Fonction Exponentielle

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Fonction Exponentielle

0 Rappel : Méthode d'Euler

Si f est une fonction dérivable en x₀, on sait que f(x₀+h) a pour approximation affine f(x₀) +f'(x₀) h On peut donc sur de "petits" intervalles, approcher la courbe d'une fonction par des "petits" segments.

Exemple : On suppose qu'il existe une fonction f définie sur [1;2] telle que : f'(x) = x et f(1) = 1 D'après les propriétés de la dérivée, on sait qu'en tout point x₀ de [1;2],

f(x₀ + h) a pour approximation affine f(x₀) + f'(x₀) h c'est-à-dire f(x₀) + x₀ h

Partageons l'intervalle [1;2] en deux intervalles de même amplitude : [1;1,5] et [1,5;2] On sait que f(1) = 1

f(1 + h) a pour approximation affine f(1) + 1 h = 1 + h . On en déduit que f(1,5) = f(1 + 0,5) ≈ 1,5

De plus f(1,5 + h) a pour approximation affine f(1,5) + 1,5 h On en déduit que f(2) =f(1,5 + 0,5) ≈ f(1,5) + 1,5 x 0,5 donc f(2) ≈ 1,5 + 1,5 x 0,5

On a donc obtenu trois points d'abscisses respectives 1 ; 1,5 ; 2 et en reliant ces points par 2 segments --- , on approche la courbe (

C

) représentative de f

On peut en utilisant le même procédé, approcher la courbe de f, en partageant l'intervalle en dix intervalles de même amplitude 0,1 Alors f(1) = 1 ; f(1,1) ≈ 1,1 ; f(1,2) ≈f(1,1) + 1,1 x 0,1 etc...

On relie ces points par 10 segments --- , pour approcher (

C

) On peut démontrer que la fonction f définie par f(x)= 2

3x x + 1 3 vérifie les conditions imposées : f'(x) = x et f(1) = 1 Si on superpose sa courbe (

C

) --- sur le dessin précédent, on remarque que les erreurs commises étaient faibles.

Cette méthode peut être mise en œuvre en utilisant un tableur : On écrira dans la colonne A les différentes valeurs subdivisant l'intervalle, dans le cas présent 1 1,1 1,2 1,3 .... 2

et on fera calculer dans la colonne B les différentes approximations : dans la cellule B1 la valeur initiale 1 (puisque f(1) = 1)

dans la cellule B2 la formule =B1+racine(A1)*0,1

(B1 correspond à la valeur f(x₀), racine(A1) correspond à x₀ et 0,1 à h⁾ on peut alors recopier le contenu de la cellule B2 vers le bas pour obtenir les valeurs suivantes.

On trace ensuite le graphique à partir du tableau de valeurs.

Exercice 01

(voir réponses et correction)

En utilisant la méthode d'Euler, tracer avec un tableur une approximation de la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur [0 ; 2] vérifiant : f'(x) = x² + x et f(0) = 1 .

En utilisant vos connaissances sur les dérivées, rechercher l'expression d'une telle fonction f et comparer sa représentation graphique avec son approximation.

Exercice 02

En utilisant la méthode d'Euler, tracer avec un tableur ou une calculatrice une approximation de la courbe d'une fonction f définie et dérivable sur [-1 ; 1], vérifiant : f'(x)= 1

1 +x² et f(0) = 0 .

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I Introduction - Définition

Désintégration radioactive

L’expérience suggère que, si l’on considère une population macroscopique de noyaux radioactifs (c’est-à-dire dont le nombre est de l’ordre du nombre d’Avogadro, soit 6x10²³), la proportion moyenne de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps ∆t à partir d’un instant t, rapportée au temps d’observation ∆t, est une constante λ caractéristique du noyau en question.

La proportion moyenne de noyaux qui se désintègrent s'écrit ∆N(t)

N(t), la variation ∆N(t) étant négative.

On peut donc écrire ∆N(t)

N(t) = - λ∆t

A priori, λ pourrait dépendre du temps. Ce serait le cas si un processus de vieillissement était en cause, comme, par exemple, si l’on s’intéresse au nombre de décès dans une population donnée.

Le fait que λ ne dépende pas du temps s’interprète comme un processus de « mort sans vieillissement ».

En passant à la limite pour un intervalle de temps devenant arbitrairement petit, on écrira l’équation ci-dessus dN(t)

N(t) = -λ dt, ou encore dN(t)=-λ N(t) dt. On écrira aussi : N’(t)=-λN(t) . On est donc amené à rechercher et à étudier les fonctions f définies et dérivables sur IR et vérifiant f'=kf, c'est-à-dire les solutions de l'équation différentielle y' = k y , k étant un réel fixé.

On peut remarquer qu'aucune des fonctions rencontrées jusqu'à présent (fonction polynômes, fonctions rationnelles, fonction racine carrée, fonctions sinus et cosinus...) ne sont solutions d'une telle équation différentielle (à part la fonction constante nulle).

On s'intéressera plus particulièrement au cas particulier k= 1.

Théorème

(voir démonstration 01)

• Il existe une unique fonction f , définie et dérivable sur IR, telle que f'=f et f(0) = 1 . Cette fonction est notée exp et appelée fonction exponentielle.

• Pour tous réels k et a , il existe une unique fonction f , définie et dérivable sur IR, telle que f'=kf et f(0) =a.

Cette fonction f est définie par : f(x)=a^xexp(kx) pour tout x∈ IR .

Exercice 03

En utilisant la méthode d'Euler, tracer avec un tableur une approximation de la représentation graphique de la fonction exp sur l'intervalle [-3 ; 3].

Donner les valeurs approchées obtenues par cette méthode pour exp(1) ; exp(2) ; exp(3) Comparer exp(3) et exp(1) ^x exp(2)

Donner les valeurs approchées obtenues par cette méthode pour exp(-1) ; exp(-2) ; exp(-3) Comparer exp(-3) et exp(-1) xexp(-2)

Donner les valeurs approchées obtenues par cette méthode pour exp(0,4) ; exp(1,8) ; exp(2,2) Comparer exp(2,2) et exp(0,4) ^x exp(1,8)

Donner les valeurs approchées obtenues par cette méthode pour exp(1,5) et exp(3) , comparer.

Exercice 04

On considère un partage de l'intervalle [0;1] en n intervalles de même amplitude (n∈ IN^* ).

En utilisant les approximations affines et la méthode d'Euler , donner en fonction de n une approximation de exp

 

 

1

n et exp

 

 

2 n . Démontrer que

 

 

1 + 1 n

n est une approximation de exp(1).

On considère la suite (u_n) définie par u_n =

 

 

1 + 1 n

n .

Donner à 10^-3 près les valeurs de u_n obtenues avec une calculatrice pour : n = 10 ; n = 100 ; n = 1000 ; n = 10000 ; n = 100000 ; n = 1000000 En déduire une valeur approchée de exp(1).

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II Relation fonctionnelle - Notation e ^x

Propriété

(voir démonstration 02) Pour tous réels x et y, on a : exp(x + y) = exp(x) ^x exp(y)

La fonction exponentielle est donc une fonction transformant une somme en un produit.

Remarque

En appliquant la relation précédente avec y = x, on obtient : exp(2x) = [exp(x)]²

En appliquant de nouveau la relation avec y= 2x, on obtient : exp(3x) =exp(2x) xexp(x)=[exp(x)]³ On peut alors démontrer que pour tout entier naturel n , on a : exp(nx) = [exp(x)]ⁿ

On en déduit en particulier que pour tout entier naturel n , on a : exp(n)=exp(n^x 1) =[exp(1)]ⁿ Si on note e le nombre exp(1), alors pour tout entier naturel n , on a : exp(n) = eⁿ

(relation que l'on peut aussi vérifier pour un entier négatif)

Notation

On conviendra de noter pour tout réel x : exp(x)=e^x où e=exp(1) La fonction exponentielle est alors définie par exp : IR →IR

x ֏ e^x On trouve sur les calculatrices scientifiques une touche correspondant à cette fonction.

Remarque

Le nombre e=exp(1) a pour valeur approchée 2,718 . (voir exercice 2)

La notation e² a donc une double signification : soit le nombre e élevé au carré, soit le nombre exp(2) . (ces deux nombres étant égaux)

Par contre la notation e^π ne peut désigner que le nombre exp(π) .

Propriétés

a et b étant deux réels, on a : e^a+b=e^a.e^b ; e^b≠ 0 ; e^-b= 1

e^b ; e^a-b=e^a e^b Si n est un entier relatif : e^na =

(

e^a

)

ⁿ

Exercice 05

(voir réponses et correction) Écrire plus simplement :

e^2x^x e^1-2x ; e^2x+3

e^x-1 ; (e^x + e^-x)² ; e^-2x - e^2x + 1 e^2x

Exercice 06

(voir réponses et correction) Soit f définie sur IR par f(x) =

 

 

e^x+e^-x 2

2 -

 

 

e^x-e^-x 2

2

Démontrer que f est une fonction constante sur IR.

Exercice 07

On considère la fonction f définie sur IR par : f(x)= x -e^x - 1 e^x+ 1 . Vérifier que pour tout réel x : f(x) = x - 1 - e^-x

1 +e^-x Puis f(x)=x- 1 + 2

e^x + 1 ; f(x)=x+ 1 - 2e^x

e^x + 1 ; f(x)=x- 1 + 2e^-x

1 + e^-x ; f(x)=x+ 1 - 2 1 + e^-x Montrer que f est dérivable sur IR , vérifier que : f'(x)= e^2x+ 1

(e^x+ 1)²= 1 +e^-2x (1 +e^-x)²

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III Étude de la fonction exponentielle

Propriétés

• La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable sur IR et

(

e^x

) '

_{= e}^x .

• e⁰= 1 ; e¹=e ; e≈ 2,718

• pour tout réel x, e^x > 0

• La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR.

• x > 0 ⇔ e^x > 1 et x < 0 ⇔ 0 < e^x < 1

• lim

x→₊∞ e^x = +∞ et lim

x→–∞ e^x = 0

• Le tableau de variations de la fonction exponentielle est :

Exercice 08

(voir réponses et correction) Démontrer que pour tout x∈ IR, on a : e^x-x- 1 ³ 0.

Propriétés

• lim

x→0

e^x- 1 x = 1 .

• e^x a pour approximation affine 1 +x au voisinage de 0.

• Pour tout réel x, on a e^x ³ 1 + x .

Propriétés

x→lim e+∞ ^x

x = +∞ ; lim

x→–∞ xe^x = 0

C'est-à-dire que, au voisinage de l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur x.

(On pourra utiliser ceci comme une règle opératoire)

Courbe représentative

On a vu que

x→lim-∞ e^x = 0

La courbe a pour asymptote horizontale l'axe Ox quand x tend vers -∞

On a vu que e^x a pour approximation affine 1 + x au voisinage de 0 et que pour tout réel x, on a e^x³ 1 +x La courbe a pour tangente au point d'abscisse 0 la droite T d'équation y=x+ 1 et la courbe se trouve au-dessus de T.

On a vu que

x→lim₊∞e^x x = +∞

on dit que la courbe a pour direction asymptotique l'axe Oy au voisinage de +∞ .

x -∞ +∞

+∞

exp 0

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Exercice 09

(voir réponses et correction) Résoudre dans IR les inéquations suivantes : e^2x - 1 > 0 ; e^x + 3

e^x + 1 > 2 ; e^x - e^2x £ 0 ; e^2x+5 < e^1-x

Exercice 10

Déterminer les limites suivantes :

x→lim+∞ e ^x²^-3x-5 ;

x→lim-∞ e ^x²^-3x-5 ;

x→lim+∞ 2 + 3e^-x²⁺¹ ;

x→lim-∞e^x- 3

e^x + 2 ;

xlim →0e^x+ 1 e^2x

Exercice 11

(voir réponses et correction) Déterminer les limites suivantes :

x→lim+∞ 3xe^-x ;

x→lim_-∞ (x+ 1)e^x ;

x→lim+∞ 2e^x- 5

3x ;

xlim→0e^x- 1

x³ ;

x→lim_-∞e^x+e^-x 3 + e^x

Exercice 12

Soit (

C

) la courbe de la fonction f définie sur IR par : f(x) = 3x - 1 + e^x e^x+ 1 . Démontrer que (

C

) a deux asymptotes obliques dont on donnera une équation.

Propriété

La fonction exponentielle est une bijection de IR sur ]0;+∞[.

C'est-à-dire que pour tout k ∈ ]0;+∞[, l'équation e^x = k a une solution unique dans IR.

(Cette solution sera notée ln k . On trouve sur les calculatrices scientifique une touche pour la fonction ln)

Remarque

Si k£ 0, l'équation e^x=k n'a pas de solution puisqu'on sait que e^x > 0 pour tout x∈ IR.

Exercice 13

(voir réponses et correction) Résoudre dans IR les équations suivantes :

e^2x+1- 1 = 0 ; e^x+1-e^2x-3= 0 ; e^x-1^xe^3x+5= 1 ; e^2x+e^x- 2 = 0 ; 2e^x+ 1

e^x = 2e³+e^-x

Propriétés

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction expôu qui à x associe eû^(x) est dérivable sur I, et on a : (expôu)'=u'.expôu ou encore

(

e^u

) '

₌_u'.e^u

Exercice 14

Justifier que chacune des fonctions est dérivable sur IR , calculer la dérivée et étudier le signe de cette dérivée. f(x)=e^2x²⁺¹ ; g(x)= (2x+ 1)e^2x+1 ; h(x)=e^x-e^-x

2 ; t(x)= 3e^x e^2x + 1

Exercice 15

Étudier les variations de la fonction f définie par f(x) = e^2x - 1 e^2x+ 1 . Dresser son tableau de variations. Soit (C) la courbe représentative de f.

Donner l'équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 0. Tracer (C) et T.

Démontrer que l'équation f(x) = 1

2 a une solution unique α dans IR. Donner une valeur approchée de α .

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