Simplexes Contigus

Simplexes Contigus

Arnaud Golfouse, Pierre Le Scornet 23 octobre 2018

Introduction

On se pose la question suivante : combien de simplexes deux-à-deux contigus de dimension d peut-on placer dansR^d?

Intuitivement, un simplexe de dimension d est un ensemble de d+1 points for- mant un volume de dimension d. Il s’agit de la généralisation du triangle ou du té- trahèdre.

Si A, B sont des d-simplexes, A et B contigus signifie que A∩B est de dimension d-1.

On verra alors qu’on peut conjecturer que le nombre recherché est 2^d, et on don- nera des bornes qui vont dans ce sens.

1 Définitions

Définition 1.1. Soitd≥1. Und-simplexeest une partie S deR^dtelle que

∃(x₀,x₁. . .x_d)∈(R^d)^d+1, S=C onv({x₀,x₁. . .x_d}) etλd(S) > 0.

x₀,x₁. . .x_dsont appelés lesextrémitésdu simplexe S.

Sii∈ ‚0,dƒ,C onv({x₀,x₁. . .x_d} \ {i}) est appelé unefacede S. Ainsi S a¡_d+1

d

¢=d+1 faces.

Définition 1.2. Soit S1et S2deux d-simplexes. On dit que S1et S2sontcontigussi λd−1(S1∩S2)∈]0,+∞[.

On pose alorsf :N→N, d7→nb maximal de d-simplexes deR^d deux-à-deux contigus.

Conjecture :f(d)=2^d.

2 Premier théorème

Théorème 2.1. Pour tout d≥2, il existe une famille de2^d d-simplexes deR^ddeux- à-deux contigus, ainsi qu’une droite transverse qui rencontre l’intérieur de chacun d’entre eux.

1

3 Deuxième théorème

Théorème 3.1. Pour tout d≥1, on a f(d)<2^d+1.

Démonstration. SoientP₁,P₂, ...P_rune famille de d-simplexes 2 à 2 contigus.

On poseH l’ensemble des hyperplans engendrés par une face d’un des simplexes.

AlorsH est fini il y a au plusr(d+1) telles faces. On note doncH ={H₁,H₂, ...H_s}.

Chacun de ces hyperplans sépareR^den deux ; on choisit alors un côté comme étant le côté positif, notéH_i⁺, et l’autre le côté négatif, notéH_i⁻.

On pose alors∀i∈ ‚1,rƒ,vⁱ∈{0,−1, 1}^stel que∀j∈ ‚1,sƒ, vⁱ_j=











1 siP_ia une face dansH_j etP_i⊂H⁺_j

−1 siP_ia une face dansH_j etP_i⊂H⁻_j 0 sinon

On a alors les propriétés :

— Chaquev_i a exactements−(d+1) coefficients nuls (car chaqueP_i a d+1 faces) ;

— Sii6=j, il existek∈ ‚1,sƒtel que (vⁱ_k=1 etv_k^j= −1) ou (v_kⁱ = −1 etv_k^j =1). En effet, on travaille avec des simplexes 2 à 2 contigus ; ainsiPietPj ont chacun une face avec un hyperplan en commun, et sont chacun d’un côté de cet hyperplan.

— Pi= T

j t q v_i^j=1

H⁺_j ∩ T

j t q v_i^j=−1

H⁻_j

Références

[1] Martin A. and Günter Z.Simplexes Contigus. Springer, 2006.

[2] Joseph Z. Neighborly families of 2^d d-simplices inE^d. Geometriae Dedicata, pages 505–507, 1981.

2