Ti Ts T α

Dynamique nonlin´eaire et chaos – Correction TD5

F´evrier 2005

1 Climat terrestre

On ´ecrit le bilan d’´energie d´ecrivant l’´evolution de la temp´erature moyenne comme : cdT

dt =R^{U V} −R^{I R}. (1)

Le rayonnement Ultra Violet recu et le rayonement Infra Rouge emis sont de la forme :

R^{U V} =Q⁰(1−α), (2a)

R^{I R} =a+b(T −Tⁱ). (2b)

Soit Q⁰ la constante solaire et α l’albedo (∼ reflectance) qui est directemnt fonction de la couverture de glace. Si T inf´erieur a une temp´eraure Tⁱ (Ice Temperature) la’lbedo est `a son maximum, a l’inverse pour une temp´erature assez forteT^s l’albedo est a son minimum.

Ti Ts T α

s i α α

Ti Ts T )

) Q0(1−

α i Q0(1− α s R uv

Ti T R ir

a

1

1. Dans un premier temps on fixe le rayonement ultra violet et on fait varier le param`etre a du rayonement infra rouge :

R

Ti Ts T

1 2 3 4 5

Ruv Rir

• Point 1 : 1 solution ⇒ 1 point d’´equilibre.

• Point 2 : 2 solutions ⇒ 2 points d’´equilibre.

• Point 3 : 3 solutions ⇒ 3 points d’´equilibre.

• Point 4 : 2 solutions ⇒ 2 points d’´equilibre.

• Point 5 : 1 solution ⇒ 1 point d’´equilibre.

2. Maintenant on fixe le rayonement infra rouge et on fait varier le rayonememnt ultra violet `a travers Q⁰ :

R

Ti Ts T

Ruv 1 Rir

23 45

• Point 1 : 1 solution ⇒ 1 point d’´equilibre.

• Point 2 : 2 solutions ⇒ 2 points d’´equilibre.

• Point 3 : 3 solutions ⇒ 3 points d’´equilibre.

• Point 4 : 2 solutions ⇒ 2 points d’´equilibre.

2

• Point 5 : 1 solution ⇒ 1 point d’´equilibre.

3. (a) Ici on se place dans le cas ou l’´equatrion a trois racines (les points 3), et on regarde la stabilit´e de ces 3 racines. On lin´earise (1) :

cT˙ =

∂R^{U V}

∂T − ∂R^{I R}

∂T

δT.

On num´erote les trois cas :

Ti Ts T R

1 2

3

• Cas 1 : ∂R^{U V}/∂T = 0 et ∂R^{I R}/∂T > 0 alors ˙T < 0, le point est stable.

• Cas 2 : ∂R^{U V}/∂T > 0 et ∂R^{I R}/∂T >0 alors ˙T >0 (comme b <−βQ0), le point est instable.

• Cas 3 : ∂R^{U V}/∂T = 0 et ∂R^{I R}/∂T > 0 alors ˙T < 0, le point est stable.

On peut se rendre compte de la validit´e de ce sch´ema :

2 3 4

1 5

Diagrame de Bifurcation

Explication

Bifurcation fourche

Bifurcation fourche imparfaite Double bifurcation fourche imparfaite

+

=

(b) • M´ecanismes de stabilisation des solutions “extr`emes” : si T augmente alorsR^{I R} augmente et T diminue.

3

Ce qui correspond physiquement `a :

Si la temp´erature `a la surface du globe augmente alors le rayonement ter- restre infra rouge emis augmente et donc a temp´erature `a la surface de la terre diminue.

• M´ecanismes de d´estabilisation de la solution “central” :

si T augmente alorsα diminue et R^{U V} augmente et T augmente.

Ce qui correspond physiquement `a :

Si la temp´erature `a la surface du globe augmente alors la couverture de glace diminue, l albedo diminue, le rayonment ultra violet recu augmente et la temp´erature `a la surface de la terre augmente.

4. On peut voir par ce type de diagrame que bien qu ’´etant dans un ´etat stable on peut rapidement bifurque vers un autre par une variation lente des param`etres d’´equilibre (exemple : Q⁰ le rayonmemnt solaire ou a l’effet de serre)

R

Q0 ou a 1

2 age inter glaciaire

age glaciare

rapide lent

On a un hyst´eresis, suivant les condition initial 1 ou 2 on ne suis pas la mˆeme trajectoire dans l’espace des phases !

4