Titre : Classication des algèbres de Nambu-Poisson
Mathieu Mansuy
Résumé : En 1973, Y. Nambu a proposé une généralisation de la mécanique Ha- miltonienne, basée sur la notion de n-crochet en lieu et place du crochet de Poisson usuel. La dynamique de Nambu est décrite par le ot donné par un système dié- rentiel faisant intervenir n−1 Hamiltoniens :
du
dt ={u, h1,· · · , hn−1}.
Le crochet de Nambu satisfait les propriétés suivantes :
(Leibniz) {f1,· · ·fn−1, gh}={f1,· · ·fn−1, g}h+g{f1,· · ·fn−1, h};
(Filippov-Jacobi) {f1,· · ·fn−1,{g1,· · ·gn}}=X
i
{g1,· · · ,{f1,· · ·fn−1, gi},· · · , gn};
(antisymétrie) {fσ(1),· · ·fσ(n)}=sign(σ){f1,· · ·fn}.
Pour n = 2, on retrouve la dénition du crochet de Poisson. Un premier exemple, proposé par Nambu, est donné par le Jacobien sur les fonctions den variables :
{f1,· · · , fn}= det ∂fi
∂xj n
i,j=1
. (∗)
C'est en fait le "seul" : on montrera dans cet exposé le résultat suivant.
Théorème. Pourn >2, toute algèbre de Nambu-Poisson simple linéairement com- pacte est isomorphe à l'algèbre des séries formelles ànvariables munie du crochet(∗). Cette classication sur laquelle j'ai travaillé à l'Université de Bologne a été obtenue par N. Cantarini et V. Kac l'année dernière.
