ENIHP1 équation différentielle p. 1
TD : EQUATION DIFFERENTIELLE
Exercice 1: Equation différentielle à variables séparées
Résoudre les équations différentielles : (E1) y'y = x (E2) y' = y
Exercice 2: Equation différentielle linéaire du premier ordre 1/ Résoudre les e.d. sans 2nd membre ci-dessous.
(E1) y’+2y=0 sur Ë (E2) y’+ 2
x y=0 sur ]0;+õ[ et f(0)=0
2/ Résoudre les e.d. avec 2nd membre ci dessous.
a. solution évidente
(E3) x’ + 2x =2t+1 sur Ë (E4) y’= 1+x
x y –x sur ]0;+õ[ et f(0)=0
b. Aide de l'énoncé
(E5) y’+2y=e2x sur Ë, on posera yE=k e2x (E6) (1+t2)y’+2t y= 3t2+1, on posera yE=at+b
c. Méthode de variation de la constante
(E7) y'-y=e2x (E8) xy'+2y=x3ex sur ]0;+õ[ (E9) xy'-2y= x sur ]0;+õ[ et f(1)=1
Exercice 3: Courbes intégrales par la méthode d’Euler:
Construire la courbe intégrale sur I=[0;3] correspondant aux problèmes de Cauchy suivants avec h=1 : a. y est solution de y’= 1
2y et y(0)=2 b. y est solution de y’-ty=- t sur [0;+õ[
On prendra une unité graphique de 2cm.
Exercice 4: Pharmacocinétique
Une dose D = 2g de médicament ingérée est absorbée à la vitesse ka= 0.05 dans l’estomac. Le médicament est ensuite éliminé dans le sang par le foie à la vitesse k=0.025. Le temps est exprimé en heure.
1/ Montrer que la quantité de médicament E(t) restant dans l’estomac au temps t vérifie : E(t)=De-ka t 2/ Déterminer une équation différentielle vérifiée par la quantité de médicament dans le sang à l’instant t, notée Q(t). On pourra construire un modèle avec trois compartiments: estomac – sang – foie
3/ Résoudre l’équation différentielle:
a/ trouver la solution générale de l’équation sans second membre.
b/ Démontrer que kat
a a e k k
Dk −
−
est une solution particulière.
c/ Trouver alors la solution.
d/ Tracer la courbe intégrale pour t de 0 à 72h.
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Exercice 5: Cinétique chimique
Un composé A peut se transformer en un composé B selon une réaction réversible et proportionnelle à la concentration [A] (on note kA le coefficient de proportionnalité appelé vitesse). Il en est de même pour B avec une vitesse kB.
1/ Décrire les variations de B pendant un intervalle de temps dt.
2/ On suppose qu’en t=O, [A]=AO et [B]=0. On a ainsi à tout instant t: [A]+[B]=A0. En déduire alors l’expression de la concentration de B en fonction de t.
3/ En déduire celle de A.
Exercice 6: Croissance d’une population (1)
Une colonie bactérienne de 1 000 bactéries à l’instant 0 est cultivée sous différentes conditions.
Hypothèse 1: Les substances nutritives sont illimitées.
On suppose alors que l’accroissement de la population est proportionnel à cette population et double en 4h.
Traduire cette hypothèse par une équation différentielle que l’on intégrera.
Quel est l’effectif au bout de 12h?, 20h?
Hypothèse 2: L’apport nutritif est constant.
L’accroissement de la population est alors doublement proportionnel à la population et à la différence entre 10 000 et la population.
Traduire cette hypothèse par une équation différentielle. Montrer alors que l’on obtient dP
P + 10000−PdP =10000k dt
avec P la population à l’instant t, et k la vitesse d’accroissement (k= ln2 40000 ).
Intégrer cette équation.
Quel est l’effectif au bout de 12h? 20h
Exercice 7: Système d’équations différentielles
Dans une zone atteinte par la bilharziose, on distingue trois populations:
P1: population saine
P2: population malade excrétant des œufs P3: population malade n’excrétant pas d’œufs.
La contamination de personnes saines se fait au contact d’un schistosome dans l’eau avec une vitesse a.
Les personnes malades ne rejettent plus d’œufs avec une vitesse b.
Traduire cette situation avec un modèle à compartiments puis par des équations différentielles.
On pose P1(0)=100 et P2(0)=P3(O)=0.
Intégrer le système.
Les données observées en Guadeloupe donne comme estimation pour a, 0,103 et pour b, 0,018.
Vérifier vos résultats avec les données expérimentales suivantes:
t 2 7,5 12 17 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5
P2 21 45 67 71 67 46 48 46 32
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Exercice 8 : Equation différentielle linéaire du second ordre
1/ Résoudre les e.d. sans 2nd membre ci-dessous.
a. y’’+2y’+3y=0 sur Ë b. y’’+2y=0 sur Ë . c. y’’-5y’+4y=0 sur Ë
d. 2y’’+2y’+y=0 e. y’’+y’=0 f. y’’+2y’+5y=0
2/ Résoudre les e.d. avec 2nd membre ci dessous.
a. 4y’’+4y’+y=e−x avec y(0)=1 et y’(0)=0 (solution particulière de la forme ae-x) b. y’’+y=cos x avec y(0)=0 et y’(0)=0 (solution particulière de la forme a sinx) c. y’’+y’-2y=x² (solution particulière de la forme ax²+bx+c)
Exercice 9: Une situation – Une équation différentielle
On considère une masse m posée sur le sol à l’aide d’une suspension amortie constituée d’un ressort de constante k et d’un amortisseur de constante f. On note x la longueur du ressort, l étant sa longueur à vide.
La longueur x(t) vérifie alors l’ed:
-mg+k(l-x)-fx’=mx’’
a/ Résoudre cette équation dans le cas où k=25000Nm-1;
m=200kg;
g=10ms-1; f=6000Nsm-1; l=0,4m
pour t=0, x = 0,4 et x’=0.
b/ Comment choisir f pour éviter une oscillation du système.
