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cristallins
Daniel Alejandro Parra Vogel
To cite this version:
Daniel Alejandro Parra Vogel. Théorie spectrale et de la diffusion pour les réseaux cristallins. Mathé-matique discrète [cs.DM]. Université de Lyon, 2017. Français. �NNT : 2017LYSE1001�. �tel-01501943�
No d’ordre NNT : 2017LYSE1001
THÈSE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE LYON
opérée au sein del’Université Claude Bernard Lyon 1 École Doctorale Infomaths ED512
Spécialité : Mathématiques
Soutenue publiquement le 09/01/2017, par :
Daniel Alejandro Parra Vogel
Théorie spectrale et de la diffusion
pour les réseaux cristallins
Devant le jury composé de :
M. KELLENDONK Johannes, Professeur des Universités, Université Lyon 1 Président
Mme ANNÉ Colette, Chargée de Recherche - HDR, Université de Nantes Examinatrice M. FAUPIN Jérémy, Professeur des Universités, Université de Lorraine Rapporteur M. HÄFNER Diertrich, Professeur des Universités, Université de Grenoble Examinateur Mme TRUC Françoise, Maître de Conférences - HDR, Université de Grenoble Examinatrice M. RICHARD Serge, Maître de Conférences - HDR, Université Lyon 1 Directeur de thèse
Résumé de la thèse
Dans cette thèse nous nous intéressons à différents aspects de la théorie spec-trale et de la diffusion pour des opérateurs qui agissent sur des espaces discrets. Ces opérateurs sont les analogues discrets des opérateurs différentiels sur des variétés Rie-manniennes pour le Chapitre 1 et Chapitre 2, et des opérateurs pseudodifférentiels magnétiques surRd dans le Chapitre 3.
Dans le Chapitre 1 nous étudions des opérateurs de Schrödinger périodiques sur des cristaux topologiques ainsi que leurs perturbations. Les cristaux topologiques sont une version abstraite de graphes périodiques qui permettent de modéliser des cristaux parfaits. Ils sont donnés par un recouvrement d’un graphe fini X par un graphe in-fini X tel que X admet un action de Zd compatible avec le recouvrement. Nous
sommes donc amenés à étudier des opérateurs de Schrödinger périodiques de la forme
H0 = Δ + V sur X, où l’opérateur Δ correspond au Laplacien discret périodique sur
X et V est un potentiel périodique. Le Laplacien périodique est défini une fois qu’on
a choisi une mesure m sur X périodique par rapport à l’action deZd. Ce cadre permet
d’étudier deux types de perturbations. D’un côté, on peut modifier la mesure par une mesure m non périodique, et d’un autre côté on peut aussi remplacer le potentiel par un potentiel non périodique V. En utilisant la méthode de l’opérateur conjugué, on démontre, sous certaines conditions de convergence à l’infini de m vers m et de V vers V , la stabilité de la nature fine du spectre (partie absolument continue, partie singulière, finitude locale des valeurs propres) de H := Δ+ V par rapport à celle de H0. Ici, Δ correspond au Laplacien discret défini par la mesure m. Dans ce sens,
nos résultats généralisent des résultats de Boutet de Monvel et Sahbani obtenus pour des perturbations multiplicatives uniquement dans le cas du grapheZd. Notons que
pour la convergence de V vers V on a utilisé deux types de conditions normalement décrites dans la littérature comme de courte portée et de longue portée. Pour la conver-gence de m vers m nous considérons uniquement une convergence à courte portée. Notons également que le résultat pour la perturbation métrique du graphe n’était pas disponible même dans le cadre simple du grapheZd.
Dans le Chapitre 2 nous étendons l’étude de ce sujet à d’autres opérateurs sur des cristaux topologiques. On montre notamment que la décomposition de Floquet-Bloch qui était nécessaire pour l’étude de l’opérateur Δ peut être déduite de la décomposi-tion de l’opérateur Gauss-Bonnet. Cet opérateur est l’analogue discret de l’opérateur Gauss-Bonnet pour des variétés et peut être écrit sous forme matricielle comme0 d∗
d 0
où d est l’analogue discret de la dérivation extérieure. Grâce à cette décomposition on peut montrer que le spectre a, comme pour le Laplacien, une structure de bandes. De plus, en réutilisant des résultats abstraits du Chapitre 1 on montre aussi que cette structure est stable pour des perturbations à la fois multiplicative et du graphe.
Comme corollaire on obtient des résultats similaires pour le Laplacien agissant sur les arêtes.
Finalement, dans le Chapitre 3 on s’intéresse à l’étude de certains opérateurs de Schrödinger magnétiques surZd. Ces opérateurs sont définis par des symboles et des
potentiels magnétiques définis surZd× Zd. En utilisant des méthodes C∗-algébriques,
on montre que la continuité d’une famille de symboles et de champs magnétiques assurent la continuité des composantes spectrales de la famille d’opérateurs de Schrö-dinger correspondants ainsi que des gap spectraux. Notons que le cadre C∗-algébrique permet de traiter la continuité magnétique de façon invariante par transformation de jauge, c’est-à-dire que la continuité est imposée au champ magnétique et non pas au potentiel magnétique.
Table des matières
Résume de la thèse iii
Table des matières v
Introduction 1
1 Schrödinger operators 9
1.1 Introduction . . . 9
1.2 Framework and main result . . . 10
1.3 Integral decomposition. . . 14
1.4 Analyticity of the periodic operator . . . 18
1.4.1 A brief review of real analyticity . . . 18
1.4.2 Analytic decomposition of the periodic operator . . . 19
1.5 Mourre theory and the conjugate operator . . . 20
1.5.1 Mourre theory . . . 21
1.5.2 The conjugate operator . . . 22
1.6 Proof of the main theorem . . . 30
1.6.1 A few regular operators . . . 30
1.6.2 Regularity of the perturbations and proof of Theorem 1.2.2 . 35 2 Gauss-Bonnet operators 43 2.1 Introduction . . . 43
2.2 Preliminaries and main result . . . 44
2.2.1 The Gauss–Bonnet operator . . . 44
2.2.2 Topological crystals . . . 45
2.2.3 Statement of the main theorem . . . 47
2.3 Integral decomposition. . . 49
2.3.1 Discrete magnetics operators on a graph . . . 49
2.3.2 Decomposition into magnetic operators . . . 50
2.3.3 Integral decomposition with a constant fiber . . . 53
2.4 Proof of the main theorem . . . 55
2.5 Schrödinger operators acting on edges . . . 60
3 Magnetic pseudodifferential operators 65 3.1 Introduction . . . 65
3.2 Discrete magnetic systems . . . 67
3.2.1 From magnetic potentials to 2-cocycles . . . 67
3.2.2 Twisted crossed product algebras and their representations . 69
3.2.3 Back to magnetic systems . . . 72
3.3 A continuous field of C∗-algebras . . . 73
3.4 The scaling example . . . 77
Introduction
On commence par présenter un cas simple qui a motivé notre recherche. Le La-placien discret surZd est défini pour f ∈ l2(Zd) par
(Δf )(μ) =
|γ−μ|=1
f (γ)− f(μ).
Pour pouvoir étudier ses caractéristiques spectrales on définit la transformation de FourierF : l2(Zd)→ L2(Td) pour f à support compact par
[F f] (ξ) =
μ∈Zd
e−2πiξ·μf (μ) .
De simples vérifications permettent d’obtenir pour un vecteur convenable u∈ L2(Td)
[F ΔF∗u] (ξ) = ⎛ ⎝2d j=1 (cos(2πξj)− 1) ⎞ ⎠u(ξ) .
Il suit que σ(−Δ) = σac(−Δ) = [0, 4d]. Pour pouvoir étudier des perturbations de cet
opérateur, une approche consiste à construire un opérateur conjugué. Sous le nom de
méthode à commutateurs ou théorie de Mourre, cette approche montre que pour un
Hamiltonien générique H, l’existence d’un opérateur auto-adjoint non-borné A tel que le commutateur [H, iA] est strictement positif permet de déduire que H a de bonnes propriétés spectrales ainsi que de propagation.
Pour construire cet opérateur conjugué, on définit λ :Td → R par
λ(ξ) = 2 d j=1 (1− cos(2πξj)) = d j=1 (2− e2πiξj− e−2πiξj) .
Pour un opérateur de multiplication on peut définir un opérateur conjugué A par
A := 1
2((i∇λ) · ∇ + ∇ · (i∇λ)) = (i∇λ) · ∇ +
i 2Δλ , où ∇ = (−i2π∂ξ∂ 1, . . . , −i 2π ∂
∂ξd) et Δ = ∇ · ∇. En effet, on peut facilement voir que le
premier commutateur est donné par
[iλ, A] =|∇λ|2= 4
d
j=1
sin(2πξj)2 .
Donc, si on veut s’assurer de la positivité du commutateur [iλ, A] il est nécessaire d’étudier pour quel ξ ∈ Td on a |(∇λ)(ξ)| = 0. C’est clair que si |(∇λ)(ξ)| = 0
alors λ(ξ)∈ {0, 4, . . . , 4d} =: τ. Ces valeurs sont appelées les seuils et correspondent aux niveaux d’énergie pour lesquels on n’a pas de bonnes estimations. L’utilité d’une telle construction est qu’elle nous permet d’étudier non seulement−Δ mais aussi des perturbations compactes de celui-ci. Plus précisément, considérons un opérateur de la forme
H :=−Δ + R
où R est un opérateur de multiplication par une fonction R : Zd → R. Si R tend
vers 0 à l’infini, R est un opérateur compact et donc on sait que σess(−Δ + R) =
σess(−Δ) = [0, 4d]. La méthode à commutateurs est utile si on veut investiguer les propriétés spectrales plus fines de H. Si on peut montrer que R est “régulier” par rapport à A, on a que les valeurs propres de H sont de dimension finie et peuvent s’accumuler seulement aux seuils. Puisqu’on a déjà vu que l’ensemble des seuils était discret, on peut également déduire que pour chaque intervalle fermé I ⊂ [0, 4d] \τ le spectre de H est composé de spectre absolument continu avec un nombre au plus fini de valeurs propres, multiplicités prises en compte.
Le fait que R soit régulier par rapport à A peut se relier à la bornitude du commutateur entre R et A. Pour le calculer, il faut représenter les deux opérateurs dans le même espace. PourZd, on peut donner une expression simple et explicite pour
F∗AF . En effet, si on prend en compte (F∗e2πiξjF f)(μ) = f(μ + δj) =: (Sjf )(μ)
et (F∗ i∂2π∂
ξjF f)(μ) = μjf (μ) =: (Njf )(μ) on peut voir que
F∗AF = id j=1 (Sj− Sj∗)Nj− Sj+ Sj∗ 2 .
Donc, pour conclure que [iR,F∗AF ] est borné, seul le premier facteur est relevant.
En effet, on a que [iR,F∗AF ] = d j=1 (Nj+ 1)[Sj, R] + (Nj− 1)[R, Sj∗] + K
où K est un opérateur compact. Il s’ensuit que si R décroit assez rapidement on peut montrer la régularité de R par rapport à A. Plus précisément, on a le théorème suivant qui a été à la base de notre recherche.
Théorème 0.1 ([BS99, Theorem 2.1]). Supposons que R peut être écrit comme R =
Rs+ Rl tel que pour chaque j = 1, . . . , d on a
∞ 1 dλ sup λ<|μ|<2λ|Rs(μ)| < ∞ (1) ∞ 1 dλ sup λ<|μ|<2λ| [(Sj− 1)(Rl)] (μ)| < ∞ . (2) Alors :
1. l’ensemble de valeurs propres de H n’a pas de point d’accumulation sauf (peut-être) en τ , et chaque valeur propre est de dimension finie ;
3
3. il existe un sous-espace K ⊂ l2(Zd) tel que les applications holomorphes C±
z → (H − z)−1∈ B(K, K∗) s’étendent à une application ∗−faible continue sur C±∪ [R\(σp(H)∪ τ)].
Ici (1) est communément décrite dans la littérature comme une condition de
courte portée tandis que (2) comme une condition de longue portée. De plus, il faut noter que pour la preuve les auteurs de [BS99] utilisent un autre opérateur conjugué, défini directement sur le graphe par ˜A = dj=1Nj(Sj− 1) − (Sj∗− 1)Nj. Cependant,
cette approche utilise fortement le fait que Δ = (Sj− 1)(Sj∗− 1) ce qui n’est plus vrai
pour des graphes plus généraux.
Si on considèreZdcomme l’espace de phase d’une particule, on peut se demander
ce qu’il arrive si on bouge un peu chaque site. Pour modéliser cette perturbation le Laplacien doit être modifié comme suit. Soit d(μ, γ) la distance perturbée entre μ et
γ et|μ − γ| la distance usuelle. Alors, le Laplacien perturbé est donné par
(Δf )(μ) =
|γ−μ|=1
d(μ, γ)−1f (γ)− f(μ).
Évidemment il coïncide avec Δ quand d(μ, γ) =|μ − γ|. Il définit un opérateur borné auto-adjoint dans l2(Zd) pourvu que d(·, ·) soit inférieurement bornée par une
cons-tante strictement positive.
Ceci suggère de traiter Zd comme un graphe avec un ensemble de sommets V donnés par les éléments deZd et un ensemble d’arêtes par E ={e = {μ, γ} : |μ−γ| =
1}. De plus, on peut se demander quels graphes permettent de développer une analyse comme le précédent. On peut s’apercevoir que l’aspect fondamental est d’admettre une action deZd pour pouvoir définir une transformation de Fourier.
Notons par X = (V, E) un graphe avec un ensemble de sommets V et un ensemble d’arêtes non orientées E. Le Laplacien sur un graphe non pondéré est défini par
[Δf ] (x) =
y∼x
(f (y)− f(x))
où deux sommets sont reliés, noté x ∼ y, s’il y a une arête entre les deux, c’est-à-dire, s’il existe e ∈ E tel que e = {x, y}. Un homomorphisme α entre deux graphes
X = (V, E) et X = (V, E) est donné par deux fonctions V x → αx ∈ V et
E e → αe ∈ E tel que si e = {x, y} on a αe = {αx, αy}. On dit que X admet une action de Zd s’il existe un homomorphisme de groupes entre Zd et le groupe d’automorphismes de X, noté Aut(X). Souvent on n’écrit pas cet isomorphisme et on dit queZd agit sur X par automorphismes. En général, pour ce genre de graphes
un résultat comme leThéorème 0.1 n’est pas disponible. Cependant, on peut tout de même mentionner [And13] où pour le cas particulier du réseau hexagonal des résultats partiels sont disponibles.
Considérons le graphe infini donné par le pavage hexagonal. Une action deZ2peut être définie comme dans la Figure 0.1. Puisqu’il y a deux orbites des sommets sous l’action deZ2, la transformation de Fourier doit être définie à valeurs vectorielles. Plus
précisément, si X = (V, E) est le réseau hexagonal, et x0et y0sont deux représentants
des orbites on peut définir
U : l2(V )→ L2(T2;C2) ; (U f)(ξ) = μ∈Z2
e2πiξ·μf (μx0),
μ∈Z2
(0, 1)
(1, 0)
Figure 0.1 – Le réseau hexagonal et l’action de Z2.
Dans ce cas le Laplacien n’est plus après transformation de Fourier un opérateur de multiplication par une fonction mais plutôt par une matrice. En fait on a :
(U ΔU∗f )(ξ) = −3 1 + e−2πiξ1+ e−2πiξ2 1 + e2πiξ1+ e2πiξ2 −3 f1(ξ) f2(ξ) . (3)
La forme particulière de cette matrice dépend du choix de x0 et y0 mais (3) peut être
obtenue en choisissant x0 et y0 de sorte qu’ils soient reliés par une arête horizontale.
En calculant les valeur propres de cette matrice on obtient qu’elles sont données par
λ±= 3±
3 + 2 cos(2πiξ1) + 2 cos(2πiξ2) + 2 cos(2πi(ξ1− ξ2)) .
Une fois qu’on a trouvé les valeurs on peut répéter l’argument précédent pour l’opéra-teur conjugué sauf que cette fois-ci il a une forme matricielle. En fait, on a le théorème suivant.
Théorème 0.2 ([And13, Theorem 2.7]). Soit X le réseau hexagonal et soit R un
potentiel à support compact. Pour H =−Δ + R on a
1. Les valeurs propres de H sont de multiplicité finie et peuvent s’accumuler seule-ment en τ :={0, 2, 3, 4, 6}.
2. H n’a pas de spectre singulier continu.
3. Un principe d’absorption limite est valable en dehors de τ∪ σp(H).
Le résultat principal de la première partie de cette thèse Theorem 1.2.2 est un résultat similaire aux précédents Théorèmes 0.1 et 0.2 mais qui les généralise dans trois directions. La première est qu’il ne s’adresse pas à un graphe particulier mais à la classe de graphes périodiques connus comme cristaux topologiques suivant les travaux de Sunada [Sun12]. Ces graphes abstractisent la notion d’être invariant par translations pour traiter des graphes qui ne sont pas nécessairement plongés dans un espace Euclidien. Dans ce cas la transformation unitaireU doit être définie de l2(V )
dans L2(Td;Cn), où n est donné par le nombre d’orbites de sommets sous l’action de
Zd.
Une deuxième direction est de considérer des perturbations du graphe lui-même. On dit q’un graphe est pondéré s’il est doté d’une mesure m définie sur les sommets et sur les arêtes non-orientées. Pour un graphe pondéré (X, m) le Laplacien est donné par
[Δ(X, m)f ] (x) =
y∼x
m({x, y})
5
On peut donc étudier des perturbations du graphe en imposant qu’une mesure dite perturbée m converge à l’infini vers une mesure périodique m. La périodicité de m est définie par rapport à l’action deZd. Pour ce type de perturbations dites métriques
un principe d’absorption limite a été démontré dans [AIM16, Theorem 7.7]. Cepen-dant ils considèrent seulement des perturbations compactes, c’est-à-dire que m et m coïncident en dehors d’un ensemble fini de sommets et arêtes.
Finalement une troisième direction est de considérer les potentiels comme dans leThéorème 0.1. Il semble naturel d’ajouter un potentiel périodique R0 à l’opérateur
non-perturbé. Ces potentiels deviennent après transformation de Fourier juste un opérateur de multiplication par une matrice diagonale. Il faut noter que dans le cas Zd ceci revenait juste à ajouter une constante. Donc, comme perturbation on est
amené à considérer des potentiels qui tendent à l’infini vers le potentiel périodique
R0. C’est l’action de Zd qui permet d’étudier cette convergence et de donner une condition du type courte portée. Pour la condition de longue portée on doit trouver l’analogue de la dérivation. On peut voir que la condition naturelle à imposer est une décroissance de
e ={x, y} → |Rl(y)− Rl(x)| (4)
où Rl représente la partie à longue portée de la différence R− R0. À nouveau c’est
l’action de Zd, une fois qu’on a choisi des représentants des orbites des arêtes, qui permet de donner des conditions comme celles duThéorème 0.1.
On voudrait maintenant comprendre pourquoi (4) est un condition naturelle. Ceci nous amène à présenter aussi le cadre de la deuxième partie de cette thèse. Pour cela il faut tout d’abord introduire quelques objets. Soit X = (V, E) un graphe. Pour chaque arête non-orientée e ={x, y} de E on considère deux arêtes orientées (x, y) et (y, x). On note par A l’ensemble des arêtes orientées ainsi construites mais on continue de noter par e ces arêtes orientées. On note aussi par o(e) l’origine d’une arête orientée et par t(e) sa cible. De plus, on note par e l’arête opposée à e. Par analogie avec le géométrie différentielle on considère les fonctions définies sur V comme des 0− formes. Donc, les fonctions définies sur les arêtes correspondent à des 1−formes. Plus précisément on définit les espaces de 0−cochaînes C0(X) et 1−cochaînes C1(X) par
C0(X) :={f : V → C} ; C1(X) :={f : A → C | f(e) = −f(e)} . On peut maintenant définir l’analogue discret de la dérivation extérieure par
d : C0(X)→ C1(X) ; [df ] (e) = f (t(e))− f(o(e)) .
On voit donc qu’imposer une décroissance sur (4) correspond bien à imposer une condition sur la dérivée du potentiel. De plus on a bien la factorisation d∗d = Δ.
Jusqu’à maintenant on a donc considéré des opérateurs différentiels discrets du deuxième ordre perturbés par des opérateurs d’ordre 0. Il semble naturel de se poser la question : est-ce que l’on peut étudier par la méthode à commutateurs des opérateurs différentiels du premier ordre ? La réponse est notreTheorem 2.2.5. Notre opérateur du première ordre est l’opérateur de Gauss-Bonnet D introduit dans [AT15]. Puisqu’on veut que formellement D := d + d∗ on doit le définir comme suit
D : C0(X)⊕ C1(X)→ C0(X)⊕ C1(X) ; D(f0, f1) := 0 d∗ d 0 f0 f1 = (d∗f1, df0) .
Pour étudier cet opérateur la transformation unitaireU doit s’étendre à l2(X) =
l2(V )⊕ l2(E) à valeur dans L2(Td;Cn+l), où l est donné par le nombre d’orbites
d’arêtes sous l’action deZd. Pour cet opérateur il n’y avait pas de résultats disponibles
pour des graphes périodiques généraux mais on peut tout de même faire référence à [GH14]. Dans cette référence, l’opérateur dit de Dirac discret est étudié sur l2(Z; C2).
Il est défini pour m≥ 0 par
−Dm:= −m (S1− 1) (S1∗− 1) m .
Dans ce cas, la structure de graphe est cachée derrière le fait qu’il y a une corres-pondance bijective entre les arêtes non orientées et Z. Cette identification donne l’équivalence entre d et S1− 1. Leur résultat est le suivant.
Théorème 0.3 ([GH14, Theorem 1.2]). Soit R∈ l∞(Z; R2) et α∈ N avec lim
n→±∞R(n) = 0 (5)
R|Z+ − S1αR|Z+ ∈ l1(Z+,R2) . (6)
Alors le spectre de l’opérateur perturbé H := Dm+R est purement absolument continu
dans (−√m2+ 4,−m) ∪ (m,√m2+ 4).
Dans le Theorem 2.2.5 nos conditions sont à nouveau données en termes de dé-croissance pour le potentiel qui maintenant doit être défini sur les sommets et sur les arêtes. De plus nous traitons, comme pour le Laplacien, des perturbations de courte portée de la métrique.
Un autre type de problèmes est d’étudier les analogues discrets des opérateurs magnétiques. Le Laplacien magnétique pour un graphe général X = (V, E) est défini à partir d’un potentiel magnétique ϕ : V × V → R tel que ϕ(x, y) = −ϕ(y, x). On peut alors définir Δϕ dans l2(V ) par
[Δϕf ] (x) =
y∼x
eiϕ(x,y)m({x, y})
m(x) (f (y)− f(x)) .
L’idée d’un analogue discret des opérateurs magnétiques a ses racines dans le modèle de Harper. Ce modèle a reçu beaucoup d’attention à cause de ses propriétés spectrales particulières. L’opérateur de Harper est un opérateur de Schrödinger magnétique sur Z2 avec un champ magnétique constant. Il peut être défini en choisissant deux constantes α1 et α2 tel que α2− α1 =: θ correspond, dans le cas continu, au flux
du champ magnétique à travers une cellule unité. Si on note par {δj}j=1,2 la base
canonique deZ2, le potentiel magnétique est défini par
ϕ(μ, γ) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −α1μ2 si γ− μ = δ1 α1μ2 si γ− μ = −δ1 −α2μ1 si γ− μ = δ2 α2μ1 si γ− μ = −δ2 (7)
7
et on définit l’opérateur de multiplication R par R(μ) = 2(cos(α1μ2) + cos(α2μ1)).
Donc, pour ces fonction ϕ et R et des poids triviaux, l’opérateur de Harper est défini par Hα1,α2 = Δϕ+ R. En effet on a :
[Hα1,α2f ] (μ) = e−iα1
μ2f (μ+δ
1)+eiα1μ2f (μ−δ1)+e−iα2μ1f (μ+δ2)+eiα2μ1f (μ−δ2) .
En contraste avec le cas continu, le spectre de Hα1,α2 dépend fortement du paramètre θ. Parmi les différentes approches utilisées pour étudier ce problème, les C∗−algèbres
sont un outil puissant qui permet d’étudier l’opérateur de Harper mais aussi ses généralisations. Ceci est motivé par la remarque suivante. Définissons deux opérateurs unitaires dans l2(Z2) U et V par
U : = e−iα2N1S 2 V : = e−iα1N2S 1 . Donc on a Hα1,α2 = V + V∗+ U + U∗ . (8)
L’importance de (8) est qu’il montre que Hα1,α2 est dans la C∗-algèbre engendrée par U et V . Puisque U et V satisfont
U V = eiθU V (9)
cette algèbre correspond à une représentation dans l2(Z2) de l’algèbre des rotations
Aθ. Ceci explique pourquoi Hα1,α2 présente des propriétés spectrales différentes si θ ∈ Q ou θ /∈ Q. Par exemple, si θ ∈ Q, on peut montrer que Hα1,α2 a une structure
de bandes [Sun94] tandis que si θ /∈ Q le spectre est un ensemble de Cantor [AJ09]. D’un autre côté, le fait que{Aθ}θ∈[0,2π] soit un champ continu de C∗−algèbres a été
exploité pour montrer que les bords du spectre de Hα1,α2 sont continus quand on fait
varier θ := α2−α1. En effet, la continuité Lipschitz ou Hölder peut être montrée dans
certains cas.
Dans la troisième partie de cette thèse nous nous intéressons au problème de la continuité du spectre pour des opérateurs de Schrödinger magnétiques agissant sur
l2(Zd). Ils sont définis par un symbole h et un potentiel magnétique ϕ et agissent par [Hf ] (μ) :=
γ∈Zd
h(μ; γ− μ)eiϕ(μ,γ)f (γ) . (10)
Sous certaines conditions sur h, (10) définit un opérateur borné auto-adjoint. De plus pour le ϕ défini par (7) et
h(μ; γ) =
1 si|γ| = 1
0 si non, (11)
l’opérateur de Schrödinger magnétique H défini par (10) coïncide avec Hα1,α2. De
tels opérateurs ont été étudiés dans [Nen05] sous le nom d’opérateurs de Harper généralisés. Sous une condition de décroissance exponentielle de h, il est montré que les bords du spectre d’une famille d’opérateurs H varie, à un facteur près, de façon
Notre approche est tout autre parce qu’on cherche sous quelle hypothèse on peut faire varier et le symbole h et le potentiel ϕ de manière à assurer la continuité des com-posantes spectrales. Cette approche suit la tradition de l’utilisation des C∗−algèbres car notre premier pas est de trouver une C∗−algèbre et une représentation de cette algèbre dans l2(Zd) telle que les opérateurs de Schrödinger magnétiques soient dans
l’image. Ce prérequis correspond à l’analogue de (8). Dans ce cadre, l’aspect magné-tique est encodé par la représentation et donc pour chaque élément de la C∗−algèbre on a un opérateur magnétique correspondant. Le résultat principal de cette partie est leTheorem 3.3.3où sous des hypothèses de continuité d’une famille d’éléments de la
C∗−algèbre on obtient la continuité des composantes spectrales de ses représentations
magnétiques. Ce résultat abstrait permet à son tour de montrer leTheorem 3.1.2qui correspond au cas traité dans de la référence [Nen05].
On termine cette introduction en présentant la structure de cette thèse. Le Cha-pitre 1traite du problème des opérateurs de Schrödinger sur des cristaux topologiques. Ce chapitre correspond à la prépublication
— D. Parra, et S. Richard, Spectral and Scattering theory for Schrödinger
ope-rators on perturbed topological crystals, arXiv:1607.03573.
Le Chapitre 2 utilise en partie les résultats abstraits du Chapitre 1 pour étudier d’autres types d’opérateurs définis sur des cristaux topologiques. Il correspond à la prépublication
— D. Parra, Spectral and Scattering theory for Gauss-Bonnet operators on
per-turbed topological crystals,arXiv:1609.02260.
Finalement, le Chapitre 3 présente des résultats de continuité du spectre pour des familles d’opérateurs de Schrödinger magnétiques et correspond à l’article publié
— D. Parra, et S. Richard, Continuity of the spectra for families of magnetic operators on Zd, Anal. Math. Phys. 6 no. 4, 327–343, 2016.
Chapter 1
Schrödinger operators
1.1
Introduction
The aim of this chapter is to describe the spectral theory of a Schrödinger opera-tor H acting on a perturbed periodic discrete graph. The main strategy is to exploit the fibered decomposition of the periodic underlying operator H0in the unperturbed
graph to get a Mourre estimate. Then, by applying perturbative techniques, the de-scription of the nature of the spectrum of H can be deduced: it consists of absolutely continuous spectrum, of a finite number (possibly zero) of eigenvalues of infinite mul-tiplicity, and of eigenvalues of finite multiplicity which can accumulate only at a finite set of thresholds. The scattering theory for the pair (H, H0) is also investigated.
The study of Laplace operators on infinite graphs has recently attracted lots of attention. Let us mention for example the problem of essential self-adjointness for very general infinite graphs [GS11; Kel15], or the more precise study of the spectrum for bounded Laplacians [AH09; MRT07]. For periodic graphs it is well-known that this spectrum has a band structure with at most a finite number of eigenvalues of infinite multiplicity [HN09]. This structure is preserved if one considers periodic Schrödinger operators [KS14;KS15b;KS15a]. Our interest is in what happens when such periodic Schrödinger operators are perturbed.
The perturbations we consider are of two types. On the one hand we add a potential that decays at infinity either as a short-range or as a long-range function. To the best of our knowledge this has not been studied for general periodic graphs and only the case of Zd has been fully investigated in [BS99]. In that respect, our main
theorem generalizes such results to arbitrary periodic graphs. Note that some related results on the inverse scattering problem are available forZdin [IK12] and the hexagon lattice in [And13], but only compactly supported perturbations are considered.
The second types of perturbations we consider correspond to the modification of the graph itself. This kind of perturbations has recently been studied in [SS15] for investigating the stability of the essential spectrum. In [AIM16] results similar to ours are exhibited, but the perturbations considered there are only compactly supported and some implicit conditions on the Floquet-Bloch variety are assumed. These two restrictions do not appear in our work. Let us still mention the related work [CT13] where compactly supported perturbation are considered in the framework of a regular tree.
As pointed before, the two main tools that we use is the Floquet-Bloch decompo-sition of periodic Schrödinger operator and Mourre theory. This decompodecompo-sition is an important tool for the analysis of the periodic graphs and we mention only a few arti-cles that use it [And13;AIM16; HN09;KS14;KSS98]. For Mourre theory, we refer to [ABG96] for the general theory and to [GN98b] for this theory applied to analytically fibered operators from which our work is inspired. In the discrete setting, this theory has already been used for example in [AF00; MRT07]. In the special case of the graph Zd, it plays a central role in [BS99]. Mourre theory for more general periodic graphs
has also been mentioned in [HN09] for proving that the Laplace operator has a purely absolutely continuous spectrum outside some discrete spectrum. However, since no perturbation were considered in that paper, the theory was not further developed. Our work can thus also be seen as an extension of that work.
Finally, we would like to stress that several definitions of periodic graphs can be found in the literature. We have opted for the setting of topological crystals which has the advantage that no embedding in the Euclidean space is needed. We refer to [Sun12] for a thorough introduction to topological crystals and to many examples of such structures.
Let us still mention that in this chapter we restrict our attention to Laplace operators acting on the vertices of the graph. InChapter 2, Gauss-Bonnet operators are studied, as well as the Laplacian acting on edges [BGJ15]. Note that the Gauss-Bonnet operator is a Dirac-type operator that acts both on vertices and edges. This operator has recently been investigated in [AT15; GH14].
We finally describe the content of this chapter. In Section 1.2 we describe the framework of our investigations and provide our main result. Under suitable assump-tions it consists in the description of the spectral type of the operators under inves-tigation, and in the existence of suitable wave operators. More precise information on the purely periodic setting are then presented in Section 1.3 and we show that the periodic operator H0 can be decomposed into a family of magnetic Schrödinger
operators. InSection 1.4 it is proved that the latter operator is unitarily equivalent to an analytically fibered operator. In order to be self-contained, a brief review on real analyticity and a few definitions and results are provided. Section 1.5 is dedi-cated to the conjugate operator theory, also called Mourre theory. For completeness, we first describe the abstract framework of this theory, and provide then a thorough construction of the necessary conjugate operator. In fact, this construction is inspired from [GN98b] but part of the argumentation has been simplified for our context. In addition, we can take advantage of the recent reference [RT09] which supplies a lot of information on toroidal pseudodifferential operators. Based on all these prelim-inary constructions, the proof of the main theorem is given in Section 1.6. A first preliminary subsection discuses the regularity of some abstract operators with respect to the newly constructed conjugate operator, and these results are finally applied to operators appearing in our context of the perturbation of a periodic graph.
1.2
Framework and main result
In this section we describe the framework of our investigations and state our main result.
1.2. FRAMEWORK AND MAIN RESULT 11
A graph X =V (X), E(X)is composed of a set of vertices V (X) and a set of unoriented edges E(X). Graphs with loops and parallel edges are accepted. Generi-cally we shall use the notation x, y for elements of V (X), and e ={x, y} for elements of E(x). If both V (X) and E(X) are finite sets, the graph X is said to be finite.
A morphism ω : X → X between two graphs X and X is composed of two maps
ω : V (X) → V (X) and ω : E(X) → E(X) such that it preserves the adjacency
relations between vertices and edges, namely ω(e) ={ω(x), ω(y)}. Let us stress that we use the same notation for the two maps ω : V (X)→ V (X) and ω : E(X) → E(X), and that this should not lead to any confusion. An isomorphism is a morphism that is a bijection on the vertices and on the edges. The group of isomorphisms of a graph X into itself is denoted by Aut(X). For a vertex x ∈ V (X) we also set
E(X)x:={e ∈ E(X) | x ∈ e}. If E(X)x is finite for every x ∈ V (X) we say that X
is locally finite.
A morphism ω : X → X between two graphs is said to be a covering map if (i) ω : V (X)→ V (X) is surjective,
(ii) for all x∈ V (X), the restriction ω|E(X)x: E(X)x → E(X)ω(x) is a bijection.
In that case we say that X is a covering graph over the base graph X. For such a covering, we define the transformation group of the covering as the subgroup of Aut(X), denoted by Γ, such that for every μ ∈ Γ the equality ω ◦ μ = ω holds. We now define a topological crystal, and refer to [Sun12, Sec. 6.2] for more details.
Definition 1.2.1. A d-dimensional topological crystal is a quadruplet (X,X, ω, Γ)
such that:
(i) X is an infinite graph, (ii) X is a finite graph,
(iii) ω : X → X is a covering map,
(iv) The transformation group Γ of ω is isomorphic to Zd,
(v) ω is regular, i.e. for every x, y ∈ V (X) satisfying ω(x) = ω(y) there exists μ∈ Γ such that x = μy.
We will usually say that X is a topological crystal if it admits a d-dimensional topological crystal structure (X,X, ω, Γ). Note that all topological crystal are locally finite, with an upper bound for the number of elements in E(X)x independent of x.
Indeed, the local finiteness and the fixed upper bound follow from the definition of a covering and the assumption (ii) of the previous definition.
From the set of unoriented edges E(X) of an arbitrary graph X we construct the set of oriented edges A(X) by considering for every unoriented edge{x, y} both (x, y) and (y, x) in A(X). The elements of A(X) are still denoted by e. The origin vertex of such an oriented edge e is denoted by o(e), the terminal one by t(e), and e denotes the edge obtained from e by interchanging the vertices, i.e. o(e) = t(e) and
t(e) = o(e). For x ∈ V (X) we set A(X)x ≡ Ax := {e ∈ A(X) | o(e) = x}. Clearly,
any morphism ω between a graph X and a graph X, and in particular any covering map, can be extended to a map sending oriented edges of A(X) to oriented edges of
A(X). For this extension we keep the convenient notation ω : A(X) → A(X).
A measure m on a graph X is a strictly positive function defined on vertices and on unoriented edges. On oriented edges, the measure satisfies m(e) = m(e). From
now on, let us assume that the graph X is locally finite. For such a graph the Laplace operator is defined on the space of 0-cochains C0(X) :={f | V (X) → C} by
[Δ(X, m)f ] (x) = e∈Ax m(e) m(x) ft(e)− f(x), ∀f ∈ C0(X). Furthermore, when degm: V (X)→ R+, degm(x) := e∈Ax m(e) m(x) (1.1)
is bounded, the operator Δ(X, m) is a bounded self-adjoint operator in the Hilbert space
l2(X, m) =f ∈ C0(X)| f2:=
x∈V (X)
m(x)|f(x)|2<∞
endowed with the scalar product
f, g =
x∈V (X)
m(x)f (x) g(x) ∀f, g ∈ l2(X, m).
Let us now consider a topological crystal X, a Γ-periodic measure m0 and a
Γ-periodic function R0 : V (X)→ R. The periodicity means that for every μ ∈ Γ, x ∈
V (X) and e∈ E(X) we have m0(μx) = m0(x), m0(μ e) = m0(e) and R0(μx) = R0(x).
We can then provide the definition of a periodic Schrödinger operator. It consists in the operator
H0 :=−Δ(X, m0) + R0. (1.2)
Note that we use the same notation for the function R0 and for the corresponding multiplication operator. As a consequence of our assumptions, the expression H0
defines a bounded self-adjoint operator in the Hilbert space l2(X, m0).
Our aim is to study rather general perturbations of the operator H0. In fact,
we shall consider two types of perturbations. The first one consists in replacing the multiplication operator by a function R which converges rapidly enough to R0 at
infinity. The precise formulation will be provided in the subsequent statement. The other type of perturbation is more substantial and consists in modifying the measure on the graph. For that purpose, we shall consider a second strictly positive measure
m on X, and which converges in a suitable sense to the Γ-periodic measure m0. The
corresponding perturbed operator acts then in the Hilbert space l2(X, m) and has the
form
H =−Δ(X, m) + R. (1.3) Let us stress that this modification of the measure naturally leads to a two-Hilbert space problem since the measures m0 and m enter into the definition of the
underlying Hilbert spaces. Fortunately, since the graph structure is not modified, a unitary transformation between both spaces is at hand. Namely, we consider J :
l2(X, m)→ l2(X, m 0) defined by [J f](x) = m(x) m0(x) 1 2 f (x), f ∈ l2(X, m). (1.4)
1.2. FRAMEWORK AND MAIN RESULT 13
Note that this map is well-defined and unitary since m0(x) and m(x) are assumed
to be strictly positive for any x∈ V (X). The inverse of J is given by [J∗f ](x) =
m0(x)
m(x)
1
2f (x). The fact that J is unitary plays an essential role in the comparison
of both operators.
We have now almost all the ingredients for stating our main result. The missing ingredient is the definition of the entire part of a vertex and of an edge, denoted respectively by [x] ∈ Γ and [e] ∈ Γ, see (1.8) and (1.9) for the details. Indeed, in order to properly introduce these notions some additional definitions are necessary and we have decided to postpone them to the next section. We still mention that the isomorphism between Γ andZd allows us to borrow the Euclidean norm| · | of Zd and to endow Γ with it. As a consequence of this construction, the notations|[x]| and |[e]| are well-defined, and the notion of rate of convergence towards infinity is available.
Theorem 1.2.2. Let X be a topological crystal. Let H0 and H be defined by (1.2)
and (1.3) respectively. Assume that m satisfies
∞
1
dλ sup
λ<|[e]|<2λ
m(o(e))m(e) − m0(e)
m0(o(e))
<∞ . (1.5)
Assume also that the difference R− R0 is equal to Rs+ Rl which satisfy
∞ 1 dλ sup λ<|[x]|<2λ|Rs(x)| < ∞, (1.6) and Rl(x)−−−→ 0,x→∞ and ∞ 1 dλλ<sup|[e]|<2λ Rl t(e)− Rl o(e)<∞ . (1.7)
Then, there exists a discrete set τ ⊂ R such that for every closed interval I ⊂ R\τ the following assertions hold:
1. H0 has not eigenvalues in I and H has at most a finite number of eigenvalues in I and each of these eigenvalues is of finite multiplicity,
2. σsc(H0)∩ I = σsc(H)∩ I = ∅,
3. If Rl≡ 0, the local wave operators
W±≡ W±(H, H0;J∗, I) = s− limt→±∞eiHtJ∗e−iH0tEH0(I)
exist and are complete, i.e. Ran(W−) = Ran(W+) = EHac(I)l2(X, m). Since
σsc(H) =∅ they are indeed asymptotically complete.
Note that the operator J∗ enters into the definition of the wave operators (in-stead of the more traditional notationJ ) since we have defined J from l2(X, m) to
l2(X, m0). This choice is slightly more natural in our context.
The hypothesis (1.5) and (1.6) are usually referred to as a short-range type of decay. In particular it is satisfied for functions that decay faster than C(1 +|[x]|)−1− for some constant C independent of x. It is worth mentioning that that condition (1.5) is quite general and is automatically satisfied if the difference m− m0 itself satisfies a short-range type of decay. For example if we assume that|m(e) − m0(e)| ≤ C(1 +
|[e]|)−1−and|m(x) − m
0(x)| ≤ C(1 +|[x]|)−1−, then (1.5) is satisfied. On the other
hand (1.7) is usually called a long-range decay since the difference Rl
t(e)− Rl
o(e)
should be thought as the derivative of Rlat the point o(e) in the direction e. To sum
up we can say that we cover perturbations by short-range and long-range potentials but only by short-range perturbation of the metric.
Remark 1.2.3. A more drastic modification would be to allow m(x) = 0 for some
x∈ V (X), and this would roughly correspond to the suppression of some vertices in the graph. Reciprocally, it would also be natural to consider a perturbation of the operator H0 on the topological crystal X by the addition of some vertices to X. Note that these modifications are more difficult to encode since there would be no natural unitary operator available between the corresponding Hilbert spaces. These perturbations will not be considered in the present but we intend to come back to them in the future.
1.3
Periodic operator and its direct integral
decomposition
The aim of this section is to provide some additional information on the periodic Schrödinger operator and to show that this operator can be decomposed into the direct integral of magnetic Schrödinger operators defined on the small graphX. This decomposition is an important tool for studying its spectral properties, as shown for example in [And13; HN09; KS14; KSS98].
Let us consider a topological crystal (X,X, ω, Γ). The notation x, resp. x, will be used for the elements of V (X), resp. of V (X), and accordingly the notation e, resp. e, will be used for the elements of E(X), resp. of E(X). It follows from the assumption (v) inDefinition 1.2.1that X\Γ ∼=X, and therefore we can identify V (X) as a subset of V (X) by choosing a representative of each orbit. Namely, since by assumption V (X) = {x1, . . . ,xn} for some n ∈ N, we choose {x1, . . . , xn} ⊂ V (X)
such that ω(xj) = xj for any j ∈ {1, . . . , n}. For shortness we also use the notation
ˇ
x := ω(x) ∈ V (X) for any x ∈ V (X), and reciprocally for any x ∈ X we write
ˆx ∈ {x1, . . . , xn} for the unique element xj in this set such that ω(xj) =x.
As a consequence of the previous identification we can also identify A(X) as a subset of A(X). More precisely, we identify A(X) with ∪n
j=1Axj ⊂ A(X) and use
notations similar to the previous ones: For any e∈ A(X) one sets ˇe = ω(e) ∈ A(X), and for any e ∈ A(X) one sets ˆe ∈ ∪n
j=1Axj for the unique element in this set such
that ω(ˆe) = e. Let us stress that these identifications and notations depend only on the initial choice of{x1, . . . , xn} ⊂ V (X).
We have now enough notations for defining the entire part of a vertex x as the map [· ] : V (X) → Γ satisfying
[x]x = x .ˇ (1.8) Similarly, the entire part of an edge is defined as the map [· ] : A(X) → Γ satisfying
[e]ˇe = e . (1.9)
The existence of this function [· ] follows from the assumption (v) ofDefinition 1.2.1
on the regularity of a topological crystal. One easy consequence of the previous construction is that the equality [e] = [o(e)] holds for any e∈ A(X).
1.3. INTEGRAL DECOMPOSITION 15
Let us finally define the map
η : A(X)→ Γ, η(e) := [t(e)] [o(e)]−1
and call η(e) the index of the edge e. For any μ∈ Γ we then infer that
η(μ e) = [t(μ e)] [o(μ e)]−1= μ [t(e)] μ−1[o(e)]−1= η(e).
This periodicity enables us to define unambiguously η : A(X) → Γ by the relation
η(e) := η(ˆe) for every e ∈ A(X). Again, this index on A(X) depends only on the initial
choice {x1, . . . , xn} ⊂ V (X) and could not be define by considering only A(X).
We now introduce the dual group of Γ, denoted by ˆΓ. It consists in group ho-momorphisms from Γ to the multiplicative group T ⊂ C endowed with pointwise multiplication. Since Γ is discrete, ˆΓ is a compact Abelian group and comes with a normalized Haar measure dξ of volume 1 [Fol95, Proposition 4.24]. We can then define the Fourier transformF : l1(Γ)→ C(ˆΓ) by
[F f](ξ) ≡ ˆf (ξ) :=
μ∈Γ
ξ(μ)f (μ) (1.10)
and it is well-known that this extends to a unitary map from l2(Γ) to L2(ˆΓ) which is still denoted by F . The adjoint map F∗ : L2(ˆΓ) → l2(Γ) is defined on elements
in L1(ˆΓ) by the formula [F∗u](μ) = ˆΓdξ ξ(μ)u(ξ). Furthermore, by the Fourier
inversion formula for any f ∈ l1(Γ) one has [Fol95, Theorem 4.21]:
f (μ) =
ˆ Γ
dξ ξ(μ) ˆf (ξ),
or equivalently for any u∈ L1(ˆΓ) such that F∗u∈ l1(Γ)
u(ξ) =
μ∈Γ
ξ(μ)[F∗u](μ).
Let us now provide the direct integral decomposition mentioned at the beginning of this section. The framework is the following: a topological crystal (X,X, ω, Γ) and a Γ-periodic measure m0 on X. Because of its periodicity, this measure is also
well-defined onX by the relation m0(x) := m0(ˆx) and m0(e) := m0(ˆe). For simplicity, we
keep the same notation for this measure on X. Let us consider the Hilbert spaces
l2(X, m 0) and L2 ˆ Γ; l2(X, m 0)
, and use the shorter notation l2(X) and L2Γ; lˆ 2(X).
We also denote by cc(X)⊂ l2(X) the space of 0-cochains of finite support. We then
define the mapU : cc(X)→ L2
ˆ
Γ; l2(X)for f ∈ cc(X), ξ ∈ ˆΓ, and x ∈ V (X) by
[U f](ξ, x) =
μ∈Γ
ξ(μ)f (μˆx). (1.11) Clearly, the map U corresponds to the composition of two maps: the identification of l2(X) with l2Γ; l2(X) and the Fourier transform introduced in (1.10). As a
con-sequence,U extends to a unitary map from l2(X) to L2Γ; lˆ 2(X), and we shall keep the same notation for this continuous extension. The formula for its adjoint is then given on any u∈ L1Γ; lˆ 2(X)by [U∗u](x) = ˆ Γ dξ ξ([x])u(ξ, ˇx).
Lemma 1.3.1. Let (X,X, ω, Γ) be a topological crystal and let m0 be a Γ-periodic
measure on X. Then for any u ∈ L2Γ; lˆ 2(X), every x ∈ V (X) and almost every
ξ∈ ˆΓ the following equality holds:
[U Δ(X, m0)U∗u](ξ,x) = e∈Ax m0(e) m0(x) ξη(e)uξ, t(e)− u(ξ, x).
Proof. For simplicity, we shall write Δ for Δ(X, m0). Let u∈ L2
ˆ
Γ; l2(X)such that
U∗u has a compact support on X. Then for ξ∈ ˆΓ and x ∈ V (X) one has
[U ΔU∗u](ξ,x) = μ∈Γ ξ(μ)[ΔU∗u](μˆx) = μ∈Γ ξ(μ) e∈Aμˆx m0(e) m0(μˆx) U∗u t(e)− [U∗u](μˆx) = μ∈Γ ξ(μ) e∈Aˆx m0(e) m0(ˆx) U∗u t(μ e)− [U∗u](μˆx) = e∈Aˆx m0(e) m0(ˆx) μ∈Γ ξ(μ) U∗u t(μ e)− [U∗u](μˆx) = e∈Aˆx m0(e) m0(ˆx) μ∈Γ ξ(μ) U∗u t(μ e)− u(ξ, x). By observing that
t(μ e) = [t(μ e)] ω(t(μ e)) = μη(e) ω(t(e)), (1.12)
one infers that
[U ΔU∗u](ξ,x) = e∈Aˆx m0(e) m0(ˆx) μ∈Γ
ξ(μ) U∗u μη(e) ω(t(e))− u(ξ, x)
=
e∈Aˆx m0(e)
m0(ˆx)
ξη(e)uξ, ω(t(e))− u(ξ, x)
= e∈Ax m0(e) m0(x) ξη(e)uξ, t(e)− u(ξ, x),
where for the last equality one has used that ωt(ˆe) = t(e). The statement follows
then by a density argument.
In order to make the connection with magnetic Laplacian, let us recall that for any θ : A(X) → T satisfying θ(e) = θ(e) one defines a magnetic Laplace operator on X by the formula [Δθ(X, m0)ϕ](x) = e∈Ax m0(e) m0(x) θ(e)ϕ(t(e)) − ϕ(x) ∀ϕ ∈ l2(X).
Thus, if for fixed ξ ∈ ˆΓ one sets
θξ : A(X) → T, θξ(e) := ξ
1.3. INTEGRAL DECOMPOSITION 17
then one infers that
θξ(e) = ξ
η(e)= ξη(e)−1= ξη(e)= θξ(e).
As a consequence, the operator Δθξ(X, m0) defined on any ϕ∈ l
2(X) by [Δθξ(X, m0)ϕ](x) = e∈Ax m0(e) m0(x) θξ(e)ϕ(t(e)) − ϕ(x) = e∈Ax m0(e) m0(x) ξη(e)ϕ(t(e)) − ϕ(x)
corresponds to a magnetic Laplace operator onX.
Let us now recall that L2Γ; lˆ 2(X) = ˆΓ⊕dξ l2(X). As a consequence of the previous lemma and of the construction made above, the operator U Δ(X, m0)U∗
itself can be identified with the direct integral operator Γˆ⊕dξ Δθξ(X, m0). In other
words, the Laplace operator Δ(X, m0) is unitarily equivalent to a direct integral of
magnetic Laplace operators acting on X.
In order to get a direct integral of magnetic Schrödinger operators as mentioned at the beginning of this section, it only remains to deal with the multiplication operator
R0 by a Γ-periodic function, as introduced in (1.2). For that purpose, let us observe that for any real Γ-periodic function defined on V (X) one can associate a well-defined function on V (X) by the relation R0(x) := R0(ˆx). For simplicity (and as already done
before) we keep the same notation for this new function. Then the following statement is obtained by a direct computation.
Lemma 1.3.2. Let R0 be a Γ-periodic function on V (X). Then one has U R0U∗=
R0, or more precisely for any u ∈ L2Γ; lˆ 2(X), for all x ∈ X and a.e. ξ ∈ ˆΓ the
following equality holds:
[U R0U∗u](ξ,x) = R0(x)u(ξ, x).
By adding the various results obtained in this section one can finally state:
Proposition 1.3.3. Let (X,X, ω, Γ) be a topological crystal and let m0be a Γ-periodic
measure on X. Let R0 be a real Γ-periodic function defined on V (X). Then the
periodic Schrödinger operator H0 := −Δ(X, m0) + R0 is unitarily equivalent to the
direct integral of magnetic Schrödinger operators acting onX defined by
⊕ ˆ Γ dξ − Δθξ(X, m0) + R0 with θξ defined in (1.13).
In the next section, we shall show that H0 is in fact unitarily equivalent to an analytically fibered operator.
1.4
Analyticity of the periodic operator
Before showing that the periodic operator H0 is unitarily equivalent to an
analyt-ically fibered operator, we shall recall a few definitions related to real analyticity as well as one version of the classical result on stratifications of Hironaka. Doubtlessly, any reader familiar with real analyticity can skip Section 1.4.1. For that purpose, let us simply mention that for any topological spaceX and for any ζ ∈ X , we shall denote byVX(ζ) the set of all open neighborhoods of ζ in X .
1.4.1
A brief review of real analyticity
For an open setU in Rn we say that a function Φ defined onU, and taking values
in R or C, is real analytic on U if it can be written locally as a convergent power series. More precisely, Φ is said to be real analytic on U if for every ζ0 ∈ U there
existsO ∈ VU(ζ0) and a (real or complex) sequence{aα}α∈Nn such that
Φ(ζ) =
α∈Nn
aα(ζ− ζ0)α
for every ζ ∈ O. A vector-valued function is real analytic if each of its component is real analytic, and analogously a matrix-valued function is real analytic if each of its entries is real analytic. Clearly, real analyticity is preserved by the sum, the product, the quotient, and the composition of real analytic functions when these operations are well-defined [KP02, Propositions 2.2.2 & 2.2.8].
Let us now recall that a real analytic manifoldM of dimension n is a smooth man-ifold such that each transition function is real analytic. More precisely, if{(Oj, Φj)}
is an atlas for M, then the maps Φj ◦ Φ−1k : Φk(Oj ∩ Ok) → Φj(Oj∩ Ok) are real
analytic maps. In this setting, a function Ψ :M → R is said to be real analytic at
p∈ M if for j such that p ∈ Oj the function Ψ◦ Φ−1j is real analytic at Φj(p). The
function Ψ is real analytic onM if it is real analytic at every points of M.
Let us also recall the notion of semi-analytic subset and the more general notion of subanalytic subsets. The following definitions are borrowed from sections 2 and 3 of [BM88].
Definition 1.4.1. LetM be a real analytic manifold. A subset S ⊂ M is said to be
semi-analytic if for every p∈ S there exist O ∈ VM(p) and a finite family{Ψj }j, of
real analytic functions defined onO such that S ∩ O = j x∈ O | Ψj (x) j 0 with j ∈ {>, =} ! .
Let us stress that a semi-analytic subset need not be a real analytic submanifold.
Definition 1.4.2. LetM be a real analytic manifold. A subset S ⊂ M is said to be
subanalytic if for every p∈ S there exist O ∈ VM(p) and an additional real analytic
manifoldN such that S ∩ O is the image of a relatively compact semi-analytic subset of M × N under the projection onto the first factor.
In this context, the following definition of stratification can be recalled, see for example [BM88, Sec. 2] and [Del92, Def. III.1.6].
1.4. ANALYTICITY OF THE PERIODIC OPERATOR 19
Definition 1.4.3. A stratification of a real analytic manifoldM is a partition S :=
{Sα of M satisfying the following conditions:
(i) EachSα is a connected subset of M and a real analytic submanifold of M,
(ii) S are locally finite at any point of M, (iii) If Sα∩ Sβ = ∅ then Sα⊂ Sβ.
If each Sα is semi-analytic the stratification is called semi-analytic, while if each Sα
is subanalytic the stratification is called subanalytic.
IfM is already endowed with a locally finite family {Mj} of subsets, one says
that the stratification S of M is compatible with {Mj} if for every j and every α
one has either Sα∩ Mj = ∅ or Sα ⊂ Mj. As shown in [BM88, Corol. 2.11], given
a locally finite family of semi-analytic sets onM, there always exists a semi-analytic stratification of M which is compatible with this family. However, this result is not strong enough for our purpose, since one more ingredient is necessary.
Definition 1.4.4. Let M, M be two real analytic manifolds, and let f :M → M be a real analytic map. A (semi-analytic or subanalytic) stratification for f is a pair
(S , S) of (semi-analytic or subanalytic) stratifications of M and M respectively such that for any Sα ∈ S one has f(Sα) ∈ S and the rank of the Jacobian matrix
of f at any point of Sα is equal to the dimension of f (Sα).
We can now state the version of the theorem of stratification of Hironaka as presented in [Del92, Thm. III.1.8], see also [Har75, Corol. 4.4], [Hir77, Sec. 3]. Note that we directly impose a stronger condition on f since it simplifies the statement and since this condition will be automatically satisfied in our application.
Theorem 1.4.5. LetM, M be two real analytic manifolds, and let f :M → M be a proper real analytic map. Suppose we are given finitely many subanalytic setsMj ⊂
M, and finitely many subanalytic sets M
k ⊂ M. Then there exists a subanalytic
stratification (S , S) of f such thatS is compatible with {Mj} and S is compatible
with {Mk}.
1.4.2
Analytic decomposition of the periodic operator
We shall now show that H0 is unitarily equivalent to an analytically fibered
op-erator. We refer to [GN98b] and [RS78, Sec. XIII.16] for more general information on such operators, and restrict ourselves to the simplest framework. In that respect, the next definition is adapted to our setting. Note that from now on we shall use the notationTd for the d-dimensional (flat) torus, i.e. forTd =Rd/Zd, with the inherited
local coordinates system and differential structure. We shall also use the notation
Mn(C) for the n × n matrices over C.
Definition 1.4.6. In the Hilbert space L2(Td;Cn), a bounded analytically fibered operator corresponds to a multiplication operator defined by a real analytic map h : Td→ M
In order to show that the periodic operator introduced inSection 1.3fits into this framework, some identifications are necessary. More precisely, since Γ is isomorphic to Zd, as stated in the point (iv) of Definition 1.2.1, we know that ˆΓ is isomorphic
to Td. In fact, we consider that a basis of Γ is chosen and then identify Γ with Zd, and accordingly ˆΓ with Td. As a consequence of these identifications we shall write
ξ(μ) = e2πi ξ·μ, where ξ· μ = d
j=1ξjμj. Accordingly, the Fourier transform defined
in (1.10) corresponds to [F f](ξ) ≡ ˆf (ξ) = μ∈Zde−2πi ξ·μf (μ), and its inverse to
[F∗u](μ) ≡ ˇu(μ) = Tddξ e2πi ξ·μu(ξ), with dξ the usual measure on Td. Note that
an other consequence of this identification is the use of the additive notation for the composition of two elements of Zd, instead of the multiplicative notation employed until now for the composition in Γ.
The second necessary identification is between l2(X) and Cn. Indeed, since
V (X) = {x1, . . . ,xn}, as already mentioned in the previous section, the vector space
l2(X) is of dimension n. However, since the scalar product in l2(X) is defined with
the measure m0 while Cn is endowed with the standard scalar product, one more
unitary transformation has to be defined. More precisely, for any ϕ∈ l2(X) one sets
I : l2(X) → Cn by
I ϕ =m0(x1)21ϕ(x1), m0(x2)21ϕ(x2), . . . , m0(xn)12ϕ(xn). (1.14) This map defines clearly a unitary transformation between l2(X) and Cn. Note that
we shall use the same notation I for the map L2Td; l2(X) → L2(Td;Cn) acting
trivially on the first variables and acting as above on the remaining variables. We can now state and prove the main result of this section, where we use the usual notation δj for the Kronecker delta function.
Proposition 1.4.7. Let (X,X, ω, Γ) be a topological crystal and let m0be a Γ-periodic
measure on X. Let R0 be a real Γ-periodic function defined on V (X). Then the
periodic Schrödinger operator H0 := −Δ(X, m0) + R0 is unitarily equivalent to the
bounded analytically fibered operator in L2(Td;Cn) defined by the function h
0: Td→ Mn(C) with h0(ξ)j :=− e=(xj,x) m0(e) m0(xj) 1 2m0(x ) 1 2
e2πi ξ·η(e)+degm0(xj) + R0(xj)
δj (1.15)
for any ξ∈ Td and j, ∈ {1, . . . , n}.
Proof. The proof consists simply in computing the operator I U H0U∗I∗, and in checking that the resulting operator is analytically fibered. Observe first that the product U H0U∗ has already been computed in Proposition 1.3.3. The conjugation
with I is easily computed, and one directly obtains (1.15) if one takes the equality
ξ(μ) = e2πi ξ·μinto account. Since for each fixed μ∈ Zdthe mapTd ξ → e2πi ξ·μ → C
is real analytic, the matrix-valued function defined by h0 is real analytic.
1.5
Mourre theory and the conjugate
operator
In this section we first recall some definitions related to Mourre theory, such as some regularity conditions as well as the meaning of a Mourre estimate. These notions
