Temps de premier passage de processus non-markoviens

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Temps de premier passage de processus non-markoviens

Nicolas Levernier

To cite this version:

Nicolas Levernier. Temps de premier passage de processus non-markoviens. Physique [physics]. Uni-versité Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2017. Français. �NNT : 2017PA066118�. �tel-01630276�

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THÈSE DE DOCTORAT DE

L’UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE

École doctorale : Physique en Ile-de-France

Spécialité : Physique

Présentée par

Nicolas Levernier

pour obtenir le grade de

Docteur en Sciences de l’UPMC

Temps de premier passage de processus

non-markoviens

soutenue le 4 juillet 2017 devant le jury composé de

Eric Bertin Rapporteur

Heiko Rieger Rapporteur

Jean-François Joanny Examinateur Julien Randon-Furling Examinateur Raphaël Voituriez Directeur de thèse

Olivier Bénichou Invité

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Remerciements

En premier lieu j’aimerais remercier Eric Bertin et Heiko Rieger, qui ont consenti à rapporter ce travail avec attention, ainsi que Jean-François Joanny et Julien Randon-Furling qui ont accepté de faire partie du jury et de s’intéresser ainsi au contenu de cette thèse.

J’aimerais ensuite remercier chaleureusement mes directeurs de thèse, Olivier Bénichou et Ra-phaël Voituriez, qui m’ont accueilli et suivi avec bienveillance depuis le M2. Si à leur contact, j’ai beaucoup appris scientifiquement, ils m’ont de plus donné envie de poursuivre dans le milieu académique en me communiquant leur passion et leur enthousiasme. Leur optimisme, a été ex-trêmement important tout au long de ces trois années, surtout en ces temps difficiles. Merci en particulier à Olivier, qui a suivi avec attention et gentillesse la fin de la thèse, en les agrémentant des discussions les plus variées, qu’elles soient culinaires, musicales ou tout autres !

Un grand, très grand merci à Thomas Guérin ! Il a non seulement inspiré cette thèse, qui trouve son origine dans ses résultats obtenus au LPTMC quelques années avant mon arrivée, mais il m’a également accompagné, du début à la fin, avec une attention, une gentillesse et une disponibilité sans faille. Si mes visites à Bordeaux furent souvent productives, elles furent par ailleurs toujours agréables. La réussite de cette thèse doit beaucoup à son soutien, et sa persévérance mêmes dans les affres des problèmes les plus techniques !

Merci également à tous les chercheurs du LPTMC avec qui j’ai pu interagir, sur quelque sujet que ce soit : Pascal Viot, Marco Tarzia, Nicolas Sator, Dominique Mouahanna, Bertrand Delamotte, Bertrand Guillot. Merci également à Ludovic Pricoupenko qui a partagé quelques temps les pistes de la salle d’armes et échangé quelques hématomes avec moi ! Enfin, un grand merci à Liliane Cruzel, Diane Domand et Sylvie Dalla Foglia pour leur aide et leur gentillesse concernant les multiples et épuisantes démarches administratives !

Je remercie également Maxim Dolgushev qui m’a chaleureusement accueilli à Freiburg et avec qui il a été très plaisant de travailler. Je lui souhaite un séjour au LPTMC aussi agréable qu’il le fut pour moi !

Je ne peux pas ne pas remercier ici Giulio Biroli, qui a consenti à m’a accepter par deux fois à Beg Rohu, pour d’inoubliables semaines mêlant sciences, voile et dégustation de chocolat sous le facétieux soleil breton !

Si ces trois années d’un labeur jamais aisé se sont écoulées avec une bonne humeur chaque jour (ou presque...) renouvelée, c’est grâce à l’ensemble des étudiants du laboratoire, et en particulier les doctorants de la même année que moi. Entre parties de tarot, soirées au bar et pique-nique sur les quais de Seine, ils contribuèrent fortement à l’équilibre nécessaire à tout thésard ! Un grand merci donc à Pierre, Jean-François, Simon, Thibault, Andreas, Elena, Fred, Charlie, Elsa, Chloé, Félix et Thomas ! Merci également à mon ex-coloc du KB, le truculent T-Bult ainsi qu’à mon fidèle compagnon d’excursion vers la place Monge, Stanley à qui l’on ne demande jamais assez comment vont ses tendinites ! Enfin, je souhaite un bon courage à Alexis qui reprend le flambeau en salle 519 !

Un immense merci, bien sûr, à mes amis, qui m’ont accompagné et soutenu tout au long de ces trois années, me permettant d’arrêter (parfois) de réfléchir à la meilleure façon de résoudre une équation intégrale, ou de simuler un processus non-markovien. Je ne me risquerai pas à tous les citer, ils se reconnaîtront facilement et savent combien leur amitié est importante à mes yeux. Merci en particulier à ceux qui ont fait un voyage souvent long pour venir m’écouter !

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Je souhaite enfin remercier mes parents et mes deux petits frères, pour tant de raisons qu’il est impossible de les citer ici. Je vous dois énormément. Guillaume, Étienne, je suis très fier de vous et je vous souhaite au moins autant de succès dans vos recherches que j’ai pu en avoir moi-même ! Mes derniers remerciements n’en sont pas vraiment, car le mot est bien trop faible. Depuis le stage et jusqu’à la fin, tu as partagé ma vie, mes mauvaises humeurs, mes peurs. Et bien plus. Tous mes sentiments sont tournés vers toi, Charlotte.

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Table des matières

0 Principaux résultats 1

1 Introduction 23

2 De la difficulté des variables cachées pour le calcul du MFPT 29

2.1 Les processus markoviens confinés : résultats connus . . . 30

2.1.1 Calcul explicite du MFPT . . . 30

2.1.2 Résultats connus dans le cas de processus invariants d’échelle . . . 33

2.2 Le problème des variables cachées . . . 34

2.3 Agrandir la dimension du système pour retrouver une évolution markovienne . . . 35

2.4 Résolution explicite . . . 38

2.5 Conclusion. . . 39

3 Temps moyen de premier passage pour un polymère attaché 43 3.1 Présentation du modèle . . . 45

3.2 Équations théoriques générales . . . 47

3.3 Comportements asymptotiques du temps moyen de premier passage dans chacune des théories . . . 52

3.3.1 Comportements asymptotiques de hT i_WF . . . 52

3.3.2 Comportements asymptotiques de hT i dans la théorie non-markovienne . . 54

4 Temps moyen de cyclisation d’un polymère avec interactions hydrodynamiques 59 4.1 Modélisation des interactions hydrodynamiques dans la dynamique d’un polymère. 60 4.2 Équations générales de la théorie non-markovienne . . . 63

4.2.1 Équations exactes générales . . . 63

4.2.2 L’approximation gaussienne pour la distribution des configurations de pre-mier passage . . . 65

4.3 Comportements asymptotiques du temps de cyclisation . . . 69

4.4 Extension au cas de recherche d’une cible extérieure . . . 72

5 Temps moyen de premier passage pour une particule anisotrope confinée 75 5.1 Expression générale du MFPT. . . 76

5.2 Approximation gaussienne pour les propagateurs . . . 79

5.3 Analyse asymptotique générale . . . 81

5.4 Comparaison avec les simulations numériques . . . 82

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Table des matières

6 Temps moyen de premier passage pour un processus gaussien à incréments

stationnaires 85

6.1 Équations générales. . . 86

6.2 Application aux processus gaussiens . . . 89

6.3 Incréments stationnaires . . . 93

6.4 Exemples d’application en dimension 1 : deux corrélateurs . . . 94

6.5 Théorie de perturbation . . . 100

6.6 Extension de la théorie en dimension quelconque . . . 104

6.6.1 Théorie à 2d . . . 104

6.6.2 Théorie à 3d . . . 106

6.6.3 Résultats . . . 106

7 Temps de premiers passage de processus invariants d’échelle : influence du vieillissement 113 7.1 Propriétés des processus invariants d’échelle . . . 114

7.1.1 Définition des quantités pertinentes. . . 114

7.1.2 Quelques exemples typiques de processus invariants d’échelle . . . 117

7.2 Résultats théoriques . . . 123

7.2.1 Distribution du FPT pour les processus compacts. . . 123

7.2.2 Distribution du FPT pour les processus non-compacts . . . 124

7.2.3 Le cas particulier des marches marginalement compactes . . . 129

7.2.4 Valeur de l’exposant de persistance θ . . . 129

7.2.5 Valeur de l’exposant de transience ψ . . . 131

7.2.6 Résumé et comparaison de ces prédictions avec des simulations numériques de processus variés . . . 134

7.3 Commentaires. . . 135

7.4 Exemples . . . 139

7.4.1 Classe des FBM . . . 139

7.4.2 Classe des intégrés du brownien . . . 142

7.4.3 Classe des processus stables . . . 144

7.4.4 Classe des changements d’horloge . . . 147

7.5 Sans invariance d’échelle ? . . . 151

7.6 Cas d’excursions découplées . . . 152

8 Les problèmes de temps de premier passage sans confinement revisités 157 8.1 Processus à incréments stationnaires : étude de la probabilité de survie . . . 158

8.1.1 Lien entre la probabilité de survie et le MFPT en grand volume pour un processus non-markovien. . . 160

8.1.2 Processus A : le FBM . . . 162

8.1.3 Processus B : le corrélateur bi-diffusif . . . 163

8.2 Processus à incréments non-stationnaires : étude de l’exposant de persistance . . . 164

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Table des matières

8.2.1 Lien entre l’exposant de persistance et le comportement asymptotique de la

covariance σ_π(t, t0) . . . 168

8.2.2 Théorie de perturbation autour de H = 1/2 . . . 170

8.2.3 Théorie non-perturbative . . . 173

8.2.4 Résolution numérique de l’équation intégrale et premiers résultats. . . 178

9 Conclusion 183 10 Publications 187 A Formules de projection pour vecteurs gaussiens 189 B Dynamique d’une chaîne de Rouse 191 B.1 Formules de propagation et résolution de l’équation de Fokker-Planck. . . 191

B.2 Calcul des quantités conditionnées . . . 193

C Equations auto-cohérentes pour le polymère attaché 195 C.1 Valeur explicite de tous les termes de (3.15) . . . 195

C.2 Obtention de l’équation (3.29) . . . 197

D Méthode des résolution numérique des équations auto-cohérentes 199 D.1 Déterminer les moments de la distribution π dans un problème avec un nombre fini de variables cachées. . . 199

D.2 Déterminer la position moyenne du marcheur dans le futur du premier passage . . 199

E Cyclisation d’un polymère de Zimm 201 E.1 Tenseur de Rotne-Prager pré-moyenné . . . 201

E.2 Expressions explicites des quantités dynamiques αi, βi, φ, ψ. . . 202

E.3 Obtention de l’équation auto-cohérente (4.27) . . . 204

E.4 Méthode de simulation numérique. . . 206

F Comportement asymptotique de la fonction µ(t) pour un processus gaussien à incréments stationnaires 209 G Temps moyen de premier passage d’un processus faiblement non-markovien : Développement perturbatif 213 H Méthodes de simulation numérique d’un processus gaussien à incréments sta-tionnaires 217 H.1 L’algorithme de la matrice circulante . . . 217

H.2 Algorithme de Hosking . . . 218

I Calcul de la covariance des quenched FBM et des formerly-fixed FBM 221 I.1 Quenched FBM . . . 221

I.2 Formerly-fixed FBM . . . 222

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Table des matières

J Lien entre l’exposant de persistance θ et la quantité T 225

K Accord entre les équations perturbatives et non-perturbatives décrivant

l’ex-posant de persistance 227

Bibliographie 229

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Chapitre 0

Principaux résultats

Ce chapitre présente les principaux résultats obtenus au cours cette thèse, et peut-être lu indé-pendamment.

Introduction et résultats pour les cas markoviens

Qui parmi nous n’a jamais égaré ses clés, s’employant alors à retourner tout son appartement pour les retrouver ? Si la recherche s’effectue au hasard, une telle situation constitue un exemple typique de processus stochastique de recherche. La question qui intéressera notre étourdi est na-turellement de savoir combien de temps il lui faudra pour retrouver ses clés. Ce temps est une variable aléatoire, que l’on appelle communément temps de premier passage (FPT, de l’anglais first-passage time) du marcheur (l’étourdi) sur une cible (les clés). Cette question se rencontre dans les domaines les plus variés : temps mis par un prédateur pour trouver sa proie ou par un facteur de transcription pour trouver une séquence spécifique sur l’ADN, temps nécessaire à un virus pour infecter une cellule ou à un actif financier pour dépasser un certain seuil, temps de cyclisation d’une chaîne polymérique, ou temps d’émission d’un potentiel d’action par un neurone, ces questions de premier passage s’observent dans tous les domaines, et à toutes les échelles.

Un paramètre-clé va conditionner l’étude de cette variable aléatoire : la marche est-elle ou non confinée géométriquement ? Revenant à notre étourdi, nul doute que son entreprise sera bien plus aisée s’il a perdu ses clés dans son appartement que s’il les a égarées au milieu de l’océan Pacifique ! Les résultats sont en effet très différents qualitativement pour les deux problèmes. En général, pour une marche (symétrique) non confinée, la statistique du FPT est large car le marcheur peut se perdre très loin de la cible avant de la retrouver (s’il la trouve). Cela conduit à un temps moyen de premier passage (MFPT) infini. La situation est bien différente dans le cas où le mouvement du marcheur est borné spatialement : la statistique du FPT devient généralement exponentielle à grands temps, et le MFPT est fini, ce dernier devenant un objet naturel pour quantifier l’efficacité du processus de recherche.

Les questions de premier passage en confinement sont en pratique très importantes. Elles couvrent par exemple toutes les réactions chimiques qui ont lieu à l’intérieur d’un organisme, d’une cellule ou de son noyau. Il faut également ajouter les systèmes qui sont confinés de manière effective, astreints par exemple à se mouvoir essentiellement dans une partie de l’espace par le biais d’un potentiel, ce dont on verra plusieurs exemples par la suite. De plus, le problème d’un réactif qui explore un milieu pourvu d’une concentration c de cibles équivaut enfin à celui où ce même réactif cherche une cible unique dans une volume V = 1/c, ce qui fait le lien avec les problèmes de cinétique de réactions du premier ordre. Comment déterminer le MFPT en confinement ? Quelle est sa dépendance avec le volume confinant ou la position initiale du marcheur ? Telles sont les questions que nous aborderons dans ce manuscrit (voir figure 1).

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Chapitre 0. Principaux résultats

Les problèmes de premier passage en confinement n’ont été étudiés qu’à partir de la fin des années 40, c’est à dire relativement tard comparativement à l’apparition des premières questions de premier passage. En effet, l’introduction d’un confinement rend le problème bien plus difficile à traiter, et peu de résultats explicites dépassent le cadre de la dimension 1. Citons les principaux, qui ont d’abord concerné les marches sur réseau, telles qu’à chaque pas de temps, le marcheur passe d’un site à l’un des sites voisins avec une certaine probabilité. Ce fut d’abord le temps moyen de premier retour d’un marcheur à sa position initiale qui fut étudié [Kac 1947]. Il faut attendre les travaux de Montroll à la fin des années 60 pour voir apparaître les premiers résultats relatifs au temps que met un marcheur à rejoindre une cible (et non sa position initiale). Se limitant aux marches symétriques sur réseaux hypercubiques de taille N (avec conditions aux bords périodiques), il obtient des résultats asymptotiques à grands N , en dimension 1,2 et 3 pour le MFPT global (GMPFT, c’est à dire le MFPT moyenné sur le point de départ) [Montroll 1969]. Ces résultats, qui furent ensuite généralisés à d’autre types de graphes [Kozak 2002,Haynes 2008,

Agliari 2009,Zhang 2010], concernent uniquement des marches à sauts, c’est à dire des processus

markoviens, ou sans mémoire : la probabilité de voir le marcheur passer d’un site à un autre ne dépend pas de l’histoire du marcheur. Les travaux les plus récents [Condamin 2007b], reposant entièrement sur cette hypothèse, fournissent des résultats plus généraux : ils permettent de calculer de manière exacte le MFPT d’un marcheur markovien quelconque dans la limite de grand volume confinant. Pour un marcheur confiné dans un grand volume V , partant d’une position x₀ et recherchant une cible de rayon a positionnée en 0, le MFPT est donné par

hT i ∼

V →∞V

Z ∞

0

[P (0, t | a, 0) − P (0, t | x0, 0)] dt (1)

où P (x, t | y, 0) désigne la probabilité de voir le marcheur se déplacer de y à x pendant le temps t en espace infini, quantité communément appelée propagateur de la marche aléatoire et qui détermine entièrement cette dernière (après prescription de la position initiale du marcheur). Cette formule extrêmement simple offre ainsi la dépendance en la position initiale x0 (ce que ne permettait pas

le GMFPT) et la taille de cible a. De plus, elle montre clairement que le MFPT varie linéairement avec le volume confinant V , ce qui est loin d’être évident. Cette expression généralise d’autres résultats exacts, mais valables uniquement pour le mouvement brownien et dans la limite de petite cible [Schuss 2007,Coombs 2009]1.

Pour les processus markoviens invariants d’échelle, la distribution du FPT en confinement elle-même a été déterminée, ou plus exactement, son comportement dans la limite de grand volume

[Bénichou 2010a]. Trois classes de processus ont été dégagées : les processus dits compacts, les

processus non-compacts et les processus marginalement compacts. Les premiers sont tels que même sans confinement, ils trouvent une cible de rayon a (même pour a = 0) avec une probabilité 1, alors que cette probabilité est finie et décroît vers 0 avec a pour les seconds. Les derniers forment une classe hybride (voir [Bénichou 2014]). Chaque classe est associée à une distribution du FPT en grand volume que l’on peut déterminer.

La statistique du FPT d’un processus markovien en confinement apparaît ainsi relativement bien connue qualitativement (dépendance en la taille du confinement, la position initiale du

mar-1. Ces résultats ne donnent en particulier pas accès à la dépendance en position initiale, car, dans la limite de cible infiniment petite, l’ordre principal est uniquement contrôlé par cette taille, et non par la distance initiale à la cible.

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FPT Cible Marcheur aléatoire x(t) Position initiale du marcheur Confinement V

Figure 1 – Temps de premier passage d’un marcheur en confinement. Schéma de la question étudiée tout au long de cette thèse : un marcheur aléatoire (en bleu), décrit par une position x(t) dans un espace de dimension quelconque, recherche une cible (en rouge), son mouvement étant confiné dans un volume V muni de barrières réfléchissantes (en noir). Le premier instant où le marcheur rencontre la cible est appelé temps de premier passage. C’est la variable aléatoire dont on souhaite étudier la statistique (valeur moyenne, distribution...), en particulier sa dépendance dans les paramètres géométriques que sont la taille de la cible, la position initiale du marcheur, ou encore la taille de confinement.

cheur ou la taille de la cible) et quantitativement (avec une équation permettant de calculer exactement le MFPT). Tous ces résultats reposent néanmoins fondamentalement sur l’hypothèse d’une évolution markovienne de la position du marcheur. Or, dès que le marcheur interagit avec un environnement, son mouvement sera en général non-markovien. Plus précisément, si la dynamique de la totalité des variables décrivant l’ensemble {marcheur + environnement} reste markovienne, la dynamique projetée sur le sous-espace {marcheur} est non-markovienne [Zwanzig 1973] (voir figure 2). Par exemple, la dynamique d’un des monomères d’une chaîne polymérique est non-markovienne, l’environnement étant constitué par les autres monomères. Si l’on spécifie ainsi deux configurations initiales différentes pour le reste de la chaîne, le mouvement du monomère auquel on s’intéresse sera différent pour chacune de ces configurations. Il en va de même de la dynamique de n’importe quelle macromolécule, comme les protéines [Kou 2004, Min 2005]. On peut égale-ment penser au mouveégale-ment d’un traceur dans un environneégale-ment complexe (fluide visco-élastique

[Turiv 2013], bain de nématiques [Ernst 2012,Mason 1995], ...) : le traceur déforme le milieu et

ce dernier rétro-agit en retour sur le traceur, modifiant sa dynamique. À l’échelle humaine, l’exis-tence d’effets de mémoire est évidemment omniprésente. Si notre étourdi est suffisamment sobre, il est très probable qu’il se souvienne des endroits qu’il a explorés, et qu’il s’y attarde moins par la suite ! Il en va de même du mouvement des animaux qui peuvent se souvenir des endroits explorés, ou encore de l’évolution d’un actif financier, fortement corrélée à son évolution passée (même si la majeure partie des “modèles” économiques ou financiers repose entièrement sur l’hy-pothèse d’évolution markovienne des actifs ! ) Les variables avec lesquelles interagit le système sont communément appelées variables cachées, car l’expérimentateur y a en effet rarement accès. Imaginons que l’on observe le mouvement d’un traceur au sein d’un milieu complexe.

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Chapitre 0. Principaux résultats Système : le marcheur Environnement : les variables cachées a b Système Environnement

Figure 2 – Les processus non-markoviens sont la norme, les processus markoviens le cas particulier. a : Un ensemble de variables décrivant le système (en rouge) interagit avec un environ-nement constitué de variables dites cachées (en bleu). Si l’évolution des variables décrivant l’ensemble {système+environnement} est markovien, la dynamique du seul système est quant à elle non-markovienne. b : Exemple type de dynamique non-markovienne : le polymère. Le système étudié est l’un des monomères de la chaîne (en rouge). Ce monomère interagit avec les autres monomères (en bleu) qui constituent les variables cachées du problème (la nature précise des interactions dépendant du modèle de polymère que l’on adopte). La dynamique de l’ensemble de la chaîne est markovienne, tandis que celle du monomère rouge ne l’est pas.

mentateur peut observer ce mouvement, en étudier la statistique, extraire la position moyenne, le déplacement carré moyen (MSD pour mean squared displacement ) ou les fonctions de corrélation de ce traceur. En bref : connaître le processus stochastique qui décrit le mouvement du traceur. Mais il peut très rarement dire comment naît ce processus, c’est à dire quel est l’ensemble d’in-teractions microscopiques dont le mouvement du traceur est le résultat. Ainsi, même si l’on peut en théorie trouver un espace suffisamment grand dans lequel l’évolution est markovienne, rares sont les cas où l’on peut en pratique expliciter cet espace.

L’étude du FPT de processus non-markoviens est très récente, ces derniers étant bien plus compliqués à manipuler que les processus markoviens. La majeure partie des résultats existants ne concernent que des processus sans confinement, et uni-dimensionnels. L’un des problèmes qui a suscité un intérêt particulièrement important est celui de la persistance [Bray 2013]. Il porte sur la probabilité que le marcheur n’ait jamais touché la cible entre 0 et t (c’est à dire qu’il ait survécu jusqu’à t, si on imagine que la cible est absorbante) : cette probabilité décroît généralement en loi de puissance à grands t, avec un exposant appelé exposant de persistance. La détermination de cet exposant est en pratique très délicate, et sauf exception, on ne peut en obtenir que des valeurs théoriques approchées, reposant sur des approximations diverses.

Concernant les processus confinés, les résultats existants sont encore plus rares, ce qui n’est pas étonnant puisque les propriétés des processus markoviens en confinement n’ont elles-même été comprises que très récemment. Seuls quelques exemples pour certains processus très particuliers ont été traités [Masoliver 1986, Bicout 2000]. L’ensemble de cette thèse cherche à étendre les résultats connus pour les processus markoviens aux processus non-markoviens : peut-on obtenir des résultats quantitatifs pour le MFPT ? Peut-on dire quelque chose de le distribution qualitative du FPT ? Quelle est l’influence des effets de mémoire sur la statistique de ce FPT ?

Les éléments de réponse que nous avons apportés à ces questions sont de nature variée. Tout d’abord, nous avons étudié des exemples concrets de processus non-markoviens, où les variables

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cachées sont explicitement connues. En utilisant une méthodologie développée récemment dans

[Guérin 2012], nous avons montré comment calculer très précisément le MFPT pour différents

marcheurs markoviens confinés. Ensuite, nous avons généralisé ces idées à un processus non-markovien gaussien à incréments stationnaires quelconque, en développant un formalisme qui n’est pas sujet à l’identification - en pratique difficile - des variables cachées. Nous nous sommes ensuite intéressés à l’influence du vieillissement sur la statistique du FPT, vieillissement qui apparaît très souvent pour des processus non-markoviens dont on spécifie les “conditions initiales”. Nous avons enfin exploré les liens que l’on peut faire entre les problèmes avec et sans confinement, ouvrant la voie à de nombreuses perspectives de recherche.

Processus gaussiens avec un nombre fini de variables cachées

Les premiers processus non-markoviens que nous avons étudiés concernent des cas où l’on peut expliciter toutes les variables cachées du problème et donc se ramener à un problème markovien en plus grande dimension. Si tous ces exemples ont avant tout un intérêt théorique, ils sont néanmoins tous pertinents physiquement, et les résultats que nous avons obtenus pour chacun d’eux ont un intérêt en tant que tels.

Le premier exemple est celui d’un polymère 1d, constitué de N particules browniennes reliées entre elles par des ressorts (modèle de Rouse), et fixé en une extrémité (figure 3.a). On a cherché à calculer le temps moyen de premier passage avec une cible placée à une distance z l0

√ N (la taille typique du polymère) de ce point de fixation [Cao 2015]. Ce problème, de type Kramers pour un système comportant de degrés de liberté internes, est typiquement impliqué dans les expériences de friction entre interfaces couvertes de polymères adsorbés [Urbakh 2004,Cohen 2011]. S’il n’y a pas de véritables bords réfléchissants dans ce problème, c’est simplement dû au fait que le polymère est intrinsèquement confiné à cause de son ancrage en un point, et il se traite de façon similaire à celui d’un marcheur confiné.

Le deuxième exemple est également issu du monde des polymères, mais pour un système réaliste et communément utilisé : nous nous sommes intéressés au modèle de polymère introduit par Zimm [Zimm 1955], qui prend en compte les interactions hydrodynamiques entre la chaîne et le solvant (figure3.b). Nous nous sommes attachés à calculer le temps moyen de cyclisation de la chaîne, c’est à dire de premier contact entre les extrémités de cette dernière (ou plus exactement le temps pour lequel les deux extrémités sont distantes de b pour la première fois, b étant appelé rayon de capture). Encore un fois, il n’est nul besoin d’introduire explicitement un confinement, la distance bout-à-bout du polymère étant confinée de manière effective par la taille typique du polymère.

Le dernier exemple est plus atypique. Nous nous sommes intéressés au mouvement d’une particule nématique, combinant diffusion transversale et angulaire (figure 3.c), et pouvant décrire une classe importante de macromolécules [Han 2006,Ribrault 2007,Narayan 2007] ou de bactéries

[Doostmohammadi 2016]. L’asymétrie de la particule rend la dynamique anisotrope, la particule

diffusant bien plus vite selon son axe principal. Le processus des positions est également non-markovien, car dépendant de l’orientation angulaire de la particule, l’unique variable cachée de ce système. Nous avons cherché à calculer le temps moyen de premier passage sur une cible placée au milieu d’un volume confinant bi-dimensionnel, avec bords réfléchissants.

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a

b

c

z 0 Cible Nématique

Figure 3 – Trois exemples concrets de problèmes de premier passage pour un processus non-markovien. a : Un polymère, constitué de N monomères dont le premier est relié à un point fixe 0 évolue à une dimension. L’extrémité libre cherche une cible placée à une distance z du point d’ancrage. Le modèle de polymère utilisé ici est le plus simple possible : le modèle dit de Rouse, pour lequel les monomères sont reliés par des ressorts, sans effets de volume exclu. b : On s’intéresse au temps de cyclisation d’une chaîne tri-dimensionnelle constituée de N monomères, et décrite par un modèle réaliste : le modèle de Zimm, qui prend en compte le solvant par le biais des interactions hydrodynamique à longue portée que ce dernier transmet. c : Une particule nématique, qui diffuse rapidement selon son axe principal, lentement selon son axe orthogonal et dont la direction de l’axe principal diffuse également angulairement évolue dans un espace bi-dimensionnel. Son mouvement, anisotrope, est très différent du mouvement brownien qu’aurait une particule sphérique. On s’intéresse à l’effet de cette forte anisotropie sur le MFPT avec une cible, placée au cœur d’un grand domaine confinant.

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Le traitement de tous ces exemples repose sur l’extension de l’équation (1) à un système non-markovien avec un nombre fini de variables cachées, apparu pour la première fois dans

[Guérin 2012], et que l’on peut obtenir en utilisant l’évolution markovienne de l’ensemble {système

+ environnement} :

hT i Pstat(0) =

Z ∞

0

[P (0, t | π, 0) − P (0, t | ini, 0)] dt (2) Dans cette équation, “ini” désigne l’état initial du marcheur, et π représente la distribution des variables cachées au moment du premier passage. La quantité P (0, t | π, 0) désigne alors la probabi-lité de trouver le marcheur sur la cible, sachant que la distribution initiale des variables cachées est π. Dépendant fortement de la dynamique des variables cachées, et prenant donc de fait en compte les effets non-markoviens, ce terme est généralement bien différent de la quantité P (0, t | a, 0) que l’on avait dans le cas d’une unique variable markovienne (équation (1)). Cette distribution est cependant hautement non-triviale. Elle satisfait une équation intégrale multi-dimensionnelle en pratique très difficile à résoudre pour les deux problèmes de polymère. Pour aller plus loin, on reprend l’idée introduite initialement dans [Guérin 2012] : on suppose que cette distribution π est une gaussienne multivariée, approximation suggérée par les résultats de simulations numériques. Cela permet d’écrire des équations auto-cohérentes portant sur la moyenne et la covariance de cette distribution, équations que l’on peut résoudre numériquement. On utilise alors la formule (2) pour calculer le MFPT associé. Cette théorie prend donc en compte les effets non-markoviens (via π), contrairement aux approches “markoviennes” usuelles, à l’image de celle de Wilemski-Fixman, originellement utilisée pour calculer le temps de cyclisation de chaînes polymériques, qui suppose la chaîne équilibrée au moment du premier passage (et réduit donc π à un état d’équilibre). Pour quantifier les effets non-markoviens, nous pouvons ainsi comparer nos résultats à ceux fournis par l’approximation de Wilemski-Fixman.

Dans les deux problèmes impliquant des polymères, le résultat que l’on a obtenu in fine est en très bon accord avec celui fourni par des simulations, contrairement à l’approximation markovienne qui revient à utiliser la formule (1). Cela s’explique par le fait que la distribution π des variables cachées au moment du premier passage est correctement estimée, et finalement très éloignée de la distribution d’équilibre du polymère : au moment du premier passage, ce dernier est systématiquement plus étiré.

Outre la très bonne prédiction quantitative pour le MFPT, les équations obtenues nous ont permis de déterminer la dépendance asymptotique avec les différents paramètres du problème (taille du polymère, taille de cible, position initiale, etc.). Pour le premier problème, on peut ainsi dégager deux régimes pour le MFPT :

hT i =√2πN 3/2 z e z2/(2N ) _pour _{z N l} 0 (3) hT i = 0.98N 7/2 z3 e z2 2N _pour √ N l0 z N l0 (4)

Si le premier régime est correctement prédit par une théorie markovienne approchée, il n’en va pas de même pour le deuxième où l’approximation markovienne surestime hT i d’un facteur 10.

Pour le deuxième problème, on peut également distinguer deux régimes. Pour un rayon de 7

(17)

capture b fixé et un nombre de monomères tendant vers l’infini, on obtient hT i ∼ √ π l3₀ (N − 1)3/2 √ 2 Ds b (5) où D_s correspond au coefficient de diffusion d’un monomère aux temps courts. Cette expression exacte est obtenue aussi bien dans le cadre de la théorie non-markovienne qu’avec une approxima-tion markovienne. Le deuxième régime est caractérisé par b/√N fini et N → ∞, et l’on montre que (en notant η la viscosité du solvant) :

hT i ∼ α 9 π 5/2 [8 Γ(1/3)]3/2 η l3₀ N3/2 kBT ln 2.06 l0 √ N b ! . (6)

Le préfacteur α est néanmoins indéterminé. Il vaut 1 dans le cas d’une approximation markovienne, mais nos travaux préliminaires suggèrent que la théorie non-markovienne conduirait à une valeur différente.

Pour le dernier exemple, la distribution de la variable cachée (l’orientation du nématique) au moment du premier passage est très simple à déterminer, réglant de facto la question des effets non-markoviens. La difficulté provient du fait que pour ce système non-gaussien, les densités de probabilité de position ne sont pas connues analytiquement [Han 2006]. Si nous n’avons ainsi pu recueillir des résultats quantitatifs seulement approchés, nous avons néanmoins obtenu la dépendance asymptotique exacte en les différents paramètres du problème. Le résultat le plus marquant est donné par le comportement hT i ∼ 1/√a dans la limite de petite taille de cible a. Cette dépendance est bien plus forte que la divergence logarithmique d’un brownien 2d, et illustre le fait qu’aux petites échelles de longueur, la particule explore une surface beaucoup plus faible que celui-ci.

Ces trois exemples variés montrent comment on peut déterminer précisément le MFPT d’une marche confinée en étudiant la distribution π des variables cachées au moment du premier passage, fournissant des résultats quantitatifs bien plus précis que ceux existants jusque là.

Cas général pour un processus gaussien à incréments stationnaires

Jusqu’à présent, la plupart des études des propriétés de premier passage de processus non-markoviens confinés se sont limitées à des exemples spécifiques [Wilemski 1974a, Hanggi 1985,

Masoliver 1986,Guérin 2012,Bénichou 2015]. Nous avons cherché à développer un cadre théorique

général permettant de déterminer le MFPT d’une large classe de processus non-markoviens en confinement : les processus gaussiens à incréments stationnaires.

On considère un processus stochastique non-markovien gaussien x(t) symétrique, défini en espace infini, et qui part de x0 à t = 0. On suppose que ce processus est à incréments

sta-tionnaires, c’est à dire que la statistique de x(t + τ ) − x(t) est indépendante de t. Le processus x(t) est entièrement caractérisé par son MSD ψ(τ ) = h[x(t + τ ) − x(t)]2i. Une telle quantité est communément mesurée dans les expériences de suivi de particule unique, et encode tous les effets de mémoire dans le cas des processus gaussiens. On suppose qu’à grands temps, le MSD diverge, c’est à dire que la particule n’est pas astreinte à demeurer proche du point de départ, mais peut au contraire explorer tout l’espace. Enfin, on suppose que le processus est continu et

(18)

2 3 4 5 6 7 101 N = 32 N = 128 102 103 104 Théorie NM Théorie WF Nematique idéal Nématique avec = 0.999 Nématique avec = 0.99 Théorie (approximation gaussienne)

a b c

Figure 4 – Résultats obtenus pour le MFPT associé à chaque exemple. a : Temps moyen de premier passage du N -ème monomère d’une chaîne dont le premier monomère est fixé, sur une cible à une distance z du point d’attache. La théorie (ligne pleine) se compare particulièrement bien au résultat des simulations numériques (effectuées par Cao et. al. dans [Cao 2015]), contrairement à l’approximation markovienne de Wilemski-Fixman (ligne pointillée). b : Temps moyen de cyclisation d’une chaîne de N monomères en présence d’interactions hydrodynamiques, pour différents rayons de capture (distance entre les deux extrémités à partir de laquelle la chaîne cyclise). Les lignes pleines reproduisent très bien les données de simulations numériques (symboles), contrairement aux lignes pointillées obtenues avec l’approximation markovienne de Wilemski-Fixman. c : Temps moyen de premier passage d’une particule nématique sur une cible circulaire, dans un volume confinant bi-dimensionel. La théorie (ligne pleine),

qui repose sur une approximation assez grossière, reproduit correctement le comportement hT i ∼ 1/√a à

petite taille de cible a observé en simulations (symboles rouges).

non-smooth [Bray 2013] (h ˙x(t)2i = +∞), signifiant que les trajectoires sont très irrégulières, de type fractal, à l’image du mouvement brownien. Une telle classe de processus couvre un très large spectre de processus non-markoviens régulièrement invoqués en physique. Au delà de la dyna-mique de polymères ou de protéines [Kou 2004] déjà évoquée précédemment, on peut également penser à la diffusion de traceurs dans des canaux étroits [Wei 2000a] ou au sein de fluides simples

[Franosch 2011], ou complexes comme des bains de nématiques [Turiv 2013] ou des solutions

visco-élastiques [Ernst 2012,Mason 1995].

On considère maintenant que le mouvement du marcheur est confiné dans un domaine de volume V , avec bords réfléchissants, et on s’intéresse au calcul du temps moyen de premier passage sur une cible positionnée en x = 0 (voir figure5). Notons en passant que ce calcul permet également de quantifier la cinétique de réaction d’une particule en présence d’une concentration c = 1/V de cibles, en espace infini. Si la théorie que l’on a développée s’adapte en dimension quelconque, on ne résume ici que la version 1d des résultats obtenus, pour une lecture plus aisée.

Le résultat principal que nous avons montré s’appuie sur la généralisation de l’équation dite de renewal à un processus non-markovien :

p(0, t) = Z t

0

dτ F (τ )p(0, t|FPT = τ ), (7)

qui n’est autre qu’une partition sur le FPT. Dans cette équation, p(0, t) désigne la probabilité d’observer le marcheur sur la cible (position x = 0) à l’instant t, F la densité de temps de premier passage, et p(0, t|FPT = τ ) la probabilité d’observer le marcheur en x = 0 à t sachant que le premier passage sur la cible a eu lieu en τ . En utilisant le fait qu’à grands temps p(0, t) tend

(19)

b

a

Figure 5 – Temps moyen de premier passage d’un marcheur confiné. a : La question générale que l’on pose ici est la suivante : que vaut le temps moyen de premier passage d’un marcheur à mémoire sur une cible, si son mouvement est confiné dans un domaine V . b : Vue 1d du problème. Nos résultats montrent que la valeur du MFPT hT i est contrôlée par la trajectoire moyenne µ(t) que suit le marcheur dans le futur du premier passage sur la cible.

vers la valeur stationnaire 1/V , et en adaptant le calcul effectué pour un processus markovien, on obtient l’expression suivante pour le MFPT hT i :

hT i

V =

Z ∞

0

dt[qπ(t) − p(0, t)], (8)

où q_π(t)dx désigne la probabilité d’observer le marcheur dans l’intervalle [0, dx] à un instant t après le premier passage sur la cible. L’équation (8) est exacte, et généralise aux processus non-markoviens (même non gaussiens) l’équation (1) valable pour un processus markovien : de manière remarquable, le temps moyen de premier passage apparaît étroitement lié au comportement du marcheur après le premier passage. La clé de la théorie que l’on a développée réside dans la détermination de la quantité non-triviale qπ(t).

On se place tout d’abord dans la limite de grand volume V → ∞, de telle sorte que les densités de probabilité apparaissant dans (8) peuvent être approximées par les densités en espace infini. Ensuite, on suppose que le processus stochastique dans le futur du FPT y(t) ≡ x(t + FPT) (dont qπ est la densité à un point calculée en la position 0), est gaussienne et de même covariance que le

processus initial x(t). Cette hypothèse s’appuie sur les données issues de simulations numériques ainsi qu’une théorie de perturbation. L’équation (8) peut alors se récrire

hT i = V Z ∞ 0 dt e −µ(t)2_/2ψ(t) − e−x2 0/2ψ(t) [2πψ(t)]1/2 . (9)

où µ(t) = hy(t)i représente la position moyenne du marcheur dans le futur du FPT/ Par ailleurs, en généralisant l’équation (7) à des densités de probabilité à n points, on montre que la fonction µ(t) est solution de l’équation intégrale :

Z ∞ 0 dt pψ(t) n [µ(t + τ ) − µ(t)K(t, τ )] e−µ(t)2/2ψ(t)− x₀[1 − K(t, τ )]e−x20/2ψ(t) o = 0, (10) 10

(20)

avec µ(0) = 0 et K(t, τ ) = [ψ(t + τ ) + ψ(t) − ψ(τ )]/[2ψ(t)]. L’équation (10), qui permet d’obtenir µ(t) de manière auto-cohérente, associée à l’équation (9), conduit à la détermination complète du temps moyen de premier passage et constitue le résultat principal de cette partie.

À ce stade, plusieurs remarques méritent d’être soulevées.

• Tout d’abord, le MFPT dépend linéairement du volume confinant, ce qui généralise les résultats existants pour les processus markoviens (1).

• Les résultats ci-dessus montrent que la trajectoire moyenne µ(t) que suit le marcheur dans le futur du temps de premier passage joue un rôle crucial dans la valeur du MFPT. En d’autres termes, même si le véritable mouvement du marcheur s’arrête lorsqu’il touche la cible (absorption, réaction chimique, etc), le temps moyen de premier passage est néanmoins contrôlé par les propriétés statistiques des trajectoires fictives que ce marcheur suivrait si on le laissait évoluer après avoir touché la cible.

• Si l’on suppose que ψ(t) ∝ t2H _{à grands temps, avec 0 < H < 1, on montre à partir de}

l’équation (10) que

µ(t) ' x0− A t2H−1 (t → ∞), (11)

où A est un coefficient qui dépend de x0 et de la fonction ψ(t) à toutes les échelles de temps.

Ainsi, pour un processus asymptotiquement sous-diffusif (H < 1/2), µ(t) revient vers la position initiale x0 du marcheur (ce qui révèle les forts effets de mémoire de tels

proces-sus). À l’inverse, des marcheurs asymptotiquement super-diffusifs (H > 1/2) continuent de s’éloigner de la cible après l’avoir atteinte. Ces comportements reflètent le fait que les sauts successifs du marcheur sont respectivement anti-corrélés ou corrélés. Notons que même pour un processus asymptotiquement diffusif (H = 1/2), µ(t) tend vers une constante a priori non nulle, en contraste avec ce que l’on obtient pour un mouvement brownien pur (pour lequel µ(t) = 0).

• On peut estimer l’importance des effets non-markoviens en comparant la valeur du MFPT avec celle obtenue avec (9) en fixant µ(t) = 0, ce qui revient à négliger toute mémoire de la forme des trajectoires avant le premier passage. Si l’équation (11) montre que la fonction µ(t) n’est généralement pas “petite”, ces effets de mémoire sont considérables pour H < 1/3, car la prescription de µ(t) = 0 dans (9) conduit à un MFPT infini, contrairement à notre prédiction non-markovienne qui reste quant à elle finie.

Nous avons vérifié la validité de ces résultats analytiques en les comparant à des simulations nu-mériques pour deux exemples représentatifs de processus non-markoviens gaussiens à incréments stationnaires, c’est à dire deux fonctions ψ(t). Le premier choix ψ(t) = D0(1−e−λt)+Dt décrit les

cas où la position x(t) est couplée à des variables cachées à la fréquence unique λ (figures 6a,e). Ce choix est pertinent pour décrire un traceur évoluant dans un bain de nématiques [Turiv 2013] ou dans des solutions de polymères [Ochab-Marcinek 2011]. Le deuxième choix ψ(t) = Kt2H avec 0 < H < 1 et K un coefficient positif (figures6 b,c,d,f,g,h), correspond à l’emblématique mouve-ment brownien fractionaire (FBM) qui est utilisé dans des domaines aussi variés que l’hydrologie

[Mandelbrot 1968], la finance [Cutland 1995] et la biophysique [Burnecki 2012, Ernst 2012]. Il

permet par exemple de décrire précisément le mouvement d’un télomère [Burnecki 2012] ou la diffusion d’un traceur dans un fluide complexe [Ernst 2012]. Ce processus est fortement non-markovien, sa fonction de corrélation décroissant algébriquement. Pour le FBM, la solution de

(21)

(10) est de la forme µ(t) = x₀ µ˜H

t K1/2H/x1/H₀ , de telle sorte que le MFPT s’écrit hT i = V βH x1/H−10 K

−1/2H_,

(12) avec β_H un coefficient numérique. Cette équation fournit explicitement la dépendance en x₀, et généralise ainsi les résultats obtenus pour les processus markoviens [Condamin 2007b]. La dernière application consiste à étendre la théorie à un espace de plus haute dimension, en supposant de plus que le processus est isotrope. Nous avons ainsi testé les deux fonctions ψ(t) à 2d et 3d (figure

7).

Nous avons également montré que cette théorie était exacte à l’ordre ε2 si l’on considère un MSD de la forme ψ(t) = Dt + εψ1+ ε2ψ2+ ... où le petit paramètre ε mesure l’écart par rapport

à un processus markovien. Néanmoins, les figures 6 et 7 révèlent que les résultats quantitatifs fournis par cette théorie sont valables bien au delà de ce régime perturbatif. La dépendance en V aussi bien qu’en x0 apparaît correctement prédite par les équations (9) et (10), et ce pour des

processus aussi bien sous-diffusifs que super-diffusifs, en dimension 1 ou plus. Par ailleurs, les résultats montrent que nos prédictions, qui s’appuient sur une limite de grand volume, restent très précis même pour des domaines relativement petits.

La précision de notre approche repose entièrement sur la prédiction correcte de la trajectoire moyenne µ(t), dont le comportement non-trivial est entièrement dû aux effets non-markoviens. Nos résultats démontrent ainsi l’importance de ces effets de mémoire sur les propriétés de premier passage de processus non-markoviens en géométrie confinée, et fournissent un outil efficace pour étudier le MFPT pour des processus gaussiens à incréments stationnaires.

Influence du vieillissement

Jusqu’à présent, la plupart des études de temps de premier passage ont laissé de coté les pro-cessus qui vieillissent, pour lesquels les observables physiques dépendent explicitement du temps écoulé depuis la préparation du système. Les exemples réels de tels processus vont du ralentis-sement drastique de la dynamique dans un système vitreux [Berthier 2011] jusqu’à l’accélération typique des atomes froids placés dans des réseaux optiques [Dechant 2012], en passant par le vieillissement du MSD de traceurs évoluant sur une membrane plasmique biologique [Weigel 2011]. De manière générale, une dynamique non-markovienne créera des processus dépendant de l’état initial, et des effets de vieillissement associés à l’oubli progressif de cet état initial peuvent ap-paraître. Nous avons caractérisé la distribution de FPT pour un processus invariant d’échelle et potentiellement vieillissant, en exhibant trois classes d’universalité pour cette distribution.

Considérons un processus général non-markovien et invariant d’échelle, défini dans un espace (potentiellement fractal) de dimension df, et caractérisé par une dimension de marche dw

défi-nie par hX2(t)i ∼

t→∞ t

2/dw_{. On suppose que les incréments de ce processus sont symétriques, et}

vérifient à grands temps h(X(t + τ ) − X(t))2i ∼

t→∞ t

α_τ2/dw−α_{. On a ici introduit un exposant}

de vieillissement α, qui décrit la non-stationnarité des incréments dès que α 6= 0. Le cas α > 0 correspond qualitativement à des processus qui accélèrent, et α < 0 à des processus qui ralen-tissent. On va alors distinguer les processus compacts des processus non-compacts (distinction qui apparaissait déjà pour les processus markoviens [Bénichou 2014]), selon le comportement de

(22)

0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.05 0.1 0.15 10−5 100 10−2 10−1 100 0.0490.1 0.21 0.31 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 10−5 100 10−2 10−1 100 0.0490.1 0.21 0.31 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 10−2 100 −100 −10−1 −10−2 0.018 0.037 0.074 0.15 100 ₁₀1 10-1 100 101 102 100 ₁₀2 10-1 100 101 2.08 4.73 10.7 V 40 60 120 Volume Simulations: Theory: b FBM, H=0.4 FBM, H=0.34 FBM, H=0.6 simulations non-Markovian Markovian non-Markovian Markovian simulations non-Markovian Markovian simulations non-Markovian Markovian a c d e f _{FBM, H=0.4} g h FBM, H=0.34 FBM, H=0.6

Figure 6 – Application de la théorie non-markovienne 1d. MFPT sur une cible de rayon a = 1 (unités arbitraires) en fonction de la distance initiale r0 (a-d) et trajectoire moyenne µ(t) dans le futur du FPT en fonction du temps t (e-h) pour les deux exemples de processus 1d. Lignes pleines : prédictions

de la théorie non-markovienne, déduites des équations (9) et (10). Lignes pointillées : approximation

markovienne, pour laquelle µ(t) = 0. Symboles : simulations numériques utilisant l’algorithme de matrice circulante [Davies 1987,Dieker 2002], avec conditions aux limites périodiques (équivalentes à placer deux

cibles séparées par V ). Dans a, e, les paramètres du processus sont donnés par D = 1, D0 = 30, λ = 1

(unités arbitraires). Les temps sont mesurés en unité de 1/λ et les longueurs en unité de (D/λ)1/2_{. Dans} e, les différents symboles correspondent à différents volumes (hexagones V = 40, carrés V = 60, diamants V = 120) : la superposition confirme que le fait que µ(t) ne dépend pas de V . Dans b-d, f-h, le FBM a pour

paramètre K = 1, avec trois exemples de valeurs de H. Le temps est compté en unités de V1/H_/K1/2H_.

Rappelons que la théorie est valable dans le limite de grand volume i.e. x0 V : on peut observer son

domaine de validité sur les figures. De façon remarquable, les prédictions sont précises même pour des volumes de taille modérée. Les barres d’erreur représentent l’erreur type de la moyenne statistique.

(23)

Chapitre 0. Principaux résultats 0.1 0.2 0 1 0.3 0.4 0₀ ₄ ₈ ₁₂ ₁₆ 0.5 1.5 2.5 3.5 1 10-4 ₁₀-2 4 5 0 5 10 15 Markovian Non-markovian Simulations 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 10-4 ₁₀-2 ₁ ₁₀ 2 a b c d 1.2 2 4.7 2.9 4.2 7.4 2D, FBM, H=0.35 2D, FBM H=0.35 t t 2 3 2D, 2D, Markovian Non-markovian Simulations 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 10 20 30 e Markovian Non-markovian Simulations in a sphere Simulations in a cube 3D, 10-4 ₁₀-2 ₁ ₁₀ 2 10-6 2 1.8 1 1.2 1.4 1.6 f 1.5 2 3.6 3D,

Figure 7 – Application de la théorie non-markovienne 2d et 3d. MFPT sur une cible de rayon a = 1 (unités arbitraires) en fonction de la distance initiale r0 (a, c, e) et trajectoire moyenne radiale µ(t) dans le futur du FPT en fonction du temps t (b, d, f) pour les processus 2d (a-d)et 3d (e,f). Lignes pleines : prédictions de la théorie non-markovienne en dimension 2 et 3. Lignes pointillées : approximation markovienne, pour laquelle µ(t) reste constante égale au rayon a = 1 de la cible. Symboles : simulations numériques utilisant l’algorithme de matrice circulante [Davies 1987, Dieker 2002], avec conditions aux limites périodiques (équivalentes à placer des cibles sur un réseau carré de taille de maille L pour un volume

confinant V = L2. Dans a, b, le corrélateur indiqué est pris pour D = 1, D0 = 30, V = 1002, λ = 1

(unités arbitraires). Le temps est compté en unité de 1/λ et les longueurs en unité de a. Pour c, d, il s’agit

d’un FBM 2D avec K = 1, V = 602_{. Le temps est compté en unité de a}1/H_/K1/2H _{et les longueurs en}

unité de a. Les barres d’erreur représentent l’erreur type de la moyenne statistique.

(24)

la probabilité P (a, r) = P a_r qu’en espace infini, une cible de taille a soit atteinte un jour par le marcheur partant à une distance r de cette dernière.

• Si P a_r

= 1 pour tout a, le processus est compact, et même un point est atteint avec certitude (P (0) = 1). On introduit alors la probabilité de survie S pour que le mar-cheur n’ait pas atteint la cible (ponctuelle) jusqu’au temps t. Cette densité de proba-bilité décroît comme S(t) ∼

t→∞ t

−θ_{, où l’exposant de persistance a été étudié de}

ma-nière extensive pour de nombreux processus [Krapivsky 1996,Majumdar 1996,Krug 1997,

Majumdar 1999,Bray 2013].

• Si P (0) = 0, le processus est dit non-compact, et la probabilité d’atteindre une cible décroît avec sa taille. Cette décroissance est caractérisée par un exposant de transience, qui décrit le comportement de P à petit a/r : P a_r ∼

a→0 a r

ψ .

• Enfin, le cas d’une exploration telle que S(t) ∼ 1/ ln t sera dénommée marginalement com-pacte.

Nous avons montré que la distribution de FPT sur une cible dans une volume confinant V ∼ Rdf _{est décrite par trois classes d’universalité, selon que le processus est compact, non-compact,}

ou marginalement compact. En notant T le FPT, on introduit le variable réduite η ≡ T /T_typ, où le temps typique Ttyp est défini par :

Ttyp =            Rdw _(compact) Rdw _lnR a 1−αdw/2 (marginalement compact) Rdw R a ψ(1−αdw/2) (non-compact) (13)

En supposant que le temps moyen de premier passage sur la cible est fini (nous avons également étendu ces résultats au cas d’un MFPT infini), nous avons trouvé que la variable aléatoire η est distribuée, dans la limite de grand volume, selon :

G(η; a, r, R) =            h(η) _Rrdwθ (compact) h(η)ln r a lnR_a (marginalement compact) h(η) h 1 − C a_rψ i (non-compact) . (14)

où on a supposé a r, et où h désigne une fonction a priori indéterminée et dépendant du processus, et C une constante numérique. Par ailleurs, l’exposant ψ est génériquement donné par

ψ = df −

dw

1 − αdw/2

. (15)

Ces équations déterminent explicitement la dépendance du FPT en les paramètres géomé-triques a, r et R du problème, et donc de tous les moments de cette distribution. En particulier, le comportement du temps moyen de premier passage hT i est donné par :

hT i ∼            Rdw(1−θ)_rdwθ _(compact) Rdw (ln R/a)αdw /2ln r a (marginalement compact) Rdw +ψ(1−αdw /2) aψ(1−αdw /2) h 1 − C a_rψi (non-compact) . (16) 15

(25)

Chapitre 0. Principaux résultats 100 ₁₀1 ₁₀2 100 101 102 103 104 100 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 100 102 104 106 _{Scaled 2D FBM H = 0.7} 2D FBM H = 0.7 2D Levy Flight = 1.5 2D Levy Walk = 1.5 2D RAP 3D RAP 2D RJP

Non compact processes Compact processes

A

1D Scaled FBM H = 0.4

_B

1D Flat-prepared FBM H = 0.65 1D FBM H = 0.4 1D Levy Walk = 0.3 1D Levy Walk = 1.5 1D RAP partial absorption q = 0.7 1D RAP

1D Flat-prepared FBM H = 3/8 1D RJP

1D Levy Flight = 0.5

Figure 8 – MFPT en fonction du volume confinant pour des processus compacts (A) et

non-compacts (B). Les lignes désignent nos prédictions (équation (16)), et le symboles les résultats

de simulations numériques. Pour chaque processus, hT i et V sont réduits d’un facteur (V0, T0), où V0 est

choisi suffisamment grand pour que la limite de grand volume soit atteinte (et T0 correspond au MFPT

pour le volume V0). La ligne pleine correspond à un comportement linéaire du MFPT avec le volume.

Plusieurs remarques s’imposent quant aux résultats constitués par les équations (13)-(16). • Premièrement, on retrouve les résultats connus concernant la dépendance de la

distri-bution de FPT en a, r et R pour les processus markoviens [Bénichou 2014] et le temps moyen de premier passage de processus non-markoviens gaussiens à incréments station-naires [Guérin 2016]. Cela résulte de la valeur de α et θ pour des processus à incréments stationnaires : α = 0, conduisant à ψ = d_f − dw pour les processus non-compacts, et

θ = 1 − df/dw pour les processus compacts.

• Deuxièmement, l’un des résultats les plus remarquables qui émerge du fait du vieillissement est la possibilité d’obtenir un MFPT qui ne varie pas linéairement avec le volume confinant, mais aussi bien sous-linéairement que super-linéairement (voir la figure 8). Dans le cas compact, la stationnarité des incréments à tous temps (auquel cas θ = 1 − df/dw) est

une condition suffisante pour obtenir un comportement linéaire, alors que dans le cas compact, la stationnarité des incréments à temps long suffit. Par exemple, un processus non-markovien dont les variables cachées sont initialement quenchées et qui relaxe lentement vers un processus à incréments stationnaires manifestera un hT i non linéaire en V dans le cas compact, et linéaire dans le cas non-compact.

• Troisièmement, la dépendance de la statistique du FPT en la position initiale du mar-cheur est très forte pour un processus compact, et beaucoup plus faible pour une processus non-compact. Qualitativement, ce comportement est analogue aux résultats connus pour les processus markoviens [Condamin 2007b, Bénichou 2014], mais le vieillissement modifie quantitativement les exposants qui caractérisent ces dépendances.

• Quatrièmement, l’échelle de temps typique Ttypde la distribution du FPT est indépendante

du vieillissement pour un processus compact, alors qu’elle dépend explicitement de α pour les processus non-compacts.

(26)

0 4 8 12 10-6 10-4 10-2 100 R=160 R=320 R=640 R=1280 R=2400 R=4800 R=9600 0 1 2 3 4 5 10-4 10-2 100 R=800 R=1600 R=3200 R=6400 R=12000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10-2 100 102 104 R=20 R=40 R=80 R=160 R=320 0 4 8 12 10-4 10-2 100 R=20R=40 R=80 R=160 R=320 0 2 4 6 8 10-6 10-4 10-2 100 R=20R=40 R=80 R=160 R=320 R=640 R=1200 R=2400 R=4800 0 10 20 30 40 100 101 R=200 r =20 R=400 r =40 R=600 r =40 R=600 r =20 R=1000 r =20 = 0.5 = 0.3 0 1 2 3 10-2 100 102 R=200R=400 R=800 R=1600 R=3200 =1.5 0 2 4 6 8 10-6 10-4 10-2 100 R=80 R=160 R=320 R=600 R=1200 R=2400 R=4800 1D FBM, H=0.4 2D FBM, H=0.35 1D RAP 1D RAP, q=0.7 1D RJP

1D Levy Walk 1D Levy Walk 1D Levy Flight (cross.)

A B C E F G H I 0 0.4 0.8 1.2 R=50 R=100 R=100 R=200 R=400 101 100 10-1 10-2 1D Flat-prep. FBM, H=0.65 D

Figure 9 – Dépendance universelle de la densité de FPT avec les paramètres géométriques

pour les processus compacts. S ≡ R+∞

t/TtypG(η)dη désigne la probabilité de survie du marcheur aléa-toire, dont le comportement avec les paramètres géométriques est déduite des équations (13) et (14). La superposition de toutes les données numériques pour des paramètres variés montre que la théorie déve-loppée prédit sans ambiguïté la dépendance de la distribution de FPT en les paramètres géométriques. A. FBM 1d pour H = 0.4. B. FBM 2d pour H = 0.35. C. Flat-prepared FBM 1d avec H = 0.65. D. RAP 1d. E. RAP 1d avec une probabilité d’absorption q = 0.7 à chaque passage par la cible. F. RJP 1d. G. Marche de Lévy 1d dont les sauts dont distribués selon une loi Lévy stable de paramètre β = 1.5. H. Marche de Lévy 1d dont les sauts dont distribués selon une loi Lévy stable de paramètre β = 0.3. I. Vol de Lévy 1d dont les sauts dont distribués selon une loi Lévy stable de paramètre β = 1.5, et la cible est trouvée lorsqu’on la croise.

• Enfin, on a donné explicitement la dépendance en a, r et R de la distribution de FPT, caractérisée par d_w et θ pour les processus compacts, et α, d_w, df pour les processus

non-compacts.

La validité de ces résultats a été vérifiée en les comparant aux résultats de simulations numé-riques pour de nombreux processus, pour lesquels peu de résultats analytiques existaient (voir es-sentiellement [Masoliver 1996,Buldyrev 2001a,Burkhardt 2007,Krüsemann 2014,Guérin 2016]. Plus spécifiquement, on a considéré :

(27)

• le mouvement brownien fractionnaire (FBM) d-dimensionnel, un processus gaussien non-markovien, de moyenne fixée et à incréments stationnaires tels que h[X(t) − X(0)]2i = t2H_,

où H est appelé exposant de Hurst. Ce processus est régulièrement utilisé pour décrire une diffusion anormale due à l’interaction avec de nombreuses variables cachées [Krug 1997,

Molchan 1999,Ernst 2012,Burnecki 2012] ;

• son extension avec des conditions initiales quenchées, pour lequel les incréments ne sont plus stationnaires, mais relaxent lentement vers un état sationnaire ;

• le Random Acceleration Process (RAP) d-dimensionnel, défini par ¨X = η(t) avec η(t) un bruit blanc gaussien ;

• ses généralisations au cas d’absorption partielle sur la cible, de conditions aux bords spé-cifiques, de dérivations d’ordre supérieur tel que le Random Jerk Process (RJP) vérifiant ...

X = η(t), ou l’ajout de temps d’attente de moyenne infinie ;

• les vols de Lévy d-dimensionnels, où à chaque pas de temps le marcheur effectue un saut de longueur l tiré selon une loi large p(l) ∼ 1/l1+β, avec les prescriptions de première arrivée sur la cible ou de premier croisement pour définir le FPT (voir [Chechkin 2003]) ;

• les marches de Lévy d-dimensionnelles, que l’on peut voir comme des vols de Lévy dont les excursions sont parcourues à vitesse constante ;

• les processus obtenus à partir d’un processus X(0)_{(t) de référence par changement d’horloge :}

X(t) ≡ X(0)_(tb_{) avec b quelconque.}

Ces exemples couvrent des processus aussi bien markoviens que non-markoviens, avec ou sans vieillissement, sous-diffusifs ou super-diffusifs, et en dimension 1 ou plus.

Les figures 8,9et10révèlent l’excellent accord entre les données numériques et non résultats analytiques. La superposition des distribution de FPT correctement réduites montrent que notre approche saisit sans ambiguïté la dépendance en a, r et R, aussi bien pour les processus compacts (figure9) que non-compacts (figure10). En particulier, les comportements sous-linéaires, linéaires et super-linéaires du MFPT avec le volume sont en accord avec nos prédictions (Figure8). Cela met en exergue le fait que la non-linéarité du temps moyen de premier passage avec le volume est une caractéristique typique d’une dynamique vieillissante.

Lien entre les problèmes avec et sans confinement

Les outils que nous avons développés pour traiter les processus non-markoviens confinés peuvent être utilisés pour revisiter les problèmes sans confinement. Nous avons ainsi étudié la probabilité de survie S(t) d’un marcheur (compact) qui évolue à 1d en présence d’une cible posi-tionnée en 0, et plus précisément son comportement à grands temps S₀t−θ. Dans cette expression, θ désigne l’exposant de persistance (dont on a vu que la valeur contrôlait la statistique du FPT d’un processus compact en milieu confiné).

Deux axes ont été étudiés : soit le processus est à incréments stationnaires, auquel cas l’ex-posant de persistance est connu (θ = 1 − 1/dw) et on cherche à estimer le préfacteur S0, soit le

processus vieillit, auquel cas on s’intéresse à l’exposant de persistance inconnu.

Pour les processus non-markoviens à incréments stationnaires, on a démontré une formule qui relie le préfacteur S0 au rapport T /V désignant le MFPT du même processus cette fois confiné

(28)

0 2 4 6 8 10-6 10-4 10-2 100 R=50 R=100 R=200 R=400 R=800 R=1600 R=50 R=100 R=200 R=400 R=800 0 4 8 12 16 10-4 10-2 100 R=100 R=200 R=400 R=800 R=1600 R=3200 0 40 80 120 10-6 R=40 R=80 R=160 R=320 R=640 R=1200 0 10 20 30 40 10-2 10-1 100 R=400 R=800 R=1600 R=3200 10-5 ₁₀0 ₁₀5 10-6 10-4 10-2 100 102 R=100 R=200 R=400 R=800 R=1600 R=3200 10-10 ₁₀-5 ₁₀0 ₁₀5 ₁₀10 10-4 10-2 100 102 R=400 R=800 R=1600 R=3200 R=12000 R=24000 R=50000 10-6 10-4 10-2 100 0 2 4 6 8 10-4 10-2 100 10-15 = 1.5 R=100 R=200 R=400 R=800 R=1600 R=3200 = 0.7 105 ₁₀10 10-5 ₁₀0 100 10-2 10-4 10-6 2D RAP 3D RAP 2D RJP 2D FBM, H=0.7 2D Levy Walk = 0.6 2D Levy Walk = 0.6 2D Ang. Levy Walk

A B C

D E F

G H 2D Heavy Tailed RAP

Figure 10 –Dépendance universelle de la densité de FPT avec les paramètres géométriques

pour les processus non-compacts. Comme sur la figure précédente, S ≡ R+∞

t/TtypG(η)dη désigne la probabilité de survie du marcheur aléatoire, dont le comportement avec les paramètres géométriques est

déduite des équations (13) et (14). La superposition des données montre que la dépendance du FPT en

les paramètres géométriques pour les processus non-compacts. A. RAP 2d. B. RAP 3d. C. RJP 2d. D. FBM 2d avec H = 0.7. E. Marche de Lévy 2d (convention XY ) dont les sauts dont distribués selon une loi Lévy stable de paramètre β = 1.5. F. 2d Marche de Lévy 2d (convention uniforme) dont les sauts dont distribués selon une loi Lévy stable de paramètre β = 0.6. G. Marche de Lévy 2d (convention XY ) dont les sauts dont distribués selon une loi Lévy stable de paramètre β = 0.6. H. Heavy Tailed RAP 2d, avec des temps d’attente distribués selon une loi de Lévy de paramètre γ = 0.7. Les graphiques G et H couvrent ainsi le cas de MFPT infini.

dans un grand volume V . Pour un marcheur dont la densité de probabilité sur la cible p(0, t) varie asymptotiquement comme K/tH, on a de manière exacte :

T = lim x→∞ Z 1 0 du Z ∞ 1−v dvS0(1 − H) v2−H p(0, ux + vx | F P T = vx) (17) 19

(29)

Dans cette équation, la quantité conditionnée p(0, ux + vx | F P T = vx) est en pratique difficile à déterminer, mais n’apparaît qu’à travers les temps longs (x → ∞). On en déduit qu’elle ne dépend pas de la position initiale du marcheur, et qu’elle est de la forme K G(u/v)/uH, menant à une formule exacte pour le préfacteur S0 :

S0= T K(1 − H) Z 1 0 du Z ∞ 1−u dv 1 v2−H G(u/v) uH −1 (18) Il faut plus de travail pour déterminer la fonction G, travail que nous n’avons pas eu le temps de développer. Mais les premiers tests de cette formule sur le FBM semblent prometteurs. Nous avons par ailleurs suggéré qu’une approximation de découplage, qui revient à prendre G égal à 1 dans la formule (18), était envisageable. Elle mène à

S0=

sin(πH)

Kπ T (19)

qui constitue un résultat approché mais quantitativement assez précis pour le FBM, et un résultat exact pour tout système à mémoire décroissant exponentiellement.

Le deuxième voie que l’on a explorée concerne les exposants de persistance associés à des processus qui vieillissent, en se restreignant au cas θ > 1 − H associés à des MFPT sous-linéaires en volume. Cette question est d’autant plus importante que l’étude des exposants de persistance a généré une activité considérable durant les dernières décennies, et que dans de nombreux cas, aucune théorie n’existe pour les prédire correctement [Krug 1997, Bray 2013]. On a montré que l’on pouvait relier l’exposant de persistance au comportement asymptotique de la quantité q_π(t). L’écart entre cette densité et la densité de probabilité du processus initial q(t) reflète les effets du vieillissement du processus dans la durée qui s’écoule avant le FPT. Cet écart est caractérisé par une relaxation algébrique d’exposant β, relié à l’exposant de persistance par θ = 2H − β.

Pour obtenir une équation sur β, on utilise l’approximation gaussienne pour le processus dans le futur du FPT, qui est compatible avec l’existence d’exposants de persistance non triviaux si l’on relâche l’hypothèse de covariance stationnaire (que l’on avait utilisée dans le cadre de processus à incréments stationnaires). En étudiant l’équation auto-cohérente pour cette covariance, nous avons montré que le problème se récrit de la manière suivante : β est l’unique réel tel que l’équation intégrale 0 = Z 1 0 dx(1 − x) H−β−2 xH−β x−βz y xy + 1 − x − z (x) F xy xy + 1 − x −z xy xy + 1 − x F (x) + z(1)F (x) F xy xy + 1 − x − z(1) 2 x2H F y xy + 1 − x − x2HF (x) F xy xy + 1 − x − (1 − x)2HF (y) (20)

possède une solution z qui vérifie xβz(x)→0 pour x → 0. Dans l’équation intégrale, F désigne le corrélateur du processus initial suppose gaussien, hx(t)x(t0)i − hx(t)i hx(t0)i = t2HF (t/t0), qui intervient ainsi à toutes les échelles et prend en compte le vieillissement.

Cette équation constitue notre résultat principal, et nous l’avons utilisée pour déterminer l’exposant de persistance de plusieurs processus à incréments non-stationnaires. Nous nous sommes