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Université Lyon 1 Licence STS Portail Math-Info 1

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Université Lyon 1 Licence STS Portail Math-Info 1

ère

année UE Analyse I : les réels et les fonctions Année 2013-2014

Contrôle continu n

o

9

13 décembre 2013. Durée 30 minutes

La note tiendra compte en grande partie de la qualité de la rédaction et de la justesse des raison- nements

Exercice.

1. Soit g : R → R . On suppose que g est strictement croissante sur chacun des intervalles ] − ∞, 0]

et [0, +∞[. Montrer que g est strictement croissante sur R .

2. Soit g : R → R dérivable. On suppose que g

0

(x) > 0 pour tout x 6= 0. Mais on ne suppose pas g

0

(0) > 0.

2.a. Montrer que g est strictement croissante sur ] − ∞, 0] et sur [0, ∞[. On justifiera ce fait en utilisant le théorème des accroissements finis.

2.b. En déduire que g est strictement croissante sur R . 3. Soit f : R → R , f (x) = x

3

+ x − sin x.

3.a. Montrer que f

0

(x) > 0 pour tout x 6= 0.

3.b. En déduire que f est strictement croissante.

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