercle d’une sphère de centre O et de rayon R est un cercle de centre O et de rayon R
2. Aire, volume
L'aire d'une sphère ou d'une boule de rayon R est 4R2 Le volume d'une boule de rayon R est 4 3
3R
3. Remarque
Il est impossible de construire le patron d’une sphère
II. Section d’une sphère par un plan 1. Propriété
La section d'une sphère par un plan est un cercle.
2. Propriété
Si H est le pied de la perpendiculaire menée de O au plan (P) (OH < R), la section de (S) et (P) est le cercle de centre H de rayon r tel que :
2 2
r= R −OH Démonstration :
(OH) est perpendiculaire au plan (P) donc le triangle OHM est rectangle en H.
D’après le théorème de Pythagore on a :
2 2 2
2 2 2
OM OH HM HM OM OH
= +
= −
2 2 2
2 2
r R OH r R OH
= −
= −
3. Cas particuliers
▪ OH = 0 ; r = R
La section d’une sphère par un plan qui passe par le centre de la sphère
est un grand cercle.
▪ OH = R ; r = 0
La sphère et le plan ont un seul point commun. On dit que le plan est tangent
à la sphère.
III. Sections d’autres solides par un plan 1. Parallélépipède rectangle
Propriété :
La section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face.
Propriété :
La section d’un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête est un rectangle dont une dimension est égale à la longueur de cette arête et dont l’autre dimension dépend de la position du plan.
2. Cylindre
Propriété :
La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle aux bases est un disque de même rayon que celui des deux bases.
Propriété :
3. Pyramide et cône
Propriété :
La section d’une pyramide ou d’un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de la base de facteur k. :
( )
AH AM HM
k coefficient de réduction
AB = AN = BN = .
IV. Agrandissements, réductions 1. Définition
▪ L’agrandissement de rapport k d’un objet est la transformation qui consiste à multiplier toutes les longueurs de cet objet par k (k1).
▪ La réduction de rapport k d’un objet est la transformation qui consiste à multiplier toutes les longueurs de cet objet par k (k1).
2. Propriété
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k : - Les longueurs sont multipliées par k ;
- Les aires sont multipliées par k2 ; - Les volumes park3.
Rappels de 4
ème:
1. Volume d’une pyramide
Le volume d’une pyramide est donné par la formule :
3 V = B h Où B est l’aire de la base de la pyramide et h sa hauteur.
2. Exemple
La pyramide SABCD à une base qui est un carré de 4 cm de côté.
La hauteur SH = 6 cm.
Le volume de cette pyramide est : 4 4 6
3 32 V V
=
=
La pyramide SABCD a un volume de 32 cm3.
3. Volume d’un cône
Le volume d’un cône est donné par la formule :
3 V B h
= Où B est l’aire de la base du cône et h sa hauteur.
4. Exemple
Un cône est donné par sa hauteur SH = 6 cm et son rayon r = 2 cm.
Le volume de ce cône est :
2
2
3 2 6
3 8 25,13
r h V
V V V
=
=
=
Le cône a un volume de 25,1 cm3.
