Une analyse bayésienne d'hydrologie fréquentielle selon un modèle de copule bivariée

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Submitted on 22 May 2009

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Une analyse bayésienne d’hydrologie fréquentielle selon un modèle de copule bivariée

Eric Parent, Anne-Catherine Favre

To cite this version:

Eric Parent, Anne-Catherine Favre. Une analyse bayésienne d’hydrologie fréquentielle selon un modèle de copule bivariée. 41èmes Journées de Statistique, SFdS, Bordeaux, 2009, Bordeaux, France, France.

�inria-00386713�

Une analyse bay´ esienne d’hydrologie

fr´ equentielle selon un mod` ele de copule bivari´ ee

Eric Parent & Anne-Catherine Favre ´

Equipe Mod´ ´ elisation, Risque, Statistique, Environnement (MORSE), ENGREF, AgroParisTech

Chaire en Hydrologie statistique Hydro-Qu´ ebec/CRSNG, INRS-ETE

Dans plusieurs secteurs de la statistique appliqu´ ee, comme l’hydrologie, l’analyse d’´ ev´ enements multivari´ es est d’un int´ erˆ et particulier. Les concepteurs de barrages doivent choisir la taille de leurs structures hydrauliques selon les d´ ebits des rivi` eres qui augmentent pendant les inondations de printemps. L’inondation est le plus souvent caract´ eris´ ee par trois quantit´ es principales : le d´ ebit de pointe, le volume et la dur´ ee. Comme ces variables sont d´ ependantes, trois analyses univari´ ees ex´ ecut´ ees d’une mani` ere ind´ ependante ne sont pas capables de proposer une ´ evaluation compl` ete de la probabilit´ e d’un ´ ev´ enement dom- mageable rare. De plus une analyse monovari´ ee peut mener ou ` a une sous-estimation du risque(De Michele et al., 2005). Nous analysons 47 ann´ ees de couples pointe-volume de crues de la rivi` ere Romaine au Qu´ ebec ` a l’aide d’un mod` ele param´ etrique de copule.

Les marges sont mod´ elis´ ees soit par une loi gamma ou normale, et la d´ ependance par une famille param´ etrique de copules (Arch12 et Clayton). L’inf´ erence et la s´ election de mod` eles sont alors r´ ealis´ ees sous la perpective bay´ esienne. Cette approche permet na- turellement de s’appuyer sur la th´ eorie de la d´ ecision statistique (Berger, 1985) au moyen de l’optimisation d’une fonction de coˆ ut, ce qui pr´ esente un int´ erˆ et particulier en ing´ eni´ erie hydraulique si l’on se place dans un contexte multivari´ e.

Mots-Cl` es : Analyse bay´ esienne, Copule, hydrologie fr´ equentielle, ing´ eni´ erie de l’Environnement In several applied statistical areas, like hydrology, the analysis of multivariate events

is of particular interest. The dams designers have to size their hydraulic structures ac-

cording of the river flows which increase during the spring floods. Flood is more often

characterized by three main quantities: peak, volume and duration. As these variables

are correlated, three univariate analysis carried out independently are not able to give

a complete assessment of the event of interest’s probability of occurrence. Moreover a

univariate analysis can lead either to an underestimation of risk. We study 47 years of a

peak/volume dataset for the Romaine river with a parametric copula model. The mar-

gins are modelled with a normal or gamma distribution and the dependance is depicted

through a parametric family of copulas (Clayton or Arch 12). Parameter joint inference

and model selection is performed under the Bayesian paradigm. This approach allows to

rely on the theory of statistical decision theory by means of a utility function optimization

, which is of particular interest for hydraulic engineering in a multivariate context.

1 Introduction

En ing´ eni´ erie hydraulique, le concept de p´ eriode de retour est depuis longtemps le concept- cl´ e pour dimensionner un ouvrage de protection : on recommande aux ing´ enieurs de choisir une crue de projet dite centenale (p´ eriode de retour = 100 ans) lorsque les enjeux sont mod´ er´ es , comme pour une digue de protection d’un petit bourg par exemple, ou bien d’aller jusqu’` a la crue mill´ enale ou d´ ecamillenale lorsque les cons´ equences de d´ efaillance de l’ouvrage sont catastrophiques (par exemple le canal ´ evacuateur de crue d’un grand bar- rage hydro-´ electrique). La p´ eriode de retour T (y) du quantile y d’un ´ ev´ enement al´ eatoire Y de fonction de r´ epartition F est d´ efinie comme

T (y) = 1 1 − F (y)

C’est la dur´ ee moyenne d’attente sous l’hypoth` ese iid pour qu’un ´ ev´ enement Y ayant d´ epass´ e le seuil y ` a l’instant origine, se reproduise avec la mˆ eme intensit´ e. Consid´ erons un ´ ev´ enement mesur´ ee annuellement (par exemple le debit maximum annuel du d´ ebit journalier d’une rivi` ere) : une valeur correspondant ` a une p´ eriode de retour 100 ans signifie donc que l’´ ev´ enement a une chance sur 100 d’ˆ etre d´ epass´ e, c’est donc le quantile 0.99.

Cette pratique de l’ing´ eni´ erie est contestable ` a deux ´ egards. D’abord la r´ epartition F est en g´ en´ eral inconnue et l’on se contente d’une estim´ ee ˆ T (y) de la p´ eriode de retour : il est donc important de quantifier les incertitudes d’estimation et de comprendre leur influence ; elles ont en g´ en´ eral de tr` es lourdes cons´ equences puisque la d´ ecision (qui s’appuie sur cette inf´ erence) concerne g´ en´ eralement des ´ ev´ enements rares, c’est ` a dire une extrapolation du mod` ele hors de sa gamme de fonctionnement ordinaire. Ensuite la situation multivari´ ee fait disparaˆıtre le lien biunivoque entre quantile et fonction de r´ epartition (Salvadori and De Michele, 2007). Or, une crue est un ´ ev´ enement multivari´ e : quand on cherche ` a s’en prot´ eger, il faut ` a la fois consid´ erer le volume, le d´ ebit au pic de l’´ ev´ enement et de la dur´ ee de l’´ eventuelle submersion de la zone inond´ ee, et une infinit´ e de triplets (volume, pic, dur´ ee) correspondent ` a une mˆ eme probabilit´ e au d´ epassement.

Cette communication propose les moyens de r´ esoudre ces deux difficult´ es en r´ ealisant une analyse hydrologique fr´ equentielle d´ ecisionnelle avec un mod` ele param´ etrique de co- pule bivari´ ee. Le contexte bay´ esien permet de mettre facilement en ´ evidence les incerti- tudes d’estimation des param` etres et les cr´ edibilit´ es relatives des mod` eles en comp´ etition.

Sur l’exempel de la rivi` ere Romaine, la copule semble introduire de fortes corr´ elations en- tre les estim´ ees des grandeurs caract´ eristiques des lois marginales de chacun des mod` eles.

La th´ eorie statistique de la d´ ecision se pr´ esente comme une extension naturelle de l’analyse

bay´ esienne r´ ealis´ ee: le dimensionnement de la protection ne passe plus par le calcul d’une

crue de projet associ´ ee ` a une forte p´ eriode de retour, mais s’obtient ici comme la solution

d’un probl` eme de d´ ecision sous incertitude pour lequel nous proposons une fonction de

dommage qui tienne compte de la nature multivari´ ee de l’´ ev´ enement contre lequel il faut

Figure 1: S´ erie chronologique des pointes de d´ ebit et de volumes de crue de printemps de la rivi` ere Romaine de 1957 ` a 2003

2 Un mod` ele de copule sur les donn´ ees de la Romaine

On dispose de couples (x _t , y _t ) pointe-volume de crues sur les t = 1 ` a 47 ans de donn´ ees de la Romaine et les donn´ ees de 1960 sont manquantes. La figure 1 montre une co-evolution marqu´ ee des deux variables d’int´ erˆ et sur cette p´ eriode (Genest et al., 2007).

Les s´ eries temporelles univari´ ees sont stationnaires et ne montrent pas d’autocorr´ elation, elles peuvent ˆ etre assimil´ ees en premi` ere ` a des ´ echantillons iid de distributions univari´ ees.

Nous effectuons d’abord l’estimation bay´ esienne conjointe des param` etres (θ _x , θ _y , λ) d’un

mod` ele complet de copule, constitu´ e par les lois de ses marges (param´ etr´ ees respective-

ment par les quantit´ es θ _x et θ _y ) et la structure de d´ ependance de la copule d´ ecrite par

le param` etre λ. Par la suite, nous porterons une attention particuli` ere ` a des mod` eles

param´ etriques form´ es par l’association de deux structures marginales (normale ou gamma)

et de deux types de copules (Clayton ou Arch12).

2.1 Des marges Normales ou gamma

On consid` ere des lois Normales ou gamma pour les distributions des marges x (pointes) et y (volumes). Pour la loi gamma, on peut trouver un param´ etrage en moyenne/´ ecart type, ce qui sera utile pour s’appuyer sur les mˆ emes informations a priori quand, dans l’approche bay´ esienne, on sp´ ecifiera les distributions a priori pour les param` etres margin- aux gamma ou normal. Pour sp´ ecifier ces priors, on consid` ere ici une approche tr` es empirique: comme l’ann´ ee 1960 est manquante, on exclut les trois premi` eres ann´ ees (1957 − 1959) de l’´ echantillon des pointes et des volumes et, on ajuste un prior conjugu´ e (gamma Normal) peu informatif ayant les mˆ eme caract´ eristiques statistiques marginales que ces trois ann´ ees, et compte tenu de ce contexte peu informatif, on fait l’hypoth` ese d’ind´ ependence a priori entre les jugements probabilistes portant sur les pointes de crues et ceux ` a propos de leurs volumes, soit en utilisant la notation [] de Gelfand (Gelfand and Smith, 1990) pour les distributions de probabilit´ es: [θ _x , θ _y ] = [θ _x ]× [θ _y ].

2.2 Une copule param´ etrique Clayton ou Arch 12

On pose x = F _θ

(u) et y = G _θ

(v) les fonctions de r´ epartition des marges. Si on prend des copules (Sklar, 1959) C(u, v, λ) archim´ ediennes , les travaux pr´ eliminaires (Genest et al., 2007) sur la Romaine sugg` erent de choisir

1. soit une forme de type Clayton C(u, v; λ) = ϕ ⁻¹ (ϕ(u) + ϕ (v)) , λ ≥ 1, avec ϕ(u) =

(u)

−1 λ

2. soit une forme dite Arch12 avec ϕ(u) = (u ⁻¹ − 1) ^λ .

Les mesures de concordance, notamment le τ de Kendall donnent une reparam´ etrisation plus explicite des structures monoparam´ etriques courantes de copules . En effet, ce coef- ficient τ , contrairement ` a d’autres comme le coefficient de corr´ elation lin´ eaire de Pearson, ne d´ epend pas des lois marginales. Il s’exprime uniquement en fonction de la copule.

Il est donc r´ ev´ elateur de la structure de d´ ependance. De plus, pour nombre de copules

param´ etriques, ce τ de Kendall peut ˆ etre exprim´ e facilement en fonction du param` etre

de la copule. Pour la copule de Clayton, τ de Kendall est tel que λ(τ ) = _1−τ ^2∗τ tandis que

pour Arch12, on a λ(τ ) = _3(1−τ) ² . On sait que −1 ≤ τ ≤ 1 et l’on connait la loi normale

asymptotique de τ sous l’hypoth` ese nulle que l’on pourrait prendre comme prior infor-

matif pessimiste dans un contexte d’inf´ erence bay´ esienne. N´ eanmoins, si on suppose une

concordance a priori positive , il est commode mais r´ ealiste de prendre un prior uniforme

[τ] = 1 sur (0, 1).

3 Analyse bay´ esienne

En s’appuyant sur la d´ ecomposition du mod` ele de copule, la loi a posteriori conjointe des inconnues [x, y|θ <sub>x</sub> , θ <sub>y</sub> , λ] fait apparaˆıtre la vraisemblance propre ` a la copule [u, v|θ _x , θ _y , λ] =

n

Y

i=1

∂

C(F (x

),G(y

)

∂u∂v et les vraisemblances marginales [x|θ _x ][y|θ _x ] =

n

Y

i=1

∂F (x

)

∂x

∂G(y

)

∂y . Il vient donc

[θ _x , θ _y , λ|x, y] = [u, v|θ _x , θ _y , λ] × [x|θ _x ][y|θ _y ] × [θ _x , θ _y , λ]

[x, y]

L’hypoth` ese d’ind´ ependances des priors des marges et de la copule s’´ ecrit [θ _x , θ _y , λ] = [θ _x ] × [θ _y ] × [λ] . Si on ´ ecrit [x|θ _x ] × [θ _x ] comme [x] × [θ _x |x], le posterior devient:

[θ x , θ y , λ|x, y] = [x][y]

[x, y] × [u, v|θ x , θ y , λ] × ([λ][θ x |x][θ y |y]) (1) La forme de l’´ equation (1) sugg` ere naturellement un algorithme d’inf´ erence fond´ e sur un ´ echantilonnage d’importance. La loi d’importance sera construite en assemblant les tirages dans le prior de λ en conjonction avec les lois a posteriori (en consid´ erant les marginales ind´ ependantes [θ <sub>x</sub> |x] and [θ <sub>x</sub> |y]. Comme le rapport <sup>[x][y]</sup> <sub>[x,y]</sub> ne d´ epend pas des param` etres, les poids d’importance seront simplement fournis par la vraisemblance de la copule:

Ainsi, la figure 2 donne la loi jointe a posteriori des 5 param` etres α _x , β _x , λ, σ _y , µ _y cor-

respondant ` a une marge gamma en x , une Normale pour y et une copule de Clayton

pour relier les deux marges. L’inf´ erence bay´ esienne montre ici que tous les param` etres

sont a posteriori fortement corr´ el´ es sp´ ecialement θ _x |x, y et θ _y |x, y, cons´ equence ´ evidente

de la liaison introduite par la copule. Ce r´ esultat nous met en garde contre une pratique

courante d’inf´ erence classique, qui consisterait ` a estimer s´ epar´ ement les marges, par un

estimateur du maximum de vraisemblance par exemple, puis ` a ajuster ensuite la copule,

par une technique non param´ etrique commode, par exemple en s’appuyant sur une esti-

mation via le tau de Kendall. On peut comparer les intervalles de cr´ edibilit´ es obtenus

quand l’inf´ erence est conduite de fa¸con s´ epar´ ee et quand elle est men´ ee conform´ ement ` a

la formule 1 : quoique le lien dˆ u ` a la copule introduise de forte corr´ elations, il ne semble

pas changer de fa¸con drastique la moyenne a posteriori de chacun des param` etres du

mod` ele. Les variances a posteriori ont tendance ` a ´ etre plus petites quand on consid` ere

ensemble les deux s´ eries des volumes et pointes, puisque cela conditionne les inf´ erences

par une information plus riche. Enfin, la moyenne a posteriori du param` etre de la cop-

ule de Clayton d´ epend des formes de distribution choisies pour chacune des marges. Ce

comportement a posteriori avec fortes liaisons peut avoir d’importantes r´ epercussions en

termes de s´ election de mod` eles ou d’aide au dimensionnement d’ouvrages de protection,

tels les ´ evacuateurs de crues.

Figure 2: Loi conjointe a posteriori avec marge gamma sur les volumes, marge Normale sur les pointes de crues et copule de Clayton. L’inf´ erence a ´ et´ e r´ ealis´ ee par ´ echantillonnage d’importance.

References

Berger, J. O. (1985). Statistical decision theory and Bayesian analysis. Springer Series in Statistics. Springer-Verlag, New York, second edition.

De Michele, C., Salvadori, G., Canossi, M., Petaccia, A., and Rosso, R. (2005). Bivariate statistical approach to check adequacy of dam spillway. J. Hydrologic Eng., 10(1):50–57.

Gelfand, A. and Smith, A. (1990). Sampling based approach to calculating marginal densities. J. Am. Stat. Ass., 85:398–409.

Genest, C., Favre, A.-C., B´ eliveau, J., and Jacques, C. (2007). Meta-elliptical copulas and their use in frequency analysis of multivariate hydrological data. Water Resources Research, 43(W09401):doi:10.1029/2006WR005275.

Salvadori, G. and De Michele, C. (2007). On the use of copulas in hydrology: theory and practice. J. Hydrologic Eng., 12(4):369–380.

Sklar, A. (1959). Fonctions de r´ epartition ` a n dimensions et leurs marges. Publications

de l’Institut de Statistique de l’Universit´ e de Paris, 8:229–231.