Chapitre 2
Arithmétique
Dans le langage courant, le mot « arithmétique » rassemble les propriétés des nombres et de leurs opérations élémentaires : l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.
Dans ce sens, l’arithmétique est apprise à l’école primaire. En mathématiques, le même mot est utilisé pour décrire l’étude des entiers et de leurs propriétés. Ce chapitre en explore quelques facettes.
2.1 Plus grand commun diviseur et l’algorithme d’Euclide
Le mot « factorisation » décrit un ensemble d’opérations mathématiques : les plus com- munes sont la factorisation d’entiers et de polynômes. Le concept de « primalité » est associé à ces opérations. Par exemple le nombre60peut être écrit comme2⇥2⇥3⇥5, mais une factorisa- tion « plus fine » n’est pas possible, car les nombres2,3et5ne peuvent pas être factorisés. (Ce sont des nombres premiers.) Similairement le polynômex4-16s’écrit(x2+4)(x+2)(x-2) et, à nouveau, une factorisation plus fine n’est pas possible (sur les nombres réels). Les fac- torisations ci-dessus sont uniques ; par exemple, il n’est pas possible d’écrire60(autrement 2⇥2⇥3⇥5) en termes d’un produit d’autres entiers qui soient eux-mêmes « irréductibles ».
La propriété des entiers d’être factorisable uniquement est enseignée dès le primaire, mais elle est rarement démontrée. Les deux prochaines sections explorent ces propriétés.
Rappel
• représentation d’un entier en baseb;
• distinction entreZetZ⇤;
• principe du bon ordre.
Définition 1. On dit que l’entier relatifbdivisel’entier relatifa(ou queaest unmultipledeb) s’il existe un entierctel quea=bc. Les nombresbetcsont desdiviseurs(ou facteurs) dea.
19
Sibdivisea, on écritb|a; sinon on écritb-a(bn’est pas un diviseur dea). Par exemple, 4|16, mais6-16.
Faisons les quelques observations immédiates suivantes. Le nombre0est multiple de tous les nombres (y compris 0). En effet, pour montrer que b (quelconque) divise 0, il suffit de prendrec=0et on a bien0=b·0. Par contre,0n’est diviseur que de lui-même car l’équation a=0·bpour l’inconnueane possède quea=0comme solution. C’est un cas dégénéré que nous omettrons la plupart du temps. Sia 6= 0, alors±1et±asont des diviseurs dea(et si a=±1, il n’a que deux diviseurs). Sia|betb6=0, alors|a||b|. Sia|b, alorsa|bc. Noter cependant que la réciproque est fausse :6 | 3⇥4 mais6 - 3 et6 - 4. Sib | aeta | b, alors a=±b. En particulier, dansN,b|aeta|bentraînent quea=b.
Pour la suite, nous noteronsD(a)l’ensemble des diviseurs positifs dea2Z⇤. Par exemple : D(12) ={1, 2, 3, 4, 6, 12}etD(-4) ={1, 2, 4}. Cet ensembleD(a)n’est jamais vide car il contient
1et|a|. (Ces deux diviseurs sont distincts à moins quea = ±1). Ce sont respectivement ses
plus petit et plus grand éléments.
Soita, b2Z⇤et soitD(a)\D(b)l’ensemble des diviseurs positifs communs àaet àb. Si a6=0oub6= 0, alorsD(a)\D(b)est majoré (par exemple par|a|+|b|ou par max(|a|,|b|)).
D’après la propriété du bon ordre deN, cet ensemble admet un maximum. Ce maximum est leplus grand commun diviseurdeaetb.
Définition 2. Soita, b2Zaveca6=0oub6=0. Le plus grand commun diviseur deaet deb, noté pgcd(a, b), est le nombred2Nvérifiant les deux conditions suivantes :
(i) d|aetd|b.
(ii) Si un entierd0|aetd0|b, alorsd0d.
Sipgcd(a, b) =1, on dit queaetbsontpremiers entre euxourelativement premiers. Similaire- ment, lepgcdd’un ensemble d’entiers{a1, a2, . . . , an}non tous nuls est défini comme le maximum de l’intersection de leurs ensembles de diviseurs positifs :pgcd(a1, a2, . . . , an) =\1inD(ai).
Cette définition implique que, sia 6= 0, alors pgcd(a, 0) = |a|. Cependant, sia = 0, le pgcd(a, 0) =pgcd(0, 0)n’est pas défini. En anglais, le pgcd deaetbest nommé leur « greatest common divisor » et la notation retenue est alors gcd(a, b).
Il y a plusieurs façons de calculer le plus grand commun diviseur de deux entiers. La plus évidente est d’utiliser la définition à la lettre. Par exemple poura = 12etb = -28, les en- sembles de diviseurs positifs sont d’abord calculés : D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} et D(-28) =
{1, 2, 4, 7, 14, 28}. Leur intersection est alors obtenue par inspection :D(12)\D(-28) ={1, 2, 4}.
Enfin le pgcd(12,-28)est alors le maximum de cette intersection : pgcd(12,-28) =maxD(12)\ D(-28) =4.
Une seconde méthode consiste à utiliser le théorème fondamental de l’arithmétique (le théorème 10 qui sera montré à la prochaine section). Les entiersaetbsont d’abord décom- posés en facteurs premiers. Le pgcd deaetbest alors le produit des facteurs communs (avec leurs multiplicités). Par exemple, poura=48etb=36, on a48=24⇥3et36=22⇥32. Les
2.1. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET L’ALGORITHME D’EUCLIDE 21 facteurs communs sont22et3et, par conséquent, pgcd(48, 36) =22⇥3=12.
Si les nombres a et b sont très grands en valeur absolue, les deux méthodes que nous venons de décrire sont difficilement praticables. L’algorithme d’Euclideest alors préférable. Il est basé sur le théorème suivant.
Théorème 1(de la division avec reste). Soita2Zetb2Nnon nul. Alors il existe un uniqueq (le quotient) et un uniquer(le reste) dansZtels que
a=bq+r avec 0r < b.
Preuve. Existence : étudions d’abord le casa 0. Sia=0, alors il suffit de prendreq=r=0 puisque0 =0·b+0est vraie. Poura > 0, soit l’ensembleSdes entiers naturels de la forme n= a-kb, pour unk 2 N. C’est donc l’ensembleS = {a-kb, k2 N}\Nqui est non vide (puisqu’il contienta) et un sous-ensemble deN. Le principe du bon ordre assure l’existence d’un minimum : soitr=minS2Nce minimum. Alorsr=a-qb, pour un certainq 0. Sir était plus grand ou égal àb, alorsr-bserait positif et donc dansS, contredisant le fait quer est le minimum deS. Doncr < btel que désiré.
Reste le casa < 0. Par le cas précédent, il existe desqetrtels que-a=qb+ret0r < b.
Alorsa=-qb-r=-(q+1)b+ (b-r). Soitq0=-(q+1)etr0 =b-r. Alors0r0< bet a=q0b+r0.
Unicité : Supposons que a puisse s’écrire de deux façonsa = qb+r = q0b+r0 avec 0r, r0 < b. On peut supposer (pourquoi ?) quer r0. Dans ce cas,r-r0 = (q-q0)b. Ceci entraîne quebdiviser-r0. Mais0 r-r0 < bet il faut donc quer =r0 et alors aussi que q=q0.
Trouver le quotient et le reste pour deux entiers a etb 6= 0 est simple. Par exemple, si a= 17etb= 5, il faut prendreq= 3etr =2:17 =5⇥3+2. Poura =-17etb =5, on a q=-4etr=3:-17=5⇥(-4) +3.
-20 -17-15 -10 -5 0 5 10 15 17 20
r=3 r=2
Corollaire 2. Ce théorème reste vrai sib2Z⇤. Dans ce cas, le restervérifie0r <|b|. Il suffit de remplacerbpar-b(sibest négatif) etqpar-q.
Par exemple, sia= 17etb = -5, alorsq = -3etr = 2:17 = (-5)⇥(-3) +2. Et pour a=-17etb=-5, il suffit de prendreq=4etr=3:-17=-5⇥4+3.
Corollaire 3. Soitb 2un entier. Alors tout entier naturelns’écrit de façon unique sous la forme n=rkbk+rk-1bk-1+. . .+r1b+r0
où lesri2{0, 1, . . . , b-1}etrk6=0.
Preuve. Par la division avec reste, il existeq0etr0avec0 r0 < btel quen = q0b+r0. Si q0< b,a=q0b+r0est de la forme désirée. Sinon le processus est répété surq0pour obtenir q0=q1b+r1, et puis surq1et ainsi de suite, jusqu’à ce queqkvérifie0qk < b. Le résultat est donc
n=q0b+r0
= (q1b+r1)b+r0=q1b2+r1b+r0
= (q2b+r2)b2+r1b+r0=q2b3+r2b2+r1b+r0
=. . .
=qk-1bk+rk-1bk-1+· · ·+r1b+r0.
On pose alorsqk-1=rket c’est la forme désirée. (L’unicité est laissée en exercice.)
Le lecteur aura reconnu la représentation d’un entier en baseb. Ces opérations récursives sont parfois représentées en colonnes. Voici par exemple le calcul de l’expression den=35en baseb=3.
35 3
-33 q0=11 3
r0=2 -9 q1=3 3
r1=2 -3 r3=q2=1 r2=0
Le calcul commence par la division avec reste de35par3(coin supérieur gauche). Le reste est r0=2et le quotientq0=11. Le processus est alors répété surq0, puis surq1et ainsi de suite, jusqu’à ce que le nouveau quotient soit inférieur àb=3(iciq2=1 < 3). Les restes sont alors lus à partir du coin inférieur droit en remontant vers le coin supérieur gauche et constituent la représentation denen baseb:35=r3·33+r2·32+r1·32+r0=10223.
Théorème 4. Soita, b, q, rdes entiers relatifs tels queb6= 0eta = bq+r. Alorspgcd(a, b) = pgcd(r, b).
Preuve. Sic | aetc | b, alorsc | r = a-bq, ce qui peut être écrit commeD(a)\D(b) ⇢ D(b)\D(r). Similairement, sic|betc|r, alorsc |bq+r =a, ce qui peut être écrit comme D(b)\D(r)⇢D(a)\D(b). Il faut donc queD(a)\D(b) =D(b)\D(r), c’est-à-dire pgcd(a, b) = pgcd(r, b).
Voici enfin l’algorithme d’Euclide ! Il repose sur la division avec reste et le résultat précé- dent. C’est une procédure (efficace !) qui permet de calculer le pgcd de deux entiersaet b, même s’ils sont grands. Soita, b2Z⇤avec|a| |b|.
(i) Sib|a, alors pgcd(a, b) =|b|et l’algorithme stoppe ;
(ii) sinon, il existeqetrtels quea=qb+ravec0 < r < b(par la division avec reste) et alors pgcd(a, b) =pgcd(r, b)(par le théorème précédent) ;
(iii) on remplaceaetbparbetr(c’est-à-direa!betb!r) et on retourne à l’étape(i).
2.1. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET L’ALGORITHME D’EUCLIDE 23 Cette séquence s’arrête puisque les restes produits aux étapesketk+1satisfont0rk+1< rk. L’algorithme aura alors produit la suite d’égalités :
pgcd(a, b) =pgcd(b, r1) =pgcd(r1, r2) =· · ·=pgcd(rn, 0) =rn
qui est le pgcd désiré.
Exemple 1. Voici des mises en œuvre de l’algorithme d’Euclide. Tout d’abord calculons lepgcdde a=38etb=14. Voici les étapes du calcul :
38=2·14+10 et donca!14, b!10
14=1·10+4 et donca!10, b!4
10=2·4+2 et donca!4, b!2
4=2·2+0 et puisque le dernier rester=0: stop !
La chaîne d’égalités estpgcd(38, 14) =pgcd(14, 10) =pgcd(10, 4) =pgcd(4, 2) =pgcd(2, 0) =2 qui est le résultat désiré.
Exemple 2. Curieusement l’algorithme n’est guère plus difficile avec de grands entiers. Sia=405 405 etb=366 597, alors
405 405=1·366 597+38 808 et donca!366 597, b!38 808 366 597=9·38 808+17 325 et donca!38 808, b!17 325 38 808=2·17 325+4 158 et donca!17 325, b!4 158 17 325=4·4 158+693 et donca!4 158, b!693 4 158=6·693+0 et puisque le dernier rester=0: stop ! et doncpgcd(405 405, 366 597) =693.
Exemple 3. Finalement, des opérations
87=6⇥14+3 14=4⇥3+2
3=1⇥2+1 2=2⇥1+0,
on déduit quepgcd(87, 14) =1et que ces nombres sont donc relativement premiers.
Une conséquence importante est le théorème suivant.
Théorème 5(de Bachet-Bézout). Soita, b2Z⇤. Il existex, y2Ztels quexa+yb=pgcd(a, b).
De plus,pgcd(a, b)est le plus petit entier positif de la formexa+yb, oùx, y2Z.
Preuve. SoitSle sous-ensemble des entiers positifs qui sont de la formexa+ybpour certains x, y2Z. C’est donc le sous-ensemble deNdonné par
S={n, n > 0}\{xa+yb, x, y2Z}
qui est non vide puisque|a|et|b|en sont des éléments. À nouveau, le principe du bon ordre assure l’existence d’un minimums > 0deSqui est donc de la formeka+`bpour desk,`2Z.
Puisque pgcd(a, b)diviseaetb, il divise égalements=ka+`bet doncs pgcd(a, b).
Montrons maintenant quespgcd(a, b). Soitmun élément quelconque deS: il est donc de la formexa+ybpour certainsx, y2Z. La division avec reste permet d’écrirem=q·s+r avec0r < s. Alors le restervérifie
r=m-q·s= (xa+yb)-q(ka+`b) = (x-qk)a+ (y-q`)b.
Si le resterétait strictement plus grand que zéro, alorsrserait un élément deSplus petit ques;
ceci contredirait le fait quesest le minimum deS. Doncrdoit être nul etm=q·s, c’est-à-dire quesdivisem, et donc tout élément deS. Entre autresdivise|a|et|b|qui sont dansS. Alors sdivise le pgcd(a, b)etspgcd(a, b). À cause des deux inégalités juste démontrées, il faut ques=pgcd(a, b)et le pgcd est donc le plus petit nombre positif de la formexa+yb.
Exemple 4. Une variation de l’algorithme d’Euclide permet de trouver lesket`tels queka+`bsoit lepgcddeaetb. Une fois l’algorithme d’Euclide complété, il suffit de « remonter » le processus comme suit. Un des exemples précédents a calculé lepgcdde38et14. En voici à nouveau les étapes.
38=2⇥14+10 14=1⇥10+4 10=2⇥4+2
4=2⇥2+0.
C’est à l’avant-dernière étape qu’est apparu en premier lepgcd. Cette avant-dernière relation permet d’écrire lepgcd(38, 14) =2en termes de l’entier10(un des «a» produits par l’algorithme d’Euclide) :
2=10-2⇥4.
Le facteur4peut également être exprimé en termes d’un autre «a» précédent :
=10-2⇥(14-1⇥10) =3⇥10-2⇥14
et enfin la première équation exprime le10en termes des38et14:
=3⇥(38-2⇥14)-2⇥14
=3⇥38-8⇥14.
Ainsipgcd(38, 14) =3⇥38-8⇥14=114-112=2.
Le couple(x, y)du théorème n’est pas unique. Il y a en fait une infinité de couples(xi, yi) tels quexia+yib=pgcd(a, b). L’exercice 6 les énumérera.
Le théorème de Bachet-Bézout a le corollaire immédiat suivant.
2.1. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ET L’ALGORITHME D’EUCLIDE 25 Corollaire 6. Siaetbsont des entiers non nuls et relativement premiers, alors il existex, y2Ztels queax+by=1.
La prochaine section étudiera en détails les nombres premiers. Mais le prochain résultat, qui découle du théorème de Bézout, requiert la définition de nombres premiers. La voici.
Définition 3. Un entier naturelpest dit premier s’il ne peut pas s’écrire comme produit de deux entiers naturels différents dep. En d’autres termes,pest premier si et seulement siD(p) ={1, p}. Corollaire 7. Soitpun nombre premier. Sip|a1a2. . . an, alors il existe au moins unitel quep|ai. Preuve par induction surn. Sin=1, alorsp|a1. Supposons maintenant que, sipdivise un pro- duit de moins denfacteurs, alors ce nombrepdivise au moins un de ces facteurs et étudions maintenant un produit denfacteursa1a2. . . an quepdivise. Sipdivisean, il n’y a rien à montrer. Supposons donc quep-an. Alors pgcd(p, an) =1et le théorème de Bézout affirme l’existence de xet y tels quexp+yan = 1. La multiplication par(a1a2. . . an-1) de cette relation donne
(a1a2. . . an-1x)p+y(a1a2. . . an1an) =a1a2. . . an-1.
Le membre de gauche est divisible parpet il faut donc que celui de droite le soit aussi. Alors, par l’hypothèse d’induction, un des facteursa1, a2, . . . , an-1est divisible parp.
Cette section se termine avec un résultat important que nous laissons en exercice.
Théorème 8. (Gauss) Soita, b, c2Z⇤. Sia|bcetpgcd(a, b) =1, alorsa|c.
EXERCICES
1. Vrai ou faux.
(a) Sid|aetd|b, alorsd|pgcd(a, b).
(b) pgcd(a, b) =pgcd(b, a).
(c) Le pgcd de trois entiersa, b, csatisfait pgcd(a, b, c) =pgcd(pgcd(a, b), c).
(d) Si pgcd(a, b)<pgcd(a, c), alors pgcd(a, b)|pgcd(a, c).
(e) Sik|pgcd(a, b), alors pgcd(ak,bk) = 1kpgcd(a, b).
2. Soitaetbdeux entiers non nuls. Leplus petit commun multipledeaetbest l’entier`défini par les propriétes :
(i) a|`etb|`.
(ii) Si un entierkest tel quea|ketb|k, alorsk `.
Cet entier est noté ppcm(a, b). Pour chacun des énoncés vrais de l’exercice précédent, trouver un énoncé semblable pour le ppcm. Par exemple le premier énoncé devient : sia|detb|d, alors ppcm(a, b)|d.
3. Pour les paires(a, b)d’entiers suivants, trouver les pgcd, ppcm et une pairek,`2Ztels que ka+`b=pgcd(a, b).
(a) (a, b) = (24, 35); (b) (a, b) = (48, 72);
(c) (a, b) = (388,-193);
(d) (a, b) = (1839, 18551);
(e) (a, b) = (123 456 789, 987 654 321).
Note : le plus facile est le dernier...
4. Montrer l’unicité de l’expression de l’entieradans la baseb 2. (Voir corollaire 3.) 5. Assurez-vous que la preuve du corollaire 6 est évidente.
6. (a) Soitaetbdeux entiers non nuls et soitk,`2Ztels queka+`b=pgcd(a, b). Montrer que xi=k+ibetyi=`-iasont des entiers tels quexia+yib=pgcd(a, b).
(b) Montrer que{(xi = k+ib, yi = `-ia), i 2 Z}est l’ensemble complet des paires(x, y) telles quexa+yb=pgcd(a, b).
7. Montrer le théorème de Gauss (théorème 8).
8. Montrer la proposition??.
2.2 Les nombres premiers
Cette section est consacrée aux nombres premiers, un concept introduit dès le primaire mais dont l’étude demeure un sujet actif de recherche. Elle prouvera entre autres leThéorème fondamental de l’arithmétique.
Pour maîtriser cette section il faudra vous remémorer les termes suivants.
Rappel
• entier naturel et définition deN;
• relation d’équivalence sur un ensembleR;
• séries harmonique et géométrique ;
2.2. LES NOMBRES PREMIERS 27
• principe du bon ordre.
Définition 4. Un entier naturelpest dit premier s’il ne peut pas s’écrire comme produit de deux entiers naturels différents dep. En d’autres termes,pest premier si et seulement siD(p) ={1, p}.
Un entier non premier nest ditcomposé(D(n)contient plus de 2 éléments). Par exemple l’entier4est composé :D(4) = {1, 2, 4}contient 3 éléments. Le début de la liste des nombres premiers est2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .
Proposition 9. Soitnun entier naturel composé. Alorsnadmet un diviseurpn.
Preuve par contradiction. Par hypothèse, il existe deux entiers naturelsaetbdifférents dentels quen= ab. Supposons quea >p
netb >pn. Multiplions membre à membre :n= ab >
pn·pn, ce qui est impossible. Par conséquent, l’un des entiersaoubest inférieur ou égal à pn.
Une conséquence immédiate de ce résultat est qu’un entier naturelnest premier s’il n’ad- met aucun diviseur premier plus petit ou égal àpn.
Une question naturelle est comment déterminer si un nombre donné est premier ? Une réponse est fournie par le crible d’Ératosthène1qui permet de trouver systématiquement tous les nombres premiers de petite taille. Plus précisément, sinest un entier supérieur à 1, pour décider s’il est premier, on suit les étapes suivantes :
(i) On écrit la liste de tous les entiers de2àninclus ; (ii) on barre tous les multiples de2de la liste (sauf2) ;
(iii) on répète l’étape précédente avec le premier entier suivant2qui n’est pas barré. Il s’agit de3. Alors on barre tous les multiples de3de la liste (sauf3) ;
(iv) on répète l’étape(iii)jusqu’à ce que le premier entier non-barré soit plus grand quepn et
(v) on dresse la liste des nombres qui restent. Ceux-ci sont nécessairement premiers.
Exemple 5. À titre d’exemple, énumérons tous les nombres premiers jusqu’à100. Puisquep
100=10, les nombres premiers10sont2, 3, 5, 7. On commence par écrire tous les entiers compris entre2et100. Puis on élimine les multiples de ces 4 nombres premiers. Les nombres qui restent sont nécessairement
1. Ératosthène(284-192 av. JC). Mathématicien grec. Directeur de la bibliothèque d’Alexandrie. Connu notamment pour avoir mesuré avec une grande précision la circonférence de la terre et pour sa correspondance avec Archimède.
premiers.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Il est apparent que cette technique n’est pas pratique pour les grands nombres.
L’énoncé suivant peut sembler évident, mais sa démonstration ne l’est pas (elle requiert le principe du bon ordre deN).
Théorème 10(Théorème fondamental de l’arithmétique). Tout nombre naturel composé peut se décomposer en produit de nombres premiers. Cette factorisation d’un entier naturel est unique (à l’ordre des facteurs près).
Preuve. La preuve de l’existence d’une telle décomposition est par contradiction. Supposons que cet énoncé soit faux et queSsoit l’ensemblenon videdes nombres naturels composés qui ne se décomposent pas en produit de nombres premiers. Il contient donc un élément minimaln.
Puisquenest un élément deS, il est composé et s’écrit doncn=aboù1 < a < net1 < b < n.
Maintenant, on a soitapremier ou bien il s’écrit comme produit de facteurs premiers (car a /2 S). De même pour b. On en déduit que nest un produit de nombres premiers, ce qui contredit l’hypothèse. AinsiSest vide.
Reste à montrer l’unicité. Ceci se fait également par l’absurde. Soitnle plus petit entier na- turel admettant plus d’une factorisation :n = p1p2. . . pr = q1q2. . . qs où lespi etqjsont des facteurs premiers et sont tels que les ensembles {p1, p2, . . . , pr} et {q1, q2, . . . , qs} sont distincts. Puisque p1 | n, alorsp1 | q1q2. . . qs et, par le corollaire 7, il existe donc un in- dicej tel quep1 | qj et doncp1 = qj. Ainsi n/p1 = n/qj et ce quotientn0 s’écrit comme p2. . . pr=q1q2. . . qj-1qj+1. . . qsavecn0< n, ce qui contredit l’hypothèse disant quenétait le plus entier admettant deux factorisations distinctes.
Ainsi tout entier naturel peut être factorisé. Comme l’énonce le théorème, la seule « liberté » est l’ordre des facteurs premiers. Par exemple, le nombre12peut être écrit comme2·2·3 = 2·3·2 =3·2·2. D’autres exemples simples de factorisation sont15= 3⇥5,48=24⇥3et 25986=2⇥3⇥61⇥71.
Exemple 6. Le Théorème fondamental de l’arithmétique semble peut-être évident. Mais il ne l’est pas.
Le présent exemple construit un sous-ensembleEdes entiers naturelsNqui possède les propriétés sui- vantes : une notion de « nombres premiers relativement àE» existe, tout élément deEpeut être factorisé
2.2. LES NOMBRES PREMIERS 29 en un produit de ces nombres premiers relativement àE, mais cette factorisation n’est pas unique. En fait, le corollaire 7 est faux pour cet ensemble.
Soit l’ensembleE = {4k+1|k=0, 1, 2, . . .} = {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, . . .}. L’ensemble Eest stable sous la multiplication, c’est-à-dire que le produit de deux éléments deEest aussi un élément de E. En effet, le produit de deux éléments quelconques(4k+1)et(4h+1)deEdonne
(4k+1)(4h+1) =16kh+4k+4h+1=4(4hk+h+k) +1
qui est un élément deEpuisque ce produit s’écrit sous la forme4`+1avec` = 4hk+h+k. Un nombreq2Esera appelé premier relativement àEs’il ne se décompose pas en produit de deux éléments deE, autres que1etplui-même. Ainsi,5, 9et13sont premiers relativement àE, mais25=5·5ne l’est pas. L’exercice 15 montrera que tout élément deEest le produit de nombres premiers relativement àE. Cependant cette factorisation n’est pas unique. Par exemple les trois entiers693 = 4·173+1, 441=4·110+1et1197=4·299+1sont des éléments deEet
693=9⇥77=21⇥33, 441=9⇥49=21⇥21 et 1197=9⇥133=21⇥57.
De plus un calcul aisé montre que les facteurs9, 21, 33, 49, 57, 77, 133sont tous des éléments deEet premiers relativement àE. Donc : la factorisation dansEn’est pas unique. Il est alors facile de donner un contre-exemple au corollaire 7 si les entiers et les premiers sont restreints àE: l’entier212Edivise le produit9·49, mais21ne divise ni9ni49.
Théorème 11. La liste des nombres premiers est illimitée.
Preuve par contradiction. SoitP={p1, p2, . . . , pn}l’ensemble fini de tous les nombres premiers.
Soitq=p1⇥p2⇥. . .⇥pn+1. Il est clair que ce n’est pas un élément deP. Doncqest composé.
Il existe alors unpi |q, c’est-à-direp1⇥p2⇥. . .⇥pn+1=kpipour un entier naturelk. On en tire
1=kpi-p1⇥p2⇥. . .⇥pn
=pi(k-p1⇥. . .⇥pi-1⇥pi+1⇥. . .⇥pn)
et par conséquentpi|1, ce qui est impossible.
Noter que leqde la démonstration n’est pas nécessairement premier. Par exemple2⇥3⇥5⇥ 7⇥11⇥13+1 = 59⇥509. La preuve que nous venons de donner est celle d’Euclide(Livre IX, Proposition 20 desÉléments). Il y en a d’autres. Par exemple, c’est une conséquence de la proposition suivante.
Proposition 12. Soitn > 2un entier naturel. Alors il existe un nombre premierpvérifiantn < p <
n!.
Preuve. Posonsd=n!-1. Puisquen > 2, il s’ensuit qued > 1. Le nombredest soit premier soit composé. Sidest premier, il suffit de prendrep=d. Par contre, sidest composé, il admet
un diviseur premierp(p < d). Supposons quepn; alorspest un des facteurs den!et donc p|n!et, par hypothèse,p|(n!-1). Doncpdivise la différencen!-d=1, ce qui impossible.
Doncp > ntel que désiré.
Ainsi, quel que soit l’entier natureln > 2, il existe un premier plus grand quenet donc : Corollaire 13. La liste des nombres premiers est infinie.
On peut affiner la proposition précédente en démontrant que sin > 3, il existe un nombre premierpentrenet2n-2. Cette proposition, initialement une conjecture de Bertrand, a été démontrée par Chebyshev. Une conséquence est la suivante : si on écrit les nombres premiers dans l’ordre croissant :
p1=2 < p2=3 < p3=5 < p4=7 < . . . < pn< . . . ,
alorspn+12pn-2à partir dep3=5.
Des preuves plus récentes ont introduit des idées provenant de l’analyse dans l’étude des nombres premiers. La preuve suivante est due àEuler. Rappelons que la série géométrique P1
n=1xnest absolument convergente si|x|< 1et égale alors à 1+ 1
x+ 1
x2+· · ·= 1 1-x.
Supposons à nouveau qu’il n’y ait qu’un nombre fini de nombres premiers{p1 = 2, p2 = 3, p3=5, . . . , pr}et considérons le produit
Yr
i=1
⇣ 1 1-p1
i
⌘=⇣ 1 1-12
⌘⇥⇣ 1 1- 13
⌘⇥⇣ 1 1- 15
⌘⇥· · ·⇥⇣ 1 1- p1
r
⌘
= 2 1 ·3
2 ·5
4 · · · pr
pr-1.
Puisque ce produit contient un nombre fini de facteurs, le résultat est un nombre fini. Chacune des parenthèses de ce produit est une série géométrique dont la raisonx= p1i vérifie|x| < 1.
Ainsi le produit peut être développé en un produit de séries : Yr
i=1
⇣ 1 1-p1
i
⌘=⇣ 1+ 1
2+ 1
22 +. . .⌘
⇥⇣ 1+1
3 + 1
32+. . .⌘
⇥⇣ 1+1
5 + 1
52+. . .⌘
⇥· · ·⇥⇣ 1+ 1
pr+ 1
pr2+. . .⌘
(2.1) qui, à son tour, peut être développé en multipliant tous les termes. (Ceci est possible, car le produit de séries absolument convergentes est convergent.)
=1+ 1 2+ 1
3+ 1 22 +1
5 +1 2 ·1
3+ 1 7+ 1
23 + 1 32+1
2 ·1 5 +. . .
2.2. LES NOMBRES PREMIERS 31 L’observation cruciale d’Euler est que ce produit doit être égal à la série harmoniqueP1
n=1 1 n. En effet, puisque chaque entier positifnpossède une unique factorisation, chaque n1 doit ap- paraître comme un (et un seul) des termes de cette dernière ligne. Par exemple, pour n = 108 045=32·5·74, le terme n1 apparaîtra dans cette somme comme
1· 1 32 ·1
5 · 1
74 ·1·1·1 . . . ,
c’est-à-dire qu’on retient de l’expression (2.1) le1 de la première parenthèse, le 312 de la se- conde, le 15 de la troisième et ainsi de suite. Ainsi, si le nombre de premiers est fini, l’égalité suivante tiendra
X1 n=1
1 n =
Yr
i=1
⇣ 1 1-p1
i
⌘.
Mais ceci est impossible : le membre de droite est fini, alors que la série harmonique diverge.
Le nombre de premiers ne peut donc pas être fini.
La preuve d’Euclide est clairement plus simple que celle d’Euler ! Mais celle d’Euler est un premier pas dans l’étude des nombres premiers à partir d’arguments analytiques. C’est ceux-ci qui mèneront à la distribution des nombres premiers. Ce résultat n’est pas difficile à énoncer, mais sa preuve dépasse le cours présent. La fonction de compte des nombres premiers
⇡:R+!Nassocie au nombre réelxle nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux àx.
Ainsi
⇡(x) =| {px|pun nombre premier} |.
Cette fonction est tracée ci-contre d’abord sur l’intervalle [1, 50], puis sur [1, 1000]. Elle est constituée de plateaux constants séparés par des sauts d’une unité à chaque fois quexpasse par un nombre premier. Il a été conjecturé parGaussetLegendreque cette fonction s’appro- chait asymptotiquement de la fonctionx/lnx, plus précisément
x!1lim
⇡(x) x/lnx =1.
Cette conjecture fut prouvée indépendamment parHadamardetde la Vallée Poussin.
π(�)
�
�� �� �� �� ��
�
��
�� π(�)
�
��� ��� ��� ��� ����
��
���
���
La table suivante montre que l’accord entre⇡(x)etx/lnxpour différentes valeurs dex.
x ⇡(x) x/lnx x/⇡(x)lnx 102 25 21, 7147 1.15129 103 168 144, 765 1.16050 104 1229 1085, 74 1.13195 106 78498 72382, 4 1.08449 108 5761455 5428681 1.06130
Le graphique de droite trace également la fonctionx/lnx. Même si⇡(x)etx/lnxsemblent s’écarter l’une de l’autre, leur quotient approche1pourxgrand. Tant ce graphe que le tableau ci-dessus montrent que cette approximation de⇡(x)est assez grossière. Il en existe aujourd’hui de plus fines.
Identifier un nombre premiernsinest suffisamment petit est relativement facile. Mais, dé- cider de la primalité d’un entier très grand peut être très difficile. En fait cette difficulté est si grande que plusieurs algorithmes de chiffrage (pour le transfert électronique de données) sont basés sur cette propriété. Ce n’est donc pas surprenant que, tôt dans l’histoire, plusieurs ma- thématiciens aient cherché à créer des premiers très grands. Donnons des exemples d’efforts célèbres.
Il existe plusieurs « formules » de type polynomial qui semblent produire que des nombres premiers. En voici des célèbres :
P(n) =n2-n+41 et Q(n) =n2-79n+1601.
En faitP(n)est un nombre premier pour tous les nde 1 à 40, alors que Q(n)produit des premiers jusqu’à n = 79. Existe-t-il un polynôme dont les évaluations en des entiers sont toutes des nombres premiers ? Le résultat suivant, dont la preuve sera faite à l’exercice 17, répond à cette question.
Théorème 14. Pour tout polynôme à coefficients entiersP(x) =anxn+. . .+a1x+a0avecan> 0 etn 1, il existe un entier natureln0tel que l’entierP(n0)est un nombre composé.
Lesnombres deMersenne(1588-1648) sont de la formemn = 2n-1. On montre que simn
est premier, alorsnest premier. La réciproque est fausse :m11=2047=23⇥89. Les nombres de Mersenne sont liés aux nombres parfaits. Un nombre estparfait(appellation attribuée aux anciens numérologistes) s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres :6 = 1 +2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Euclide a démontré que si2n -1 est premier, alors2n-1(2n-1) est parfait. Ainsi les nombres suivants sont parfaits :496= 24(25-1),8128= 26 27-1 ou encore2 305 843 008 139 952 128=230 231-1 . Deux mille ans plus tard, Euler a montré une réciproque partielle : chaque nombre parfait pair est de la forme2n-1(2n-1)où2n -1est premier.
Pour sa part,Fermata conjecturé que les entiers de la forme22n +1(appelés nombres de
2.2. LES NOMBRES PREMIERS 33 Fermat) est premier pour tout entiern=0, 1, . . .Pour les petites valeurs den, on a
n 22n+1 premier ?
0 2 oui
1 5 oui
2 17 oui
3 257 oui
4 65 537 oui
5 4 294 967 297 non
6 18 446 744 073 709 551 617 non
C’est Euler (un siècle plus tard, en 1739, et donc sans calculatrice...) qui a décomposé225+1= 641⇥6 700 417.
Il ne semble pas exister de formule simple produisant que des premiers. Les mathéma- ticiens se sont donc tourné vers d’autres problèmes, par exemple d’identifier si certains en- sembles d’entiers contiennent une infinité de premiers. Par exemple, l’ensemble des premiers jumeaux qui sont une paire de nombres premiers consécutifspetp+2. Les premières paires de jumeaux sont 3 et 5 ; 5 et 7 ; 11 et 13 ; 17 et 19. On ne sait toujours pas s’il existe une infinité de paires de jumeaux. Des progrès ont été faits récemment. En 2009,Zhang Yitangaméliore le crible d’Eratosthène pour montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers « consécu- tifs » où le mot « consécutifs » veut maintenant dire « dont l’écart est inférieur à70 000 000».
Ceci ne semble pas être un grand succès, mais ses idées ont été poussées par un groupe de chercheurs travaillant en collaboration (projetPolymath) pour réduire l’écart à270. Cet écart demeure donc encore loin de celui caractérisant les jumeaux (écart= 2), mais l’avancée est remarquable.
Nous terminons par le résultat suivant dont la démonstration est due àDirichlet. La dé- monstration sera omise (elle est difficile).
Théorème 15. Soitaetbdeux entiers naturels relativement premiers. Alors la progression arithmé- tiquean+b, c’est-à-dire l’ensemble{an+b, n2N}, contient une infinité de nombres premiers.
La condition que pgcd(a, b) = 1 est nécessaire car, s’ils ne l’étaient pas, la progression ne contiendrait pas de premier. En effet, sia = a1detb= b1d(avecd 6=1), on alorsan+b= d(a1n+b1)qui sont des nombres composés. Pour des valeurs particulières dea etb, par exemple dans la progression4n+3, la démonstration du résultat est relativement facile, car elle est similaire à celle d’Euclide.
EXERCICES
9. (a) Soit⇠une relation d’équivalence sur l’ensembleR. Rappeler les trois propriétés que satis- fait la relation⇠.
(b) Lesquelles de ces trois propriétés la relationa|bsur l’ensembleZsatisfait-elle ?
(c) La réponse à la question précédente change-t-elle si l’ensemble estN? 10. Vrai ou faux :
(a) Sia|(b+c), alorsa|boua|c.
(b) Sia|ceta+b=c, alorsa|b.
(c) Sia|cetb|c, alorsab|c.
(d) Sia|bc, alorsa|boua|c.
11.Montrer que, sia, b > 0, alorsa·b=ppcm(a, b)·pgcd(a, b). (Le plus petit commun multiple ppcm(a, b)est défini à l’exercice 2.)
12.Soitnun entier composé.
(a) Sin=a2, oùa=est un entier naturel, alors le nombre d’éléments dans l’ensembleD(n) des diviseurs denest impair.
(b) Sinn’est pas un carré parfait, alors le cardinal deD(n)est pair.
13. Énumérer les nombres premiers entre169=132et225=152. 14. SoitP={2, 4, 6, 8 . . .}.
(a) Vérifier quePest stable sous la multiplication, c’est-à-dire que le produit de deux éléments dePest aussi un élément deP.
(b) Quels sont les nombres relativement premiers àP?
(c) Montrer que, comme pour l’exemple 6, la factorisation n’est pas unique.
15. (a) Soiti 2et soitEi={ik+1, k=0, 1, 2, . . .}. Pour quelsiles ensemblesEisont-ils fermés sous la multiplication ?
(b) Montrer l’énoncé annoncé dans l’exemple 6 : tout élément deE4est le produit de nombres premiers relativement àE4.
(c) L’énoncé demeure-t-il vrai pour tous lesEi,i 2? Justifier.
16. (a) Tout nombre premier impair s’écrit sous la forme4k-1ou4k+1,k2N. (b) Tout nombre premier supérieur à 3 est de la forme6n-1ou6n+1.
(c) Conclure du résultat de la première question qu’une des deux progressions arithmétiques {4k+1, k2N}et{4k+3, k2N}contient un nombre infini de nombres premiers.
17. (a) Cet exercice montre le théorème 14. Montrer d’abord que, si le coefficienta0est nul, alors ndivise le nombreP(n)pour tout entiernnon nul. En conclure qu’il existen0tel queP(n0) soit composé.
2.3. ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES 35 (b) Soit a0 6= 0. Observer quea0diviseP(a0). En conclure que, si en plus|a0| 6= 1, alors il existen0tel queP(n0)soit composé.
(c) Soit enfin le casa0 = 1ou-1. Montrer qu’il existe unctel que le polynômeP(y-c) = bnyn+bn-1yn-1+· · ·+b1y+b0ait un coefficientb0distinct de±1. En conclure qu’il existe n0tel queP(n0)soit composé.
18.Trouver tous les entiers naturelsntels quen2+n+1est un multiple de 7 ; de 13. Suggestion : tout entier peut être écrit sous la formen=7k+ipour certains entiersketiavec0i < 7.
Calculern2+n+1pournde cette forme.
19. Trouvernpour quen6-1soit divisible par9.
20. Trouver le reste de la division par 8 d’un carré parfait (un carré parfait est un entier naturel qui est le carré d’un autre entier naturel).
21. Trouver deux nombresaetbconnaissant leur sommeS = a+bet leur pgcd(a, b) = det vérifier son résultat pourS=20,d=4. Est-ce queSetddéterminent uniquementaetb?
2.3 Équations diophantiennes
Les équations diophantiennes2sont de la forme « polynôme= 0» où le polynôme est en une ou plusieurs variables et ses coefficients sont entiers. Les solutions cherchées sont soit entières, soit rationnelles. Le théorème de Bachet-Bésout en est un exemple : soitaetbdes entiers non nuls. Alors le polynôme étudié estp(x, y) =ax+by-pgcd(a, b)et les solutions sont desxety2Ztels quep(x, y) =0:
ax+by=pgcd(a, b). (?)
La présente section solutionne une équation diophantienne légèrement plus générale : pour a, b, c2Zeta, bnon nuls, l’équation à résoudre est maintenant
ax+by=c. (??)
2. Diophante d’Alexandrie(vers 350 av. J.C.). Auteur des Arithmétiques, oeuvre en 13 volumes, en partie perdue.
Fermat s’est inspiré de ses travaux pour fonder la théorie moderne des nombres.
Pour cette section nous utiliserons plusieurs des résultats précécents : Rappel
• le plus grand commun diviseur de deux entiers ;
• l’algorithme d’Euclide ;
• le théorème de Bachet-Bézout.
Si les variablesx, ypouvaient prendre leur valeurs dansR, alors l’équation (??) serait celle d’une droite dans le planxy. Cependant, la restriction qui consiste à se limiter aux solutions entières (la droite doit passer par des points dont les coordonnées sont entières) fait que de telles solutions peuvent ne pas exister. En voici un exemple. L’équation
14x-4y=3
n’a pas de solution entière car tout diviseur du membre de gauche de l’équation doit diviser le membre de droite. Or,2est un diviseur du membre de gauche (il divise14et4et donc toute combinaison linéaire de ces nombres), mais ne divise pas le membre de droite. L’équation diophantienne14x-4y=3n’a donc aucune solution et le graphe de la droite14x-4y=3évite tous les points à coordonnées entières du plan (ces points sont les intersections des droites tracées en tiret).
-� � � � �
-�
�
�
�
�
Le premier résultat donne une condition nécessaire et suffisante pour l’existence de solu- tions à l’équation (??).
Proposition 16. Soita, b, c 2Zeta, bnon nuls. L’équationax+by=cadmet une solution si et seulement sipgcd(a, b)|c.
2.3. ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES 37 Preuve. Supposons que l’équation ax+by = c admette une solution notée (x0, y0). Alors pgcd(a, b) | ax0+by0, c’est-à-dire pgcd(a, b)| c. Réciproquement, soitc = kpgcd(a, b)un multiple de pgcd(a, b)(aveck2Z). Le théorème de Bachet-Bézout (théorème 5) affirme qu’il existe(x0, y0)tels queax0+by0=pgcd(a, b). En multipliant cette relation park, il suit que a(kx0) +b(ky0) =kpgcd(a, b) =c. Doncax+by=cadmet(kx0, ky0)comme solution.
Corollaire 17. Siaetbsont relativement premiers, l’équation diophantienne a toujours une solution.
Voici l’algorithme qui permet de trouver toutes les solutions de l’équation diophantienne ax+by=coùa, b, csont donnés eta, bsont non nuls (quand ces solutions existent, c’est-à- dire lorsque pgcd(a, b)|c) :
(i) diviser les deux membres de l’équation par pgcd(a, b). L’équationa0x+b0y=c0alors obtenue est maintenant avec desa0etb0relativement premiers ;
(ii) trouver une solution particulière(x0, y0)de l’équationa0x+b0y=c0(par exemple en utilisant l’algorithme d’Euclide) ;
(iii) et former l’ensemble complet des solutions écrites sous la forme paramétrique : x=x0-b0t et y=y0+a0t, pourt2Z. (? ? ?) Théorème 18. L’algorithme ci-dessus donne l’ensemble complet des solutions (entières) de l’équation diophantienneax+by = c oùa, b, c sont donnés eta, bsont non nuls, en autant que l’équation possède des solutions.
La preuve de ce théorème sera faite à l’exercice 25.
L’étape (i)de l’algorithme ci-dessus est cruciale. Si pgcd(a, b) 6= 1 et si l’étape (i)a été sautée, les formules (? ? ?) ne donnent pas toutes les solutions. Voici un exemple : l’équation
4x-2y=6
admet des solutions puisque pgcd(4,-2) = 2est un diviseur de6. Une solution particulière est fournie parx0 = 1 ety0 = -1. Donc, si l’étape(i)a été sautée, l’ensemble des solutions serait décrit par
x=1+2t et y=-1+4t, pourt2Z.
Toutes les valeurs dexetyde ces solutions sont impaires. Mais il y a pourtant des solutions telles x = 2,y = 1 où une des deux variables est paires (ici x). Résolvons donc la même équation en suivant chacune des étapes de l’algorithme.
(i) Divisons les deux membres de l’équation par pgcd(4,-2) =2. L’équation équivalente (elle admet le même ensemble de solutions selon le théorème ci-dessus) est
2x-y=3.
(ii) Une solution particulière est facilement obtenue par inspection. Par exemplex0 =1et y0=-1satisfait2x-y=2⇥1-(-1) =3.
(iii) Finalement la solution générale est donnée par
x=1+t et y=-1+2t, pourt2Z.
On voit que la solutionx= 2,y= 1est maintenant incluse dans cette énumération (pour la valeurt = 1). Sur le graphe ci-contre, les points en bleu marquent les points à coordonnées entières de la droite2x-y = 3; ce sont évidemment les points représentant les solutions de l’équation4x-2y=6.
Exemple 7. Le problème suivant donne un exemple où la solution particulière n’est peut-être pas évidente et où il faut avoir recours à l’algorithme d’Euclide pour la trouver : résoudre l’équation dio- phantienne435x+55y=60.
Il faut d’abord décider si cette équation a des solutions. Utilisons l’algorithme d’Euclide pour trouver pgcd(435, 55). On a
435=7⇥55+50 55=1⇥50+5 50=10⇥5.
Ainsipgcd(435, 55) =5. Puisque5|60, l’équation proposée admet des solutions entières. Sa solution procède comme d’habitude. (i) Les deux membres de l’équation sont divisés par 5 :
87x+11y=12.
Puisqu’une solution particulière n’est pas évidente, le théorème de Bachet-Bézout vient à la rescousse.
Mais pour cela, il faut appliquer l’algorithme d’Euclide sur la paire(87, 11). En fait, son application à la paire(87, 11)peut être déduite de celle à la paire(435, 55)en divisant chacune des lignes par 5 (pourquoi ?) :
87=7⇥11+10 11=1⇥10+1 10=10⇥1.
2.3. ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES 39 Alors une solution particulière est obtenue en « remontant » ces lignes :
1=11-1⇥10
=11-1⇥(87-7⇥11)
=8⇥11-1⇥87.
Ainsi
-1⇥87+8⇥11=1.
Pour terminer l’étape (ii), il suffit de multiplier par12qui est le second membre de l’équation à résoudre : -12⇥87+96⇥11=12.
Une solution particulière est doncx0=-12ety0=96.
L’étape (iii), la dernière, donne la solution générale de l’équation diophantienne x=-12-11t et y=96+87t, pourt2Z. Il est toujours utile de vérifier la solution générale obtenue :
435x+55y=435(-12-11t) +55(96+87t)
=-5220-4785t+5280+4785t
=60,
comme il se doit.
Il arrive que l’on ne cherche que les solutions positives. Ceci ajoute donc une nouvelle contrainte au problème. Notons que, dans le cas où l’équation admet des solutions, siaetb sont de signes opposés, alors on a une infinité de solutions positives (la pente de la droite est positive). Mais siaetbsont de même signe, le nombre de solutions est au plus fini. La droite d’équationax+by=cpourrait même éviter complèment le quadrant oùxetysont positifs, auquel cas aucune solution positive n’existerait. Examinons ceci sur un exemple.
Exemple 8. Trouvons toutes les solutions positives de12x+18y=30. Puisquepgcd(12, 18) =6qui divise30, cette équation diophantienne aura des solutions. L’étape (i) consiste à remplacer l’équation donné par2x+3y=5(division de l’équation originale par lepgcd). La seconde (ii) demande de trouver une solution particulière, par exemplex0 =1ety0=1. Enfin l’étape (iii) donne la solution générale sous la forme
x=1-3t et y=1+2t, pourt2Z.
Ceci complète la solution de l’équation donnée. Cependant, puisque seules les solutions positives sont désirées, on doit imposer de plus1-3t > 0et1+2t > 0, c’est-à-dire-12 < t < 13. La seule valeur entière possible pourtest0. Ainsi la seule solution positive est celle déjà trouvée :(1, 1). Le graphe ci-contre montre effectivement que la droite2x+3y=5intersecte un seul point à coordonnées entières dans le premier quadrant.
Exemple 9. Voici enfin un exemple d’équation diophantienne à trois variables. On veut partager un butin de200 pièces d’or entre30personnes (hommes, femmes et enfants) de sorte que chaque enfant reçoive6pièces, chaque femme10pièces et chaque homme4. Combien y a-t-il d’enfants, de femmes et d’hommes ?
PosonsHpour le nombre d’hommes,FetEpour ceux des femmes et des enfants. Le problème consiste alors en chercher les solutions positives de l’équation
6E+10F+4H=200 soumise à la contrainte E+F+H=30.
De cette dernière équation, on tireH=30-E-Fqui permet de réécrire la première sous la forme 2E+6F=80 ou encore E+3F=40.
Puisquepgcd(1, 3) =1, cette dernière équation a des solutions. Une solution particulière est donnée parE0=F0=10. La forme générale des solutions est alors
E=10-3t, F=10+t, H=30-E-F=10+2t, pourt2Z.
Pour les solutions positives, on doit avoir-5 < t < 103. Le tableau ci-dessous dresse la liste de toutes les solutions possibles.
t Enfants Femmes Hommes
-4 22 6 2
-3 19 7 4
-2 16 8 6
-1 13 9 8
0 10 10 10
1 7 11 12
2 4 12 14
3 1 13 16
Il est aisé de vérifier que le nombre d’individus demeure30tel qu’imposé dans la donnée du problème.
EXERCICES
22. Vrai ou faux : une équation diophantienne ax+by = c aveca, b, c 2 Zet a, bnon nuls possédant une solution en possède automatiquement une infinité.
23. Quelles sont, parmi les équations diophantiennes ci-dessous, celles qui possèdent au moins une solution ?
2.3. ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES 41 (a) x+y=2
(b) 38x+14y=1 (c) 38x+14y=38 (d) 38x-14y=1 (e) 38x-14y=38
(f) 405 405x-366 597y=693
(g) 123 456 789x-987 654 321y=999 999 999
24. Trouver toutes les solutions des équations diophantiennes suivantes.
(a) 24x-35y=1 (b) 24x+35y=1 (c) 48x+72y=72 (d) 48x+72y=12 (e) 193x+388y=321
25.Cet exercice consiste à prouver le théorème 18. La preuve suit une méthode usuelle en mathé- matiques. L’algorithme proposé remplace le problème de trouver toutes les solutions entières de l’équationax+by=cpar celui de trouver toutes celles dea0x+b0y=c0où
a0= a
pgcd(a, b), b0 = b
pgcd(a, b) et c0 = c pgcd(a, b).
Soit S(a, b, c) l’ensemble des solutions de la première équation et S(a0, b0, c0) celui de la seconde. À l’aide de cette notation, la preuve du théorème est équivalente à montrer que S(a, b, c) =S(a0, b0, c0)et la méthode usuelle consiste alors à montrer
(a) S(a, b, c)⇢S(a0, b0, c0)et (b) S(a0, b0, c0)⇢S(a, b, c).
Pour montrer chacune de ces inclusions, supposer une solution quelconque du premier en- semble et essayer de montrer qu’elle appartient aussi au second.
26. Trouver les solutions entières de5x-3y+75=0telles quexy < 0.
27.Un céramiste (un peu original) décide de créer trois types de tuiles pour salles de bain :
Il compte les présenter à une foire où son kiosque peut être couvert par300tuiles unité (1⇥1).
Il aimerait bien avoir beaucoup de tuiles, par exemple un total de79 (oui, il est vraiment
original !). Pouvez-vous lui suggérer un nombre de tuiles à apporter pour chacun de ses trois types ?
2.4 Triplets de Pythagore
Cette section poursuit l’étude des équations diophantiennes, c’est-à-dire les équations de la forme polynôme=0où le polynôme est à coefficients entiers. Ici, le polynôme sera quadra- tique.
La dernière propositon du Livre I d’Euclide (proposition 48) énonce que si un triangle est tel que la somme des carrés des longueurs de deux de ses côtés est égale au carré de la longueur du troisième côté, ce triangle est rectangle. Avec des symboles, si on notea, b, cces longueurs, la relation s’écrit alorsa2+b2 = c2. Sia, b, csont des entiers naturels non nuls, le triplet(a, b, c)s’appelletriplet de Pythagore. Le triplet le plus célèbre est(3, 4, 5). En voici un autre :(5, 12, 13).
la tablette Plimpton 322 (WA Casselman, UBC)
On trouve des traces de triplets de Pythagore dans plusieurs civilisations antiques. Une ta- blette babylonnienne (Plimpton 322, datant du 18ième siècle av. JC) énumère une liste de 15 triplets de Pythagore (Pythagore ne naîtra que 1000 ans plus tard !). La découverte de cette tablette a soulevé des questions passio- nantes : par quelle méthode ces triplets ont-ils été découverts ? est-ce que cette tablette avait un but pédagogique, par exemple pour l’édu- cation des futurs scribes, ou était-ce un docu- ment de recherche ?
L’objectif de cette section est d’identifier tous les triplets de Pythagore, c’est-à-dire toutes les solutions entières (dansZ) de l’équation
x2+y2=z2.
Puisque les triplets sont par définition constitués d’entiers non nuls, il faut omettre les solu- tions
x=y=z=0, x=0, y=ketz=±k, x=k, y=0etz=±k
oùk 2 Z. Un triplet de Pythagore(x0, y0, z0)estprimitif six0 > 0, y0 >etz0 > 0et si leur plus grand commun diviseur est1: pgcd(x0, y0, z0) =1. Ainsi les triplets(3, 4, 5)et(9, 40, 41) sont primitifs, mais ni(-3, 4, 5)ni(6, 8, 10)ne le sont. Si un triplet de Pythagore(x, y, z)est tel que pgcd(x, y, z) =k, alors(xk,yz,kz)est un triplet primitif. Similairement, si(x0, y0, z0)est un triplet de Pythagore primitif, alors(kx0, ky0, kz0), k2Z, est aussi un triplet de Pythagore, mais il n’est pas primitif, à moins quek=1. Il suffit donc d’étudier les triplets primitifs.
2.4. TRIPLETS DE PYTHAGORE 43 Soit (x0, y0, z0)est un triplet de Pythagore primitif. L’un des nombresx0 ouy0est alors pair et l’autre est impair. En effet, si les deux étaient pairs, alorsz20=x20+y20serait un multiple de quatre et2 | pgcd(x0, y0, z0)contredisant la primitivité. Si les deux étaient impairs, par exemplex0 = 2n+1 et y0 = 2m+1 pour certains entiers m, n 2 N, alorsz0 serait pair (pourquoi ?) etz20un multiple de4; cependant
z20= (2n+1)2+ (2m+1)2=4(n2+m2+n+m) +2
n’est pas divisible par 4, ce qui est absurde. Pour la suite, sans perte de généralité, on supposera quex0est impair ety0est pair. Alorsz0sera impair.
Puisquey0est pair, posonsy0=2a, a2N. L’équationy20=z20-x20donne y20=4a2=z20-x20= (z0-x0)(z0+x0).
Puisque z0 etx0 sont impairs, alorsz0-x0 etz0+x0 sont pairs. Posonsz0+x0 = 2uet z0-x0=2vavecu, v2Nnon nuls. Les trois membres du triplet sont alors
x0=u-v, z0=u+v et y0=2a avec a2=uv.
Siuetvavait un facteur communk > 1, alorsx0, y0etz0aurait ce facteur en commun et le triplet ne serait pas primitif. Donc
pgcd(u, v) =1.
Puisqueuetvsont premiers entre eux etuv=a2, alorsuetvsont des carrés parfaits : u=m2, v=n2 avec pgcd(m, n) =1.
Les parités distinctes desxetyimpliquent que celles desmetndoivent aussi être distinctes.
En effet, six20est impair ety20pair, leur sommez20sera impaire. Alors, puisquez0=u+vet x0 = u-v, il faut que les parités deuetvsoient distinctes et donc, tel qu’annoncé, que les parités demetusoient aussi distinctes. Finalement, puisque le triplet(x0, y0, z0)s’exprime en fonction demetnsous la forme
x0=m2-n2, y0=2mn et z0=m2+n2, la condition que les trois membres du triplet soient positifs impose
m, n > 0 et m > n.
Ceci complète l’énumération des triplets de Pythagore primitifs.
Proposition 19. Sixest impair etyest pair, alors(x, y, z)est un triplet primitif si et seulement si x=m2-n2, y=2mn et z=m2+n2
oùmetnsont des entiers positifs, premiers entre eux, de parité distincte et satisfaisantm > n.
Cette proposition donne donc une solution complète de l’équation diophantiennex2+y2= z2, puisque les solutions non primitives sont obtenues aisément des primitives : si kest un entier non nul et(x0, y0, z0), alors les (±kx0,±ky0,±kz0)sont huit triplets de Pythagore et tous les triplets, primitifs ou non, sont de cette forme.
On pourrait penser que la solution d’autres équations diophantiennes, par exemplex5+ y5=z5ouy2=x3-x, pourrait être une simple variation de celle nous venons de faire pour x2+y2=z2. Ce n’est pas le cas. Chaque nouvelle équation apporte son lot de difficultés ! En fait un « défi » lancé parFermatau XVIIe siècle n’a été résolu que récemment. Alors que Fermat étudiait lesArithmétiquesde Diophante, il écrit dans la marge :Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j’en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir.Il faudra attendre trois siècles pour découvrir (ou redécouvrir ?) une preuve de cet énoncé maintenant connu sous le nom de Théorème de Fermat-Wiles.
Théorème 20(de Fermat-Wiles). Il n’existe pas de nombres entiers non nulsx, yetztels que xn+yn =zn
pournun entier plus grand ou égal à trois.
EXERCICES
28. Soit(x, y, z)un triplet de Pythagore. Si pgcd(x, y) = k, alors(x/k, y/k, z/k)est un triplet de Pythagore primitif.
29. Construire un triplet de Pythagore (x, y, z)primitif tel quexetysoient plus grands que100.
30.Une excellente source d’information sur la tablette Plimpton 322 est lapageécrite par W.A. Cas- selman. Est-ce que les triplets de Pythagore qui y apparaissent sont primitifs ?
31. (a) Dans un triplet de Pythagore primitif(x, y, z), lexou leyest un multiple de3.
(b) Exploration : les nombresxouysemblent-ils être multiples d’un autre entier ?
32. Rappelons que l’équation cartésienne du cercle unité centré à l’origine est donnée parx2+y2= 1. Étant donné un triplet de Pythagore(a, b, c)(c 6= 0), on a la relation ac 2+ bc 2 = 1. Le couple ac,bc est donc sur le cercle. Démontrer que tous les points du cercle de coordonnées ra- tionnelles (sauf un point particulier que l’on identifiera) sont de la forme(x, y) = (1-r1+r22,1+r2r2) oùrest un nombre rationnel.
33.Soit l’équationx3+y3 = z3et(x, y, z)une de ses solutions primitives. (La définition de pri- mitivité est identique à celle pourx2+y2=z2.) L’argument utilisé pour rejeter des solutions
2.4. TRIPLETS DE PYTHAGORE 45 dex2+y2=z2avecxetyde même parité s’étend-il à ce cas ? Qu’en est-il pour les équations xn+yn =zn avecn 3? (Évidemment, l’utilisation du théorème de Fermat-Wiles n’est pas permise.)
