Algorithmes Parallèles et Distribués 3. Algorithmes distribués (suite) Franck Butelle

(1)

Algorithmes Parallèles et Distribués

3. Algorithmes distribués (suite)

Franck Butelle

LIPN, Université Paris 13 Formation Ingénieurs SupGalilée Info 3

12/2020

(INFO 3) APD 3–Algos distribués (suite) 2020 1 / 60

(2)

Plan

1 Élection

2 Arbre couvrant

3 Détection Terminaison

4 Conclusion de cette partie

5 Horloges logiques et Exclusion mutuelle

(3)

Élection

Plan

1 Élection

Sur un anneau Élection sur un arbre Élection sur grille

Élection sur graphe quelconque

2 Arbre couvrant

3 Détection Terminaison

4 Conclusion de cette partie

5 Horloges logiques et Exclusion mutuelle

(4)

Élection Sur un anneau

Algorithme de Chang-Roberts 1979

Hypothèse:G : anneau unidirectionnel.

Objectif :élire parmi tous les sites, l’id. max.

Idée : Les messages venant des sites d’id. inf. sont arrêtés.

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

16

4 12

9 20

18

7

13

: site candidat : site battu

: mesg élection : mesg fin

(5)

Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

16

4 12

9 20

18

7

13

(6)

Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

16

12 9

13

16

4 12

9 20

18

7

13

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Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

16 12

20

16

4 12

9 20

18

7

13

(8)

Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

16 20

16

4 12

9 20

18

7

13

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Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

16

20

16

4 12

9 20

18

7

13

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Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

20

16

4 12

9 20

18

7

13

(11)

Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

20

16

4 12

9 20

18

7

13

(12)

Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

20

16

4 12

9 20

18

7

13

(13)

Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

20

16

4 12

9 20

18

7

13

(14)

Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

20

16

4 12

9 20

18

7

13

(15)

Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

20

16

4 12

9 20

18

7

13

(16)

Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16}) 20

16

4 12

9 20

18

7

13

(17)

Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

20

16

4 12

9 20

18

7

13

(18)

Algorithme de Chang-Roberts 1979

Exemple (I₌{16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,12,13,16})

20

16

4 12

9 20

18

7

13

(19)

Algorithme de Chang-Roberts 1979

varétat∈{passif, candidat, élu, battu}, état←passif.

Eveil:siest_initiateuralors

état←candidat;envoyer<élection,Myid>au succ.

finsi

sur_receptionde<élection, id>: siMyid<idalors

état←battu;envoyer<élection,id>au succ.

sinon_siMyid>idalors siétat6=candidatalors

état←candidat;/∗ si pas déjà candidat devient candidat ∗/

envoyer<élection,Myid>au succ.

finsi

sinon /∗ le message a fait le tour de l’anneau ∗/

état←élu;envoyer<fin,Myid>au succ.

finsi

sur_receptionde<fin, id>: siMyid6=idalors

id_élu←id; état←battu;

envoyer<fin,id>au succ.;terminaison sinon

terminaison finsi

(20)

Analyse de l’algo. de Chang-Roberts 1979

Théorème

L’algo CR79 résout le pb de l’élection sur un anneau unidirectionnel (a)synchrone.

Sa complexité en messages dans le pire des cas est en _Θ(n²).

Sa complexité en moyenne en messages est en_Θ(nlog(n)).

Sa complexité temporelle dans le pire des cas est en _Θ(n).

Remarques

L’algo a été défini initialement pour un réseau synchrone, mais se comporte bien sur un réseau asynchrone.

Exercice 1

Ecrire la variante : élection uniquement parmi les initiateurs. Complexités ?

(21)

Preuve des complexités dans le pire des cas

Soit i^∗ le site d’identité max.

Complexité temporelle :

pire des cas atteint avecun seul initiateur, successeur immédiat dei^∗...

n−1 messages pour atteindre i^∗, puisn messages pour faire le tour de l’anneau, puis encoren messages fin. Donc 3n₋1 messages

séquentiels.

Complexité en nbre de messages :

pire des cas atteint pour un anneau avec identités en ordre décroissant et tous initiateurs. Première «phase» :n messages...

Or ordre des identités est décroissant, seul le message dei_min ài^∗ est arrêté. Donc n₋1 messages repartent. Au final :

Cmax(n)=

n

X

j₌₁

j+n=n(n₊1)

2 ⁺n=1 2n²+3

2n.

(22)

Preuve des complexités dans le pire des cas

séquentiels.

Cmax(n)=

n

X

j₌₁

j+n=n(n₊1)

2 ⁺n=1 2n²+3

2n.

(23)

Preuve des complexités dans le pire des cas

séquentiels.

Cmax(n)=

n

X

j₌₁

j+n=n(n₊1)

2 ⁺n=1 2n²+3

2n.

(24)

Preuve des complexités dans le pire des cas

séquentiels.

Or ordre des identités est décroissant, seul le message dei_min ài^∗ est arrêté. Doncn₋1 messages repartent. Au final :

Cmax(n)=

n

X

j₌₁

j+n=n(n₊1)

2 ⁺n=1 2n²+3

2n.

(25)

Complexité en moyenne en nbre de mesg :

Soit une configuration aléatoire :

i_n₋₂

i_k i₂

i₁ i^∗ i_n₋₁

On suppose que tous sont initiateurs, soiti^∗ id. max. et i_k le site à distancek dei^∗ (en partant de ik).

SoitX_k variable aléatoire représentant le nbre de mesg _<election,i_k_> d’origine i_k.P(X_k_≥k₊1)₌0.Notons queP(X_i∗=n)₌1.

Pour que le mesg soit relayéau moins t_≤k fois, il faut et il suffit que i_k₌max{i_k, ...,i_k₋_t₊₁}. Si toutes les conf. sont équiprobables alors P(X_k_≥t)₌1/t.

(26)

Complexité en moyenne en nbre de mesg :

i_n₋₂

i_k i₂

i₁ i^∗ i_n₋₁

SoitX_k variable aléatoire représentant le nbre de mesg _<election,i_k_>

d’origine i_k.P(X_k_≥k₊1)₌0.Notons queP(X_i∗=n)₌1.

Pour que le mesg soit relayéau moins t_≤k fois, il faut et il suffit que i_k₌max{i_k, ...,i_k₋_t₊₁}. Si toutes les conf. sont équiprobables alors P(X_k_≥t)₌1/t.

(27)

Complexité en moyenne en nbre de mesg :

i_n₋₂

i_k i₂

i₁ i^∗ i_n₋₁

SoitX_k variable aléatoire représentant le nbre de mesg _<election,i_k_>

d’origine i_k.P(X_k_≥k₊1)₌0.Notons queP(X_i∗=n)₌1.

Pour que le mesg soit relayéau moins t_≤k fois, il faut et il suffit que i_k₌max{i_k, ...,i_k₋_t₊₁}. Si toutes les conf. sont équiprobables alors P(Xk≥t)=1/t.

(28)

Complexité en moyenne en nbre de mesg (suite)

Cmoy(n)₌

n−1 X

k=1E(X_k)₊2n_{(il y a}nmesg<fin,i^∗>etnmesg<élection,i^∗>).

doncCmoy(n)₌

n−1 X

k=1 k X

t=1

1 t ⁺2n₌

n−1 X

t=1 n−1

X

k=t

1 t ⁺2n₌

n−1 X

t=1

n₋t t ⁺2n

Cmoy(n)₌nHn+n (Hn est la n-ieme somme partielle harmonique).

(29)

Complexité en moyenne en nbre de mesg (suite)

Cmoy(n)₌

nX₋1 k₌1

E(X_k)₊2n_{(il y a}nmesg<fin,i^∗>etnmesg<élection,i^∗>).

sachant que l’Espérance :E(X)^def₌

+∞X t₌1

t_×P(X₌t)

doncC_moy(n)₌

nX₋1 k₌1

k X

t₌1

1 t ⁺2n₌

nX₋1 t₌1

nX₋1 k₌t

1 t ⁺2n₌

nX₋1 t₌1

n₋t t ⁺2n

(30)

Complexité en moyenne en nbre de mesg (suite)

Cmoy(n)₌

nX₋1 k₌1

+∞X t₌1

t_×P(X₌t)

E(X)₌

+∞X t=1

t X

s=1

P(X₌t)

doncC_moy(n)₌

n−1 X

k=1 k X

t=1

1 t ⁺2n₌

n−1 X

t=1 n−1

X

k=t

1 t ⁺2n₌

n−1 X

t=1

n₋t t ⁺2n

C_moy(n)₌nH_n₊n (Hn est la n-ieme somme partielle harmonique).

(31)

Complexité en moyenne en nbre de mesg (suite)

Cmoy(n)₌

nX₋1 k₌1

+∞X t₌1

t_×P(X₌t)

E(X)₌

+∞X t=1

t X

s=1

P(X₌t)₌

+∞X s=1

+∞X t₌s

P(X₌t)

doncC_moy(n)₌

n−1 X

k=1 k X

t=1

1 t ⁺2n₌

n−1 X

t=1 n−1

X

k=t

1 t ⁺2n₌

n−1 X

t=1

n₋t t ⁺2n

(32)

Complexité en moyenne en nbre de mesg (suite)

Cmoy(n)₌

nX₋1 k₌1

+∞X t₌1

t_×P(X₌t)

E(X)₌

+∞X t=1

t X

s=1

P(X₌t)₌

+∞X s=1

+∞X t₌s

P(X₌t)₌

+∞X s=1

P(X_≥s)

doncC_moy(n)₌

n−1 X

k=1 k X

t=1

1 t ⁺2n₌

n−1 X

t=1 n−1

X

k=t

1 t ⁺2n₌

n−1 X

t=1

n₋t t ⁺2n

(33)

Complexité en moyenne en nbre de mesg (suite)

C_moy(n)₌

nX₋1 k₌1

E(X_k)₊2n(il y anmesg<fin,i^∗>etnmesg<élection,i^∗>).

+∞X t₌1

t_×P(X₌t)

E(X)₌

+∞X t₌1

t X

s₌1

P(X₌t)₌

+∞X s₌1

+∞X t=s

P(X₌t)₌

+∞X s₌1

P(X_≥s)

orP(X_k_≥t)₌1

t etP(X_k_≥k₊1)₌0, donc E(X_k)₌

k X

t₌1

1 t.

doncC_moy(n)₌

nX₋1 k₌1

k X

t₌1

1 t ⁺2n₌

nX₋1 t₌1

nX₋1 k₌t

1 t ⁺2n₌

nX₋1 t₌1

n₋t t ⁺2n

(34)

Complexité en moyenne en nbre de mesg (suite)

Cmoy(n)₌

n−1 X

doncCmoy(n)₌

nX−1 k₌1

k X

t=1

1 t ⁺2n

= n−1

X

t=1 n−1

X

k=t

1 t ⁺2n₌

n−1 X

t=1

n₋t t ⁺2n

(35)

Complexité en moyenne en nbre de mesg (suite)

Cmoy(n)₌

n−1 X

doncCmoy(n)₌

nX−1 k₌1

k X

t=1

1 t ⁺2n₌

nX−1 t=1

nX−1 k₌t

1 t ⁺2n₌

nX−1 t=1

n₋t t ⁺2n

(36)

Complexité en moyenne en nbre de mesg (suite)

Cmoy(n)₌

nX₋1 k₌1

doncC_moy(n)₌

nX₋1 k₌1

k X

t₌1

1 t ⁺2n₌

nX₋1 t₌1

nX₋1 k₌t

1 t ⁺2n₌

nX₋1 t₌1

n₋t t ⁺2n

=n

nX₋1 t₌1

1 t ⁺

nX₋1 t₌1

−t

t ⁺2n₌n

nX₋1 t₌1

1 t ⁺n₊1

(37)

Complexité en moyenne en nbre de mesg (suite)

Cmoy(n)₌

nX₋1 k₌1

doncC_moy(n)₌

nX₋1 k₌1

k X

t₌1

1 t ⁺2n₌

nX₋1 t₌1

nX₋1 k₌t

1 t ⁺2n₌

nX₋1 t₌1

n₋t t ⁺2n

=n

nX₋1 t₌1

1 t ⁺

nX₋1 t₌1

−t

t ⁺2n₌n

nX₋1 t₌1

1

t ⁺n₊1 or 1₌n_×1

n doncC_moy(n)₌n

n X

t₌1

1 t⁺n

(38)

Complexité en moyenne en nbre de mesg (suite)

Cmoy(n)₌

nX₋1 k₌1

doncC_moy(n)₌

nX₋1 k₌1

k X

t₌1

1 t ⁺2n₌

nX₋1 t₌1

nX₋1 k₌t

1 t ⁺2n₌

nX₋1 t₌1

n₋t t ⁺2n

=n

nX₋1 t₌1

1 t ⁺

nX₋1 t₌1

−t

t ⁺2n₌n

nX₋1 t₌1

1

t ⁺n₊1 or 1₌n_×1

n doncC_moy(n)₌n

n X

t₌1

1 t⁺n Cmoy(n)₌nHn+n (Hn est la n-ieme somme partielle harmonique).

(39)

Complexité en moyenne en nbre de mesg (fin)

Calcul deH_n

1

t décroissante donc Z t₊₁

t

1 xdx _≤ 1

t ^≤ Z t

t₋₁

1

xdx pour t_≥2 donc en sommant pour t=2 à n (et en ajoutant 1) :

1₊ Z n₊₁

2

1

xdx≤Hn≤1₊ Z n

1

1 xdx donc lim

n→+∞Hn≈ln(n) donc C_moy(n)₌_Θ(nlog(n))

(40)

Algo. de Franklin 1982

Hyp.: anneau bidirectionnel

Objectif: Élection parmi les initiateurs.

Idée : Se comparer à chaque «tour» à ses 2 voisins actifs, les pluspetits survivent, les passifs/battus relaient les mesgs.

Exemple (I={16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,16,18})

16

4 12

9 20

18

7

13

(41)

Algo. de Franklin 1982

Exemple (I={16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,16,18})

16

4 12

9 20

18

7

13

(42)

Algo. de Franklin 1982

Exemple (I={16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,16,18})

16 16

9

9 18

18

16

4 12

9 20

18

7

13

(43)

Algo. de Franklin 1982

Exemple (I={16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,16,18})

16 16 9

9 18

18

16

4 12

9 20

18

7

13

(44)

Algo. de Franklin 1982

Exemple (I={16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,16,18})

16

18

9

16

4 12

9 20

18

7

13

(45)

Algo. de Franklin 1982

Exemple (I={16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,16,18})

9

16

4 12

9 20

18

7

13

(46)

Algo. de Franklin 1982

Exemple (I={16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,16,18})

9

16

4 12

9 20

18

7

13

(47)

Algo. de Franklin 1982

Exemple (I={16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,16,18})

9

916 4 12

9 20

18

7

13

(48)

Algo. de Franklin 1982

Exemple (I={16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,16,18})

9

16

4 12

9 20

18

7

13

(49)

Algo. de Franklin 1982

Exemple (I={16,4,12,9,20,18,7,13}. Init={9,16,18})

9 9

9

16

4 12

9 20

18

7

13

(50)

Algo. de Franklin 1982

varétat∈{passif,actif,élu,battu};

Eveil:siest_initiateuralors

état←actif;envoyer<Myid>aux deux voisins;

finsi

siétat = actifalors/∗ seuls les initiateurs participent à l’élection ∗/

sur_receptiondes messages<v>et<w>des DEUX voisins : simin{v,w}<Myidalorsétat←battu;finsi

simin{v,w}>Myidalorsenvoyer<Myid>aux deux voisins;finsi simin{v,w}=Myidalors

état←élu;/∗ Terminaison ... ∗/

finsi sinon

relayer les messages reçus finsi