Une introduction au codage de r´eseau al´eatoire Correction d’erreurs dans le codage de r´eseau

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Texte intégral

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Une introduction au codage de r ´eseau al ´eatoire Correction d’erreurs dans le codage de r ´eseau

Christine Bachoc

Universit ´e Bordeaux I, IMB

Ecole de printemps Codage et Cryptographie´ 17 - 21 Mars 2014, Universit ´e Joseph Fourier, Grenoble

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Erreurs

I Le r ´eseau transmet des ´el ´ements (paquets) deFmq.

I Uneinsertion d’erreur`a l’ar ˆeteeest mod ´elis ´ee par l’ajout d’un paquet Ee:

xe0 =xe+Ee

I Uneffacement`a l’ar ˆeteeest la perte de la valeur dexe.

I On suppose le codage lin ´eaire al ´eatoire.

I Probl `eme: la propagation des erreurs au cours du codage.

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Propagation des erreurs

s

t

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Propagation des erreurs

s Ee

t

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Propagation des erreurs

s

t

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Propagation des erreurs

s

t

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Propagation des erreurs

s

t

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Erreurs

I SiX∈Fn×mq est envoy ´e par la source etYrec¸u `a destination, en pr ´esence d’erreurs on a:

Y =TX+UE

I Kschischang, Koetter, 2008: proposent de mod ´eliser l’information transmise parun sous-espace vectorielVdeFmq. Si une base deV est inject ´ee dans le r ´eseau, le codage lin ´eaire pr ´eserve la propri ´et ´e

d’appartenance: les paquets transmis au destinataire appartiennent `aV.

I Avantage: en cas d’erreur, on peut esp ´erer queV sera modifi ´e enV0un sev ’proche’ deVau sens d’une m ´etrique raisonnable.

I Alors, on peut appliquer les principes des codes correcteurs d’erreurs:

s ´electionner un ensemble de sev (code) suceptibles d’ ˆetre transmis, et appliquer `a la r ´eception un d ´ecodage par l’ ´el ´ement du code le plus proche.

I Autre avantage: on n’a pas besoin de connaitre la topologie du r ´eseau (cas non coh ´erent).

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Distances entre sous-espaces

I Subspace distancedS[Koetter Kschischang 2008]:

dS(U,V) =dim(U+V)−dim(U∩V) =dim(U) +dim(V)−2 dim(U∩V)

I C’est la distance du plus court chemin dans le graphe dont les sommets sont les sous-espaces deFmq et les ar ˆetes relientU,V siU⊂V et dim(V) =dim(U) +1.

I Injection distanced[Kschischang Silva 2008]:

d(U,V) =max(dim(U),dim(V))−dim(U∩V)

I d(U,V)mesure le plus petit nombre d’erreurs ins ´er ´ees n ´ecessaires pour transformer une base deUen une base deV.

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Distances entre sous-espaces

I Comparaison:

dS(U,V)/2≤d(U,V)≤dS(U,V).

I Egalit ´e `a gauche si dim(U) =´ dim(V).

I Exemple:{e1,e2,e3}la base canonique deF3q.U=he1,e2i,V =he3i.

{0}

he1,e2i

he3i he1,e2,e3i

dS(U,V) =3,d(U,V) =2.

dS(U,V)/2<d(U,V)<dS(U,V).

{e1,e2} → {e1+(e3−e1),e2} → {e3,e2+(e3−e2)} → {e3,e3}

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Correction d’erreurs

I Pq(m)l’ensemble des sous-espaces vectoriels deFmq I C ⊂ Pq(m)

I d(C)ladistance minimaledu codeC:

d(C) =min{d(U,V) : U∈ C, V ∈ C, U6=V}.

I ρle nombred’effacements,tle nombred’insertions d’erreurs.

Th ´eor `eme:[Kschischang Silva 2008] Le d ´ecodage par l’ ´el ´ement du code le plus proche corrige correctementρeffacements ettinsertions en position quelconque ssi

d(C)>2t+ρ.

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Rel `evements de matrices

I SoitM∈Fkq×m. On associe `aM le sous-espace vectorielΛ(M) engendr ´e par les lignes de la matrice[Ik M]:

Λ(M) :=D

ˆ Ik M ˜E

I SoitGq(n,k)l’ensemble des sous-espaces vectoriels deFnqde dimensionk(espace Grassmannien). On a

Λ(M)∈ Gq(m+k,k).

I SoitC ⊂Fk×mq , on note

Λ(C) :={Λ(M) : M ∈ C}.

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M ´etrique rang

I L’espaceFk×mq est naturellement muni de lam ´etrique rang:

dR(M,N) =rang(M−N).

I On a :

d(Λ(M),Λ(N)) =rang(M−N) =dR(M,N).

I Preuve:

d(Λ(M),Λ(N)) =dim(Λ(M) + Λ(N))−min(dim(Λ(M)),dim(Λ(N)))

=dimD» Ik M Ik N

–E

−k

=dimD»

Ik M 0 N−M

–E

−k

= (k+rang(N−M))−k=dR(M,N).

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Espaces de Delsarte

I Les espaces:Gq(n,k)etFk×nq sont desespaces de Delsarteau m ˆeme titre que l’espace de Hamming et l’espace de Johnson binaire.

I Delsarte 1973: cadre uniforme dessch ´emas d’associationP-Q polynomiauxpour les codes, anticodes, formule de Mac Williams, m ´ethode de programmation lin ´eaire, etc..

I Delsarte 1978: ´etude sp ´ecifique des espacesGq(n,k)(comme

q-analogue du Johnson binaire) etFk×nq (en particulier construction des

’codes de Gabidulin’).

I Point de vue th ´eorie des groupes: ce sont desespaces 2-point

homog `enespour l’action d’un groupeG. Leurs polyn ˆomes orthogonaux sont leursfonctions zonales sph ´eriques.

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Space Group Polynomial

Hamming spaceqn SqoSn Krawtchouk

Johnson space Sn Hahn

q-Johnson space Gln(Fq) q-Hahn

Maximal totally isotropic subspaces of dimension k , for a nonsingular bilinear form:

Symmetric SO2k+1(Fq) q-Krawtchouk

SO2k(Fq) q-Krawtchouk

SO2k+2(Fq) q-Krawtchouk

Symplectic Sp2k(Fq) q-Krawtchouk

Hermitian SU2k(Fq2) q-Krawtchouk

SU2k+1(Fq2) q-Krawtchouk Spaces of matrices:

Fkq×n Fk×nq .(Glk(Fq)×Gln(Fq)) Affineq-Krawtchouk Skewn(Fq) Skewn(Fq).Gln(Fq) Affineq-Krawtchouk Hermn(Fq2) Hermn(Fq2).Gln(Fq2) Affineq-Krawtchouk Table:Some finite two-point homogeneous spaces, their groups and their spherical functions

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Codes de Gabidulin

I Delsarte 1978 (d ´efinition et param `etres), Gabidulin 1985 (d ´ecodage), Kschischang Koetter 2008 (network coding).

I Analogues des codes de Reed-Solomon, en mieux!

I Notations:m≥n,Fm×nq s’identifie `a(Fqm)npar le choix d’uneFq-base {α1, . . . , αm}deFqm:

2 6 6 6 4

a11 . . . a1n

a21 . . . a2n

... ... am1 . . . amn

3 7 7 7 5

∈Fm×nq ←→(x1, . . . ,xn)∈` Fqm

´n

si

xj=

m

X

i=1

aijαi.

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Polyn ˆomes lin ´earis ´es

I Unpolyn ˆome lin ´earis ´e `a coefficients dansFqm est un polyn ˆome de la forme:

P(X) =X

finie

aiXqi, ai ∈Fqm.

Ledegr ´e degq(P)dePest le plus grand indiceitel queai 6=0.

I Ensemble not ´eLqm[X]. C’est unanneau non commutatifpour la multiplication:

(PQ)(X) :=P(Q(X)).

I Explicitement, siP(X) =P

iaiXqi etQ(X) =P

ibiXqi, alors (PQ)(X) =P

iciXqi avec

ci= X

k+`=i

akbq`k.

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I A part la commutativit ´e, l’anneau` Lqm[X]a toutes les bonnes propri ´et ´es de l’anneau des polyn ˆomes usuel, en particulier unedivision euclidienne

`a droite, unalgorithme d’Euclide ´etendu `a droite(resp `a gauche).

I Lin ´earit ´e:siP∈Lqm[X], pour toutx,y∈Fqm,λ, µ∈Fq,

P(λx+µy) =λP(x) +µP(y)

car

(λx+µy)qi=λxqi+µyqi. (d’o `u le nom depolyn ˆome lin ´earis ´e)

I Z ´eros:En particulier,les z ´eros dePforment unFq-espace vectoriel de dimension au plus ´egale `a degq(P)(car leur nombre est major ´e par degX(P) =qdegq(P)).

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Codes de Gabidulin: d ´efinition et propri ´et ´es

I Soitk≤n≤m, et soit{x1, . . . ,xn}des ´el ´ements deFqmlin ´eairement ind ´ependants surFq.

Gab(n,k) :=˘

(P(x1), . . . ,P(xn)) : P∈Lqm[X],degq(P)<k¯ .

I Gab(n,k)estFqm-lin ´eaire et de dimensionk.

I Preuve:si(P(x1), . . . ,P(xn)) = (0, . . . ,0), on aurait

X :=hx1, . . . ,xniq⊂Z :=z ´eros dePce qui contrediraitn≥k. Donc dimFqmGab(n,k) =dimFqm{P∈Lqm[X] : degq(P)<k¯

=k.

I Sa distance rang minimaled v ´erifie d =n−k+1.

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Preuve de d = n − k + 1

I Comme Gab(n,k)estFqm-lin ´eaire, il suffit de consid ´erer lerang minimal de ses ´el ´ements.

I Soit(P(x1), . . . ,P(xn))de rangdminimal.

I On consid `ere l’application lin ´eaireϕ:Fnq→Fqm:

ϕ(λ1, . . . , λn) =λ1P(x1) +· · ·+λnP(xn).

I PestFq-lin ´eaire donc:

λ1P(x1) +· · ·+λnP(xn) =P(λ1x1+· · ·+λnxn)

I Donc : dim(Imϕ) =dim(P(X)) =det dim(kerϕ) =dim(X∩Z)donc d =dim(P(X)) =n−dim(X∩Z)≥n−dim(Z)≥n−(k−1).

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Borne de Singleton

Th ´eor `eme[Delsarte 1978] SiC ⊂Fm×nq est un code de distance minimaled pour la m ´etrique rang, et sim≥n,

|C| ≤qm(n−d+1).

I En particuler, siCestFqm-lin ´eaire de dimensionk, on a k≤n−d+1

ou encore

d ≤n−k+1.

I Conclusion:Gab(n,k)v ´erified=n−k+1 et atteint la borne de Singleton pour la m ´etrique rang (on dit qu’il estMRD).

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D ´ecodage des codes de Gabidulin

I Jusqu’ `a(d−1)/2, on sait d ´ecoder par des algorithmes essentiellement analogues `a ceux pour les codes de Reed-Solomon.

I Pr ´ecurseur: Gabidulin (1985) exploite d’algorithme d’Euclide ´etendu.

I Roth (1991), Gabidulin (1992), Sidornko-Richter-Bossert (2011), Loidreau (2006), Wachter-Zeh (2013).

I Antonia Wachter-Zeh, phd 2013, survol complet de ces m ´ethodes.

I Contrairement aux RS, il n’y a pas d’algorithme de d ´ecodage en liste pour les codes de Gabidulin.

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R ´ef ´erences

P. DelsarteBilinear forms over a finite field with applications to coding theory, JCTA 25 (3) (1978)

E.M. GabidulinTheory of codes with maximum rank distanceProbl. Inf. Transm, 21 (1) (1985)

R. Koetter and F. R. Kschischang,Coding for Errors and Erasures in Random Network Coding, IEEE Trans. Inf. Th. 54 (2008)

D. Silva and F. R. Kschischang,On metrics for error correction in network coding, IEEE Trans. Inf. Th. 55 (2009)

D. Silva, F. R. Kschischang and R. Koetter,A rank-metric approach to error control in random network codingIEEE Trans. Inf. Th. 54 (2008)

A. Wachter-Zeh,Decoding of block and convolutional codes in rank metric, phd thesis, 2013.

Figure

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Références

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