Cet individu transmet l'information à un autre individu

Vincent Nolot Problème de la rumeur Dijon Leçons : 2-3-8-38-39-40-41-56

Enoncé : Un individu a la connaissance d'une information I. Cet individu transmet l'information à un autre individu. L'information est correctement transmise avec une probabilitép∈[¹₂,1[, sinon son contraire est transmis avec probabilité 1−p. A son tour le deuxième individu va transmettre l'information à un troisième ... et ainsi de suite. Quelle est la probabilité que l'individunreçoive la bonne information I?

Notons I_n la variable aléatoire qui vaut1 si l'individunreçoit l'informationI et 0sinon. On cherche donc P(I_n = 1) que l'on noterap_n. Considérons que l'on part de l'individu 1 et on a p₁ = 1 d'après l'énoncé. La formule des probabilités totales nous dit que pour toutn≥2,

P(I_n= 1) =P(I_n= 1|I_n−1= 1)P(I_n−1= 1) +P(I_n = 1|I_n−1= 0)P(I_n−1= 0) ou encore puisqueP(I_n−1= 0) = 1−P(I_n−1= 1) = 1−p_n−1:

pn = pp_n−1+ (1−p)(1−p_n−1) p_n = (2p−1)p_n−1+ 1−p.

On a donc aaire à un suite récurrente linéaire d'ordre 1. On considère la fonction f dénie par f(x) = (2p−1)x+ 1−psi bien que p_n=f(p_n−1)pour toutn≥2.

Attention : Attention pour montrer que cette dernière relation est valable il faut vérier que f stabilise l'intervalle :f([0,1]) ⊂[0,1](puisqu'il s'agit de probabilités). C'est le cas car pour x≤1, comme2p−1≥0 on a(2p−1)x+ 1−p≤2p−1 + 1−p=p≤1 et alorsf(x)≤1. Ensuite il est clair que six≥0alorsf(x)≥0.

Puisque f est ane elle admet au plus un point xel qui vérie : f(l) =l⇔(2p−1)l+ 1−p=l⇔l= p−1

2p−2 = 1 2. Ainsil=¹₂ est l'unique point xe def.

Pour étudier(pn)n qui est une suite arithmético-géométrique on peut considérer une suite auxiliaire dénie parun=pn−¹₂. Montrons que(un)n est géométrique. On a pour n≥1:

un+1=pn+1−1

2 = (2p−1)pn+ 1−p−1 2

= (2p−1)pn−(p−1 2)

= (2p−1)

pn−1 2

= (2p−1)un.

On en déduit que (un)n est une suite géométrique de raison 2p−1. Ainsi pourn≥ 1, on peut exprimer son terme général :

un= (2p−1)ⁿ⁻¹u1= (2p−1)ⁿ⁻¹

p1−1 2

= (2p−1)ⁿ⁻¹1 2. On peut en tirer l'expression du terme général depn pour toutn≥1 :

pn=un+1

2 = (2p−1)ⁿ⁻¹1 2+1

2. C'est la probabilité recherchée.

Remarque : puisque0≤2p−1<1la suite(pn)nconverge vers ¹₂. Autrement dit si on transmet l'information un très grand nombre de fois, l'individu concerné aura1chance sur2d'avoir la bonne informationI, et ce quelle que soit la probabilitépde départ !

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