A.P.M.E.P.
[Baccalauréat S Liban 27 mai 2015\
EXERCICE1 6 points
ABCDEFGH est un cube.
A
B C
D E
F G
H
I
J
K
L
b
b b b
b
b b b
b b
b b
I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].
On munit l’espace du repère orthonormé³ A ;−−→
AB ,−−→
AD ,−→
AE´ .
1. a) Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).
b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).
3. SoitMle point d’intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées du pointM.
4. Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire.
5. Calculer le volume du tétraèdre FIJK.
6. Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?
EXERCICE2 6 points
On définit la suite (un) de la façon suivante : pour tout entier natureln, un=
Z1
0
xn 1+xdx.
1. Calculeru0= Z1
0
1 1+xdx.
2. a) Démontrer que, pour tout entier natureln,un+1+un= 1 n+1. b) En déduire la valeur exacte deu1.
3. a) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rangnde la suite (un) oùnest un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
Variables : ietnsont des entiers naturels uest un réel
Entrée : Saisirn
Initialisation : Affecter àula valeur . . . Traitement : Pourivariant de 1 à . . .
|Affecter àula valeur . . . Fin de Pour
Sortie : Afficheru
b) À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :
n 0 1 2 3 4 5 10 50 100
un 0,693 1 0,306 9 0,193 1 0,140 2 0,109 8 0,090 2 0,047 5 0,009 9 0,005 0
Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut-on émettre ?
4. a) Démontrer que la suite (un) est décroissante.
b) Démontrer que la suite (un) est convergente.
5. On appelleℓla limite de la suite (un). Démontrer queℓ=0.
EXERCICE3 3 points
On considère la courbeC d’équationy=ex, tracée ci-dessous.
1 2 3 4
−1
−2
1 2
−1
−2
−3
−4
−5
0 1 2 3 4
0 1 2
Pour tout réelmstrictement positif, on noteDmla droite d’équationy=mx.
1. Dans cette question, on choisitm=e.
Démontrer que la droiteDe, d’équationy=ex, est tangente à la courbeC en son point d’abscisse 1.
2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positifm, le nombre de points d’intersection de la courbeC et de la droiteDm.
3. Démontrer cette conjecture.
EXERCICE4 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
En prévision d’une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage re- cueille les intentions de vote de futurs électeurs.
Liban 2 27 mai 2015
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
Parmi les 1 200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.
Compte-tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que 10 % des per- sonnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.
On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :
• Al’évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candi- dat A » ;
• Bl’évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candi- dat B » ;
• V l’évènement « La personne interrogée dit la vérité ».
1. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.
2. a) Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.
b) Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu’elle affirme vouloir voter pour le candidat A.
3. Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.
4. L’institut de sondage publie alors les résultats suivants : 52,9 % des électeurs* voteraient pour le candidat A.
*estimation après redressement, fondée sur un sondage d’un échan- tillon représentatif de 1 200 personnes.
Au seuil de confiance de 95 %, le candidat A peut- il croire en sa victoire ? 5. Pour effectuer ce sondage, l’institut a réalisé une enquête téléphonique à rai-
son de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu’une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est 0,4.
L’institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses.
Quel temps moyen, exprimé en heures, l’institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?
EXERCICE4 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On choisit d’utiliser la modélisation suivante :
• s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une proba- bilité de 0,9 ;
• s’il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.
On appellepnla probabilité de ne pas fumer len-ième jour après sa décision d’arrê- ter de fumer etqn, la probabilité de fumer len-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer.
On suppose quep0=0 etq0=1.
1. Calculerp1etq1.
2. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites¡
pn¢ et¡
qn¢
. Une copie d’écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous :
A B C D
1 n pn qn
2 0 0 1
3 1
4 2
5 3
Liban 3 27 mai 2015
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
Dans la colonne A figurent les valeurs de l’entier natureln.
Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu’en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites¡
pn¢ et¡
qn¢
?
3. On définit les matricesMet, pour tout entier natureln, Xnpar M=
µ0,9 0,4 0,1 0,6
¶
et Xn= µpn
qn
¶ .
On admet queXn+1=M×Xnet que, pour tout entier natureln, Xn=Mn×X0.
On définit les matricesAetBparA=
µ0,8 0,8 0,2 0,2
¶ etB=
µ0,2 −0,8
−0,2 0,8
¶ . a) Démontrer queM=A+0,5B.
b) Vérifier queA2=A, et queA×B=B×A= µ0 0
0 0
¶ .
On admet dans la suite que, pour tout entier naturelnstrictement positif, An=AetBn=B.
c) Démontrer que, pour tout entier natureln, Mn=A+0,5nB.
d) En déduire que, pour tout entier natureln, pn=0,8−0,8×0,5n.
e) À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?
Liban 4 27 mai 2015
