Durée 3h30-Calculatrices graphiques

(1)

1 T°S

DTL 2 DE MATHEMATIQUES 05-11-2013

Durée 3h30-Calculatrices graphiques

Exercice 1 : (2,5 points)

] [ ] [ ( )

) ) )

) ( ) ( ) ( )

Exercice 2 : (2,5 points)

[ [ ( )

{

√

) .

)

) [ [

Exercice 3 : (2 points)

(2)

2 Exercice 4: (4 points : 0,5 par bonne réponse, -0,25 par mauvaise réponse et 0 en l’absence de réponse)

( ) ( ) ( ).

)

( )

)

( )

√ ( )

)

√

)

( ) .

) ( )

( )

( ) .

Exercice 5 : (3 points)

( )

) )

[ ] ( )

) ( ).

) ) . ) ( )

) ( )

)

(3)

3 Exercice 6 : (2 points)

( ) ( )

( )

Exercice 7 : (5 points)

CENTRES!ETRANGERS!JUIN!2013! !

1. Justiﬁer l’inégalité b < 1+ 1

e . On pourra utiliser un argument graphique.

2. Déterminer lavaleur exactedu réel b.

Exercice 4 5 points

Candidatsn’avant paschoisi la spécialitémathématique

L’objet decet exerciceest l’étudedelasuite(u

n

) déﬁniepar son premier terme u

1

= 3

2 et la relation derécurrence: u

n+1

= nu

n

+ 1 2(n + 1) . PartieA- Algorithmiqueet conjectures

Pour calculer et afﬁcher le terme u

9

de la suite, un élève propose l’algorithmeci-contre.

Il a oublié de compléter deux lignes.

Variables n est un entier naturel u est un réel

Initialisation Affecter àn la valeur 1 Affecter àu la valeur 1,5 Traitement Tant quen < 9

Affecter à u la valeur ...

Affecter à n la valeur ...

Fin Tant que

Sortie Afﬁcher lavariableu 1. Recopier et compléter lesdeux lignesdel’algorithme où ﬁgurent despointsdesuspension.

2. Comment faudrait-il modiﬁer cet algorithme pour qu’il calcule et afﬁche tous les termes de la suite deu

2

jusqu ’à u

9

?

3. Avec cet algorithme modiﬁé, on aobtenu lesrésultatssuivants, arrondisau dix-millième :

n 1 2 3 4 5 6 ... 99 100

u

n

1,5 0,625 0,375 0,2656 0,2063 0,1693 ... 0,0102 0,0101

Au vu decesrésultats, conjecturer lesensdevariation et laconvergencedela suite(u

n

).

PartieB- Étudemathématique

On déﬁnit unesuiteauxiliaire(v

n

) par : pour tout entier n 1, v

n

= nu

n

− 1.

1. Montrer que la suite (v

n

) est géométrique; préciser sa raison et son premier terme.

2. En déduireque, pour tout entier naturel n 1, on a : u

n

= 1+ (0,5)

ⁿ

n . 3. Déterminer lalimitedelasuite(u

n

).

4. Justiﬁer que, pour tout entier n 1 , on a : u

n+1

− u

n

= − 1+ (1+ 0,5 n)(0,5)

ⁿ

n(n + 1) . En déduirelesensdevariation dela suite(u

n

).

PartieC- Retour à l’algorithmique

En s ’inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d’afﬁcher le plus petit entier n tel queu

n

< 0,001.

5

(4)

4 NOM, Prénom :

ANNEXE : Exercice 4 :

1 2 3 4 5 6 7 8

Exercice 5 :