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Fiche méthode 17 : Formes canoniques pour les filtres usuels

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Academic year: 2022

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Fiche méthode 17 :

Formes canoniques pour les filtres usuels

v Filtres d’ordre 1 :

Type de filtre Forme canonique de l’équation différentielle

Forme canonique de la transmittance isochrone

complexe

Passe-bas d’ordre 1

𝑑𝑠 𝑑𝑡+𝑠

𝜏= 𝐻!𝑒

𝜏 𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻!

𝟏 + 𝑗𝜔𝜏 𝑑𝑠

𝑑𝑡+ 𝜔"× 𝑠 = 𝐻!× 𝜔"× 𝑒 𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻! 𝟏 + 𝑗 𝜔

𝜔"

avec 𝜔": pulsation de coupure à −3𝑑𝐵 , dépendant des paramètres du système (en rad/s).

𝐻! : amplification statique, dépendant des paramètres du système (sans unité).

𝜏 : constante de temps, dépendant des paramètres du système (en seconde)

Type de filtre Forme canonique de l’équation différentielle

Forme canonique de la transmittance isochrone

complexe

Passe-haut d’ordre 1

𝑑𝑠 𝑑𝑡+𝑠

𝜏 = 𝐻!×𝑑𝑒

𝑑𝑡 𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻!𝒋𝝎𝝉

1 + 𝒋𝝎𝝉

𝑑𝑠

𝑑𝑡+ 𝜔"× 𝑠 = 𝐻!×𝑑𝑒

𝑑𝑡 𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻!𝒋 𝝎𝝎𝑪 1 + 𝒋 𝝎 𝝎𝑪 avec 𝜔": pulsation de coupure à −3𝑑𝐵 , dépendant des paramètres du système (en rad/s).

𝜏 : constante de temps, dépendant des paramètres du système (en seconde).

𝐻! : amplification pour les hautes fréquences (sans unité).

(2)

2 v Filtres d’ordre 2 :

Type de filtre Forme canonique de l’équation différentielle

Forme canonique de la transmittance isochrone complexe

Passe-bas d’ordre 2

𝑑$𝑠 𝑑𝑡$+𝜔!

𝑄 𝑑𝑠

𝑑𝑡+ 𝜔!$𝑠 = 𝐻!× 𝜔!$× 𝑒 𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻! 𝟏 − 𝜔𝜔!$$+ 𝑗 𝜔𝑄𝜔! 𝑑$𝑠

𝑑𝑡$ + 2𝑚𝜔!𝑑𝑠

𝑑𝑡+ 𝜔!$𝑠 = 𝐻!× 𝜔!$ × 𝑒 𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻! 𝟏 − 𝜔$

𝜔!$+ 𝑗2𝑚 𝜔𝜔! avec 𝐻! : amplification statique, sans unité

𝜔! : pulsation propre du système, en rad/s 𝑄 : facteur de qualité du système, sans unité.

𝑚 : coefficient d’amortissement du système étudié (sans unité)

Type de filtre Forme canonique de l’équation différentielle

Forme canonique de la transmittance isochrone complexe

Passe-haut d’ordre 2

𝑑$𝑠 𝑑𝑡$ +𝜔!

𝑄 𝑑𝑠

𝑑𝑡+ 𝜔!$𝑠 = 𝐻!×𝑑$𝑒

𝑑𝑡$ 𝐻(𝑗𝜔) =

− 𝝎𝟐 𝝎𝟎𝟐𝐻! 1 − 𝝎𝟐

𝝎𝟎𝟐+ 𝑗 𝜔𝑄𝜔!

𝑑$𝑠

𝑑𝑡$+ 2𝑚𝜔!𝑑𝑠

𝑑𝑡+ 𝜔!$𝑠 = 𝐻!×𝑑$𝑒

𝑑𝑡$ 𝐻(𝑗𝜔) =

− 𝝎𝟐 𝝎𝟎𝟐𝐻! 1 − 𝝎𝟐

𝝎𝟎𝟐+ 𝑗2𝑚 𝜔𝜔! avec 𝐻!, amplification à haute fréquence (sans unité).

𝜔! : pulsation propre du système, en rad/s 𝑄 : facteur de qualité du système, sans unité.

𝑚 : coefficient d’amortissement du système étudié (sans unité)

Type de filtre Forme canonique de l’équation

différentielle Forme canonique de la

transmittance isochrone complexe

Passe-bande d’ordre 2

𝑑$𝑠 𝑑𝑡$+𝜔!

𝑄 𝑑𝑠

𝑑𝑡+ 𝜔!$𝑠 = 𝐻!×𝜔! 𝑄

𝑑𝑒

𝑑𝑡 𝐻(𝑗𝜔) = 𝒋 𝝎𝑸𝝎𝟎𝐻! 1 − 𝜔𝜔!$$ + 𝒋 𝝎𝑸𝝎𝟎

𝑑$𝑠

𝑑𝑡$+ 2𝑚𝜔!𝑑𝑠

𝑑𝑡+ 𝜔!$𝑠

= 𝐻!× 2𝑚𝜔!𝑑𝑒 𝑑𝑡

𝐻(𝑗𝜔) = 𝒋𝟐𝒎 𝝎𝝎𝟎𝐻! 1 − 𝜔𝜔!$$+ 𝒋𝟐𝒎 𝝎𝝎𝟎 avec 𝜔!: pulsation propre, dépendant des paramètres du système (en rad/s).

𝐻! : amplification à la résonance pour 𝜔 = 𝜔! (sans unité).

𝑄 : facteur de qualité du système, dépendant des paramètres du système (sans unité).

𝑚 : coefficient d’amortissement du système étudié (sans unité)

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