Solutions de l'équation de propagation

Chapitre 5

FORMULATION ANALYTIQUE DE PROBLEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX DE L'ACOUSTIQUE EN MILIEU FLUIDE HOMOGENE, INDEPENDANT DU TEMPS ET AU REPOS : LES SOLUTIONS FONDAMENTALES EN

COORDONNEES CYLINDRIQUES

Solutions de l'équation de propagation

( )

ω=−

( )

ω











∆+ω Pˆr; Fˆr; c²0

2 r r

( )

r;t fˆ

( )

r;t t pˆ

c 1

2 2 2 0

r r =−













∂

− ∂

∆

z Equation de propagation z Equation de Helmholtz

3 Pas de solution générale connue en dehors du cas de propagation unidimensionnel

3 Si les frontières du domaine coïncident avec des surfaces de coordonnées curvilignes séparables

solutions à variables séparées

"base" sur laquelle toute solution peut être développée famille complète

Choix de système de coordonnées

piston plan

( )t cos

A ω

0 x

A cos ( ωt - k x )

plan d'air x

y a z source S

x y

z Source

O L

a

z Coordonnées cartésiennes z Coordonnées cylindriques

z Coordonnées sphériques

polynômes de Legendre fonctions circulaires

fonctions de Bessel

Solutions de problèmes à 3 dimensions (1/6)

z Equation de propagation pˆ

( )

r;t 0, r , t t

c 1

2 2 20

∀

∈

∀

 =













∂

− ∂

∆ r r V

z Equation de Helmholtz

( )

ω= ∀ ∈V





















 + ω

∆ Pˆr; 0, r c

2

0

r r

Pas de solution générale connue à l'équation de Helmholtz en dehors du cas de propagation unidimensionnel :

( )

r;t fˆ

(

n r c t

) (

gˆnr c t

)

pˆr = r⋅r− 0 + r⋅r+ 0

Solutions à variables séparées ou représentation intégrale

ŠCoordonnées cartésiennes

ŠCoordonnées cylindriques

ŠCoordonnées sphériques

(

x,y,z;t

)

Xˆ

( ) ( ) ( ) ( )

xYˆyZˆzTˆt

pˆ =

(

r, , ;t

)

Rˆ

( ) ( ) ( ) ( )

r ˆ ˆ Tˆt

pˆ θψ = ΘθΨψ

Solution à variables séparées ≡Base sur laquelle toute solution de problème peut être exprimée

(

r, ,z;t

)

Rˆ

( ) ( ) ( ) ( )

r ˆ ZˆzTˆt

pˆ ψ = Ψψ

Equation des ondes en coordonnées cylindriques

x

y z

O

M

ψ

z r x

y z

B_c →e r

e _z

→ ^→e _ψ

z r ze e r M O

r r r

r= = +

(

r, ,z

)

Arer A e Azez

Ar r r r

+ +

=

ψ ψ ψ

z

r rd e dze

e r d M O d r

dr= = r + ψr_ψ+ r

z

r e

z e U U r e 1 r U U

grad r r r

∂ +∂ ψ

∂ + ∂

∂

=∂ _ψ

( )

z A A r 1 r A r r A 1

div ^{r z}

∂ +∂ ψ

∂ + ∂

∂

= ∂ ^ψ

r

( )

z r z

r r

z A e

r 1 r A r r e 1 r A z e A z A A r A 1

rotr r r r



 





ψ

∂

− ∂

∂ + ∂



 





∂

−∂

∂ + ∂



 





∂

−∂ ψ

∂

= ∂ ^ψ _ψ ^ψ

( )

2

2 2 2 2 2

2

z U U r

1 r U r 1 r U U grad div

U ∂

+∂ ψ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

=∂

=

∆ Ar grad

( )

divAr rot

( )

rotAr

−

=

∆

(

r, ,z;t

)

0 t pˆ

c 1

2 2 2 0

=

 ψ













∂

− ∂

∆ pˆ

(

r, ,z;t

)

0

t c

1 z r

1 r r 1

r ²

2 2 0 2 2 2 2 2 2 2

=

 ψ













∂

− ∂

∂ +∂ ψ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂ z Equation de propagation

z Les principaux opérateurs en coordonnées cylindriques

et

Solutions de problèmes à 3 dimensions (2/6)

z Equation de propagation

z Solutions à variables séparées

fonction de r,ψ,z fonction de t

2

k0

−

= on pose k²₀c²₀=ω² t

, 0 t Tˆ

Tˆ 2 2

2 +ω = ∀

∂

∂

( )

t Gˆe^{i t}

Tˆ = ^ω

t

ei^ω t

e⁻i^ω

choixd'une convention temporelle

(

r, ,z;t

)

Rˆ

( ) ( ) ( ) ( )

r ˆ ZˆzTˆt

pˆ ψ = Ψψ

(

r, ,z

)

, t t ,

Tˆ c

1 Tˆ 1 z

Zˆ Zˆ ˆ 1 ˆ 1 r

1 r Rˆ Rˆ r

1 r

Rˆ Rˆ 1

2 2 2 0 2 2 2 2 2 2

2 ∀ ψ ∈ ∀

∂

= ∂

∂ + ∂ ψ

∂ Ψ

∂ + Ψ

∂ + ∂

∂

∂ V

(

r, ,z;t

)

0,

(

r, ,z

)

, t t pˆ

c 1 z r

1 r r 1

r ²

2 2 0 2 2 2 2 2 2 2

∀

∈ ψ

∀

=

 ψ













∂

− ∂

∂ +∂ ψ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂ V

Solutions de problèmes à 3 dimensions (3/6)

z Solutions à variables séparées - solution en z

fonction de z fonction de r,ψ

Fˆ Eˆ '

Eˆ= + ^Fˆ'=i

( )

^Fˆ−Eˆ

ou

avec et

2

kz

−

=

z , 0 Zˆ z k

Zˆ ₂

2 z

2 + = ∀

∂

∂ Zˆ

( )

z =Eˆe^−ikzz+Fˆe^ikzz

( )

z Eˆ'cos

( )

k z Fˆ'sin

( )

k z Zˆ

z

z +

=

(

ψ

)

∈V

∂ ∀

= ∂

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

ψ

∂ Ψ

∂ + Ψ

∂ + ∂

∂

− ∂ , r, ,z

z Zˆ Zˆ k 1 ˆ ˆ 1 r

1 r Rˆ Rˆ r

1 r

Rˆ Rˆ 1

2 2 2 2 0 2 2 2

2

Solutions de problèmes à 3 dimensions (4/6)

z Solutions à variables séparées - solution en ψ

constante fonction de r,ψ

2

kw

−

=

2 0 2 2 z 2 2 2

2

k k ˆ ˆ 1 r

1 r Rˆ Rˆ r

1 r

Rˆ Rˆ

1 = −

ψ

∂ Ψ

∂ + Ψ

∂ + ∂

∂

∂

2 z 2 0 2

w k k

k = −

( )

ψ∈V

⎟⎟ ∀

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∂ + ∂

∂

− ∂

− ψ =

∂ Ψ

∂

Ψ , r,

r Rˆ Rˆ r r

Rˆ Rˆ r r k ˆ ˆ 1

2 2 2 2 2 2 w 2

fonction de ψ fonction de r ν2

−

=

ψ ou

∀

= Ψ ν ψ +

∂ Ψ

∂ ˆ ₂ˆ 0,

2

2 Ψˆν

( )

ψ=Cˆe^−iνψ+Dˆe^iνψ

( )

ψ=

( )

νψ+

( )

νψ Ψˆν Cˆ'cos Dˆ'sin

Solutions de problèmes à 3 dimensions (5/6)

z Solutions à variables séparées - solution en r

∈V

∀

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −ν

∂ + + ∂

∂

∂ Rˆ 0, r

k r r Rˆ r 1 r

Rˆ

2 2 2 2 w

2

0 Rˆ 1 s s d

Rˆ d s 1 s d

Rˆ d

2 2 2

2 ⎟⎟⎠ =

⎞

⎜⎜⎝

⎛−ν + en posant s=k_wr +

Equation de Bessel

( )

r AˆH

( )

k r BˆH

( )

k r Rˆ

w ) 2 ( w ) 1

( ν

ν

ν = + Rˆ

( )

r Aˆ'J

( )

k r Bˆ'N

( )

k r

w

w ν

ν

ν = +

ou

Fonction de Bessel de 1ère espèce : comportement d'un cosinusquand r→∞

Fonction de Neumann : comportement d'un sinusquand r→∞

Fonction convergente quand r→∞en exp(+ik_wr)

Fonction divergente quand r→∞en exp(-ik_wr) Fonction de Hankel

Solutions de problèmes à 3 dimensions (6/6)

z Solutions à variables séparées

ou

R_ν(r) Ψ_ν(ψ) Z(z) T(t)

soit ou

sous réserve que: avec k₀=ωc₀ équation de

dispersion ou

(

r, ,z;t

) [

Aˆ'J

( )

kwr Bˆ'N

( )

kwr

][

Cˆe ⁱ Dˆeⁱ

] [

Eˆe ^ikz Fˆe^ikz

]

e^{i t}

pˆν ψ = ν + ν ^−νψ+ ^{νψ − z} + ^{z ω}

( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]

( ) ( ) [

^{Eˆ'cosk z Fˆ'sink z}

]

^{e .}

sin ' Dˆ cos ' Cˆ r k N ' Bˆ r k J ' Aˆ t

; z , , r pˆ

t i z z

w w

ω ν

ν ν

+

⋅

ψ ν + ψ ν +

= ψ

( ) [ ( ) ( )

w

][

^{i i}

] [

^{ikz ikz}

]

^{i t}

) 2 ( w ) 1

( k r BˆH k r Cˆe Dˆe Eˆe Fˆe e

H Aˆ t

; z , , r

pˆ_ν ψ = _ν + _ν ^−νψ+ ^{νψ − z} + ^{z ω}

( ) [ ( ) ( ) ][ ] [

3 ^{ik z}

]

^it

z k i i 2 i w 1 w

0J k r ˆN k r e ˆ e e ˆ e e

Aˆ t

; z , , r

pˆ_ν ψ = _ν +R _ν ^−νψ+R ^{νψ − z} +R ^{z ω}

2 z 2 0 2

w k k

k = − k²_w+k²_z=k₀² z Nombre d'onde local kr=kr

( )

rerr+k_ψ

( )

rer_ψ+kzerz

( )

k k

( )

r

k r r

k ²_w ²

2 2 w 2

r ⎟ = − ψ

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛ ν avec =

( ) ( )

²0

2 z 2 2

r r k r k k

k + _ψ + =

( ) ( )

²z

2 0 2 2 r 2

w k r k r k k

k = + _ψ = −

soit

z Solution générale

( ) ∑

^∞

( )

=

ν ν ψ

= ψ

0

t

; z , , r pˆ t

; z , , r pˆ

0 y x x 1 d

y d x 1 x d

y d

2 2 2

2 ⎟⎟⎠ =

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −ν +

+ avec ν ∈

(1) solution de (1) : Z_ν(x)

z ν ∉²(νnon entier) : Z_ν

( )

x =AJ_ν

( )

x+BJ_−ν

( )

x

( ) ( )

( )

⎩

( )

⎨⎧

>

∞

⎥ →

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +ν

−π

≈ π

+ ν + Γ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ ∑^∞

= ν ν

0 x e quand x 2 1 x 2 xcos 2

1 k

! k

2 1 x 2 x x J

0 k

k 2 k

R

comportement d'un cosinus fonctions de Bessel cylindriques de 1ère espèce d'ordre ν

(

x+1

)

=x!

Γ avec x ∈²

z ν ∈²(νentier) : J_νet J_−νne sont plus linéairement indépendants autre solution

J_-3/4 J_-1/4 J_1/4

J_3/4 J_3/2

Fonctions de Bessel J

_ν

(1/5)

z ν ∈(νquelconque, entier ou non) :

( ) ( ) ( ) ( )

x AH

( )

x BH

( )

x Z

x N B x J A x Z

) 2 ( ) 1

( ν

ν ν

ν ν ν

+

= +

= ou

( ) ( ) ( ) ( )

( )

⎩

( )

⎨⎧

>

∞

⎥ →

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +ν

−π

≈ π

ν π

− ν

= π ^{ν −ν}

ν

0 x e quand x 2 1 x 2 xsin 2

sin x J x J x cos N

R comportement d'un sinus

fonction de Neumann

( )

( ) ( )

_{,n 0} ^{x 0}

x 2

! 1 x n N

2 ln x x 2 N

n n

0

→

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎟ >

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ π

− −

≈

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ γ

≈π

( )

=−∞

→N x

lim _n

0 x

...

781 , 1 C ln =

=

γ C : constante d'Euler

N0

N₁ N₂ N₃ N4

N₅

Fonctions de Bessel J

_ν

(2/5)

z Fonctions de Hankel

( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ^{( ) ( )}

( ) ( ) [

e J

( )

x J

( )

x

]

J

( )

x iN

( )

x sin

x i H

x N i x J x J x J sin e x i H

i )

2 (

i )

1 (

ν ν ν

− π ν ν ν

ν ν ν

− π ν ν ν −

−

= ν −

π

= −

+

= ν −

= π

( )

( )



( )

>

∞

→















≈ π

≈ π



 



 



 

 +ν

−π

− ν



 



 



 

 +ν

−π ν

0 x e quand x

xe x 2 H

xe x 2 H

2 1 x2 ) i

2 (

2 1 x2 ) i

1 (

R

fonctions convergentes ou divergentes (suivant la convention temporelle) utilisation en milieux semi-infinis

Fonctions de Bessel J

_ν

(3/5)

z Onde cylindrique

constante r Aˆ² =

Toute onde dont l'amplitude décroît en 1/√rdans un certain espace, a un caractère cylindriquedans cet espace.

r₁ r₂

fil pulsant

S Aˆ²

∝

Φ avec S∝2πr

r Aˆ²

∝

Φ et Φ=constante

r Aˆ∝ 1

Application :départ en vacances sur l'autoroute En première approche, le bruit émis par l'autoroute peut être modélisé par un champ à caractère cylindrique

Application

ν m 0 1 2 3

0 1 2 3 3/2 1/2

0 3.83 7.02 10.17 13.17 14.59 11.00 12.40 11.71 8.54 5.33 1.84 3.05 4.20 1.40 2.50

6.71 8.02 4.60 6.00

9.97 11.35 7.70 9.50

χ

_νm

: (m+1)-ième zéro de J’

_ν

(m+1)-ième extremum de J

_ν

J₀

J₁ J₂ J₃ J₄ J₅

J_-3/4 J_-1/4 J1/4

J3/4 J_3/2

Fonctions de Bessel J

_ν

(4/5) Fonctions de Bessel J

_ν

(5/5)

0 5 10 15 20 25 30

-1 -0.5 0 0.5 1

J0(x)

x χ00 χ₀₁

χ₀₂ χ₀₃

χ04

χ₀₅ χ06

χ₀₇ χ₀₈

χ₀₉

* * * * * * * * *

π 2π 3π 4π

Rayonnement d'un cylindre infiniment long (1/4)

( )

0

( )

0

( )

z ^{i t}

r ,z;t V cos cosk ze

wˆ ψ = ν ψ ₀ ^ω

z Vitesse vibratoire radiale imposée

x

y R z x

y R z x

y R z

ν₀= 0 ν₀= 1 ν₀= 2

ν₀= 4 ν₀= 5 ν₀= 6

ν₀= 3

Rayonnement d'un cylindre infiniment long (2/4)

x

y

R z wˆr

(

ψ,z;t

)

=V0cos

( )

ν0ψcos

( )

kz₀ze^iωt

( )

,z Wˆ_rψ

(

r, ,z;t

)

0, r R,

[

0,2

]

, z, .t t pˆ

c 1 z r

1 r r 1

r ²

2 2 0 2 2 2 2 2 2

2  ψ = ∀ ≥ ∀ψ∈ π ∀ ∀











∂

− ∂

∂ +∂ ψ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

(

R, ,z;t

)

e wˆ

(

,z;t

)

,r R,

[

0,2

]

, z, t

vˆ ψ ⋅r_r= _r ψ = ∀ψ∈ π ∀ ∀

r

(

r, ,z;t

)

Pˆ

(

r, ,z

)

e^{i t}

pˆ ψ = ψ ^ω

(

r, ,z

)

0, r R,

[

0,2

]

, z c Pˆ

z r

1 r r 1

r ²0

2 2 2 2 2 2 2 2

∀ π

∈ ψ

∀

≥

∀

=

 ψ











 +ω

∂ +∂ ψ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

(

r R, ,z

)

V cos

( )

cos

( )

k z,r R,

[

0,2

]

, z r

Pˆ c k

i

z0 0 0 0

0 0

∀ π

∈ ψ

∀

= ψ

ν

= ψ

∂ =

∂ ρ

z Equation de propagation

z Vitesse vibratoire radiale imposée

z Equation de Helmholtz

z Conditions aux frontières

z Condition de Sommerfeld (r→∞)

Rayonnement d'un cylindre infiniment long (3/4)

(r R, ,z) Vcos

( )

cos

( )

k z,r R, [0,2], z r

Pˆ c k

i

z0 0 0 0

0 0

∀ π

∈ ψ

∀

= ψ ν

= ψ

∂ =

∂ ρ

z Equation de dispersion

z Forme du champ

z Conditions aux frontières

x

y R z x

y R z x

y

R z

( ) ( )

w

[

^{i i}

] [

^{ik z ik z}

]

) 2

( k r Cˆe Dˆe Eˆe z Fˆe z

H Bˆ z , , r

Pˆ ψ = _ν ^−νψ+ ^{νψ −} +

0

0 c

k =ω

2 avec

z 2 0 2

w k k

k = −

avec

( ) [

^{i i}

] [

^{ikz ikz}

]

R r w ) 2 (

z z Fˆe e Eˆ e Dˆ e Cˆ r

r k Bˆ H r

Pˆ + +

∂

= ∂

∂

∂ −νψ νψ −

= ν

( ) [ ] [ ] ( ) ( )

[0,2 ], z, ,

R r

, z k cos cos V e Fˆ e Eˆ e Dˆ e Cˆ R

R k Bˆ H c k

i

0 z

z

z 0 0 z k i z k i i w i

) 2 (

0 0 0

∀ π

∈ ψ

∀

= ψ ν

= +

∂ +

∂ ρ

ψ − ν ψ ν ν −

( )

ν ψ

= + ^νψ

ψ ν

−

0 i

i Dˆe cos

e Cˆ

( )

^{k z}

cos e Fˆ e Eˆ

0 z z

z z k i z k

i + =

−

ν0

=

ν et kz=kz₀

(

^{k R}

)

^R

H i

V c Bˆ k

w ) 2 (

0 0 0 0

0 ∂

∂

= ρ

ν

( ) ( ) ( ) ( )

w 0

( )

z ^{i t} )

2 ( w ) 2 (

0 0 0

0 H k rcos cosk ze

R R k H

V c k t i

; z , , r

pˆ 0 0

0

ν ω ν

ψ

∂ ν

∂ ρ

= − ψ z Solution

Rayonnement d'un cylindre infiniment long (4/4)

z Cylindre oscillant, corde vibrante

( )

0

( )

z ^{i t}

r z;t V cos cosk ze

wˆ

0

ψ ω

=

( ) ( ) ( )

w

( )

z ^{i t}

) 2 ( 1 w ) 2 ( 1

0 0 0

0 H k rcos cosk ze

R R k H

V c k t i

; z , , r

pˆ 0

ψ ω

∂

∂ ρ

= − ψ

1 R kw <<

( )

R k

i R 2 k H

w w ) 2 (

1 ≈π

( ) ( )

w

( )

z ^{i t}

) 2 ( 1 2 w 0 0 0

0c V k R H k rcos cosk ze

2k t

; z , , r

pˆ 0

ψ ω

π ρ

= ψ

( )

^{−⎜⎝⎛ −π⎟⎠⎞}

≈ π ⁴

r 3 k i

w w ) 2 ( 1

w

re k r 2 k H

( )

4

( )

z ^{i t}

r 3 k i w 0 0 0

0 e cos cosk ze

r R R 2k R k V c t

; z , , r

pˆ 0

w ⎟ ω

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −π

− ψ

ρ π

= ψ

w 2

0 R

r k k

Š

∞

→ r k_w 1 R kw <<

Š et

amplitude proportionnelle à extrêmement faible

ν₀= 1

Rayonnement d'un cylindre infiniment long (4/4)

?

Bruit pas toujours émis directement par la source vibrante mais par la structure mise en vibration par la source

Exemple d'une boite à musique

dans l'espace sur une table

dans une boite

Onde plane diffractée par un cylindre (1/4)

O

y x

z ki

→

M r ψ

R p_i

^ z Champ incident monochromatique

z Conditions aux frontières

z Condition de Sommerfeld (r→∞) z Equation de Helmholtz

( )

i ^{ik rcos it}

ir, ,z;t Pˆe e

pˆ ψ = ^{0 ψ ω}

ω

0=

0c k

(

r, ,z;t

)

Pˆ

(

r, ,z

)

e^{i t}

pˆ ψ = ψ ^ω

(

r, ,z

)

0, r R,

[

0,2

]

, z Pˆ

z k r

1 r r 1 r

2 2 0 2 2 2 2 2

2 ⎟⎟⎠ ψ = ∀ ≥ ∀ψ∈ π ∀

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

∂ +∂ ψ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

(

r, ,z

)

0,r R,

[

0,2

]

, z ˆ Pˆ

k

n i ⁰ ⎟⎟⎠ ψ = = ∀ψ∈ π ∀

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + β

∂

∂ ˆ c Zˆ

0

ρ0

= β

avec et ∂∂n=−∂∂r

Onde plane diffractée par un cylindre (2/4)

z Champ incident monochromatique en coordonnées cylindriques

z Conditions aux frontières z Champ diffracté

O

y x

z ki

→

M r ψ

R pi

^

O

y x

z ki

→ki

→

M r ψ

R pi

^pi

^

( ) ( ) ( ) ( )

^{i t}

0 0 0

0 t cos i r k i 0

ir, ;t Pˆ e e Pˆ 2 i J k rcos e

pˆ ^{0 ω}

∞

=

ν ν ν

ω ν

ψ = −δ νψ

=

ψ ∑

( )

r

( )

^{i t}

r r, ;t Pˆ r, e

pˆ ψ = ψ ^ω

( )

∑^∞

( ) ( )

=

µ µ Ψµψ

= ψ

0 w

rr, Rˆ k r ˆ

Pˆ

( )

k r Bˆ H

( )

k r Rˆ

0 ) 2 (

w µ µ

µ = Ψˆ_µ

( )

ψ=cos

( )

µψ

( )

∑^∞

( ) ( )

=

µ µ µ µψ

= ψ

0 0

) 2 (

r r, Bˆ H k rcos

Pˆ

avec

développement sur les modes propresen coordonnées cylindriques et

(

+

)

= = ∀ψ∈

[

π

]

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + β

∂

−∂ ik ˆ Pˆ Pˆ 0,r R, 0,2

r ^{0 i r}

( ) [ ( ) ( ) ]

( )

k R R k ˆH

( )

k R H

i

R k ˆJ k R R k J i i Pˆ 2 Bˆ

0 ) 2 ( 0 0 ) 2 (

0 0 0 0 0

ν ν

ν ν ν

ν

ν ∂ ∂ + β

β +

∂

∂ δ

− −

= par identification

terme à terme or

Onde plane diffractée par un cylindre (3/4)

z Champ diffracté

( )

∑^∞

( ) ( )

=

ν ν ν νψ

= ψ

0 0

) 2 (

r r, Bˆ H k rcos

Pˆ

avec

( ) [ ( ) ( ) ]

( )

k R R k ˆH

( )

k R H

i

R k ˆJ k R R k J i i Pˆ 2 Bˆ

0 ) 2 ( 0 0 ) 2 (

0 0 0 0 0

ν ν

ν ν ν

ν ν

β +

∂

∂

β +

∂

∂ δ

− −

=

y z O

y x

k_i z

→ p_i

^

(

k₀R<<1

) (

k₀R>>1

)

ŠBasses fréquences Š Hautes fréquences

Onde plane diffractée par un cylindre (4/4)

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (1/16)

z

z Equation de propagation

z Champ monochromatique

incident imposé (non précisé) z Equation de Helmholtz

z Conditions aux frontières

z Champ propagatif dans le sens des z croissants (pas d'onde retour) z Champ acoustique borné en r = 0

( )

[

0,2

]

, z 0, t. ,

a r

, 0 t

; z , , r t pˆ c

1 z r

1 r r 1

r ²

2 2 0 2 2 2 2 2 2 2

∀

>

∀ π

∈ ψ

∀

≤

∀

=

⎟ ψ

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

− ∂

∂ +∂ ψ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

(

r, ,z;t

)

Pˆ

(

r, ,z

)

e^{i t}

pˆ ψ = ψ ^ω

(

r, ,z

)

0, r a,

[

0,2

]

, z 0 Pˆ

z k r

1 r r 1 r

2 2 0 2 2 2 2 2

2 ⎟⎟ ψ = ∀ ≤ ∀ψ∈ π ∀ >

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ +∂ ψ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

( )

0,r a,

[

0,2

]

, z 0, t n

t

; z , , r

pˆ = = ∀ψ∈ π ∀ > ∀

∂ ψ

∂ avec ∂∂n=∂∂r

( )

0, r a,

[

0,2

]

, z 0 r

z , , r

Pˆ = = ∀ψ∈ π ∀ >

∂ ψ

∂

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (2/16)

z Forme du champ z Equation de dispersion

z Conditions aux frontières

( )

0,r a,

[

0,2

]

, z 0 r

z , , r

Pˆ = = ∀ψ∈ π ∀ >

∂ ψ

∂

0

0 c

k =ω

2 avec

z 2 0 2

w k k

k = −

zz

( ) ( )

w

(

^{i i}

)

^ikz

e z

ˆe e r k J Aˆ z , , r

Pˆ ψ = ν ^−νψ+R ^{νψ −}

avec

( )

w

( )

w

(

^{i i}

)

^{ik z}

e z

ˆe e r k ' J k Aˆ r

z , , r

Pˆ −νψ νψ −

ν +

∂ = ψ

∂ R

( )

^{k a}

(

^{e ˆe}

)

^{e 0, r a,}

^[

^0,2

^]

^{, z}

' J k

Aˆ ^{i i ik z}

w w

z = = ∀ψ∈ π ∀

+ ^{νψ −}

ψ ν

ν − R

( )

k a 0 ' J k Aˆ

w

w _ν = J'_ν

( )

kwa=0 kwa=χνm,

(

ν,m

)

∈²²

χ_νm: (m+1)-ième zéro de J’_ν (m+1)-ième extremum de J _ν où

ν m 0 1 2 3

0 1 2 3 3/2 1/2

0 3.83 7.02 10.17

13.17 14.59 11.00 12.40 11.71 8.54 5.33 1.84 3.05 4.20 1.40 2.50

6.71 8.02 4.60 6.00

9.97 11.35 7.70 9.50

ν m 0 1 2 3

0 1 2 3 3/2 1/2

0 3.83 7.02 10.17

13.17 14.59 11.00 12.40 11.71 8.54 5.33 1.84 3.05 4.20 1.40 2.50

6.71 8.02 4.60 6.00

9.97 11.35 7.70

9.50 ^{-10 5 10 15 20 25 30}

-0.5 0 0.5 1

J0(x)

x χ₀₀ χ₀₁

χ02 χ₀₃

χ₀₄ χ₀₅

χ₀₆ χ₀₇

χ08 χ₀₉

* * * * * * * * *

π 2π 3π 4π

0 5 10 15 20 25 30

-1 -0.5 0 0.5 1

J0(x)

x χ₀₀ χ₀₁

χ02 χ₀₃

χ₀₄ χ₀₅

χ₀₆ χ₀₇

χ08 χ₀₉

* * * * * * * * *

π 2π 3π 4π

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (3/16)

zz

z Solutions du problème m

, 0 Aˆ

m= ∀

ν SAUF SI k_wνmprend une suite de valeurs propres

à laquelle est associée (équation de dispersion) une suite de nombre d'ondes k_zνmtels que c.à.d.

ne dépend pas de ν,m dépend de ν,m 2 cas : k²_z 0

m>

ν k²_z 0

m<

ou ν

²²

(

ν

)

∈

=χ^ν

ν , ,m

kwm a^m

2 w 2 0 2

zm k k m

k _ν = − _ν

2 m 2

0 2

z c a

k m ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛ χ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛ ω ^ν

ν

dépend de ν,m

z Pression portée par chaque mode (ν,m)

( )

m

(

w

)(

^{i i}

)

^{ik z i t}

mr, ,z;t Aˆ J k r e ˆe e e

pˆ_ν ψ = _{ν ν νm} ^−νψ+R ^{νψ − zνm ω} z Pression totale

( ) ( ) ( )( )

^{i t}

0 m

z k i i i w m 0 0

m m

0

e e ˆe e r k J Aˆ t

; z , , r pˆ t

; z , , r

pˆ ^zm

m

∞ ω

=

ψ − ν ψ ν ν −

ν

∞

= ν

∞

= ν

∞

=

ν∑ ∑ ψ =∑ ∑ ν + ^ν

=

ψ R

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (4/16)

z Modes propagatifs et évanescents

c.à.d.

avec

modes (ν,m) tels que modes (ν,m) propagatifs

Š

Š c.à.d. modes (ν,m) évanescents

et avec

0 00c a

0 χ ⁰¹c₀

a χ

0 02c a χ

0 1 m

, c

a

−

χν

0 mc a χν

ω source

modes propagatifs modes évanescents

Š

²²

(

ν

)

∈

=χ^ν

ν , ,m

k_w a^m

m

2 m 2

0 2

z c a

k m ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛ χ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛ ω ^ν

ν

0 k²_zm>

ν 0

mc a χν

>

ω

modes (ν,m) tels que k²_z 0

m<

ν 0

mc a χν

<

ω

z k z k

i zm ^"z_m

e

e^{− ν} = ^ν

2

0 2

" m z

z ik i a c

k _{m m} ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

−⎛ ω

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛ χ

=

= _ν ^ν

ν

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (5/16)

z Mode plan

0

z c

k 0,m0

= ω

=

=

ν onde plane progressive dans la direction des z croissants

( )

0,m0

( )

^{ikz i t}

0 m ,

0 r, ,z;t Aˆ 1 ˆe e

pˆ_{ν= =} ψ = _{ν= =} +R ^{− 0 ω}

a 0 kw 0,m0 χ⁰⁰=

= =

= ν

0 ⁰¹c₀ a χ

0 02c a χ

0 1 m

, c

a

−

χν

0 mc a χν

ω source

modes évanescents mode plan

propagatif

1,84 c0/a

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (6/16)

z Cas particulier des modes stationnaires en ψ

( )

m

(

w

) ( )

^{ik z it}

mr, ,z;t Aˆ J k r cos e e

pˆ_ν ψ = _{ν ν νm} νψ ^{− zνm ω}

( )

m

(

w

) ( )

^{ik z i t}

mr, ,z;t Aˆ J k rsin e e

pˆν ψ = ν ν _νm νψ ^{− zνm ω}

ou

ν= n entier

Le champ a toujours un caractère propagatif en ψ.

Si V permet de contourner l'axe Oz lorsque ψvarie : νest entier z

Si V ne permet pas de contourner l'axe Oz lorsque ψvarie : νn'est pas nécessairement entier

z

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (7/16)

n=0 ; m=0

n=0 ; m=2

n=0 ; m=1

n=0 ; m=3

zz

z Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν= n = 0

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (8/16)

z Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν= n = 1

n=1 ; m=0

n=1 ; m=2

n=1 ; m=1

n=1 ; m=3

zz

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (9/16)

z Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν= n = 2

n=2 ; m=0

n=2 ; m=2

n=2 ; m=1

n=2 ; m=3

zz

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (10/16)

z Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν= n = 3

n=3 ; m=0

n=3 ; m=2

n=3 ; m=1

n=3 ; m=3

zz

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (11/16)

z Conduit avec demi paroi méridienne

( )

^{N2m ik z i t}

2 N m N m

N

e e

2 cos N a r J A ˆ t

; z , , r

pˆ ⎟

^{− zNm ω}

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ ψ

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛ χ

= ψ ν = N/2

N pair : modes stationnaires du conduit infini ordinaire

N impair : modes antisymétriques par rapport à la demi paroi méridienne

z

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (12/16)

z Equation de propagation

z Champ monochromatique

incident imposé (non précisé) z Equation de Helmholtz

z Conditions aux frontières

z Champ propagatif dans le sens des z croissants (pas d'onde retour) z Champ acoustique borné en r = 0

( )

[

0,2

]

, z 0, t. ,

a r

, 0 t

; z , , r t pˆ c

1 z r

1 r r 1

r ²

2 2 0 2 2 2 2 2 2 2

∀

>

∀ π

∈ ψ

∀

≤

∀

=

⎟ ψ

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

− ∂

∂ +∂ ψ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

(

r, ,z;t

)

Pˆ

(

r, ,z

)

e^{i t}

pˆ ψ = ψ ^ω

(

r, ,z

)

0, r a,

[

0,2

]

, z 0 Pˆ

z k r

1 r r 1 r

2 2 0 2 2 2 2 2

2 ⎟⎟ ψ = ∀ ≤ ∀ψ∈ π ∀ >

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ +∂ ψ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

( )

0,r a,

[

0,2

]

, z 0, t n

t

; z , , r

pˆ = = ∀ψ∈ π ∀ > ∀

∂ ψ

∂ avec ∂∂n=∂∂r

z

9

( )

0, r

[ ]

0,a, 0et 2 , z 0, t n

t

; z , , r

pˆ = ∀ ∈ ψ= ψ= π ∀ > ∀

∂ ψ

∂

ψ

∂

= ∂

∂

∂ r

n 1 9 avec

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (13/16)

z Forme du champ z Equation de dispersion

z Conditions aux frontières

( )

0,r a,

[

0,2

]

, z 0 r

z , , r

Pˆ = = ∀ψ∈ π ∀ >

∂ ψ

∂

0

0 c

k =ω

2 avec

z 2 0 2

w k k

k = −

( ) ( )

w

(

^{i i}

)

^{ik z}

e z

ˆe e r k J Aˆ z , , r

Pˆ ψ = ν ^−νψ+R ^{νψ −}

avec

( )

w

( )

w

(

^{i i}

)

^ikz

e z

ˆe e r k ' J k Aˆ r

z , , r

Pˆ −νψ νψ −

ν +

∂ = ψ

∂ R kwa=χνm,

(

ν,m

)

∈²²

zz

z Conditions aux frontières Pˆ

(

r, ,z

)

=0,∀r∈

[ ]

0,a,ψ=0etψ=2π,∀z>0 ψ

∂ ψ

∂

avec

( )

w

( )

w

(

^{i i}

)

^{ik z}

e z

ˆe i e i r k J k Aˆ z , , r

Pˆ −νψ νψ −

ν −ν + ν

ψ =

∂ ψ

∂ R

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

−

= +

−

π ν π ν

− ˆe 0

e

0 1

2 i 2

i R

R 2πν=Nπ,N∈²

( ) ( ) ( )

[ ]

0,a, 0et 2 , z 0 r

, 0 e ˆe e i r k J k Aˆ z , , r

Pˆ i i ik z

w w

z

>

∀ π

= ψ

= ψ

∈

∀

= +

− ν ψ =

∂ ψ

∂ −νψ νψ −

ν R

( )

⎩⎨

⎧

= ν π

= 0 2 sin

R 1

∈²

=

ν ,N

2 N

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (14/16)

z Solutions du problème m

, 0 Aˆ

m= ∀

ν SAUF SI k_wνmprend une suite de valeurs propres

²²

(

ν

)

∈

=χ^ν

ν , ,m

kwm a^m

z Pression portée par chaque mode (N,m)

z Pression totale

( ) ( )

^{N2m ik z i t}

2 N m N 0 0

m m 0

e 2 e

cos N a r J Aˆ t

; z , , r pˆ t

; z , , r

pˆ ^{− zNm ω}

∞

= ν

∞

= ν

∞

=

ν ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ ψ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ χ

= ψ

=

ψ

∑ ∑ ∑

zz comme dans le tuyau sans

paroi méridienne 9

9

( )

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ ψ

= ψ

Ψ 2

cos N

ˆ 2 caractère stationnaire en ψ

( )

^{N2m ik z i t}

2 N m N m

N e e

2 cos N a r J Aˆ t

; z , , r

pˆ ⎟ ^{− zNm ω}

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ ψ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ χ

= ψ

ν = N/2

N pair : modes stationnaires du conduit infini ordinaire

N impair : modes antisymétriques par rapport à la demi paroi méridienne

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (15/16)

z Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν= 0,5

ν=0.5 ; m=0

ν=0.5 ; m=2

ν=0.5 ; m=1

ν=0.5 ; m=3

zz

Champ acoustique dans un conduit cylindrique infini (16/16)

z Cas particulier des modes stationnaires en ψ, ν= 1,5

ν=1.5 ; m=0

ν=1.5 ; m=2

ν=1.5 ; m=1

ν=1.5 ; m=3

zz

C. POTEL, M. BRUNEAU, Acoustique Générale - équations

différentielles et intégrales, solutions en milieux fluide et solide,

applications, Ed. Ellipse collection Technosup, 352 pages,

ISBN 2-7298-2805-2, 2006