Une introduction au codage de réseau aléatoire Correction d’erreurs dans le codage de réseau

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Une introduction au codage de r éseau al éatoire Correction d’erreurs dans le codage de r éseau

Christine Bachoc

Universit ´e Bordeaux I, IMB

Ecole de printemps Codage et Cryptographie´ 17 - 21 Mars 2014, Universit ´e Joseph Fourier, Grenoble

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Erreurs

I Le r éseau transmet des él éments (paquets) deF^mq.

I Uneinsertion d’erreurà l’ar êteeest mod élis ée par l’ajout d’un paquet Ee:

x_e⁰ =xe+Ee

I Uneffacement`a l’ar ˆeteeest la perte de la valeur dexe.

I On suppose le codage lin ´eaire al ´eatoire.

I Probl `eme: la propagation des erreurs au cours du codage.

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Propagation des erreurs

s

t

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Propagation des erreurs

s Ee

t

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Propagation des erreurs

s

t

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Propagation des erreurs

s

t

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Propagation des erreurs

s

t

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Erreurs

I SiX∈F^n×mq est envoy é par la source etYreçu à destination, en pr ésence d’erreurs on a:

Y =TX+UE

I Kschischang, Koetter, 2008: proposent de mod éliser l’information transmise parun sous-espace vectorielVdeF^mq. Si une base deV est inject ée dans le r éseau, le codage lin éaire pr éserve la propri ét é

d’appartenance: les paquets transmis au destinataire appartiennent `aV.

I Avantage: en cas d’erreur, on peut esp érer queV sera modifi é enV⁰un sev ’proche’ deVau sens d’une m étrique raisonnable.

I Alors, on peut appliquer les principes des codes correcteurs d’erreurs:

s électionner un ensemble de sev (code) suceptibles d’ être transmis, et appliquer à la r éception un d écodage par l’ él ément du code le plus proche.

I Autre avantage: on n’a pas besoin de connaitre la topologie du r ´eseau (cas non coh ´erent).

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Distances entre sous-espaces

I Subspace distancedS[Koetter Kschischang 2008]:

dS(U,V) =dim(U+V)−dim(U∩V) =dim(U) +dim(V)−2 dim(U∩V)

I C’est la distance du plus court chemin dans le graphe dont les sommets sont les sous-espaces deF^mq et les ar ˆetes relientU,V siU⊂V et dim(V) =dim(U) +1.

I Injection distanced[Kschischang Silva 2008]:

d(U,V) =max(dim(U),dim(V))−dim(U∩V)

I d(U,V)mesure le plus petit nombre d’erreurs ins ér ées n écessaires pour transformer une base deUen une base deV.

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Distances entre sous-espaces

I Comparaison:

d_S(U,V)/2≤d(U,V)≤d_S(U,V).

I Egalit ´e `a gauche si dim(U) =´ dim(V).

I Exemple:{e1,e2,e3}la base canonique deF³q.U=he1,e2i,V =he3i.

{0}

he₁,e2i

he₃i he₁,e2,e3i

d_S(U,V) =3,d(U,V) =2.

dS(U,V)/2<d(U,V)<dS(U,V).

{e1,e2} → {e1+(e3−e1),e2} → {e3,e2+(e3−e2)} → {e3,e3}

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Correction d’erreurs

I Pq(m)l’ensemble des sous-espaces vectoriels deF^mq I C ⊂ Pq(m)

I d(C)ladistance minimaledu codeC:

d(C) =min{d(U,V) : U∈ C, V ∈ C, U6=V}.

I ρle nombred’effacements,tle nombred’insertions d’erreurs.

Th éor ème:[Kschischang Silva 2008] Le d écodage par l’ él ément du code le plus proche corrige correctementρeffacements ettinsertions en position quelconque ssi

d(C)>2t+ρ.

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Rel `evements de matrices

I SoitM∈F^kq^×m. On associe `aM le sous-espace vectorielΛ(M) engendr ´e par les lignes de la matrice[Ik M]:

Λ(M) :=D

ˆ Ik M ˜E

I SoitGq(n,k)l’ensemble des sous-espaces vectoriels deFⁿqde dimensionk(espace Grassmannien). On a

Λ(M)∈ Gq(m+k,k).

I SoitC ⊂F^k×mq , on note

Λ(C) :={Λ(M) : M ∈ C}.

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M ´etrique rang

I L’espaceF^k×mq est naturellement muni de lam ´etrique rang:

dR(M,N) =rang(M−N).

I On a :

d(Λ(M),Λ(N)) =rang(M−N) =dR(M,N).

I Preuve:

d(Λ(M),Λ(N)) =dim(Λ(M) + Λ(N))−min(dim(Λ(M)),dim(Λ(N)))

=dimD» Ik M Ik N

–E

−k

=dimD»

Ik M 0 N−M

–E

−k

= (k+rang(N−M))−k=dR(M,N).

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Espaces de Delsarte

I Les espaces:Gq(n,k)etF^k×nq sont desespaces de Delsarteau m ˆeme titre que l’espace de Hamming et l’espace de Johnson binaire.

I Delsarte 1973: cadre uniforme dessch émas d’associationP-Q polynomiauxpour les codes, anticodes, formule de Mac Williams, m éthode de programmation lin éaire, etc..

I Delsarte 1978: ´etude sp ´ecifique des espacesGq(n,k)(comme

q-analogue du Johnson binaire) etF^k×nq (en particulier construction des

’codes de Gabidulin’).

I Point de vue th ´eorie des groupes: ce sont desespaces 2-point

homog ènespour l’action d’un groupeG. Leurs polyn ômes orthogonaux sont leursfonctions zonales sph ériques.

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Space Group Polynomial

Hamming spaceqⁿ SqoSn Krawtchouk

Johnson space Sn Hahn

q-Johnson space Gln(Fq) q-Hahn

Maximal totally isotropic subspaces of dimension k , for a nonsingular bilinear form:

Symmetric SO2k+1(Fq) q-Krawtchouk

SO_2k(Fq) q-Krawtchouk

SO⁻_2k+2(Fq) q-Krawtchouk

Symplectic Sp_2k(Fq) q-Krawtchouk

Hermitian SU2k(F_q2) q-Krawtchouk

SU2k+1(F_q2) q-Krawtchouk Spaces of matrices:

F^kq^×n F^k×nq .(Gl_k(Fq)×Gln(Fq)) Affineq-Krawtchouk Skewn(Fq) Skewn(Fq).Gln(Fq) Affineq-Krawtchouk Hermn(F_q2) Hermn(F_q2).Gln(F_q2) Affineq-Krawtchouk Table:Some finite two-point homogeneous spaces, their groups and their spherical functions

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Codes de Gabidulin

I Delsarte 1978 (d éfinition et param ètres), Gabidulin 1985 (d écodage), Kschischang Koetter 2008 (network coding).

I Analogues des codes de Reed-Solomon, en mieux!

I Notations:m≥n,F^m×nq s’identifie `a(Fq^m)ⁿpar le choix d’uneF^q-base {α1, . . . , αm}deFq^m:

2 6 6 6 4

a11 . . . a1n

a21 . . . a2n

... ... am1 . . . amn

3 7 7 7 5

∈F^m×nq ←→(x1, . . . ,xn)∈` Fq^m

´n

si

xj=

m

X

i=1

aijαi.

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Polyn ômes lin éaris és

I Unpolyn ôme lin éaris é à coefficients dansFq^m est un polyn ôme de la forme:

P(X) =X

finie

aiX^qⁱ, ai ∈Fq^m.

Ledegr ´e deg_q(P)dePest le plus grand indiceitel queai 6=0.

I Ensemble not ´eLq^m[X]. C’est unanneau non commutatifpour la multiplication:

(PQ)(X) :=P(Q(X)).

I Explicitement, siP(X) =P

iaiX^qⁱ etQ(X) =P

ibiX^qⁱ, alors (PQ)(X) =P

iciX^qⁱ avec

ci= X

k+`=i

akb^q_`^k.

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I A part la commutativit é, l’anneau` Lq^m[X]a toutes les bonnes propri ét és de l’anneau des polyn ômes usuel, en particulier unedivision euclidienne

à droite, unalgorithme d’Euclide étendu à droite(resp à gauche).

I Lin ´earit ´e:siP∈Lq^m[X], pour toutx,y∈Fq^m,λ, µ∈F^q,

P(λx+µy) =λP(x) +µP(y)

car

(λx+µy)^qⁱ=λx^qⁱ+µy^qⁱ. (d’o ù le nom depolyn ôme lin éaris é)

I Z éros:En particulier,les z éros dePforment unFq-espace vectoriel de dimension au plus égale à deg_q(P)(car leur nombre est major é par deg_X(P) =q^deg^q^(P)).

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Codes de Gabidulin: d éfinition et propri ét és

I Soitk≤n≤m, et soit{x1, . . . ,xn}des él éments deFq^mlin éairement ind épendants surFq.

Gab(n,k) :=˘

(P(x1), . . . ,P(xn)) : P∈Lq^m[X],deg_q(P)<k¯ .

I Gab(n,k)estFq^m-lin ´eaire et de dimensionk.

I Preuve:si(P(x1), . . . ,P(xn)) = (0, . . . ,0), on aurait

X :=hx1, . . . ,xniq⊂Z :=z ´eros dePce qui contrediraitn≥k. Donc dim_F_qmGab(n,k) =dim_F_qm{P∈Lq^m[X] : deg_q(P)<k¯

=k.

I Sa distance rang minimaled v ´erifie d =n−k+1.

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Preuve de d = n − k + 1

I Comme Gab(n,k)estFq^m-lin éaire, il suffit de consid érer lerang minimal de ses él éments.

I Soit(P(x1), . . . ,P(xn))de rangdminimal.

I On consid `ere l’application lin ´eaireϕ:Fⁿq→Fq^m:

ϕ(λ1, . . . , λn) =λ1P(x1) +· · ·+λnP(xn).

I PestF^q-lin ´eaire donc:

λ1P(x1) +· · ·+λnP(xn) =P(λ1x1+· · ·+λnxn)

I Donc : dim(Imϕ) =dim(P(X)) =det dim(kerϕ) =dim(X∩Z)donc d =dim(P(X)) =n−dim(X∩Z)≥n−dim(Z)≥n−(k−1).

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Borne de Singleton

Th éor ème[Delsarte 1978] SiC ⊂F^m×nq est un code de distance minimaled pour la m étrique rang, et sim≥n,

|C| ≤q^m(n−d+1).

I En particuler, siCestFq^m-lin ´eaire de dimensionk, on a k≤n−d+1

ou encore

d ≤n−k+1.

I Conclusion:Gab(n,k)v ´erified=n−k+1 et atteint la borne de Singleton pour la m ´etrique rang (on dit qu’il estMRD).

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D ´ecodage des codes de Gabidulin

I Jusqu’ à(d−1)/2, on sait d écoder par des algorithmes essentiellement analogues à ceux pour les codes de Reed-Solomon.

I Pr ´ecurseur: Gabidulin (1985) exploite d’algorithme d’Euclide ´etendu.

I Roth (1991), Gabidulin (1992), Sidornko-Richter-Bossert (2011), Loidreau (2006), Wachter-Zeh (2013).

I Antonia Wachter-Zeh, phd 2013, survol complet de ces m ´ethodes.

I Contrairement aux RS, il n’y a pas d’algorithme de d ´ecodage en liste pour les codes de Gabidulin.

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R ´ef ´erences

P. DelsarteBilinear forms over a finite field with applications to coding theory, JCTA 25 (3) (1978)

E.M. GabidulinTheory of codes with maximum rank distanceProbl. Inf. Transm, 21 (1) (1985)

R. Koetter and F. R. Kschischang,Coding for Errors and Erasures in Random Network Coding, IEEE Trans. Inf. Th. 54 (2008)

D. Silva and F. R. Kschischang,On metrics for error correction in network coding, IEEE Trans. Inf. Th. 55 (2009)

D. Silva, F. R. Kschischang and R. Koetter,A rank-metric approach to error control in random network codingIEEE Trans. Inf. Th. 54 (2008)

A. Wachter-Zeh,Decoding of block and convolutional codes in rank metric, phd thesis, 2013.